王瑤路,李雯雯

（河南科技職業(yè)大學(xué)公共基礎(chǔ)教學(xué)部,河南 周口 466000）

引言

概自守函數(shù)的概念是由Bochner[1]引入的,它是概周期函數(shù)的重要推廣.隨著這一概念的引入, 越來(lái)越多的數(shù)學(xué)家對(duì)其產(chǎn)生了興趣, 并將其應(yīng)用到了許多領(lǐng)域.[2,3]在過(guò)去的二十年中, 分?jǐn)?shù)階微分方程取得了巨大進(jìn)展,許多科學(xué)家發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階微分方程可以更準(zhǔn)確地表示一些物理系統(tǒng).[4]許多關(guān)于分?jǐn)?shù)微分方程的文章也已經(jīng)發(fā)表,[5]有關(guān)詳細(xì)信息,可以參見(jiàn)Podlubny[6]的著作.許多作者還證明了分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性和唯一性.[3,6]

Chua和Yang 發(fā)明了細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).[7,8]它是一個(gè)十分重要的模型, 可以描述許多領(lǐng)域的現(xiàn)象, 例如信號(hào)處理、模式識(shí)別、優(yōu)化、計(jì)算機(jī)視覺(jué)和聯(lián)想記憶.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題最重要的研究方向之一是解的存在性和穩(wěn)定性.近年來(lái), 無(wú)論是實(shí)值還是復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型都已經(jīng)建立起來(lái).[9]一些四元數(shù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也得到了廣泛的研究.[10]然而, 關(guān)于克利福德值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究并不多.威廉.克利福德于1878 年引入了克利福德代數(shù).其已被廣泛應(yīng)用于神經(jīng)計(jì)算、量子計(jì)算、衛(wèi)星導(dǎo)航、圖像處理、機(jī)器人技術(shù)等各個(gè)領(lǐng)域.[11]Pearson 首先提出了多層Clifford 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型.[12]此后,許多科學(xué)家發(fā)現(xiàn)Clifford 值的多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)于實(shí)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).[13]目前關(guān)于Clifford 值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)行為的研究, 例如周期解、概周期解和概自守解,還比較少.

綜上所述, 研究了Clifford 值Caputo 分?jǐn)?shù)階細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的概自守解的存在性和Mittag-Leffler穩(wěn)定性.根據(jù)壓縮映射原理, 推出了此類(lèi)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)概自守解的存在性和唯一性的充分條件.通過(guò)構(gòu)建Lyapunov泛函來(lái)研究概自守解的Mittag-Leffler 穩(wěn)定性條件.研究的結(jié)論也概括了實(shí)值、復(fù)值和四元值系統(tǒng)的相應(yīng)結(jié)論.文章采用的主要方法是將復(fù)雜的Clifford 值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)化為高維的實(shí)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)進(jìn)行研究.

1 準(zhǔn)備知識(shí)

我們首先回顧一下Clifford 代數(shù)的定義和性質(zhì).[14]含有m 個(gè)生成元的集合 A 被稱(chēng)為實(shí)數(shù)上的克利福德代數(shù), 其中,m 個(gè)生成元e1,e2,…,em滿(mǎn)足關(guān)系式：，為簡(jiǎn)單起見(jiàn), 當(dāng)一個(gè)元素是多個(gè)Clifford 生成元的乘積時(shí), 我們將把它的下標(biāo)寫(xiě)在一起.例如：e2e3=e23和e3e6e7e2=e3672, 則克利福德代數(shù)A的基為：eA=eh1h2…h(huán)r,1 ≤h1

函數(shù)的ɑ階Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為：其中α>0, n 是一個(gè)正整數(shù), 且滿(mǎn)足n-1< α ≤n, Γ α是經(jīng)典的伽馬函數(shù),其定義為：

本文研究了以下分?jǐn)?shù)階細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò):

其中1 ≤i ≤n,0< α<1; n 表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的單位神經(jīng)元的個(gè)數(shù); xit :? →A 對(duì)應(yīng)第i個(gè)神經(jīng)元在時(shí)刻t的狀態(tài);fjxjt :? →A 表示第j個(gè)神經(jīng)元在t時(shí)刻的輸出;Iit:? →A表示第i個(gè)神經(jīng)元在時(shí)刻t時(shí)的外部偏差;kij:? →A 表示第j個(gè)神經(jīng)元對(duì)第i個(gè)神經(jīng)元在時(shí)刻間t時(shí)的作用強(qiáng)度;di表示當(dāng)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和外部輸入斷開(kāi)連接時(shí), 第i個(gè)神經(jīng)元將其電勢(shì)重置為靜息狀態(tài)隔離的速率.可以將式(2.1)轉(zhuǎn)化為:

其中y t =y t,t0,y t0是系統(tǒng)(2.2) 的一個(gè)任意解, λ>0,b>0,m 0 =0, m x ≥0, 且m x 在x∈?n上滿(mǎn)足局部的Lipschitz 條件,Lipschitz 常數(shù)為m0.注2.1.Mittag-Leffler 穩(wěn)定性意味著漸進(jìn)穩(wěn)定性，即//y t -x t //→0 當(dāng)t →+∞.

2 概自守解的存在性和Mittag-Leffler 穩(wěn)定性

根據(jù)壓縮映射原理和Lyapunov 泛函方法, 討論了系統(tǒng)(2.2)概自守解的存在性和Mittag-Leffler 穩(wěn)定性.首先, 根據(jù)性質(zhì) eAeˉA=1 =eˉAeA, 將Clifford 值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)化為實(shí)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò), 對(duì)于每一個(gè)A ∈Λ,可以將系統(tǒng)(2.2)轉(zhuǎn)化為如下形式:

則(3.4)是系統(tǒng)(3.2)的溫和解.接下來(lái), 我們做一些假設(shè): H1對(duì)于 1 ≤i ≤n,x,y ∈A,fi是連續(xù)函數(shù),存在常數(shù) εi>0 使得： fix -fiyA≤εi//x-y//A.H2對(duì)所有的 1 ≤i,j ≤n,kijt 和Iit 是概自守函數(shù).

注 3.2.根據(jù) H1,對(duì)所有的可得：

定理3.1.假設(shè) H1和 H2成立.進(jìn)一步假設(shè)H3Θ<1, 成立, 其中：,Lf=max1≤i≤nεi,γ=min1≤i≤ndi， 則系統(tǒng)(3.2)有唯一的概自守解.

由于Θ<1,則F是一個(gè)壓縮映射.現(xiàn)在根據(jù)壓縮映射原理，我們得到算子F在空間AA?,?2mn內(nèi)有唯一的不動(dòng)點(diǎn), 即系統(tǒng)(3.2)具有唯一的概自守解.證明完畢.下面, 將根據(jù)引理2.1 和引理2.2 證明系統(tǒng)(3.2)的概自守解的Mittag-Leffler 穩(wěn)定性.

定理3.2.假設(shè)條件(H1)—(H3)成立, 則系統(tǒng)(3.2)的唯一概自守解是Mittag-Leffler 穩(wěn)定的, 當(dāng)如下不等式成立時(shí)

因此，引理2.1 的所有條件都滿(mǎn)足.綜上, 系統(tǒng)(3.1)的唯一概自守解是Mittag-Leffler 穩(wěn)定的.證明完畢.

3 例 子

下面給出一個(gè)分?jǐn)?shù)階細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的例子來(lái)驗(yàn)證所得的結(jié)論.

因此, 定理3.2 的所有條件都滿(mǎn)足了.由此可得, 系統(tǒng)(4.1)有唯一的概自守解，且它是Mittag-Leffler 穩(wěn)定的.