孟子皓 * 丁 超 * 任毅如 * 米 棟 錢正明 張立章

*(湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，長沙 410082)

?(中國航發(fā)湖南動(dòng)力機(jī)械研究所，湖南株洲 412002)

渦輪盤作為航空發(fā)動(dòng)機(jī)的核心部件之一，長期在高溫高壓的惡劣條件下運(yùn)轉(zhuǎn)，還需要承受高轉(zhuǎn)速產(chǎn)生的離心載荷，其結(jié)構(gòu)和性能對(duì)于航空發(fā)動(dòng)機(jī)的可靠性和性能有決定性影響，對(duì)渦輪盤進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化和輕量化設(shè)計(jì)能有效地提高航空發(fā)動(dòng)機(jī)的推質(zhì)比和燃油效率。

拓?fù)鋬?yōu)化是在給定負(fù)載、約束和性能指標(biāo)的條件下，在設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)尋找材料最優(yōu)分布的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，被廣泛應(yīng)用于航空航天等領(lǐng)域[1-3]。Xie等[4]首次提出的漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法（evolutionary structural optimization，ESO 方法），已廣泛運(yùn)用于各個(gè)工程領(lǐng)域中[5-7]。Querin 等[8]基于ESO 算法，提出了雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化策略（bidirectional evolutionary structural optimization， BESO），這種改進(jìn)的算法解決了ESO 算法中被刪除的單元無法恢復(fù)的缺陷，實(shí)現(xiàn)了優(yōu)化過程中對(duì)設(shè)計(jì)域內(nèi)低效單元的刪減的同時(shí)又增加了高效單元。在此基礎(chǔ)上，為了解決結(jié)構(gòu)慣性載荷作用下結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問題，Yang 等[9]利用BESO 算法研究了重力載荷作用下平面矩形板的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化，并得到了“拱橋”結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果。為了提高結(jié)果的收斂效率， Huang 等[10]在BESO 算法的基礎(chǔ)上，引入材料屬性有理近似模型(rational approximation of material properties，RAMP)，解決了結(jié)構(gòu)自重載荷作用下結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問題。

國內(nèi)外對(duì)渦輪盤的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行了一定的研究，Bhavikatti 等[11]基于旋轉(zhuǎn)圓盤的研究，使用五次多項(xiàng)式定義了圓盤橫截面的形狀，并通過有限元方法對(duì)圓盤進(jìn)行了應(yīng)力分析，采用非線性規(guī)劃的方法，即改進(jìn)的順序線性規(guī)劃移動(dòng)劃分優(yōu)化技術(shù)，研究了圓盤的形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)。Rindi 等[12]提出了使用水平集方法（level set method，LSM）來解決由于引入偽材料密度而引起的問題，并將其優(yōu)化方法應(yīng)用到渦輪盤構(gòu)件。Shen 等[13]利用ESO 方法優(yōu)化結(jié)構(gòu)拓?fù)?，提出了雙輻板渦輪盤形狀，并通過旋轉(zhuǎn)三維光彈性試驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。閆浩等[14]提出了一種載荷敏度抑制算法，解決了設(shè)計(jì)相關(guān)載荷的靈敏度計(jì)算問題和變密度拓?fù)鋬?yōu)化中存在的目標(biāo)函數(shù)非單調(diào)問題，并從優(yōu)化算法的角度揭示了單輻板與雙輻板渦輪盤結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系及演化規(guī)律。

渦輪盤結(jié)構(gòu)的傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法大部分缺乏理論基礎(chǔ)，主要依靠大量的設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)和反復(fù)的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)得到，研發(fā)周期長、成本高。拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)有設(shè)計(jì)變量多樣性、優(yōu)化構(gòu)型可靠性、研制成本低以及設(shè)計(jì)效率高等優(yōu)勢(shì)，引入拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)進(jìn)行渦輪盤結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，可以有效避免傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法的缺陷。國內(nèi)外目前對(duì)渦輪盤拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)研究不充分，相較而言，當(dāng)前針對(duì)渦輪盤的研究所呈現(xiàn)的迭代步數(shù)多，優(yōu)化效率較低，優(yōu)化過程和優(yōu)化結(jié)果無法滿足飛行器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)要求的高速發(fā)展。本文主要圍繞航空發(fā)動(dòng)機(jī)渦輪盤結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，針對(duì)渦輪盤的工作狀態(tài)和受載情況，將 BESO算法應(yīng)用于受離心載荷作用下渦輪盤的結(jié)構(gòu)優(yōu)化，提高了設(shè)計(jì)效率。采用ANSYS 參數(shù)化設(shè)計(jì)語言（ANSYS parametric design language，APDL）進(jìn)行二次開發(fā)，無需在有限元分析軟件和計(jì)算軟件之間反復(fù)輸入和輸出數(shù)據(jù)，在有限元軟件上實(shí)現(xiàn)了渦輪盤的BESO 拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，開發(fā)的拓?fù)鋬?yōu)化APDL 代碼具有拓展到其他大型設(shè)計(jì)相關(guān)載荷的工程問題的前景。

1 BESO 算法

1.1 結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型

以結(jié)構(gòu)應(yīng)變能最小化為優(yōu)化目標(biāo)的BESO 法的優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型可以表達(dá)為

1.2 材料插值方案

常用的材料插補(bǔ)方案有固體各向同性懲罰模型(solid isotropic material with penalization，SIMP)和RAMP模型等，分別如式（2）和式（3）所示。Huang 等[15]將SIMP 模型應(yīng)用于求解離散拓?fù)鋬?yōu)化問題的BESO 方法。后來，有研究者研究了RAMP 模型在求解慣性載荷拓?fù)鋬?yōu)化問題中的應(yīng)用，并說明RAMP 的優(yōu)勢(shì)[16-18]更適用于求解慣性載荷拓?fù)鋬?yōu)化問題。本文采用的是RAMP 模型。

式中，E(xi) 為第i個(gè)單元的楊氏模量，E0為初始設(shè)置的楊氏模量，p和q為懲罰因子。

1.3 靈敏度計(jì)算

當(dāng)載荷為離心載荷、重力載荷等設(shè)計(jì)相關(guān)載荷時(shí)，單元增加或刪除而引起的結(jié)構(gòu)柔順性的變化可以表示為

定義單元靈敏度αi為

式中，ui為單元i的節(jié)點(diǎn)位移矢量，Ki0為初始單元i的剛度矩陣，ω為轉(zhuǎn)速，ri為單元i到旋轉(zhuǎn)軸的距離，vi為單元i的體積，ρ0為單元初始密度，fˉ 為離心載荷的方向矩陣。為了保證結(jié)構(gòu)收斂，應(yīng)該選擇較大的懲罰因子，但如果懲罰因子無限大，當(dāng)x(i)=xmin時(shí)，靈敏度為0，這就等同于“硬殺傷”BESO 方法。

在漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，優(yōu)化結(jié)果往往會(huì)出現(xiàn)類似于圖1(a)所示的棋盤格現(xiàn)象，優(yōu)化結(jié)果圖中孔洞材料單元與實(shí)體材料單元交錯(cuò)分布的“棋盤格現(xiàn)象”。為消除棋盤格現(xiàn)象導(dǎo)致的產(chǎn)品制造困難的缺陷，采用基于獨(dú)立網(wǎng)格濾波技術(shù)的敏度過濾方法[15]對(duì)結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程中單元敏度進(jìn)行過濾處理。計(jì)算原始單元靈敏度αi平均分配得到節(jié)點(diǎn)靈敏度αj；通過比較第i個(gè)單元中心點(diǎn)位置到節(jié)點(diǎn)的距離rij和過濾半徑rmin之間的大小得到加權(quán)函數(shù)ω(rij) 的值。之后將節(jié)點(diǎn)靈敏度αj與權(quán)函數(shù)ω(rij) 代入式（6），得到新的單元敏度值αi′，該過濾技術(shù)會(huì)使得空白單元有機(jī)會(huì)轉(zhuǎn)化為實(shí)體單元。

圖1 基于敏度過濾的棋盤格抑制結(jié)構(gòu)Fig.1 Checkerboard suppression structure based on sensitivity filtering

使用上述敏度過濾方法后優(yōu)化結(jié)果如圖1(b)所示，對(duì)比圖1(a)，該拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)中的棋盤格現(xiàn)象基本已經(jīng)消除。

1.4 離心載荷下算例計(jì)算

算例為如圖2 所示的渦輪盤初始結(jié)構(gòu)模型，其幾何模型的長（L）和寬（H）分別為100 mm和50 mm，厚度為1 mm，彈性模量E=200 GPa，泊松比ν=0.3，密度ρ=7.8 g/cm3。現(xiàn)將懸臂梁整體繞旋轉(zhuǎn)軸Y作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速ω0=1000 rad/s，r0=20 mm。其中黑色部分為非設(shè)計(jì)優(yōu)化區(qū)域，目標(biāo)體積分?jǐn)?shù)為40%?，F(xiàn)以結(jié)構(gòu)整體剛度最大為優(yōu)化目標(biāo)，結(jié)構(gòu)的總體積作為體積約束進(jìn)行離心載荷作用下的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。

圖2 渦輪盤初始結(jié)構(gòu)模型Fig.2 Initial structure model of turbine disk

圖3 給出了拓?fù)浣Y(jié)果的演化圖，通過離心載荷下渦輪盤拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的文獻(xiàn)資料可以看出，渦輪盤拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的演化進(jìn)程是逐步向孔洞狀的雙輻板結(jié)構(gòu)進(jìn)化。經(jīng)過34 次迭代即可獲得收斂結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)總?cè)岫认陆担瑵M足總體剛度提升的優(yōu)化目標(biāo)。

圖3 拓?fù)浣Y(jié)果演化圖Fig.3 Evolution diagram of topological results

文獻(xiàn)結(jié)果如圖4 所示。對(duì)比該算例的結(jié)果，二者結(jié)果相似度較高，說明該算法是可行的，相較而言，該算法僅需34 步迭代即可獲得收斂的優(yōu)化結(jié)果，優(yōu)化效率明顯提高。

圖4 渦輪盤離心載荷下的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果[14]Fig.4 Topology optimization results of turbine disk under centrifugal load[14]

2 渦輪盤拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 渦輪盤幾何模型和有限元模型的構(gòu)建

某型發(fā)動(dòng)機(jī)渦輪盤的3D 幾何模型如圖5 所示，若直接進(jìn)行網(wǎng)格劃分會(huì)出現(xiàn)網(wǎng)格質(zhì)量差的問題，從而影響計(jì)算效率和求解精度?，F(xiàn)對(duì)渦輪盤幾何模型進(jìn)行簡化：（1）除去非設(shè)計(jì)優(yōu)化域的葉片結(jié)構(gòu)，在渦輪盤邊緣施加等效節(jié)點(diǎn)力近似替代葉片對(duì)渦輪盤的作用，假設(shè)葉片載荷均勻分布于渦輪盤外緣表面[19]，可通過式（8）進(jìn)行計(jì)算；（2）渦輪盤為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱結(jié)構(gòu)，故選取截面進(jìn)行優(yōu)化可以提升優(yōu)化效率。簡化渦輪盤模型用APDL創(chuàng)建如圖5 所示。

圖5 簡化的渦輪盤Fig.5 Simplified turbine disk

式中，σrb為均勻分布于渦輪盤外緣表面的葉片載荷，F(xiàn)為葉片和榫頭凸塊自身的離心載荷，該載荷為固定載荷，在拓?fù)溥^程中保持不變，R為榫槽底半徑，H為渦輪盤輪緣的軸向?qū)挾取?/p>

選取簡化后渦輪盤的截面進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)區(qū)域的劃分如圖6 所示，其中黑色部分為非設(shè)計(jì)區(qū)域，網(wǎng)格單元類型選用平面4 節(jié)點(diǎn)的PLANE42 的單元，按照平面結(jié)構(gòu)四邊形網(wǎng)格自動(dòng)劃分。

圖6 優(yōu)化設(shè)計(jì)區(qū)域的劃分Fig.6 Division of optimal design domain

僅考慮盤身和葉片的離心載荷，對(duì)渦輪盤的內(nèi)徑接觸面施加固定約束，對(duì)整體結(jié)構(gòu)施加繞X軸的轉(zhuǎn)速ω0。該模型在簡化過程中刪除了葉片結(jié)構(gòu)，通過計(jì)算得到葉片的離心力以等效節(jié)點(diǎn)載荷的形式作用在輪盤外徑上，如圖7 所示。

圖7 渦輪盤的離心載荷、葉片等效載荷和邊界約束條件Fig.7 Centrifugal load, blade equivalent load and boundary constraint condition of turbine disk

2.2 渦輪盤在離心載荷下的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果分析

在完成優(yōu)化前處理操作步驟后，接下來針對(duì)優(yōu)化主循環(huán)的迭代結(jié)果進(jìn)行分析，如圖8 所示。迭代過程如圖9 所示。

圖8 渦輪盤在離心載荷下拓?fù)鋬?yōu)化的演化結(jié)果Fig.8 Evolution results of topology optimization of turbine disk under centrifugal load

圖9 拓?fù)浣Y(jié)果演化圖Fig.9 Evolution diagram of topological results

通過優(yōu)化結(jié)果的應(yīng)力分布圖和應(yīng)變能分布圖可以看出，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)內(nèi)部單元von Mises 應(yīng)力和應(yīng)變能分布更均勻，結(jié)構(gòu)總?cè)岫葴p小，剛度有所提高。其次，通過對(duì)比優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)最大應(yīng)力值與最大單元應(yīng)變能云圖可以發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化后的渦輪盤結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)變能密度較優(yōu)化前要低48%，且應(yīng)變能分布更均勻。最大von Mises 等效應(yīng)力比優(yōu)化前降低了25%。最后，從優(yōu)化目標(biāo)來看，渦輪盤結(jié)構(gòu)在減重26%的條件下，結(jié)構(gòu)總應(yīng)變能降低了48%，滿足提高結(jié)構(gòu)整體剛度的目的。

3 結(jié)論

通過ANSYS APDL 有限元軟件建立了離心載荷下BESO 拓?fù)鋬?yōu)化算法模型，對(duì)渦輪盤進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，得到以下結(jié)論。使用BESO 算法對(duì)設(shè)計(jì)相關(guān)載荷的優(yōu)化問題求解，優(yōu)化過程中迭代步數(shù)較少，同時(shí)避免了在計(jì)算軟件和有限元軟件之間切換，提升了拓?fù)鋬?yōu)化效率。將渦輪盤模型進(jìn)行簡化，避免了因葉片結(jié)構(gòu)復(fù)雜導(dǎo)致參數(shù)化建模困難和效率低下的問題，提升了優(yōu)化設(shè)計(jì)效率，同時(shí)通過施加葉片等效載荷的方法，考慮葉片在離心載荷下對(duì)渦輪盤的影響。在相同的外載荷條件下，優(yōu)化后的渦輪盤比傳統(tǒng)渦輪盤的質(zhì)量降低了26%，最大von Mises 等效應(yīng)力比優(yōu)化前降低了25%，總應(yīng)變能降低了48%，滿足提高結(jié)構(gòu)整體剛度的目的，滿足了某型號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)的輕量化設(shè)計(jì)對(duì)渦輪盤的要求。進(jìn)一步驗(yàn)證了雙輻板渦輪盤更適合于高推質(zhì)比的發(fā)動(dòng)機(jī)。