摘 要：齒槽轉(zhuǎn)矩的準(zhǔn)確計(jì)算是解決單相無刷直流電機(jī)起動(dòng)死點(diǎn)問題的基礎(chǔ)。針對(duì)單相無刷直流電機(jī)有限元建模繁瑣耗時(shí)的問題，建立漸變氣隙結(jié)構(gòu)下單相無刷直流電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的解析模型。首先推導(dǎo)漸變氣隙結(jié)構(gòu)下氣隙磁密的解析表達(dá)式，并利用能量法推導(dǎo)齒槽轉(zhuǎn)矩的解析表達(dá)式，對(duì)其中的氣隙磁密和有效氣隙長度函數(shù)進(jìn)行簡化和傅里葉分解，最終得到齒槽轉(zhuǎn)矩的解析模型。結(jié)合自適應(yīng)復(fù)化梯形算法對(duì)該解析模型進(jìn)行計(jì)算，避免傳統(tǒng)模型中變量物理意義模糊，造成普適性差、預(yù)測精度低的問題。將漸變氣隙結(jié)構(gòu)下齒槽轉(zhuǎn)矩的解析結(jié)果與有限元結(jié)果對(duì)比，并重點(diǎn)分析過零點(diǎn)偏移角度和峰值，驗(yàn)證所建立的齒槽轉(zhuǎn)矩解析模型的正確性。該解析模型能夠利用計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)快速準(zhǔn)確地求解，且模型中各變量均與電機(jī)結(jié)構(gòu)相關(guān)、物理意義清晰，便于設(shè)計(jì)人員優(yōu)化齒槽轉(zhuǎn)矩時(shí)尋找各變量之間的規(guī)律。

關(guān)鍵詞：解析模型；有限元法；齒槽轉(zhuǎn)矩；單相無刷直流電機(jī)；起動(dòng)；漸變氣隙

DOI：10.15938/j.emc.2024.11.009

中圖分類號(hào)：TM351

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1007-449X（2024）11-0094-10

Analytical modeling of cogging torque of single-phase brushless DC motor with gradient airgap structure

SU Yan， WANG Xilian， ZHAO Haizhou， MA Yanshen

（Department of Electrical Engineering，Beijing Jiaotong University， Beijing 100044， China）

Abstract：Accurate calculation of cogging torque is the basis for solving the dead point problem in the start-up of single-phase brushless DC motor. Aiming at the problem of cumbersome and time-consuming finite element modeling of single-phase brushless DC motor， an analytical model of the cogging torque of single-phase brushless DC motor with gradient airgap structure was established. Firstly， the analytical expression for the airgap flux density with the gradient airgap structure was derived. Then， the energy method was employed to derive the analytical expression for the cogging torque. Subsequently， the airgap flux density and the effective airgap length function were simplified and Fourier decomposed. Finally， the analytical model for the cogging torque was obtained. The analytical model of cogging torque was calculated by the adaptive multi-segment trapezoidal algorithm to avoid the problem of poor generalization and low prediction accuracy caused by the ambiguous physical meaning of the variables in the traditional model. The analytical results of the cogging torque under the gradient airgap structure were compared with the finite element results， and the over-zero offset angle and peak value were analyzed to verify correctness of the established analytical model of cogging torque. The analytical model can be solved quickly and accurately by computer programming， and the variables in the model are related to the motor structure with clear physical meanings， which makes it easy for the designers to search for the laws between the variables when optimizing the cogging torque.

Keywords：analytical model; finite element method; cogging torque; single-phase brushless DC motor; start-up; gradient airgap

0 引 言

單相無刷直流電機(jī)（single-phase brushless DC motor，SPBLDCM）由于結(jié)構(gòu)簡單、成本低廉、轉(zhuǎn)速上限高等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于一些對(duì)動(dòng)態(tài)性能無嚴(yán)格要求的小功率家用電器中，如風(fēng)機(jī)、水泵、光盤驅(qū)動(dòng)等^[1-]。然而，在對(duì)稱結(jié)構(gòu)的SPBLDCM中，齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩的零點(diǎn)是重合的。因此，當(dāng)電機(jī)在不通電的情況下，轉(zhuǎn)子會(huì)穩(wěn)定在磁阻轉(zhuǎn)矩最小的位置，即靜止在齒槽轉(zhuǎn)矩的零點(diǎn)位置；而當(dāng)電機(jī)通電后，作用在轉(zhuǎn)子上的電磁轉(zhuǎn)矩為0，導(dǎo)致電機(jī)無法起動(dòng)。為了克服電機(jī)的起動(dòng)死點(diǎn)問題，SPBLDCM通常采用非對(duì)稱定子結(jié)構(gòu)，使得電機(jī)靜止時(shí)的齒槽轉(zhuǎn)矩發(fā)生零點(diǎn)偏離，和電磁轉(zhuǎn)矩的零點(diǎn)不再重合，此偏離角度能夠?yàn)殡姍C(jī)轉(zhuǎn)子提供一定的起動(dòng)轉(zhuǎn)矩，實(shí)現(xiàn)SPBLDCM的自起動(dòng)。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者圍繞SPBLDCM本體結(jié)構(gòu)，利用有限元法（finite element method，F(xiàn)EM）對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩做了大量的研究。常用的不對(duì)稱結(jié)構(gòu)有階梯型、漸變型、不對(duì)稱開槽、不對(duì)稱極靴4種。文獻(xiàn)[4]研究了這4種常見的SPBLDCM不對(duì)稱結(jié)構(gòu)，研究結(jié)果表明，無論采用哪一種勵(lì)磁方式，漸變型結(jié)構(gòu)能顯著降低齒槽轉(zhuǎn)矩峰值，但轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)仍然較大。為了優(yōu)化齒槽轉(zhuǎn)矩并減小轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)，眾多技巧性的研究紛紛涌現(xiàn)。文獻(xiàn)[5]提出在定子交替使用均勻齒和漸變型齒，因此總氣隙長度比傳統(tǒng)不等氣隙小，能夠降低48%的齒槽轉(zhuǎn)矩和40%的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)，從而提高效率。文獻(xiàn)[6]提出在漸變氣隙結(jié)構(gòu)上增加薄端傾斜，研究結(jié)果表明，該方法與錐形氣隙相比，起動(dòng)轉(zhuǎn)矩提高了70%以上，齒槽轉(zhuǎn)矩大幅降低。文獻(xiàn)[7]提出定子凸極鐵心分段的新型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，通過在每段選用不同的曲率半徑，可以完全消除起動(dòng)死點(diǎn)的存在和削弱齒槽轉(zhuǎn)矩，但這增加了定子鐵心的設(shè)計(jì)和生產(chǎn)難度。文獻(xiàn)[8]提出在定子齒表面增加非對(duì)稱半圓形輔助槽的設(shè)計(jì)，利用輔助槽尺寸及位置以調(diào)整齒槽轉(zhuǎn)矩諧波的相位，從而實(shí)現(xiàn)峰值轉(zhuǎn)矩削弱的效果。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[9]對(duì)半圓形和矩形這兩種輔助槽形狀進(jìn)行了對(duì)比分析，研究結(jié)果表明，采用半圓形輔助槽能夠更好地削弱齒槽轉(zhuǎn)矩。文獻(xiàn)[10]通過優(yōu)化極弧比，確保反電動(dòng)勢(shì)波形呈現(xiàn)平滑的梯形形狀，有效降低了電流諧波，在換向過程中實(shí)現(xiàn)了平穩(wěn)的轉(zhuǎn)矩輸出。通過應(yīng)用有限元法對(duì)SPBLDCM的結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，能夠精確地分析漏磁效應(yīng)、磁路飽和以及非對(duì)稱齒槽結(jié)構(gòu)等關(guān)鍵因素。但目前Ansoft、Magnet這些主流電機(jī)有限元分析軟件等均無現(xiàn)成的SPBLDCM模型，設(shè)計(jì)人員需要進(jìn)行大量的前處理，才能對(duì)SPBLDCM進(jìn)行建模分析，整個(gè)設(shè)計(jì)過程繁瑣而耗時(shí)。

除了有限元法，解析法（analytic method，AM）也被廣泛地運(yùn)用于電機(jī)的氣隙磁場以及齒槽轉(zhuǎn)矩的建模計(jì)算中。文獻(xiàn)[11]結(jié)合能量法建立了漸變氣隙結(jié)構(gòu)SPBLDCM的齒槽轉(zhuǎn)矩解析模型，但求解時(shí)需要對(duì)氣隙磁場能量逐次求導(dǎo)，較為復(fù)雜。文獻(xiàn)[12]采用能量法經(jīng)過傅里葉分解推導(dǎo)得出了齒槽轉(zhuǎn)矩解析模型，并通過泰勒級(jí)數(shù)展開對(duì)漸變氣隙的氣隙磁導(dǎo)進(jìn)行簡化，該解析模型可定性分析齒槽轉(zhuǎn)矩，但計(jì)算量巨大且復(fù)雜，且泰勒級(jí)數(shù)只保留前兩項(xiàng)，造成了較大的計(jì)算誤差。

有限元法雖然能夠高精度地計(jì)算SPBLDCM的磁場，但是當(dāng)考慮電機(jī)優(yōu)化時(shí)，由于有限元法難以將分析結(jié)果與電機(jī)參數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系描述清楚，若僅采用有限元法會(huì)非常耗時(shí)且效率很低。因此，利用解析模型中各變量與電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)聯(lián)系強(qiáng)、能夠快速尋優(yōu)的特點(diǎn)，可以在滿足工程精度的情況下，利用計(jì)算機(jī)編程快速求解獲得電機(jī)最優(yōu)的設(shè)計(jì)方案，具有一定的應(yīng)用價(jià)值。

本文首先建立漸變氣隙結(jié)構(gòu)下忽略齒槽效應(yīng)的SPBLDCM氣隙磁密解析模型，并與有限元法進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證解析模型的正確性。在此基礎(chǔ)上，利用能量法推導(dǎo)齒槽轉(zhuǎn)矩的解析表達(dá)式，并對(duì)其中的氣隙磁密和有效氣隙長度函數(shù)進(jìn)行簡化和傅里葉分解，得到齒槽轉(zhuǎn)矩的解析模型。引入數(shù)值積分的自適應(yīng)復(fù)化梯形算法實(shí)現(xiàn)解析模型快速、精確地求解。最后將解析模型計(jì)算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果對(duì)比，并對(duì)起動(dòng)死點(diǎn)影響最大的齒槽轉(zhuǎn)矩過零點(diǎn)偏移角度和峰值進(jìn)行分析，驗(yàn)證本文所建立的齒槽轉(zhuǎn)矩解析模型的正確性。

1 電機(jī)結(jié)構(gòu)

本文以一臺(tái)漸變氣隙結(jié)構(gòu)下徑向充磁、圓筒形內(nèi)轉(zhuǎn)子式的SPBLDCM為載體進(jìn)行分析，電機(jī)模型示意圖如圖1所示。漸變氣隙由偏心圓構(gòu)成，X為定子齒內(nèi)沿偏心圓弧的圓心在水平方向偏離電機(jī)中心O的距離；Rs為定子內(nèi)徑；Rm為永磁體外徑；Rr為永磁體內(nèi)徑；hm為永磁體厚度；g為氣隙長度，他是一個(gè)與θ有關(guān)的函數(shù)，且滿足

Rs=Rr+hm+g（θ）。（1）

構(gòu)成SPBLDCM的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

為簡化分析，對(duì)SPBLDCM模型作如下基本假設(shè)：

1）忽略電機(jī)端部效應(yīng)，磁場沿軸向均勻分布，因此可使用二維平面模型來等效真實(shí)的三維模型；

2）將定子槽型等效為寬度與實(shí)際槽口相等、深度為足夠深的矩形槽；

3）忽略鐵心磁阻，且鐵心不會(huì)飽和，即電機(jī)定、轉(zhuǎn)子鐵心的相對(duì)磁導(dǎo)率為無窮大；

4）永磁體的磁導(dǎo)率與空氣相同，即μr=1；

5）忽略永磁體退磁效應(yīng)，即退磁曲線為直線，不考慮永磁體的渦流損耗。

2 漸變氣隙結(jié)構(gòu)下無槽SPBLDCM氣隙磁密解析模型推導(dǎo)

圖2所示為漸變氣隙結(jié)構(gòu)下無槽SPBLDCM簡化模型及其對(duì)應(yīng)的氣隙長度波形。為簡化分析，假定氣隙長度在1個(gè)定子齒間距范圍下呈線性變化，則漸變氣隙長度函數(shù)g（θ）為

g（θ）=gmax－gminπ/pθ+gmax+gmin2，

－π2p≤θ≤π2p。（2）

式中：gmin和gmax分別為最小氣隙長度和最大氣隙長度，mm；p為電機(jī)極對(duì)數(shù)。

當(dāng)定子為無槽結(jié)構(gòu)時(shí)，圖2所示的氣隙域Ⅰ和永磁體域Ⅱ中的磁感應(yīng)強(qiáng)度與磁場強(qiáng)度分別滿足：

BrⅠ=μ0HrⅠ，Rmlt;rlt;Rs；

BrⅡ=μ0μrHrⅡ+μ0M，Rrlt;rlt;Rm。（3）

式中：BrⅠ、BrⅡ分別對(duì)應(yīng)電機(jī)氣隙域Ⅰ和永磁體域Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度，T；HrⅠ、HrⅡ分別對(duì)應(yīng)氣隙域Ⅰ和永磁體域Ⅱ的磁場強(qiáng)度，A/m；μ0為真空下的磁導(dǎo)率，μ0=4π×10^-7 H/m；μr為永磁體磁導(dǎo)率，μr=1 H/m；M為永磁體剩余磁化強(qiáng)度，A/m。

在二維極坐標(biāo)下，M可表示為

M=Mrr+Mθθ。（4）

式中Mr、Mθ分別對(duì)應(yīng)永磁體剩余磁化強(qiáng)度的徑向和切向分量。

Mr、Mθ可通過傅里葉級(jí)數(shù)分解表示為：

Mr=∑∞n=1，3，5，…Mncos（npθ）；

Mn=2Brαpμ0sinnπαp2nπαp2；

Mθ=0。（5）

式中：Br為永磁體剩磁，T；αp為永磁體的極弧系數(shù)。

電機(jī)氣隙域Ⅰ和永磁體域Ⅱ的標(biāo)量磁位分別滿足如下的Laplace方程和Poisson方程，得到：

2φⅠr2+1rφⅠr+1r22φⅠθ2=0，Rmlt;rlt;Rs；

2φⅡr2+1rφⅡr+1r22φⅡθ2=divMμr，Rrlt;rlt;Rm。（6）

再結(jié)合無槽SPBLDCM模型的磁場邊界條件，得到：

HθⅠ（r，θ）|r=Rs=0；

HθⅡ（r，θ）|r=Rr=0；

BrⅠ（r，θ）|r=Rm=BrⅡ（r，θ）|r=Rm；

HθⅠ（r，θ）|r=Rm=HθⅡ（r，θ）|r=Rm。（7）

于是，在忽略齒槽效應(yīng)的情況下，可求得漸變氣隙結(jié)構(gòu)下SPBLDCM氣隙磁密的徑向分量BrⅠ和切向分量BθⅠ分別為：

BrⅠ（r，θ）=∑∞n=1，3，5，…KB（n）fBr（r）cos（npθ）；BθⅠ（r，θ）=∑∞n=1，3，5，…KB（n）fBθ（r）sin（npθ）。（8）

式中：

KB（n）=（np－1）+2RrRm^np+1－（np+1）RrRm^2np21－RrRs^2np×

μ0Mnμrnp（np）2－1；

fBr（r）=rRs^np－1RmRs^np+1+Rmr^np+1 ；

fBθ（r）=－rRs^np－1RmRs^np+1+Rmr^np+1。

在實(shí)際設(shè)計(jì)中，為減少電機(jī)因氣隙不均勻引起的振動(dòng)和噪聲問題，漸變氣隙的尺寸通常會(huì)遠(yuǎn)小于定轉(zhuǎn)子之間的氣隙寬度。因此，漸變氣隙對(duì)等磁位面的影響可以忽略不計(jì)，則可在工程應(yīng)用范圍內(nèi)通過式（1）～式（8）來求解漸變氣隙結(jié)構(gòu)的情況。

以轉(zhuǎn)子圓心為原點(diǎn)，氣隙測量半徑取r=5.6 mm，所得漸變氣隙結(jié)構(gòu)下無槽SPBLDCM氣隙磁密的徑向分量和切向分量的解析解與有限元解對(duì)比如圖3所示。由圖3可知，由于忽略了定子齒尖的聚磁效應(yīng)^[1]，解析解與有限元解波形存在一定誤差，但二者變化趨勢(shì)大體一致，由此驗(yàn)證了氣隙磁密解析模型的正確性。

3 基于能量法的漸變氣隙結(jié)構(gòu)下的齒槽轉(zhuǎn)矩解析模型推導(dǎo)

圖4所示為定子齒與磁極的相對(duì)位置，規(guī)定α=0為定子齒中心線與磁極中心線對(duì)齊的位置，θ=0為磁極中心線。

齒槽轉(zhuǎn)矩為定子鐵心的齒槽和轉(zhuǎn)子的磁極之間相互作用而產(chǎn)生的磁阻轉(zhuǎn)矩，其為永磁電機(jī)獨(dú)有的技術(shù)難題。根據(jù)能量法，齒槽轉(zhuǎn)矩Tcog（α）定義為電機(jī)繞組未通電時(shí)內(nèi)部的磁場能量W（α）相對(duì)于位置角α的負(fù)導(dǎo)數(shù)，即

Tcog（α）=－W（α）α。（9）

根據(jù)第一節(jié)中的假設(shè)3），電機(jī)內(nèi)部的磁場能量主要來源于電機(jī)氣隙和永磁體，而永磁體中的磁場能量不隨位置角α改變，一般可忽略，因此只對(duì)能產(chǎn)生齒槽轉(zhuǎn)矩的氣隙磁場能量進(jìn)行考慮，即

W（α）≈12μ0∫^Lef0∫^2π0∫^{Rr+δ（θ，α）}Rm［Br（θ，α）×

hmδ（θ，α）2rdrdθdz=

Lefh2m4μ0∫^2π0B2r（θ，α）×

R2r－R2mδ2（θ，α）+2Rrδ（θ，α）+1dθ。（10）

式中Br（θ，α）、δ（θ，α）分別為SPBLDCM氣隙磁密和有效氣隙長度沿圓周的分布函數(shù)。

由第2節(jié)的分析可知，漸變氣隙結(jié)構(gòu)下無槽SPBLDCM氣隙磁密沿圓周的分布可以近似為沿y軸對(duì)稱的平頂波，因此B²r（θ，α）為偶函數(shù)，可以在區(qū)間（θ-α）∈[-π/（2p），π/（2p）]進(jìn)行傅里葉展開為

B2r（θ，α）=B0+∑∞k=1Bakcos［2kp（θ－α）］。（11）

因?yàn)槎ㄗ咏Y(jié)構(gòu)不對(duì)稱，可對(duì)R2r－R2mδ2（θ，α）+2Rrδ（θ，α）在區(qū)間θ∈[-π/Ns，π/Ns]進(jìn)行傅里葉展開，即

R2r－R2mδ2（θ，α）+2Rrδ（θ，α）=G0+∑∞m=1［Gamcos（mNsθ）+

Gbmsin（mNsθ）］。（12）

因?yàn)镹s=2p，由式（10）～式（12）可得

W（α）=∑4i=1Wi（α）。（13）

式中：

W1（α）=Lefπ2μ0B0（G0+1）;

W2（α）=Lefh2m4μ0∫^2π0B0∑∞m=1［Gamcos（mNsθ）+

Gbmsin（mNsθ）］dθ=0；

W3（α）=Lefh2m4μ0∫^2π0（G0+1）×

∑∞k=1Bakcos［2kp（θ－α）］dθ=0；

W4（α）=Lefh2m4μ0∫^2π0{∑∞k=1Bakcos［2kp（θ－α）］×

∑∞m=1［Gamcos（mNsθ）+Gbmsin（mNsθ）］} dθ。

由于三角函數(shù)系具有正交性，因此當(dāng)2kp≠mNs時(shí)可得：

∫^2π0{∑∞k=1cos［2kp（θ－α）］×∑∞m=1cos（mNsθ）}dθ=0；

∫^2π0{∑∞k=1cos［2kp（θ－α）］×∑∞m=1sin（mNsθ）}dθ=0。（14）

又因2p=Ns，令k=m=n，則式（10）可表示為

W（α）=Lefπh2m2μ0B0（G0+1）+Lefπh2m4μ0×

∑∞n=1Ban［Gancos（2npα）+Gbnsin（2npα）］。（15）

由式（9）和式（15），可得漸變氣隙結(jié)構(gòu)下SPBLDCM的齒槽轉(zhuǎn)矩解析表達(dá)式為

Tcog（α）=Lefpπh2m2μ0∑∞n=1nBan［Gansin（2npα）－Gbncos（2npα）］。（16）

由式（16）可知，只要針對(duì)漸變氣隙結(jié)構(gòu)下的SPBLDCM模型，通過簡化分析求得氣隙磁密傅里葉系數(shù)Ban、漸變氣隙的相對(duì)磁導(dǎo)傅里葉系數(shù)Gan和Gbn，即可求得相應(yīng)的齒槽轉(zhuǎn)矩解析模型。

3.1 永磁體的氣隙磁密傅里葉系數(shù)Ban

當(dāng)電機(jī)永磁體厚度相同且均勻分布時(shí)，B²r（θ，α）沿圓周的分布函數(shù)可簡化為沿y軸對(duì)稱的矩形波，如圖5所示。

B²r（θ，α）的各次傅里葉系數(shù)為

Ban=1π/2p∫^π2pαi－π2pαiB2rh2mcos（2npθ）dθ=

2nπB2rh2msin（nαiπ）。（17）

式中αi為計(jì)算極弧系數(shù)，其定義為一個(gè)極距下氣隙磁密平均值與最大值的比值，即αi=Bδav/Bδ。

3.2 漸變氣隙的相對(duì)磁導(dǎo)傅里葉系數(shù)Gan和Gbn

Gan和Gbn的各次傅里葉系數(shù)分別為：

Gan=1π/Ns∫^πNs－πNsR2r－R2mδ2（θ）+2Rrδ（θ）cos（nNsθ）dθ；（18）

Gbn=1π/Ns∫^πNs－πNsR2r－R2mδ2（θ）+2Rrδ（θ）sin（nNsθ）dθ。（19）

有效氣隙長度為磁通從永磁體內(nèi)徑Rr至定子齒內(nèi)沿偏心圓弧的路徑長度，如圖6所示，其可根據(jù)路徑的不同分為：

1）經(jīng)過漸變氣隙的路徑1，其氣隙長度按轉(zhuǎn)子鐵心到定子鐵心的磁通路徑計(jì)算；

2）經(jīng)過定子槽的路徑2，其氣隙長度按轉(zhuǎn)子鐵心到定子鐵心的直線距離和定子槽內(nèi)理想化為四分之一圓弧的磁通路徑之和計(jì)算。

由于SPBLDCM每個(gè)定子齒的結(jié)構(gòu)是相同的，下面以其中一個(gè)定子齒為例，對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩進(jìn)行求解和分析。如圖7所示，定子齒內(nèi)沿為偏心圓弧，記偏心圓的圓心坐標(biāo)為（X，0），半徑為Rg，電機(jī)定子齒寬為ts。

以電機(jī)軸為極點(diǎn)，定子中心線為極軸，順時(shí)針為極角的正方向，將偏離圓心坐標(biāo)（X，0）轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)（ρ0，θ0），表示為：

ρ0=X；θ0=π2。（20）

定子齒內(nèi)沿的偏心圓弧的半徑Rg為

Rg=R2s+X2－tsX。（21）

根據(jù)極坐標(biāo)下圓的方程，定子齒內(nèi)沿的偏心圓弧的曲線方程為

（ρsinθ－ρ0）2+（ρcosθ）2=R2g。（22）

由式（20）～式（22），即可求得漸變氣隙所對(duì)應(yīng)的有效氣隙長度，即路徑1的長度為

δ（θ）=－ρ20cos2θ+R2g+ρ0sinθ－Rr；θ∈－πNs+b2，πNs－b2。（23）

將磁通在定子槽內(nèi)的路徑理想化為四分之一圓弧，且圓弧的半徑為求解位置與定子齒端點(diǎn)的最短距離，則路徑2的長度為：

δ（θ）=－π（gmin+Rm）2θ+πNs－b2+

hm+gmin，θ∈－πNs，－πNs+b2；

δ（θ）=π（gmax+Rm）2θ－πNs+b2+

hm+gmax，θ∈πNs－b2，πNs。（24）

式中：

gmin=－ρ20cos2－πNs+b2+R2g+

ρ0sin－πNs+b2－Rm；

gmax=－ρ20cos2πNs－b2+R2g+

ρ0sinπNs－b2－Rm。

4 基于自適應(yīng)復(fù)化梯形的齒槽轉(zhuǎn)矩計(jì)算

漸變氣隙函數(shù)沿圓周的分布如圖8所示。由式（16）～式（24），即可得到漸變氣隙結(jié)構(gòu)下SPBLDCM的齒槽轉(zhuǎn)矩解析模型為

Tcog（α）=pLefNsB2rh2mμ0π∑∞n=1sin（nαiπ）×

∫^πNs－πNsR2r－R2mδ2（θ）+2Rrδ（θ）cos（nNsθ）dθsin（2npα）－

∫^πNs－πNsR2r－R2mδ2（θ）+2Rrδ（θ）sin（nNsθ）dθcos（2npα）。（25）

由式（25）可知，所推導(dǎo)出的齒槽轉(zhuǎn)矩解析模型中各變量如p、Rr、Rm、δ（θ）等均與電機(jī)結(jié)構(gòu)相關(guān)、具有明確的物理意義，便于設(shè)計(jì)人員在齒槽轉(zhuǎn)矩優(yōu)化時(shí)尋找各變量之間的規(guī)律。但其定積分中含有三角函數(shù)與有效氣隙長度分段函數(shù)的倒數(shù)的乘積，難以直接求解。為提高計(jì)算精度、減小計(jì)算量，采用自適應(yīng)復(fù)化梯形求積法對(duì)解析模型進(jìn)行求解。即當(dāng)被積函數(shù)無法用表達(dá)式表示，或者被積函數(shù)有表達(dá)式但無法求得其原函數(shù)時(shí)，用數(shù)值積分的方法對(duì)其進(jìn)行離散化^[14]。先將求積區(qū)間分為N個(gè)子區(qū)間，并用低階的求積公式求得每個(gè)子區(qū)間上的梯形面積，然后將所有子區(qū)間的梯形面積進(jìn)行累加求和，得到整個(gè)求積區(qū)間上的近似積分值。當(dāng)被積函數(shù)為x（t），求積區(qū)間為[a，b]時(shí)，利用復(fù)化梯形公式得到的數(shù)值積分結(jié)果^[15]為

Tn=h2x（a）+2∑n－1i=1x（ti）+x（b） 。（26）

式中：h=（b-a）/n為積分步長；ti= a+ih為分點(diǎn)，其中i=0，1，2，…，n；x（a）和x（b）為所選區(qū)間兩端點(diǎn)上的函數(shù)值。

在使用復(fù)化梯形公式進(jìn)行數(shù)值積分之前，必須選擇適當(dāng)?shù)牟介L。如果步長太大，求積精度難以得到保證；而如果步長太小，將增加計(jì)算量。然而，事先確定一個(gè)合適的步長通常是困難的^[16]。為解決上述問題，本文采用自適應(yīng)復(fù)化梯形的求積方案。該方法通過逐次等分步長，在計(jì)算過程中反復(fù)利用復(fù)化梯形求積公式，直到每次等分前后的兩次積分近似值接近為止。這種方法具有計(jì)算精度高、易于計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)，相比有限元法而言，計(jì)算時(shí)間大大縮短。

本文以圖8中第I部分為例應(yīng)用自適應(yīng)復(fù)化梯形求積法，具體算法流程如下所示。

步驟1：定義

δ（θ）=－π（gmin+Rm）2θ+πNs－b2+hm+gmin；

步驟2：定義

f（θ）=R2r－R2mδ2（θ）+2Rrδ（θ）cos（nNsθ）；

步驟3：初始化積分區(qū)間[-π/Ns，-π/Ns+b/2]和精度要求eps；

步驟4：使用復(fù)化梯形公式計(jì)算區(qū)間[-π/Ns，-π/Ns+b/2]上的積分值I1；

步驟5：將區(qū)間[-π/Ns，-π/Ns+b/2]二等分，繼續(xù)使用復(fù)化梯形公式計(jì)算子區(qū)間上的積分值I2、I3；

步驟6：計(jì)算I的近似誤差e=1/3×|I1-（I2+I3）|；

步驟7：如果egt;eps，則調(diào)用遞歸算法，將子區(qū)間繼續(xù)二等分并計(jì)算積分值；否則，返回I為區(qū)間[-π/Ns，-π/Ns+b/2]的數(shù)值積分解，結(jié)束。

同理，可再使用兩次自適應(yīng)復(fù)化梯形求積法，對(duì)圖8中Ⅱ、Ⅲ區(qū)間的的數(shù)值積分解進(jìn)行求解，將三次數(shù)值積分的結(jié)果進(jìn)行累加，即可求得式（18），式（19）同理。通過以上步驟，得到漸變氣隙結(jié)構(gòu)下SPBLDCM齒槽轉(zhuǎn)矩的解析模型。

5 有限元法驗(yàn)證

本文以一臺(tái)內(nèi)轉(zhuǎn)子SPBLDCM為例，通過有限元仿真驗(yàn)證所提出的漸變氣隙結(jié)構(gòu)下SPBLDCM齒槽轉(zhuǎn)矩解析模型的有效性。

如圖9所示為在均勻氣隙和漸變氣隙結(jié)構(gòu)下的SPBLDCM齒槽轉(zhuǎn)矩有限元解。其中B、D分別為均勻氣隙結(jié)構(gòu)下齒槽轉(zhuǎn)矩的正峰值點(diǎn)和負(fù)峰值點(diǎn)。A、C、E是齒槽轉(zhuǎn)矩的過零點(diǎn)。但由于在A、E兩點(diǎn)處，轉(zhuǎn)子受力后將在齒槽轉(zhuǎn)矩的作用下逐漸遠(yuǎn)離，因此該兩點(diǎn)被認(rèn)為是不穩(wěn)定定位點(diǎn)，在本文中不予討論，下文所提及的過零點(diǎn)均指的是穩(wěn)定定位點(diǎn)C。漸變氣隙結(jié)構(gòu)下的A′、B′、C′、D′點(diǎn)同理。

由圖9可知，由于電機(jī)轉(zhuǎn)子傾向于在磁阻最小的位置停留，因此當(dāng)SPBLDCM采用均勻氣隙結(jié)構(gòu)時(shí)，齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩的過零點(diǎn)均位于定轉(zhuǎn)子幾何中心線α=0處。當(dāng)定子繞組通電后，電機(jī)轉(zhuǎn)子所受的電磁轉(zhuǎn)矩也為0，因此存在起動(dòng)死點(diǎn)問題。另外，由于磁極與定子槽之間的相互作用，齒槽轉(zhuǎn)矩的波形在一個(gè)極距范圍內(nèi)表現(xiàn)為正、負(fù)峰幅值相等，平均值為0。而當(dāng)SPBLDCM采用漸變氣隙結(jié)構(gòu)時(shí)，一方面，過零點(diǎn)會(huì)偏離α=0的位置，由點(diǎn)C位置向點(diǎn)C′位置移動(dòng)，定義該夾角為過零點(diǎn)偏移角度；另一方面，會(huì)使齒槽轉(zhuǎn)矩波形的正峰明顯大于負(fù)峰。這與現(xiàn)有的理論分析結(jié)果相吻合，同時(shí)驗(yàn)證了有限元模型的正確性。

分別利用解析法和有限元法對(duì)定子偏離圓心距離X從0變化到1 mm時(shí)的齒槽轉(zhuǎn)矩進(jìn)行求解，并將計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，如圖10所示。

在圖10中，-10°≤α≤10°對(duì)應(yīng)為定子齒的位置，-22.5°≤α≤-10°和10°≤α≤22.5°對(duì)應(yīng)為定子槽的位置。從圖10可以看出，解析結(jié)果與有限元結(jié)果變化趨勢(shì)一致，驗(yàn)證了本文提出的漸變氣隙結(jié)構(gòu)下SPBLDCM齒槽轉(zhuǎn)矩解析模型的準(zhǔn)確性與有效性。但由于在構(gòu)建齒槽轉(zhuǎn)矩模型中，忽略了永磁體的極間漏磁，且磁密在槽中的路徑也是理想化等效為平行直線與四分之一圓弧，這導(dǎo)致復(fù)化梯形積分的誤差被不斷累積，使得解析結(jié)果與有限元結(jié)果在處于定子槽的位置時(shí)有一定偏差。

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文提出的漸變氣隙結(jié)構(gòu)下SPBLDCM齒槽轉(zhuǎn)矩解析模型的準(zhǔn)確性，需分析對(duì)起動(dòng)死點(diǎn)影響最大的齒槽轉(zhuǎn)矩過零點(diǎn)偏移角度和峰值。分別將圖10（a）～圖10（f）中解析解與有限元解中的齒槽轉(zhuǎn)矩過零點(diǎn)偏移角度和峰值進(jìn)行對(duì)比，如圖11所示。在均勻氣隙結(jié)構(gòu)下，也就是定子偏離圓心距離X為0時(shí)，齒槽轉(zhuǎn)矩的過零點(diǎn)偏移角度為α=0，正負(fù)峰值以零點(diǎn)為對(duì)稱點(diǎn)，呈中心對(duì)稱的形狀；在漸變氣隙結(jié)構(gòu)下，隨著定子偏離圓心距離X的不斷增大，過零點(diǎn)偏移角逐漸增大，但漸有飽和趨勢(shì)。此時(shí)若繼續(xù)在增加定子偏離圓心距離X，只能增大齒槽轉(zhuǎn)矩正峰值，卻無法有效地增大過零點(diǎn)偏移角和起動(dòng)轉(zhuǎn)矩。這是由于定子偏離圓心距離X過大時(shí)會(huì)減小氣隙磁密，降低電機(jī)輸出功率。使電機(jī)在維持等效功率輸出時(shí)體積增大，從而引發(fā)損耗的增加以及效率的降低。

由圖11可以看出，解析結(jié)果與有限元結(jié)果在齒槽轉(zhuǎn)矩計(jì)齒槽轉(zhuǎn)矩過零點(diǎn)偏移角度和峰值方面的變化趨勢(shì)是基本吻合的，但二者在定子偏離圓心距離X較大時(shí)仍存在一定誤差，這是因?yàn)樵诜抡嬷锌紤]了當(dāng)X較大時(shí)，最小氣隙長度gmin≈0的較為特殊的臨界情況。而在實(shí)際電機(jī)設(shè)計(jì)中，氣隙過小會(huì)增大摩擦損耗、給定轉(zhuǎn)子裝配帶來困難，因此gmin不可能達(dá)到理想狀態(tài)下的最小值。因此本文提出的漸變氣隙結(jié)構(gòu)下SPBLDCM齒槽轉(zhuǎn)矩解析模型，能在滿足工程實(shí)際要求范圍內(nèi)較好地估計(jì)齒槽轉(zhuǎn)矩過零點(diǎn)偏移角度和峰值，能夠給SPBLDCM設(shè)計(jì)相關(guān)人員提供參考，大大縮短電機(jī)設(shè)計(jì)所需時(shí)間。

6 結(jié) 論

1）針對(duì)SPBLDCM特有的漸變氣隙結(jié)構(gòu)，推導(dǎo)了不計(jì)及齒槽效應(yīng)的氣隙磁密解析模型，并用有限元法進(jìn)行驗(yàn)證。計(jì)算結(jié)果表明，解析解與有限元解具有較好的一致性，表明該模型能較為準(zhǔn)確地求解漸變氣隙結(jié)構(gòu)下氣隙磁密分布。

2）針對(duì)SPBLDCM有限元仿真繁瑣耗時(shí)的問題，利用能量法推導(dǎo)齒槽轉(zhuǎn)矩的解析表達(dá)式，并對(duì)其中的氣隙磁密和有效氣隙長度函數(shù)進(jìn)行了簡化和傅里葉分解，得到齒槽轉(zhuǎn)矩的解析模型。引入自適應(yīng)復(fù)化梯形公式求解該解析模型，并與有限元法進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了解析模型的準(zhǔn)確性與有效性。該方法使SPBLDCM齒槽轉(zhuǎn)矩模型實(shí)現(xiàn)了完全解析化，且解析模型中各變量均與電機(jī)結(jié)構(gòu)相關(guān)、具有明確的物理意義，為SPBLDCM優(yōu)化設(shè)計(jì)的自動(dòng)化編程提供了理論依據(jù)。

3）采用本文建立的SPBLDCM齒槽轉(zhuǎn)矩模型，進(jìn)一步地對(duì)定子偏離圓心距離X為0～1 mm的漸變氣隙結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算，得到不同情況下的齒槽轉(zhuǎn)矩過零點(diǎn)偏移和峰值。計(jì)算結(jié)果表明，定子偏離圓心距離X存在一個(gè)臨界值Xm，當(dāng)X≥Xm后，齒槽轉(zhuǎn)矩過零點(diǎn)偏移角漸有飽和趨勢(shì)，但其正峰值卻線性增大。因此，在滿足SPBLDCM順利自起動(dòng)的前提下，應(yīng)取X≤Xm來削弱齒槽轉(zhuǎn)矩峰值，以達(dá)到減小轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)、降低噪音和增加電機(jī)運(yùn)行穩(wěn)定性的目的。本文提出的齒槽轉(zhuǎn)矩解析模型為SPBLDCM設(shè)計(jì)提供了相關(guān)參考，有利于設(shè)計(jì)人員在優(yōu)化初期就明確齒槽轉(zhuǎn)矩與電機(jī)各設(shè)計(jì)參數(shù)之間的變化規(guī)律，從而大大縮短電機(jī)設(shè)計(jì)所需時(shí)間。

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（編輯：劉琳琳）