王旭，胡珈寧，李?yuàn)Z，周振雄

(北華大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，吉林吉林 132013)

0 前言

隨著時(shí)代的發(fā)展，傳統(tǒng)的滾珠絲杠傳動(dòng)機(jī)床逐漸被直線電機(jī)驅(qū)動(dòng)的機(jī)床所取代。與傳統(tǒng)的滾珠絲杠電機(jī)相比，直線電機(jī)可直接將電能轉(zhuǎn)化為直線運(yùn)動(dòng)的機(jī)械能，省去了滾珠絲杠傳動(dòng)過(guò)程中所消耗的能量。直流直線電機(jī)是通電線圈構(gòu)成的動(dòng)子由一個(gè)軟桿支撐，在永磁體生成的均勻磁場(chǎng)中會(huì)受到垂直于電流方向的安培力作用，力的大小由安培定則F=BIL確定。如果想要直流直線電機(jī)反方向移動(dòng)，則只需要提供一個(gè)反向電流即可[1-2]。但是直流直線電機(jī)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，動(dòng)子和軟桿之間會(huì)產(chǎn)生摩擦，從而影響直流電機(jī)的精確性[3]。

通過(guò)磁懸浮技術(shù)將需要支撐的平臺(tái)懸浮起來(lái)，不僅可以消除平臺(tái)移動(dòng)過(guò)程中的大部分摩擦力而提高移動(dòng)平臺(tái)的精確性，還可以降低移動(dòng)平臺(tái)和其他機(jī)械結(jié)構(gòu)之間的磨損，提高機(jī)床的使用壽命[4-5]。傳統(tǒng)機(jī)床為了降低摩擦力會(huì)在部件接觸部分涂抹潤(rùn)滑油[6]；而磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)移動(dòng)的過(guò)程中沒(méi)有摩擦力，就不需要潤(rùn)滑油[7]，從而大大減少了污染，為工人提供了一個(gè)相對(duì)潔凈的工作環(huán)境。

為了使磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)能夠快速、穩(wěn)定的沿著期望曲線到達(dá)預(yù)定位置，需要對(duì)磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)的T形動(dòng)子進(jìn)行精確控制[8-10]。文獻(xiàn)[11]提出了PID算法控制的磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)，雖然可以使動(dòng)子最終到達(dá)預(yù)定位置，但是其算法跟蹤性不強(qiáng)，與期望軌跡之間的誤差較大，精準(zhǔn)性不高。文獻(xiàn)[12]提出的模糊PID算法控制磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)，在PID的基礎(chǔ)上增加了模糊推理環(huán)節(jié)，雖然使動(dòng)子能更快響應(yīng)，但無(wú)法解決軌跡跟蹤的問(wèn)題。文獻(xiàn)[13]提出的滑?？刂拼艖腋∫苿?dòng)平臺(tái)，增強(qiáng)了響應(yīng)速度，但是收斂過(guò)早，優(yōu)化后的精度不高，跟蹤性不強(qiáng)，同時(shí)參數(shù)調(diào)節(jié)較為復(fù)雜。文獻(xiàn)[14]提出偽微分反饋(PDF)控制磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)，相比前幾個(gè)控制算法響應(yīng)更快、魯棒性更強(qiáng)，但還是無(wú)法滿足軌跡跟蹤的要求。

針對(duì)算法精準(zhǔn)性不足、跟蹤性不強(qiáng)、參數(shù)調(diào)節(jié)復(fù)雜等問(wèn)題，本文作者提出基于微分平坦算法控制磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)。微分平坦算法的精準(zhǔn)性和跟蹤性遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于其他算法，并且其參數(shù)整度也較為簡(jiǎn)單。

1 磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)的模型建立

1.1 磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型

磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)是由一個(gè)U形定子和一個(gè)T形動(dòng)子組成，如圖1所示。T形動(dòng)子如圖2所示，T形動(dòng)子三端分別纏有一定匝數(shù)的線圈，定子為動(dòng)子提供一個(gè)均勻的磁場(chǎng)，當(dāng)T形動(dòng)子三端線圈通電之后，T形動(dòng)子三端會(huì)受到安培力作用，通過(guò)調(diào)整三端通電線圈內(nèi)的電流大小和方向使T形動(dòng)子做出不同的運(yùn)動(dòng)軌跡。

圖1 磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)示意Fig.1 Schematic of maglev mobile platform

圖2 T形動(dòng)子示意Fig.2 Schematic of T-shaped actuator

1.2 磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)動(dòng)子的受力分析

如圖3所示，磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)子在水平方向受到3個(gè)方向的力，所以動(dòng)子在水平方向有3個(gè)自由度，分別是：沿著X軸方向移動(dòng)；沿著Y軸方向移動(dòng)；沿著Z軸方向旋轉(zhuǎn)。動(dòng)子在旋轉(zhuǎn)過(guò)后的位置會(huì)與動(dòng)子的初始位置形成一個(gè)夾角β。

圖3 磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)T形動(dòng)子受力分析Fig.3 Force analysis of T-type mover of maglev mobile platform

磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)動(dòng)子旋轉(zhuǎn)角度β移動(dòng)公式：

(1)

其中：Y1-Y2為T(mén)形動(dòng)子橫向長(zhǎng)度；L為橫向長(zhǎng)度在X軸方向的投影長(zhǎng)度。

如圖3所示，T形動(dòng)子所受到的3個(gè)力可以根據(jù)三角函數(shù)分解成沿X軸方向的力和沿Y軸方向的力。每個(gè)力分解之后的形式為

(2)

其中：F表示矢量；f表示標(biāo)量；β表示T形動(dòng)子的偏移角度。

可以結(jié)合以下動(dòng)力學(xué)公式化簡(jiǎn)上述公式：

(3)

其中：F是力；v是速度；s是位移；m是動(dòng)子質(zhì)量；M是力矩；J是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；α是角加速度。

將式(3)代入式(2)化簡(jiǎn)得到：

(4)

其中：f1、f2、f3是3個(gè)水平方向的力；u1、u2、u3是輸入電壓。由圖4可知3個(gè)水平力的表達(dá)式為

圖4 T形動(dòng)子水平移動(dòng)控制原理Fig.4 Principle of horizontal movement control of T-type movable actuator

(5)

因?yàn)檩斎腚妷和ㄟ^(guò)放大之后變成電流，然后電流輸入各個(gè)線圈產(chǎn)生各個(gè)方向的水平力，所以k1、k2、k3為比例系數(shù)(A/V)。將式(5)代入式(4)中，化簡(jiǎn)得到：

(6)

2 微分平坦理論與微分平坦性驗(yàn)證

2.1 微分平坦理論簡(jiǎn)介

微分平坦理論是在逆動(dòng)力學(xué)原理的基礎(chǔ)上提出來(lái)的，理論上微分平坦理論應(yīng)該被應(yīng)用于線性系統(tǒng)，但是目前微分平坦理論更廣泛應(yīng)用于非線性系統(tǒng)。微分平坦理論(Differential Flatness)最早作為微分代數(shù)的概念被提出，后來(lái)由FLIESS、RATHINAM和MURRAY等經(jīng)過(guò)一系列的研究后應(yīng)用于動(dòng)力學(xué)問(wèn)題[15-16]。微分平坦理論指出了非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特征的存在性，理論上如果該線性系統(tǒng)滿足某種條件并且選擇合適的微分平坦輸出，就可以將非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)。換句話說(shuō)，如果能找到一組合適的平坦輸出量，并且系統(tǒng)中的所有狀態(tài)變量和輸入變量都可以由這一組平坦輸出量以及平坦輸出量的各階導(dǎo)數(shù)表示出來(lái)，那么這個(gè)系統(tǒng)就是微分平坦系統(tǒng)[17]。目前微分平坦理論被廣泛地應(yīng)用于軌跡跟蹤、功率跟蹤等。由于微分平坦系統(tǒng)的輸入變量和狀態(tài)變量可以由平坦輸出量以及其導(dǎo)數(shù)變換得到，那么根據(jù)期望的平坦輸出軌跡，可以直接獲得無(wú)差的狀態(tài)變量和輸入變量。如果微分平坦系統(tǒng)用公式可以更準(zhǔn)確地表示為

(7)

如果狀態(tài)變量和輸入變量能滿足下列條件：

(8)

則可以稱此非線性系統(tǒng)為微分平坦系統(tǒng)。其中r和t都是整數(shù)，表示導(dǎo)數(shù)階數(shù)。由于非線性系統(tǒng)選取的平坦輸出量并不唯一，所以狀態(tài)變量和輸入變量也可能不同。

2.2 磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)微分平坦性驗(yàn)證

根據(jù)式(6)得到磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)狀態(tài)方框圖如圖5所示。

圖5 磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)狀態(tài)方框圖Fig.5 Block diagram of maglev mobile platform status

系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(9)

其中：vx是動(dòng)子沿X軸方向運(yùn)動(dòng)的速度；ax是動(dòng)子沿X軸方向運(yùn)動(dòng)的加速度；vy是動(dòng)子沿Y軸方向運(yùn)動(dòng)的速度；ay是動(dòng)子沿Y軸方向運(yùn)動(dòng)的加速度；ω是動(dòng)子旋轉(zhuǎn)的角速度；α是動(dòng)子旋轉(zhuǎn)的角加速度。

平坦系統(tǒng)的輸入矩陣為

(10)

由圖5可知狀態(tài)變量可由輸出變量表示為

(11)

(12)

由此可見(jiàn)，該系統(tǒng)所有的狀態(tài)變量都可以由該系統(tǒng)的輸入變量以及其導(dǎo)數(shù)表示。

由式(6)可知輸入的變量可由輸出變量表示為

(13)

(14)

由此可見(jiàn)，該系統(tǒng)所有的輸入變量都可以由該系統(tǒng)輸出變量的二階導(dǎo)數(shù)表示。綜上所述，輸入變量和狀態(tài)變量都可以由輸出變量以及其導(dǎo)數(shù)表示。

3 磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)微分平坦控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)是一個(gè)微分平坦系統(tǒng)，并且成功地選出一組較為合適的平坦輸出值。根據(jù)前面的公式和微分平坦驗(yàn)證可知，磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)控制系統(tǒng)由前饋控制組成，但該系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中實(shí)際輸出的軌跡會(huì)與期望軌跡產(chǎn)生偏差，所以還需要加一個(gè)PI控制對(duì)誤差量進(jìn)行補(bǔ)償。前饋控制首先需要根據(jù)式(8)生成期望的前饋控制量：

(15)

式中帶有“*”的值表示期望值。

實(shí)際輸出軌跡和期望軌跡的誤差為

(16)

輸入變量的誤差為

(17)

為了消除控制過(guò)程中產(chǎn)生的誤差，使磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)更好地跟蹤期望的軌跡，需要加入一個(gè)PI控制，PI控制反饋補(bǔ)償量為

(18)

式中：kp、ki、kq、ko、ke、kf為PI控制參數(shù)。因?yàn)榇艖腋∫苿?dòng)系統(tǒng)有3個(gè)自由度，所以需要用3個(gè)PI控制，并且參數(shù)也不同。

實(shí)際微分平坦輸入控制量為

(19)

實(shí)際微分平坦輸控制量由前饋控制量和反饋控制量共同組成?；谖⒎制教沟拇艖腋∫苿?dòng)平臺(tái)系統(tǒng)控制原理如圖6所示。

圖6 基于微分平坦的磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)系統(tǒng)控制原理Fig.6 Control principle of maglev mobile platform system based on differential flatness

4 微分平坦參數(shù)化與軌跡規(guī)劃

通常情況下，軌跡規(guī)劃問(wèn)題就是最優(yōu)控制問(wèn)題，最優(yōu)控制有以下形式：

(20)

微分方程需要滿足約束方程：

(21)

同時(shí)需要滿足以下約束方程：

(22)

式(21)(22)是軌跡規(guī)劃最優(yōu)問(wèn)題的約束方程。直接求解軌跡規(guī)劃最優(yōu)問(wèn)題非常困難，除了上述約束方程之外還有動(dòng)力學(xué)微分公式，常規(guī)的求解方式無(wú)法輕易求出，所以需要將平坦輸出量參數(shù)化，把求解軌跡規(guī)劃最優(yōu)問(wèn)題簡(jiǎn)化。平坦輸出變量參數(shù)化之后還可以降低系統(tǒng)的維數(shù)，將上述選取的平坦輸出量y參數(shù)化后就變成了y=(y(t1),y(t2),y(t3),…,y(tn))。而且由微分平坦系統(tǒng)的特性可知，系統(tǒng)的狀態(tài)變量和輸入變量都可以由其輸出變量表示出來(lái)，所以可以明顯降低系統(tǒng)的維數(shù)。通常情況下，系統(tǒng)輸出變量的維數(shù)和輸入變量的維數(shù)是一致的，系統(tǒng)的狀態(tài)變量維數(shù)高于系統(tǒng)輸出變量。例如上述選取的磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)系統(tǒng)的狀態(tài)變量是6維，而系統(tǒng)的輸出變量和輸入變量都是3維。

為了規(guī)劃一條軌跡，需要將平坦輸出量參數(shù)化為合適的時(shí)間函數(shù)。比如所有的平坦輸出y都可以參數(shù)化為

y(t)=Aijφj

(23)

式中：φj為基函數(shù)，該系統(tǒng)所有的平坦輸出變量都可以由這些基函數(shù)自由組合之后表示出來(lái)?；瘮?shù)有很多種類型：多項(xiàng)式函數(shù)、三角函數(shù)、高斯函數(shù)、三樣條以及B-樣條。選取基函數(shù)時(shí)需要考慮基函數(shù)的階數(shù)，一般參考狀態(tài)變量和輸入變量在平坦輸出變量表達(dá)時(shí)出現(xiàn)的最高階數(shù)。將系統(tǒng)出現(xiàn)的最高階數(shù)設(shè)為J，一般基函數(shù)的階數(shù)不低于J。

假如設(shè)動(dòng)子的期望軌跡為y=x2，將平坦輸出x參數(shù)化為一次函數(shù)x(t)=t2，因?yàn)榇艖腋∫苿?dòng)平臺(tái)系統(tǒng)出現(xiàn)的最高階數(shù)為2，所以此函數(shù)滿足條件。則平坦輸出可以表示為

(24)

根據(jù)式(6)(9)將輸入變量和狀態(tài)變量分別表示為

(25)

(26)

5 仿真分析

通過(guò)MATLAB/Simulink搭建磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)微分平坦控制系統(tǒng)，磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)的各個(gè)參數(shù)如表1所示。將微分平坦輸出量參數(shù)化規(guī)劃為一條軌跡，表達(dá)式為：y=x2。通過(guò)4個(gè)方面分析磁懸浮移動(dòng)平坦動(dòng)子的運(yùn)動(dòng)軌跡，仿真波形如圖7-10所示。

表1 磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)參數(shù)Tab.1 Parameters of maglev mobile platform

圖7 動(dòng)子沿x方向隨時(shí)間移動(dòng)波形(期望軌跡y=x2)Fig.7 Waveforms of mover moving with time along the

圖8 動(dòng)子沿y方向隨時(shí)間移動(dòng)波形(期望軌跡y=x2)Fig.8 Waveforms of mover moving with time in y direction (expected trajectory y=x2)

圖9 動(dòng)子偏移角度隨時(shí)間移動(dòng)波形(期望軌跡y=x2)Fig.9 Waveforms of mover offset angle moving with time (expected trajectory y=x2)

圖10 動(dòng)子實(shí)際移動(dòng)軌跡波形(期望軌跡y=x2)Fig.10 Waveforms of actual moving track of mover (expected trajectory y=x2)

xdirection (expected trajectoryy=x2)

通過(guò)圖7-10可知：磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)通過(guò)微分平坦控制，動(dòng)子的移動(dòng)軌跡幾乎跟隨期望軌跡；而通過(guò)PID控制磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)，動(dòng)子的移動(dòng)軌跡與期望軌跡之間的誤差較大。說(shuō)明微分平坦控制比PID控制更為精準(zhǔn)，可靠性更強(qiáng)，尤其是在加工允許誤差較小的零件時(shí)。

為了驗(yàn)證磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)微分平坦控制系統(tǒng)的可靠性，需規(guī)劃一條新的軌跡。為了更直觀地對(duì)比微分平坦軌跡與期望軌跡以及PID控制的軌跡，選取一條較容易觀察的軌跡曲線。選取的軌跡曲線表達(dá)式為：y=sin2x，因?yàn)樵摫磉_(dá)式為一階，所以令x(t)=t即可。其他參數(shù)化后的表達(dá)式同上述方法，這里不再一一列出。仿真之后的波形如圖11-14所示。

圖11 動(dòng)子沿x方向隨時(shí)間移動(dòng)波形(期望軌跡y=sin2x)Fig.11 Waveforms of mover moving with time along the x direction (expected trajectory y=sin2x)

圖12 動(dòng)子沿y方向隨時(shí)間移動(dòng)波形(期望軌跡y=sin2x)Fig.12 Waveforms of mover moving with time in y direction (expected trajectory y=sin2x)

圖13 動(dòng)子偏移角度隨時(shí)間移動(dòng)波形(期望軌跡y=sin2x)Fig.13 Waveforms of mover offset angle moving with time (expected trajectory y=sin2x)

圖14 動(dòng)子實(shí)際移動(dòng)軌跡波形(期望軌跡y=sin2x)Fig.14 Waveforms of actual moving track of mover (expected trajectory y=sin2x)

由圖11-14可知：當(dāng)期望軌跡為正弦函數(shù)時(shí)，可以清楚地觀察到微分平坦控制的磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)動(dòng)子會(huì)更精準(zhǔn)地跟隨期望軌跡移動(dòng)，而PID控制的磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)動(dòng)子則會(huì)偏離期望軌跡。從宏觀來(lái)看，磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)動(dòng)子整體的移動(dòng)軌跡幾乎重合，但放大之后發(fā)現(xiàn)微分平坦控制的磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)動(dòng)子的移動(dòng)軌跡更加貼近期望軌跡。

6 結(jié)論

文中構(gòu)建了磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)數(shù)學(xué)模型結(jié)合動(dòng)力學(xué)公式得出磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。結(jié)合微分平坦控制原理驗(yàn)證了磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)是微分平坦系統(tǒng)；對(duì)微分平坦輸出量進(jìn)行參數(shù)化和軌跡規(guī)劃。相對(duì)于傳統(tǒng)控制系統(tǒng)給定一個(gè)位置后讓磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)動(dòng)子快速到達(dá)預(yù)定位置而言，微分平坦控制的磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)系統(tǒng)不僅能讓動(dòng)子快速到達(dá)預(yù)定位置，還能讓動(dòng)子按照期望的軌跡達(dá)到預(yù)定位置。相對(duì)PID控制的磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)系統(tǒng)而言，微分平坦控制的磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)系統(tǒng)中動(dòng)子更接近期望軌跡曲線，更精準(zhǔn)，可靠性更強(qiáng)。所以文中提出的微分平坦控制磁懸浮移動(dòng)平臺(tái)系統(tǒng)具有實(shí)用性。