曾祥遠 * 溫童歌 * 李俊峰

*(北京理工大學自動化學院，北京 100081)

?(清華大學行健書院，北京 100084)

教材是課程教學內容的主要載體，是學生學習課程內容和科學思想的主要工具，是教師有序開展教學活動的重要參考與支撐，在課程建設和課程改革中占有舉足輕重的地位。高質量的教材可以為學生提供學習的核心內容、基本框架和探索性研究的基本線索，為具有自主學習能力的個體提供“初始能量”。同時，高質量的教材為高水平課程建設奠定重要基礎，是教學改革不可或缺的一部分，是建設精品課程、實現(xiàn)育人目標的重要依托。

隨著科技快速發(fā)展和人才強國戰(zhàn)略的實施，我國教育教學改革已經發(fā)展到教學內容、教學方法、課程體系等全面綜合改革的新階段。不過，從目前各高校立項的教學改革項目以及相關教學比賽來看，教學新理念在教學方法改革方面推進較多，而對于教材建設與改革的關注明顯不足。例如，2023 年2 月以“教學方法”為主題在中國知網搜索可獲得71.12 萬條中文相關文獻，而“教材建設”主題搜索時僅有807 條內容。另一方面，高校課程建設過程中有關教材的出版和使用情況等相關研究相對較少，導致教材建設難以形成有據可查、有規(guī)可依的參考范式，不利于青年教師繼承性地開展教材建設。特別地，“學為中心”的教學理念對教學活動提出了更高的要求，教材內容的選取和編排要充分考慮學生的學習情況，才能高質量地達成學習目標。

“學為中心”的教育理念起源于建構主義理論，于1998 年由聯(lián)合國教科文組織明確提出，強調以學生的學習和發(fā)展為中心，實現(xiàn)教師“教”為中心向學生“學”為中心轉變，全面提升學生的知識、能力和素質。該教育理念也是成果導向教育（outcome-based education，OBE）的3 個核心理念之一，為實現(xiàn)該理念還需另外兩個核心理念的支持?成果導向和持續(xù)改進。成果導向[1]使得教育活動的判斷標準更為明晰，即教育教學工作有沒有促進并支撐學生達成畢業(yè)要求和培養(yǎng)目標。具體到一門課程，則是學生是否達到了課程要求的培養(yǎng)目標并具備了相應的思維和能力。持續(xù)改進是成果目標以及達成情況等不斷改進的重要保障，以期培養(yǎng)目標與內外部需求相適應，并在教育教學活動中通過學生中心的教學評價不斷調整培養(yǎng)方式，最終達成預期的培養(yǎng)目標。

隨著我國工程教育正式加入《華盛頓協(xié)議》與新工科建設的大力發(fā)展，國內各大高校正在持續(xù)不斷開展工程教育認證及相應課程改革。 “最優(yōu)控制”是力學、宇航科學與技術、控制科學與工程等多個一級學科的重要基礎課程。例如，實際工程里振動的主動控制方法中理論體系最為完備的一種就是最優(yōu)控制[2]。隨著交叉研究的新興以及人工智能的快速發(fā)展，“最優(yōu)控制”也已逐漸成為控制類課程中的經典。不過，其重要的優(yōu)化思想和大量新的應用多出現(xiàn)在零散的網絡內容或線下課程中，教材內容更新略顯滯后。無論是教學主導身份的教師還是學習中心地位的學生，都清楚教材對于教育教學活動和學生學習活動的重要意義。對于教師而言，教材是課程主要教學內容和教學方法的知識載體[3]，是與課程教學不斷迭代相互促進的關鍵要素，是教師對教學內容的深刻把握以及教學思想的重要展現(xiàn)。對于學生而言，課程教材是學習活動的主要依據，是有效理解和吸收課堂教學內容的關鍵藍本，是開展自主學習和探索式學習的良好素材。對于工科類大學生，教材的重要性甚至不低于課程教學，一本可讀性的教材、一本符合當前學生學習習慣的教材，或許更能激發(fā)學生的學習興趣并提升他們自主學習的能力。

為此，在高校不斷深入開展教學改革中，教材不應該再獨立于課程之外或處在教學改革的邊緣位置，而應該適應并引領教學改革。在課程改革與建設中，教材應作為教改的核心內容之一，持續(xù)改進更新教材內容和教材形式。在充分挖掘培養(yǎng)目標與課程關系的基礎上，教材應當深入探究適應時代發(fā)展且符合學生習慣的教學內容和學習架構，為課程改革和學生培養(yǎng)提供高水平教材與學習之本。綜合上述問題，本文以北京理工大學《最優(yōu)控制》教材建設[4]與課程改革為切入點，力爭闡明教材的內容安排及編寫邏輯，為未來教材建設及教材改革提供一定參考。

1 國內外最優(yōu)控制教材建設概述

1.1 國外代表性教材

最優(yōu)控制亦稱現(xiàn)代最優(yōu)控制，是20 世紀中后期航空航天大發(fā)展背景下應運而生的。作為求解確定性系統(tǒng)優(yōu)化問題的有力數(shù)學方法，最優(yōu)控制已在科學研究、工業(yè)實踐和國民經濟等多個領域產生了廣泛應用和重要影響[5]。變分法的創(chuàng)立、極大值原理和動態(tài)規(guī)劃方法的提出，使得最優(yōu)控制逐漸發(fā)展為一門獨立的學問，在國內外高校理工科教學中作為一門單獨的課程加以講授和學習。本節(jié)首先對最優(yōu)控制發(fā)展歷史作簡單回顧[6-8]。

變分法是最優(yōu)控制的重要基礎，最早的變分問題現(xiàn)已追溯至古希臘時期的“狄多等周問題”（Dido isoperimetric problem）。鑒于此類問題的古典幾何屬性，目前學界一般認為變分問題起源于1696 年伯努利兄弟打賭的“最速降線問題”，至18 世紀歐拉和拉格朗日等創(chuàng)立并發(fā)展了變分法。作為數(shù)學發(fā)展的黃金時代，19 世紀的Hamilton，Jacobi 和Weierstrass 等深化了變分法思想并將其數(shù)學基礎嚴格化；20 世紀前半葉Bolza，Mcshane 和Bliss 等進一步推廣了變分法并將其系統(tǒng)化。

20 世紀50～60 年代是最優(yōu)控制發(fā)展的新階段，50 年代初Bellman 提出了處理多級決策問題的動態(tài)規(guī)劃方法及其最優(yōu)性原理，50 年代末Pontryagin 等提出了極大值原理，用以處理控制變量受約束的最優(yōu)控制問題。其中，Kalman，Lawden 和Battin 等學者將上述方法成功應用于航天探測軌跡優(yōu)化等實際工程問題，進一步擴大了最優(yōu)控制理論的影響力[9]。最優(yōu)控制方法在工業(yè)界的另一個成功應用則是線性二次型調節(jié)器（linear quadratic regulator，LQR），這實際是一類滿足最優(yōu)性條件的線性反饋控制器。1971 年，Athans 作為客座主編在IEEE Transactions on Automatic Control組織了一期LQ 控制的?？?，其中，編者將此類具有二次型性能指標和微分方程約束的優(yōu)化問題命名為LQR 問題[10]。至此，現(xiàn)代最優(yōu)控制理論中的核心內容及主要應用均臻成熟。

最優(yōu)控制的首部專著由Leitmann 等編輯出版于1962 年[9]，此時動態(tài)規(guī)劃的專著和極大值原理的專著均已出版。第一部以《Optimal Control》為名的教材則正式出版于1966 年，作者為美國麻省理工學院Athans 教授和布朗大學Falb 教授（圖1）。另一部包含大量應用實例的經典教材是來自于美國的《Applied Optimal Control》[11]，書中對于動力學系統(tǒng)和優(yōu)化問題數(shù)值求解給予了大量關注，一定程度上增強了最優(yōu)控制的影響并推進了最優(yōu)控制走向更深層次的工程實踐。歐洲最優(yōu)控制代表性教材之一來自于英國倫敦帝國理工學院Vinter 教授，書中同時包含了Vinter 對于最優(yōu)控制問題的大量思考，且每一章均提供了問題的歷史背景。限于篇幅，下文將主要關注21 世紀以來國內出版的最優(yōu)控制教材。

1.2 近期國內代表性教材

教育部第四輪學科評估中控制科學與工程A類高校共16 所，研究生培養(yǎng)方案或本研一體化培養(yǎng)方案均有最優(yōu)控制相關課程?？紤]到力學、宇航科學與技術、信息與通信工程等學科通常也要求學生選修“最優(yōu)控制”，最優(yōu)控制課程在我國“雙一流”高校工科培養(yǎng)方案基本都會存在，不過相關教材并非每所高校都有，或者部分高校教材近十年從未更新過。例如，北京理工大學控制類研究生最優(yōu)控制課程，之前一直選用吳滄浦教授2000 年出版的《最優(yōu)控制的理論與方法》。該教材偏重于控制理論和數(shù)學推導，基于該教材的課程學習要求學生已選修過“線性系統(tǒng)理論”和“泛函分析”等課程，對于目前僅有高等數(shù)學基礎的工科學生學習難度很大，難以達成課程目標。部分《現(xiàn)代控制理論》[12]和《自動控制原理》[13]教材會包含最優(yōu)控制內容，主要是精簡的數(shù)學推導和習題，內容以知識點呈現(xiàn)為主，對于理論的發(fā)展和應用著筆較少。

在近期出版的教材[14]中，西安交通大學吳受章編寫的《最優(yōu)控制理論與應用》別具一格，書中注重理論的對比分析以及應用實踐探討，結合MATLAB 軟件給出大量仿真實例，并深入探究了美國登月的最優(yōu)控制實際問題，為最優(yōu)控制理論的學習以及發(fā)展應用提供了多維度的訓練與思考空間。哈爾濱工業(yè)大學李傳江和馬廣富整理的《最優(yōu)控制》教材系統(tǒng)而全面，涵蓋了靜態(tài)優(yōu)化和動態(tài)優(yōu)化兩大部分內容，例題和習題豐富，且包含了部分開放性思考題，有利于學生思維的拓展與創(chuàng)新性能力的培養(yǎng)。清華大學鐘宜生最新教材則包含了部分魯棒控制內容。國內上述優(yōu)秀教材均系統(tǒng)介紹了最優(yōu)控制的核心理論，包括變分法、極大值原理和動態(tài)規(guī)劃方法，不過關于這些核心理論的來源、發(fā)展以及創(chuàng)建過程則提及甚少或直接略去。如果教師在授課過程中與學生共同探討理論創(chuàng)建的過程和思想演變過程，輔以教材可以達到良好的學習狀態(tài)，否則學生對于該學科的發(fā)展建設以及創(chuàng)新創(chuàng)造的過程是難以把握的，期待學生未來以此為基礎實現(xiàn)再創(chuàng)新會更加困難。2017 年中國科學院張杰和王飛躍出版的教材[15]在該方面邁出了一大步，在理論內容之中穿插了相關學者的事跡及部分學科發(fā)展史，提升了教材的可讀性。上述教材的內容整理和寫作風格為作者新教材的編寫提供了良好借鑒。

2 新教材建設情況

現(xiàn)代教育心理學認為學生學習水平的差別，主要在于興趣、意志和習慣等非智力因素。學習興趣能夠吸引學生關注學習內容，在學習意志的支持下學習興趣轉化為學習動機并逐漸成為習慣，才能長時間專注于所學內容，最終達成學習目標。當今學生良好的教育基礎使得他們對基礎知識的學習興趣不斷降低，加之互聯(lián)網的快速發(fā)展使得知識獲取變得容易而及時，導致大多數(shù)學生對于選修課程難以提起興趣，隨之而來便是失去了學習這門課程的內生動力。機能主義的哥倫比亞學派代表學者Woodworth 在《動力心理學》中采用“驅力（drive）–機制（mechanism）”模型分析人類的學習行為，強調學習的“內生動力”作為驅力，以此達成良好的自主學習。

基于作者的授課和學生培養(yǎng)經驗，以最優(yōu)控制課程為例，若學生自身對課程內容感興趣或者對科研工作等有重要支撐，學生便會產生“內生動力”，由此開啟主動學習。不過學生基于興趣產生驅力的主動學習還不夠，要培養(yǎng)出探究式學習的習慣和批判性思維等高階能力，還需要學生長期保持學習動力，如圖2 上側循環(huán)所示。學習動力的長期保持，主要來自于學習中的價值感和成就感[16]。價值感包括當前可直接應用的知識和方法，也包括對學生成長和發(fā)展有長期影響的能力、素質，后者需要教師在教學中注重高階性、批判性思維等。成就感需要給學生適當?shù)奶魬?zhàn)度，有一定難度但跳一跳夠得著，課程或教材中的前沿應用實例便是一部分，這同時也是當前教學中需要加強的部分。反之，若學生主觀上不愿意學習，處在教師中心的被動式學習中，學生不能獲得學習的興趣，教師也無法收獲教學的樂趣，更無從談起長期保持。為了能夠激發(fā)學生學習的內生動力，引導學生長期保持學習動力而達到預期的學習目標，下文將以最優(yōu)控制課程為例基于成果導向教育理念探討教材建設問題。

圖2 基于動力心理學“驅力–機制”模型的改進范式

2.1 最優(yōu)控制課程建設思路

教材建設與課程建設是學生培養(yǎng)的不同方面，二者相輔相成，割裂地談論教材建設或課程建設難以真正達成創(chuàng)新性人才培養(yǎng)的目標。為此，本文在深入討論教材建設之前，首先簡介學生情況和課程建設思路，這也是教材建設的重要基礎。作者講授的最優(yōu)控制課程為研究生學位核心課——控制類專業(yè)學生必修課，同時可供其他工科研究生、已取得保研資格本科生選修，近幾年平均選修人數(shù)50～70 人，選課學生分布涵蓋了自動化學院、機電學院、機械與車輛學院、宇航學院、信息與電子學院、生命學院等主要工科院系。這些研究生來自于全國多所不同的大學，一部分學生本科期間學習過自動控制原理、現(xiàn)代控制理論等相關課程，也有少一半同學沒有相關基礎，直接學習變分法及其約束極值問題時存在一定難度。此外，之前課堂講授變分法等核心內容時連續(xù)系統(tǒng)后介紹離散系統(tǒng)情況，學生的學習效果不佳，難以有效銜接遞進至連續(xù)系統(tǒng)極大值原理。由于最優(yōu)控制課程涉及多個新概念和新理論，數(shù)學公式較多，課堂之外僅依靠教材自學時依然有很大挑戰(zhàn)。

為逐一解決上述問題，作者講授最優(yōu)控制課程擬通過“三步走”完成第一階段建設工作，包括：（1）基于多年授課積累出版配套教材，利于學生課堂外自學；（2）借助樂學平臺開展SPOC（small private online course）課程建設，打破教師課堂教學的時間與空間限制；（3）基于學堂在線平臺開展線上課程建設，以此為基礎建設混合式課程。第二階段則是基于形成性評價（formative evaluation）更新教材并改進課堂教學，不斷提升學生的學習效果。在北京理工大學重點教改項目和線上共享課程建設項目支持下，最優(yōu)控制課程目前已完成第一階段前兩步，正在準備學堂在線的錄制資源和相關材料，其中教材建設是課程建設的第一步，也是本文探討的重點。

2.2 OBE 教材主要特色

面向我國新工科建設和未來領軍人才培養(yǎng)的教材建設是育人之基，要深入解讀育人目標和學科發(fā)展需求，充分挖掘教學內容和學科特色，不斷探討課程知識內在邏輯及其背后蘊含的美妙思想，以此積累出高水平的教材?；诔晒麑虻腛BE 理念在近幾年的教學改革中不斷發(fā)展，但在教材建設中還鮮有討論，本文便是對此問題的一個初步探討。OBE 教學理念首先要明確“學習目標”，針對目標開展逆向教學設計來形成學習內容建設方案；之后再正向實施教學活動，通過合理的教學評價評估學習目標完成情況；針對學習目標完成偏差和評價數(shù)據提出持續(xù)改進方案，開啟下一輪循環(huán)。

圖3 為基于OBE 理念開展教材建設（或課程建設）的設計過程，其中學習成果需求是“培養(yǎng)復合型創(chuàng)新人才”。限于作者水平，目前將學習需求對應的學習成果目標分類為“知識、能力和素質”3 個方面，知識的積累可以促進能力和素質提高，而能力和素質的提高能夠幫助學習者更高效地獲取成長所需的知識，3 個方面相互聯(lián)系又相互促進。這3 方面的下位概念細分為6 個獨立部分，例如知識方面希望學習者能夠掌握“基礎理論”與“核心概念”；這些被認為是獲得“創(chuàng)新能力”和“應用能力”的關鍵基礎。在學習者掌握專業(yè)知識與創(chuàng)新應用能力的同時，潛移默化地培養(yǎng)學生的團隊協(xié)作精神和家國情懷，以此達成期望的培養(yǎng)目標。至此，圍繞這6 個部分便可以構建出教材的框架結構、內容編排及撰寫方式。以創(chuàng)新能力培養(yǎng)部分為例，新教材以研究探索的視角展開學習內容，以演繹分析的方式從問題出發(fā)直至得出關鍵結論或定理，讓學生在參閱教材時能夠“身臨其境”地體會知識創(chuàng)新的過程，激發(fā)學生科研的興趣和動力。下面對各部分的思考與實踐做進一步的介紹。

圖3 基于OBE 理念構建的教材關鍵架構

（1）結構設計與內容編排

新教材定位是工科類本科生和研究生通用教材，適用于自動化/非自動化專業(yè)學生或相關技術人員學習參考。為實現(xiàn)這一目標，教材第2 章從學生熟悉的函數(shù)極值入手，介紹了極值基本概念、變分法相關的數(shù)學基礎知識、以及約束極值問題求解中的Lagrange 乘子法，方便學生從已有知識向新知識的學習遷移與遞進。從內容完整性考慮，教材第3 章至第5 章以連續(xù)系統(tǒng)（主要是動力學系統(tǒng)）為研究對象，次第展開變分法、極小值原理（亦稱極大值原理）和動態(tài)規(guī)劃的基本理論，內容逐章遞進。第6 章面向離散系統(tǒng)進一步對比分析3 類基本方法異同，并探究最優(yōu)控制在線性二次型問題中的廣泛應用。最后以一個深空探測軌跡優(yōu)化的前沿實例，闡明最優(yōu)控制理論及其應用蓬勃發(fā)展的現(xiàn)狀，讓讀者切實感受到最優(yōu)控制理論的優(yōu)美及其實踐應用的強大生命力。教材總體內容安排上注重問題的提出與研究方法的遞進（圖4），遵循“提出問題—探究方法—形成理論—推動應用”的探究式撰寫風格，有利于培養(yǎng)學生探究式思維習慣，為未來創(chuàng)新性研究奠定基礎。

圖4 最優(yōu)控制教材主要內容及章節(jié)安排[4]

（2）教材思政與歷史文化

教育工作的出發(fā)點是育人，落腳點則是培養(yǎng)面向未來的復合型人才。這些人才在具備寬廣扎實的基礎理論知識和創(chuàng)新應用能力的同時，還需要有勇于承擔國家社會發(fā)展責任的家國情懷以及團隊協(xié)作等綜合素質。上述服務國家社會的責任心和綜合素質的培養(yǎng)以往主要集中在思政課程，而隨著課程改革的推進和專業(yè)課中思政素材的挖掘，課程思政逐漸成為人才培養(yǎng)中達成育人目標的重要方式。作為課程建設的重要載體，新教材主要挖掘思政元素，將學科發(fā)展史、重要貢獻華人科學家，以及相關中華歷史文化等巧妙融入教材，形成教材思政，在學科知識的學習中潛移默化實現(xiàn)家國情懷的培養(yǎng)。例如，在分析Goddard燃料最優(yōu)火箭爬升問題時，以圖文并茂的方式介紹了錢學森先生完整解決這一問題的重大貢獻，這是中國學者在該領域150 多年發(fā)展中的重要貢獻，為未來中國學者在該領域的發(fā)展注入了強大的動力。在談及伯努利兄弟打賭求解最速降線問題引發(fā)變分法起源時，橫向介紹同一時代的中國清朝康熙時代的發(fā)展情況，對比呈現(xiàn)出當時中國自然科學發(fā)展落后的面貌，激發(fā)學生的愛國強國熱情。我國趙鑫珊有言：歷史是一面鏡子，它照亮現(xiàn)實，也照亮未來。將中國歷史發(fā)展與學科背景文化融入教材思政，有意培養(yǎng)學生長遠發(fā)展的眼光和堅持奮斗的毅力，由此超越與身邊人橫向比較的階段，跨入與以往時代大師縱向比較新階段，真正發(fā)展成為引領時代發(fā)展的人才。

（3）前沿實例與英文關鍵詞

最優(yōu)控制的發(fā)展本就源于實際問題，極小值原理等現(xiàn)代控制方法更是直接服務于任務實踐，為此該課程容易開展應用實例分析，便于學生了解理論與工程實際的聯(lián)系。為了突出最優(yōu)控制理論目前仍是控制學科的重要發(fā)展方向，且在多個領域具有重要應用，教材中除給出傳統(tǒng)Bang-Bang 控制和線性二次型問題的實例外，以單獨一節(jié)詳細討論了當前深空探測軌跡優(yōu)化這一國際前沿熱點難題。國際空間軌道設計大賽①國際空間軌道設計大賽（The Global Trajectory Optimisation Competition，縮寫為GTOC）是由歐洲航天局（ESA）于2005 年發(fā)起的一項國際性賽事，旨在促進深空探測科學與技術發(fā)展，探索新型軌道設計理念與方法，是世界航天領域的高水平、專業(yè)性競賽，號稱航天界的“奧林匹克”。號稱航天界“奧林匹克”，旨在探索新型軌道設計理論與方法，國內清華大學航天動力學與控制實驗室自2005 年首屆參賽至第11 屆奪得冠軍，很重要的一點便是創(chuàng)新性地應用了極小值原理。教材中將軌跡優(yōu)化典型問題整理于最后一節(jié)，便于讀者了解理論發(fā)展的前沿和最新應用。

為了適應當前國際化交流研究新形勢，教材中關鍵詞均給出了對應英文表達。一是目前學生英文水平均較好，二是研究生期間都會閱讀和發(fā)表英文論文等。授課和指導研究生的過程中，發(fā)現(xiàn)學生完全理解和掌握中文概念和方法后，在研讀英文論文時無法與既有中文框架下的知識快速有效地建立聯(lián)系。教材中通過給出關鍵概念和關鍵方法的英文對照表達、引用英文原始文獻以及推薦英文參考書目等，促進學生科研工作，著力培養(yǎng)學生國際化的視野和思維表達習慣。

2.3 持續(xù)改進的思考

紙質教材是課程學習的主要參考資料之一，能夠系統(tǒng)清晰地展現(xiàn)課程內容，不過也存在攜帶不便和無法隨時隨地查閱的問題。為能夠解決學生隨時隨地參閱學習的需求，該教材下一步規(guī)劃建設成為立體式教材，通過建設課程網站，提供視頻資料、案例分析、自測試題及探究性問題等多方面學習資料，推進最優(yōu)控制教材與課程一體化建設。最優(yōu)控制課程獲2022—2024 年度北京理工大學精品網絡共享課立項支持，目前正在準備視頻錄制資料，近期將進行視頻資源錄制及電子版材料制作。除上述立體式教材建設外，紙質教材使用3～5 年后會結合學生意見等更新改進，刪減陳舊冗余內容，增加理論和應用最新進展等，持續(xù)改進優(yōu)化教材建設，為學生提供高質量的學習參考資料。

3 結束語

本文以北京理工大學《最優(yōu)控制》教材建設和課程建設為例，闡述了基于OBE 理念的教材建設情況。文中詳細論述了OBE 教材建設的設計過程，圍繞課程改革重點介紹了OBE 教材的特色，主要包括整體框架結構設計與內容編排、教材思政與歷史文化建設、前沿實例與英文關鍵詞融合等幾個方面。目前最優(yōu)控制課程已獲北京理工大學精品網絡共享課立項支持，隨著線上課程的建設，未來有望建設立體式教材，不斷提高教材質量，以達到培養(yǎng)學生學習興趣與內生動力的目的，為實現(xiàn)復合型創(chuàng)新人才的培養(yǎng)目標提供優(yōu)質資源。