王緒虎，侯玉君，金序，田雨，王辛杰，李恩玉

(青島理工大學(xué)信息與控制工程學(xué)院，山東青島 266520)

0 引言

波達(dá)方向(Direction of Arrival,DOA)估計(jì)是陣列信號(hào)處理的一個(gè)重要研究方向[1]。由于水聲信道的復(fù)雜性，信號(hào)在實(shí)際環(huán)境傳播中存在多徑傳播和同頻干擾，入射到陣列的信號(hào)多為相干信號(hào)[2]，傳統(tǒng)的DOA 估計(jì)方法性能將會(huì)下降，甚至完全失效[3-4]。因此，相干信號(hào)的方位估計(jì)成為重要的研究方向之一[5]。

解相干方法通常分為兩類(lèi)，一類(lèi)是降維處理[6]，如空間平滑方法，這類(lèi)方法能夠很好地解相干，但是損失了部分陣列的有效孔徑[7]。另一類(lèi)是非降維處理，如最大似然估計(jì)方法[8]，這類(lèi)方法對(duì)相干信號(hào)有效，但通常利用多維搜索進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算量巨大，且求解過(guò)程中存在局部最優(yōu)解的問(wèn)題，實(shí)用性不強(qiáng)。文獻(xiàn)[9]提出了一種基于前向和后向部分托普利茲(Toeplitz)矩陣重構(gòu)的改進(jìn)方位估計(jì)方法，利用樣本協(xié)方差矩陣的半行來(lái)重構(gòu)數(shù)據(jù)矩陣，解決了因入射信號(hào)與角度間存在相位差造成DOA估計(jì)性能降低的問(wèn)題。文獻(xiàn)[10]提出了一種基于多重Toeplitz矩陣集重構(gòu)的相干信號(hào)估計(jì)方法，該方法利用陣元接收數(shù)據(jù)構(gòu)造托Toeplitz矩陣，通過(guò)厄爾米特(Hermitian)轉(zhuǎn)置矩陣修正和正反向平滑運(yùn)算得到滿秩矩陣實(shí)現(xiàn)解相干，具有較好的估計(jì)精度和成功分辨率。文獻(xiàn)[11]提出了一種雙目標(biāo)相干源窄帶信號(hào)波達(dá)方向估計(jì)方法，該方法不受信號(hào)相關(guān)性的影響，所需數(shù)據(jù)量少，提高估計(jì)精度的同時(shí)降低了計(jì)算量。文獻(xiàn)[12]針對(duì)基于子空間方法不能解決信號(hào)數(shù)量大于傳感器數(shù)量及基于稀疏性方法總是受到基失配影響的問(wèn)題，提出了一種協(xié)方差矩陣重構(gòu)方法，提高了DOA估計(jì)的速度和精度。文獻(xiàn)[13]提出了一種基于均勻線陣改進(jìn)的多重信號(hào)分類(lèi)(Modify Multiple Signal Classification,MMUSIC)算法，在不增加計(jì)算量的前提下有效降低了信號(hào)間的相干系數(shù)，提升了MUSIC 算法的估計(jì)性能，但是該方法僅適用于線列陣。文獻(xiàn)[14]提出了一種基于重構(gòu)噪聲子空間(Reconstructed Noise Subspace,RNS)的相干信號(hào)估計(jì)方法，并且在低信噪比、少快拍下估計(jì)精度優(yōu)于MMUSIC 方法，但是當(dāng)信號(hào)入射間隔較小或者存在多個(gè)相干信源時(shí)，DOA 估計(jì)性能會(huì)嚴(yán)重降低。

因此，本文首先根據(jù)樣本協(xié)方差矩陣及其翻轉(zhuǎn)矩陣構(gòu)造新協(xié)方差矩陣，并利用新協(xié)方差矩陣構(gòu)造Toeplitz 矩陣，然后利用MUSIC 算法進(jìn)行方位估計(jì)。仿真實(shí)驗(yàn)和湖上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理結(jié)果表明，與MMUSIC 方法和基于RNS 的估計(jì)方法相比，本文所提方法提高了DOA估計(jì)精度和方位分辨能力。

1 信號(hào)模型

假設(shè)有K個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)入射到由M個(gè)陣元構(gòu)成的均勻線列陣上(K

圖1 均勻線陣模型Fig.1 Uniform linear array model

以左側(cè)第一個(gè)陣元為參考，則此時(shí)的陣列導(dǎo)向矢量為

第m個(gè)陣元接收到的信號(hào)可以表示為

其中：m=1,2,…,M，sk(t)(k=1,2,…,K)是第k個(gè)入射到均勻線列陣上的信源；λ是信號(hào)波長(zhǎng)，nm(t)是高斯白噪聲，θk是第k個(gè)信源的入射角度，[ ?]T表示矩陣的轉(zhuǎn)置。

此時(shí)的陣列數(shù)據(jù)接收矩陣形式可以表示為

其中：

由式(3)中的X(t)，可得陣列輸出信號(hào)的協(xié)方差矩陣為

其中：RS=E[S(t)SH(t)]表示信號(hào)的協(xié)方差矩陣，σ2表示噪聲方差，IM表示M階單位矩陣，[ ?]H表示矩陣的共軛轉(zhuǎn)置。

2 算法原理

2.1 MUSIC算法

對(duì)式(8)中的協(xié)方差矩陣RX進(jìn)行特征值分解可得：

其中：US表示由K個(gè)大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量組成的信號(hào)子空間，ΣS表示大特征值對(duì)應(yīng)的對(duì)角矩陣，UN表示由M-K個(gè)小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量組成的噪聲子空間，ΣN表示小特征值對(duì)應(yīng)的對(duì)角矩陣。因?yàn)殛嚵辛餍途仃嘇(θ)中的每一個(gè)列向量都與噪聲子空間正交，所以理想狀態(tài)下有：

對(duì)式(11)的空間譜進(jìn)行譜峰搜索得到DOA的估計(jì)值。當(dāng)入射信號(hào)不相干時(shí)，該方法具有較好的方位估計(jì)性能，當(dāng)入射信號(hào)相干時(shí)，該方法性能?chē)?yán)重降低，不能正確地估計(jì)出入射信號(hào)的方位。

2.2 MMUSIC算法

由于MUSIC 算法無(wú)法對(duì)相干信號(hào)進(jìn)行方位估計(jì)，研究者在該方法基礎(chǔ)上提出了一種能夠估計(jì)相干信號(hào)的改進(jìn)MUSIC 算法[13]。改進(jìn)算法對(duì)陣列數(shù)據(jù)接收矩陣X(t)預(yù)處理，得到一個(gè)新的數(shù)據(jù)接收矩陣Y(t)，表達(dá)式為

其中：J是M×M階副對(duì)角線元素為1、其余元素均為0的反對(duì)角矩陣；X*(t)為陣列接收數(shù)據(jù)矩陣X(t)共軛矩陣；[ ?]*表示矩陣的共軛。

此時(shí)，信號(hào)的協(xié)方差矩陣可表示為

對(duì)協(xié)方差矩陣RX、RY取平均得到新的協(xié)方差矩陣：

然后對(duì)新協(xié)方差矩陣R進(jìn)行特征分解，得到新信號(hào)子空間和新噪聲子空間，將新噪聲子空間代入式(11)計(jì)算空間譜，然后對(duì)空間譜進(jìn)行譜峰搜索，譜峰對(duì)應(yīng)的角度即為入射信號(hào)方位的估計(jì)值。該方法可以有效地估計(jì)出兩個(gè)相干信號(hào)的入射方位。

2.3 RNSMUSIC算法

MMUSIC算法只利用了X(t)和Y(t)的自協(xié)方差信息，重構(gòu)噪聲子空間MUSIC(Reconstructed Noise Subspace Multiple Signal Classification,RNSMUSIC)算法[14]不僅利用了X(t)和Y(t)自相關(guān)信息，還利用了兩者之間的互協(xié)方差信息。

利用X(t)和Y(t)的自協(xié)方差矩陣、互協(xié)方差矩陣構(gòu)造增廣矩陣RA，計(jì)算方法為

其中：RXY=E[X(t)YH(t)]是X(t)和Y(t)的互協(xié)方差矩陣，RYX=E[Y(t)XH(t)]是Y(t)和X(t)的互協(xié)方差矩陣。

對(duì)RA做奇異值分解，得到特征值矩陣Z和特征向量矩陣U：

對(duì)式(14)中的新協(xié)方差矩陣R做奇異值分解，得到特征值矩陣Z1和特征向量矩陣U1：

將特征值矩陣Z和Z1的對(duì)角線元素按順序比較，選取較大值構(gòu)成新的特征值矩陣Z0：

其中：λ1≥λ2≥…≥λM。

根據(jù)特征值矩陣Z0重構(gòu)新的特征向量矩陣U0：

從矩陣U0中選擇第個(gè)K+1列到第M列構(gòu)成新的噪聲子空間Un：

然后根據(jù)Un構(gòu)造空間譜函數(shù)：

最后，通過(guò)譜峰搜索確定DOA的估計(jì)值。

雖然MMUSIC 算法和RNSMUSIC 算法都能夠準(zhǔn)確地估計(jì)兩個(gè)相干信號(hào)的波達(dá)方向，但是相干信號(hào)的個(gè)數(shù)超過(guò)兩個(gè)時(shí)，這兩種方法的方位估計(jì)性能下降。

2.4 本文方法

由于噪聲的影響，破壞了協(xié)方差矩陣的Hermi‐tian 特性，導(dǎo)致方位估計(jì)性能下降，針對(duì)該問(wèn)題，本文通過(guò)對(duì)接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣進(jìn)行Toeplitz重構(gòu)來(lái)改善方位估計(jì)性能。本文方法選取接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的第一行和第一列，構(gòu)造具有Hermitian 特性的新協(xié)方差矩陣，然后利用MUSIC 方法估計(jì)目標(biāo)方位。該方法可以估計(jì)出相干信號(hào)，并且不降低空間分辨力[15]。

協(xié)方差矩陣R中的第m行、n列的元素可以表示為

分別取R中的第1 列和第1 行為參考元素，記為e1，e2：

對(duì)式(25)中的空間譜函數(shù)進(jìn)行譜峰搜索，得到DOA估計(jì)值。

綜上所述，本文方法的具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下：

(1)根據(jù)式(3)構(gòu)造信號(hào)協(xié)方差矩陣RX。

(2)設(shè)置交換矩陣J，根據(jù)式(12)構(gòu)造新的數(shù)據(jù)接收矩陣Y(t)和協(xié)方差矩陣RY。

(3)根據(jù)式(14)得到新的協(xié)方差矩陣R。

(4)對(duì)R進(jìn)行Toeplitz重構(gòu)得到。

(6)對(duì)式(25)中的空間譜函數(shù)進(jìn)行譜峰搜索得到DOA的估計(jì)值。

3 仿真分析

仿真實(shí)驗(yàn)中采用陣元數(shù)為8的均勻線陣，陣元間距為0.5 m，兩個(gè)中心頻率為1.5 kHz的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)分別從0°和15°的方向入射到陣列。本文分別采用MMUSIC算法、RNSMUSIC算法、MUSIC算法以及本文方法進(jìn)行DOA 估計(jì)。為了驗(yàn)證本文方法具有較高的分辨能力，將信噪比固定為0 dB，采樣快拍數(shù)分別設(shè)置為200和50，圖2、3給出了兩個(gè)不同快拍數(shù)時(shí)的空間譜圖。

由圖2和圖3可以看出，在信噪比為0 dB、快拍數(shù)為200時(shí)，MUSIC方法無(wú)法解相干，不能估計(jì)出兩個(gè)相干信號(hào)，MMUSIC 方法、RNSMUSIC 方法和本文方法都可以成功分辨兩個(gè)相干信號(hào)，但是本文方法的譜峰更加尖銳，旁瓣更低。在信噪比為0 dB，快拍數(shù)為50 時(shí)，MMUSIC 方法產(chǎn)生偽峰干擾，估計(jì)性能?chē)?yán)重下降，RNSMUSIC 方法和本文方法可以成功分辨兩個(gè)相干信號(hào)，并且本文方法估計(jì)性能更好。

圖3 快拍數(shù)為50的DOA估計(jì)空間譜圖Fig.3 Spatial spectrum of DOA estimation with 50 snapshots

將兩個(gè)信號(hào)的入射角度分別設(shè)置為0°和7°，采樣快拍數(shù)為200，其他仿真條件不變。圖4 給出了四種方法的空間譜圖。從圖4可以看出，本文方法方位分辨力最好，方位估計(jì)精度最高。

圖4 入射信號(hào)間隔較小時(shí)的DOA估計(jì)空間譜圖Fig.4 Spatial spectrum of DOA estimation when the signal interval is small

將信號(hào)的入射角度分別設(shè)為0°、15°、25°，采樣快拍數(shù)為200，其他條件不變，得到圖5所示的空間譜圖。從圖5中可以看出，本文方法可以估計(jì)更多數(shù)目的相干源。

圖5 信源個(gè)數(shù)為3時(shí)的DOA估計(jì)空間譜圖Fig.5 Spatial spectrum of DOA estimation when the number of sources is 3

圖6 三種方法分辨成功概率隨信噪比的變化Fig.6 Variation curves of the success probabilities of three methods with signal to noise ratio

圖7 三種方法分辨成功概率隨快拍數(shù)的變化Fig.7 Variation curves of the success probabilities of three methods with the number of snapshots

圖8 三種方法分辨成功概率隨角度間隔的變化Fig.8 Variation curves of the success probabilities of three methods with the angle interval

從圖6可以看出，隨著信噪比的增加，信號(hào)的分辨成功概率也增加。在信噪比為3 dB 時(shí)，本文方法的分辨成功概率達(dá)到100%，與MMUSIC方法和RNSMUSIC 方法相比，可分辨信噪比分別降低了6 dB和8 dB，提高了空間方位分辨能力。

從圖7可以看出，本文方法優(yōu)于其他方法，在快拍數(shù)為50 時(shí)，本文方法的分辨成功概率能夠達(dá)到86.5%，MMUSIC 方法和RNSMUSIC 方法的分辨成功概率分別為18.5%和40.5%。本文方法在快拍數(shù)為300 時(shí)，成功概率達(dá)到了100%，而MMUSIC 方法和RNSMUSIC 方法，在快拍數(shù)達(dá)到400時(shí)，成功概率依然在90%以下。因此，本文方法具有更高的穩(wěn)定性，在快拍數(shù)較少時(shí)依然具有較好的方位估計(jì)性能。

從圖8 可以看出，隨著角度間隔的不斷增大，三種方法的分辨成功概率也在不斷增加。在入射角度間隔為8°時(shí)，本文方法的分辨成功概率能夠達(dá)到100%，MMUSIC方法和RNSMUSIC方法的分辨成功概率分別為95%和97%，在角度間隔為12°時(shí)，這兩種方法的分辨概率仍然低于100%。因此，本文方法在角度間隔較小時(shí)具有更好的分辨能力。

4 實(shí)驗(yàn)分析

本節(jié)對(duì)湖上實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，驗(yàn)證本文方法在實(shí)際應(yīng)用環(huán)境中的有效性。實(shí)驗(yàn)時(shí)，湖面布放兩只實(shí)驗(yàn)船，發(fā)射船的頭部和尾部分別懸掛兩個(gè)發(fā)射換能器，發(fā)射同頻率的CW脈沖信號(hào)，接收船吊掛一個(gè)5 個(gè)陣元的均勻水聽(tīng)器線陣接收聲源信號(hào)，陣元間距按發(fā)射信號(hào)的半波長(zhǎng)配置，兩只小船的距離約為300 m，船長(zhǎng)6 m，由幾何關(guān)系可以分別推算出兩個(gè)聲源入射角度約為14°和20°。圖9給出了湖上實(shí)驗(yàn)設(shè)備的位置示意圖。

圖9 實(shí)驗(yàn)設(shè)備布設(shè)圖Fig.9 Layout diagram of test devices

從水聽(tīng)器采集的湖試數(shù)據(jù)中截取了20 000個(gè)樣本數(shù)據(jù)，圖10為5個(gè)陣元接收的數(shù)據(jù)結(jié)果圖。分別采用本文方法、MMUSIC 方法、RNSMUSIC 方法以及MUSIC 方法對(duì)實(shí)驗(yàn)采集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到的方位歷程圖如圖11所示。

圖10 陣元的實(shí)際接收數(shù)據(jù)Fig.10 The actual data received by the array

圖11 四種方法的方位歷程圖Fig.11 Target orientation course charts obtained by four methods

從圖11 中的4 個(gè)子圖可以看出，本文方法在DOA 估計(jì)時(shí)充分利用了陣列接收數(shù)據(jù)，可以清楚地分辨兩個(gè)相干信號(hào)。MMUSIC方法在DOA估計(jì)時(shí)則沒(méi)有充分利用陣列接收數(shù)據(jù)，導(dǎo)致該方法無(wú)法成功分辨出兩個(gè)相干信號(hào)。RNSMUSIC 方法在DOA 估計(jì)時(shí)雖然充分利用了陣列接收數(shù)據(jù)，但是由于信號(hào)入射角度間隔很小，無(wú)法分辨出兩個(gè)相干信號(hào)。MUSIC 方法無(wú)法對(duì)相干信號(hào)進(jìn)行解相干，不能有效地估計(jì)信號(hào)的DOA。從而驗(yàn)證了本文方法在相干信號(hào)DOA估計(jì)中的優(yōu)異性能。

5 結(jié)論

本文提出了一種基于協(xié)方差矩陣Toeplitz 重構(gòu)的MUSIC 算法的波達(dá)方位估計(jì)方法。該方法首先根據(jù)陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣及其翻轉(zhuǎn)矩陣來(lái)構(gòu)造新協(xié)方差矩陣，并利用新協(xié)方差矩陣構(gòu)造To‐eplitz 矩陣，使陣列接收數(shù)據(jù)得以充分利用，然后通過(guò)MUSIC 方法進(jìn)行空間譜估計(jì)。仿真和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理結(jié)果表明，與MMUSIC 方法、RNSMUSIC方法以及MUSIC方法相比，本文方法在低信噪比、少快拍以及入射角度間隔較小條件下的DOA 估計(jì)性能更好，并且能夠?qū)?個(gè)以上的多個(gè)相干信號(hào)進(jìn)行精確的方位估計(jì)，在實(shí)際水下環(huán)境應(yīng)用場(chǎng)景中也具有較高的方位分辨率和較好的方位估計(jì)性能，具有較大的工程應(yīng)用價(jià)值。