鐘曉翠 張昆

摘? ? ? 要

數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)課程改革的重點內(nèi)容，而問題情境是數(shù)學(xué)建模內(nèi)容的主要載體。以人教A版、滬教版高中教科書為研究對象，從“內(nèi)容分布”“類型及數(shù)量”“真實性水平”“表征特征”“建模層次”5個維度比較兩版教科書數(shù)學(xué)建模問題情境，研究發(fā)現(xiàn)如下幾項特點：兩版教科書中數(shù)學(xué)建模問題情境的內(nèi)容分布相對集中；各類問題情境下多少不等，較少滲透“數(shù)學(xué)文化情境”；滬教版注重真實性水平中的“純現(xiàn)實情境”，而人教版更關(guān)注“真實情境”；表征特征相對突出“復(fù)合型表征”，對“綜合型表征”運用極少；人教A版重視“理解模型”，滬教版則更關(guān)注“建構(gòu)模型”。據(jù)此得出數(shù)學(xué)建模問題情境在教科書編寫與教師教學(xué)方面的四點建議。

關(guān) 鍵 詞

高中數(shù)學(xué)教科書；數(shù)學(xué)建模；問題情境

引用格式

鐘曉翠，張昆.高中數(shù)學(xué)教科書建模情境分析[J].教學(xué)與管理，2024（06）：78-81.

一、研究背景

數(shù)學(xué)建模是將數(shù)學(xué)知識運用于其他研究領(lǐng)域的基本手段，不僅成為信息時代專業(yè)人才的必備技能，更成為數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域不可或缺的教學(xué)內(nèi)容[1]。數(shù)學(xué)建模問題情境則是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的主要載體，它們從各個維度刻畫著數(shù)學(xué)建模的全貌，并蘊含著豐富的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[2]。近年來，隨著數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)概念的提出，設(shè)置合適的數(shù)學(xué)問題情境是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、綜合運用知識、數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維等能力的優(yōu)質(zhì)教學(xué)資源，啟發(fā)學(xué)生處理情境任務(wù)獲得處理活動的經(jīng)驗，已成為數(shù)學(xué)教學(xué)改革的重要議題[3]。因此，針對問題情境的整體特性進行深層次刻畫的研究受到數(shù)學(xué)教育界廣泛關(guān)注。陳志輝在Yeping Li等研究基礎(chǔ)之上，將數(shù)學(xué)情境劃分為6種類型，并將每類數(shù)學(xué)情境的分析因素確定為數(shù)學(xué)特征、表征特征和任務(wù)特征3個維度，提出了描述數(shù)學(xué)問題情境水平的六情境三維特征分析模型[4]。陳敏等關(guān)注學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時，情境的構(gòu)成對于認(rèn)知所產(chǎn)生的正向或負(fù)向影響，由此提出了背景素材特征、語境呈現(xiàn)方式、語境干擾程度、任務(wù)挑戰(zhàn)水平4個維度的數(shù)學(xué)問題情境分析框架[5]。李保臻等通過對數(shù)學(xué)建模問題情境的內(nèi)涵分析，從內(nèi)容分布及編排、類型及數(shù)量、真實性水平、表征特征4個維度建立高

中教科書中數(shù)學(xué)建模問題情境比較分析框架[6]。

這些文獻對于本研究的選題、確定研究框架與形成研究過程都具有幫助，但是從數(shù)學(xué)建模的角度深層刻畫數(shù)學(xué)建模問題情境的研究較為少見。因此筆者在李保臻等數(shù)學(xué)建模問題情境分析框架的基礎(chǔ)之上，參考吳凌菲等對建模層次的劃分[7]，重新思考“建模層次”情境分析的必要維度，建立數(shù)學(xué)建模問題情境的五維特征分析框架。

二、研究設(shè)計

1.研究對象

人教A版（2019年）是與最新版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》相配套的教科書，在國內(nèi)具有廣泛的影響力。滬教版（2020年）是基于地方課程標(biāo)準(zhǔn)編寫的教科書，充分體現(xiàn)了“國家標(biāo)準(zhǔn)、上海特色、國際水平”的特點。因此選取了經(jīng)過國家教材委員會審核通過的，分別由人民教育出版社于2019年出版以及上海教育出版社于2020年出版的普通高中數(shù)學(xué)教科書（分別簡稱為人教A版、滬教版）為研究對象。

2.分析框架

為了提高教科書中數(shù)學(xué)建模問題情境分析的可操作性，筆者參考了李保臻等人的數(shù)學(xué)建模問題情境分析框架，以及吳凌菲等人的建模層次劃分標(biāo)準(zhǔn)。在此基礎(chǔ)上，從五個主要維度展開分析：一是問題情境的“內(nèi)容分布”維度，以揭示不同主題或知識點的布局和關(guān)聯(lián)；二是問題的“類型和數(shù)量”維度，以剖析各類題目的占比；三是問題情境的“真實性水平”維度，以評估其與現(xiàn)實生活相關(guān)程度及可信度；四是問題情境的“表征特征”維度，以識別其包含的各種文字、圖像和表格數(shù)據(jù)等表征方式的多元性；五是“建模層次”維度，以理解問題情境中涉及的數(shù)學(xué)模型和建模方法的復(fù)雜性和系統(tǒng)性。這樣的多維度分析能夠更全面、更系統(tǒng)地分析數(shù)學(xué)建模問題情境，同時對每個維度又進行水平劃分，以此建立數(shù)學(xué)建模問題情境的五維特征分析框架（見表1）。

表1? ?數(shù)學(xué)建模問題情境的五維特征分析框架

下面以滬教版“誘人的優(yōu)惠券”的問題情境為例進行分析。

近年來，“雙十一”演變成為一年一度的購物狂歡節(jié)。從2009年開始，“雙十一”購物規(guī)則的復(fù)雜度不斷增大，而面對商家復(fù)雜的優(yōu)惠規(guī)則，消費者都嘗試用足優(yōu)惠。最近，某商家推出三種優(yōu)惠券，分別是滿199元減20元、滿299元減50元、滿499元減110元。這些優(yōu)惠券之間不可疊加使用，但它們可以與滿400元減50元的購物津貼同時使用（如圖1）。此外，這兩類優(yōu)惠券有使用順序，必須先使用商家優(yōu)惠券，再使用購物津貼。

圖1? ?優(yōu)惠券與購物津貼

根據(jù)五維特征分析框架中的各個維度對該案例進行深入剖析。首先，這個案例內(nèi)容分布在滬教版必修第四冊第1部分第2節(jié)數(shù)學(xué)建模案例（二）；其次，它以生活中的一個常見場景“電商平臺使用優(yōu)惠券”為背景，因此可以歸類為“生活情境”；再次，由于案例中使用的商家數(shù)據(jù)沒有明確出處，所以它屬于“準(zhǔn)真實情境”；然后，這個情境的設(shè)計融合了故事情節(jié)和插圖，因此可以確定為“復(fù)合型表征”；最后，該情境需要我們運用所學(xué)的函數(shù)知識來構(gòu)建新的數(shù)學(xué)模型，從而研究并解決問題，因此，我們可以將它歸類為“建構(gòu)模型”的層次。

三、研究分析

基于數(shù)學(xué)建模問題情境的五維特征分析框架，系統(tǒng)解析人教A版和滬教版中數(shù)學(xué)建模問題情境內(nèi)容的設(shè)置特色。

1.內(nèi)容的分布

由表2可知，兩版教科書的數(shù)學(xué)建模問題情境內(nèi)容在必修和選擇性必修中都有所涉及，但它們的分布特點各不相同。人教A版主要集中在“函數(shù)應(yīng)用模型”和“統(tǒng)計模型”這兩個方面，比較注重這兩種模型在實際問題中的應(yīng)用，而滬教版則主要分布在必修第四冊和選擇性必修第三冊的數(shù)學(xué)建模專題冊中，更注重數(shù)學(xué)建模的專題性和系統(tǒng)性。此外，滬教版也在課后閱讀、探索與實踐等欄目中散布了一些數(shù)學(xué)建模的實例，突出了其在實際問題中的應(yīng)用性和實踐性。

表2? ?兩版教科書數(shù)學(xué)建模問題情境的內(nèi)容分布

2.類型及數(shù)量

根據(jù)五維特征分析框架，對兩版教科書中數(shù)學(xué)建模問題情境的類型及數(shù)量進行了統(tǒng)計和分析，以剖析各類題目的占比（見表3）。

表3? ?兩版教科書問題情境類型及數(shù)量統(tǒng)計

由表3可知，人教A版和滬教版在“生活情境”占比上差異顯著，人教A版為24.24%，滬教版高達(dá)42.11%。兩版教科書都注重與日常生活問題相關(guān)的數(shù)學(xué)建模問題情境。在“文化情境”方面，兩版教科書占比均較低，需要適當(dāng)增加數(shù)學(xué)文化、人文藝術(shù)以及中國傳統(tǒng)文化方面的內(nèi)容。在“社會情境”和“科學(xué)情境”方面，人教A版和滬教版的占比均比較接近，表明兩版教科書在設(shè)置與社會、自然科學(xué)相關(guān)的數(shù)學(xué)建模問題情境方面有相似之處。但通過進一步的分析，在“社會情境”中人教A版更關(guān)注模型的應(yīng)用，而滬教版則注重優(yōu)化類問題。

3.真實性水平

根據(jù)五維特征分析框架，從“真實性水平”的4個層次統(tǒng)計兩版教科書中數(shù)學(xué)建模問題情境以評估其與現(xiàn)實生活相關(guān)程度及可信度（見表4）。

表4? ?兩版教科書問題情境真實性水平統(tǒng)計

由表4可知，人教A版和滬教版在數(shù)學(xué)建模問題情境的真實性水平上存在一定差異。在“構(gòu)造式情境”方面，兩版教科書都注重對問題情境進行數(shù)學(xué)化分析和處理以適應(yīng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)的特點，占比分別為30.30%、29.82%。在“準(zhǔn)真實情境”方面，滬教版更注重設(shè)置接近真實情境的問題情境，占比相對較高。在“真實情境”方面，人教A版更注重將現(xiàn)實生活、歷史文化和數(shù)學(xué)緊密聯(lián)系起來，設(shè)置真實的數(shù)學(xué)建模問題情境，占比高達(dá)51.52%。在“純現(xiàn)實情境”方面，滬教版因有獨立的數(shù)學(xué)建模分冊，方便師生參考實踐，故占比較高。

4.表征特征

根據(jù)五維特征分析框架，對兩版教科書中數(shù)學(xué)建模問題情境的“表征特征”進行統(tǒng)計分析，以識別情境中包含的各種文字、圖像和表格數(shù)據(jù)等形式的多元性（見表5）。

表5? ?兩版教科書問題情境表征特征統(tǒng)計

由表5可知，人教A版教科書在“單一型表征”上比例較高，達(dá)到42.42%，較為依賴單一故事情節(jié)呈現(xiàn)內(nèi)容。而滬教版則相對較少使用這種形式，更注重多樣性。兩版教科書都注重“復(fù)合型表征”，將故事情節(jié)與插圖、表格結(jié)合，豐富呈現(xiàn)數(shù)學(xué)建模問題情境。但在“綜合型表征”上，兩版教科書都使用較少，需加強綜合運用多種方式表述問題?？傮w而言，人教A版更注重傳統(tǒng)故事情節(jié)的表述，滬教版則更注重表述的多樣性。兩版教科書在“復(fù)合型表征”方面表現(xiàn)較好，但在“綜合型表征”方面需改進。

5.建模層次

根據(jù)五維特征分析框架，對兩版教科書中數(shù)學(xué)建模問題情境建模層次的3個水平進行統(tǒng)計分析，以理解問題情境中涉及的數(shù)學(xué)模型和建模方法的復(fù)雜性和系統(tǒng)性（見表6）。

表6? ?兩版教科書問題情境建模層次統(tǒng)計

由表6可知，人教A版和滬教版中“理解模型”占建模層次總數(shù)的比例分別為45.45%、31.58%，人教A版中“理解模型”的占比最高，而滬教版相對較少。進一步分析發(fā)現(xiàn)，人教A版“理解模型”最多的原因是其數(shù)學(xué)建模問題情境多呈現(xiàn)在“練習(xí)”和“習(xí)題”欄目中，數(shù)量較多。兩版教科書中“應(yīng)用模型”的占比分別為34.85%、22.81%，“應(yīng)用模型”在各自教科書的建模層次中均處在次要位置，說明兩版教科書在學(xué)生能否篩選出合適的模型解決需要運用多種知識的常規(guī)性問題方面不夠重視。兩版教科書中“建構(gòu)模型”的占比分別為19.70%、45.61%，人教A版中“建構(gòu)模型”占比最少，滬教版中占比最高。說明人教A版提供給學(xué)生進行完整的數(shù)學(xué)建?；顒拥臋C會較少，這不利于從數(shù)學(xué)建模整體角度上培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，而滬教版有專門的數(shù)學(xué)建模專題冊，形成完整的建模知識體系，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的整體培養(yǎng)。

四、結(jié)論與建議

人教A版和滬教版教科書中數(shù)學(xué)建模問題情境內(nèi)容的“內(nèi)容分布”“類型及數(shù)量”“真實性水平”“表征特征”“建模層次”的分析說明了它們在數(shù)學(xué)建模問題情境設(shè)置上的特點。通過對人教A版和滬教版中數(shù)學(xué)建模問題情境類型和情境水平的比較分析，說明它們在建模問題情境設(shè)置上的共性和差異。研究發(fā)現(xiàn)：（1）兩版教科書中數(shù)學(xué)建模問題情境的內(nèi)容分布較為集中，其中人教A版主要涉及“函數(shù)應(yīng)用模型”和“統(tǒng)計模型”兩個方面，滬教版則主要分布在數(shù)學(xué)建模專題冊內(nèi)。（2）在情境類型與數(shù)量方面，各類型問題情境下多少不等，人教A版更側(cè)重“社會情境”，而滬教版則側(cè)重“生活情境”，且兩版教科書對數(shù)學(xué)文化情境滲透較少。（3）在真實性水平方面，人教A版注重“真實情境”水平，對“純現(xiàn)實情境”水平關(guān)注較少，滬教版則關(guān)注較多。（4）在表征特征方面，人教A版與滬教版更突出“復(fù)合型表征”，對“綜合型表征”的應(yīng)用較少。（5）在建模層次方面，滬教版更關(guān)注“建構(gòu)模型”，但人教A版卻反之。

1.教學(xué)建模問題情境應(yīng)貫穿高中數(shù)學(xué)始終

教科書中應(yīng)確保數(shù)學(xué)建模知識覆蓋全面。通過上述對比發(fā)現(xiàn)，人教A版數(shù)學(xué)建模內(nèi)容集中在“函數(shù)應(yīng)用模型”及“統(tǒng)計模型”方面，使其在自始至終且循序漸進的建模問題情境內(nèi)容方面略有不足，而滬教版有專門的建模專題冊，形成完整的建模知識體系，但其建模情境也較為零散，不利于學(xué)生深入透徹地理解數(shù)學(xué)建模。教科書的編寫可通過系列的數(shù)學(xué)建模問題情境，聯(lián)系必修、選擇性必修及選修內(nèi)容，幫助學(xué)生構(gòu)建螺旋上升知識體系。以此促進學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的理解和應(yīng)用，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解決問題的能力。

2.教科書應(yīng)適當(dāng)增加數(shù)學(xué)建模文化情境

教科書在設(shè)置數(shù)學(xué)建模問題情境時，應(yīng)考慮情境類型的平衡。人教A版和滬科版教科書的“文化情境”在情境類型與數(shù)量上的占比都是最小的，這不利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。因此，高中數(shù)學(xué)教科書可以從中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化等方面入手，適當(dāng)增加數(shù)學(xué)建模文化情境的數(shù)量，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。

3.教科書應(yīng)提高數(shù)學(xué)建模問題情境的真實性

人教A版中的“真實情境”數(shù)量較多，表現(xiàn)出對數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活聯(lián)系的重視，但“純現(xiàn)實情境”相對較少，可能導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感到數(shù)學(xué)建模距離自己較為遙遠(yuǎn)。而滬教版的“純現(xiàn)實情境”占比相對較高，學(xué)生可以自主探究以及實踐參與可行的“純現(xiàn)實情境”問題解決過程，以此培養(yǎng)創(chuàng)新意識與科學(xué)精神，并更深刻地感悟數(shù)學(xué)的價值。

4.教師在教學(xué)中應(yīng)幫助學(xué)生提高閱讀質(zhì)量和理解效果

人教A版在單一型表征方面較為突出，但復(fù)合型表征和綜合型表征方面略顯不足；滬教版在復(fù)合型表征方面表現(xiàn)較好，但綜合型表征方面仍有待提高。在編寫教科書時，可考慮使用多種方式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)建模問題情境，提高內(nèi)容的豐富性和多元性，同時教師應(yīng)根據(jù)高中教科書和實際教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生的認(rèn)知水平，靈活運用多種表征方式，提升學(xué)生對數(shù)學(xué)建模問題情境的理解和興趣。

參考文獻

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[作者：鐘曉翠（1991-），女，廣東廣州人，淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，碩士生；張昆（1965-），男，安徽合肥人，淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，中學(xué)高級教師，博士。]

【責(zé)任編輯? ?王澤華】