孟曉華，于大國

(1.山西機電職業(yè)技術學院，山西長治 046011；2.中北大學機械工程學院，山西太原 030051)

0 前言

復合化、多功能數(shù)控機床的相關技術在不斷更新，目前，這種機床的市場份額一直在增加，種類也一直在變化，在未來，這種機床占據(jù)的市場份額可能達到2/3。制造行業(yè)的發(fā)展方向細分化使該行業(yè)的個性化需求增多，因此，能夠個性化、小批量生產的機床具備十足的發(fā)展?jié)摿1]。如何適應現(xiàn)代市場對個性化、多品種、低成本、小批量零件高效生產的需求是這種中小型機床目前必須要解決的問題，其關鍵就在于對自身性能的高要求、嚴標準[2]。機床自身的部件與結構對其加工性能的好壞有著直接的影響，確保其空間誤差較低是保障零件加工效率與加工質量的前提。然而目前中小車銑復合數(shù)控機床的部件質量參差不齊，尤其是主軸部件，在性能與結構上都存在一定問題，因此機床普遍存在一定的空間誤差，對其進行建模與補償是解決該問題最簡單的方法，因此對該問題進行研究。

對于數(shù)控機床來說，空間誤差的建模與補償問題一直是一個研究熱點，很多學者都進行過該問題的研究。其中文獻[3]提出一種基于靈敏度分析的建模與補償技術，主要是通過切比雪夫多項式與關鍵誤差元素的測量數(shù)據(jù)實現(xiàn)空間誤差補償模型的構建，并開發(fā)實時誤差補償系統(tǒng)。文獻[4]提出一種精密臥式加工中心的誤差建模、測量與補償方法，主要是根據(jù)三維誤差建模結果進行測量與補償，提高了機床的空間定位精度。由于上述方法在車銑復合數(shù)控機床的應用中存在定位精度提升效果不好的問題，對此，設計一種車銑復合數(shù)控機床空間誤差建模和補償方法。

1 空間誤差建模和補償方法設計

1.1 幾何誤差辨識

針對車銑復合數(shù)控機床的兩個旋轉軸，忽略兩軸位置的無關誤差，通過齊次坐標變換理論分別構建其幾何誤差辨識模型，并對測試進行優(yōu)化，實現(xiàn)兩軸的幾何誤差辨識[5]。

用C軸表示旋轉軸中的車削主軸，其誤差辨識模型的構建過程具體如下：

(1)在測試前需要對直線軸誤差進行補償，以提升測試精度；

(2)在工作臺上夾裝一個球桿儀，用a表示工作臺端球，b表示主軸端球；

(3)d表示球a與工作臺端面之間的Z向高度，f表示其與C軸軸線的實際距離；

(4)使球桿儀與Z軸軸線平行，啟動球桿儀的RTCP功能，并持續(xù)轉動C軸，對球桿儀此時Z向的伸長量變化進行記錄；

(5)以齊次坐標變換理論為依據(jù)，工件坐標系中球a的理想位置ai可以用下式來表示：

(1)

工件坐標系中球a的實際位置aj可以用下式來表示：

(2)

啟動RTCP功能后，在C軸轉動時，主軸端球b相對于C軸的位置幾乎不變，而球a的實際位置與其理想位置間的差值如下式：

(3)

由于此時球桿儀與Z軸軸線是平行的，可以認為上式中Z軸軸線方向上球a的位置變動與球桿儀的伸縮量相等，如果在工件坐標系中改變球a的位置：a1(f1,d1)、a2(f2,d2)、a3(f3,d3)，并使球桿儀與X、Y、Z軸線分別平行，能夠獲取以下方程組：

(4)

將上式展開，初步完成C軸誤差辨識模型的構建：

(5)

通過對該誤差模型進行求解，可以獲得C軸的6項幾何誤差。以方程組解之間的存在性關系為依據(jù)，可知存在唯一解需要滿足未知數(shù)個數(shù)與矩陣的秩相等的條件，因此可以將構建的C軸誤差辨識模型簡化，也就是對測試進行優(yōu)化，直接省略a3(f3,d3)處的X、Y向測試與a2(f2,d2)處的Y向測試[9]。優(yōu)化后的C軸誤差測試流程具體如下：

(1)a1(f1，d1)處的X、Y、Z向測試；

(2)a2(f2，d2)處的X、Z向測試；

(3)a3(f3，d3)處的Z向測試。

通過以上步驟完成C軸最終誤差辨識模型的構建，實現(xiàn)C軸的幾何誤差辨識[10]。

用B軸表示另一個旋轉軸，通過同樣的方法建模，實現(xiàn)其幾何誤差辨識，表達式為

(6)

1.2 空間誤差模型構建

在工件坐標系下，根據(jù)旋轉軸幾何誤差辨識結果，采用多體理論構建機床空間誤差模型[11]。

空間誤差模型的構建步驟如下：

基于多體系統(tǒng)理論，將機床各體之間的運動變化等效轉換為相鄰隨動坐標系之間的運動變換。在誤差綜合影響下，以P變換至Q的X軸坐標系為例，可以將這種運動變換分解為以下4種形式：

(7)

(8)

(9)

用實際刀尖點位置減去其理想位置，即可獲取空間誤差模型，具體如下式：

(10)

式(10)中：X、Y、Z表示三軸上的坐標值。

就此完成空間誤差模型構建。

1.3 補償策略設計

基于理想狀態(tài)的逆運動學設計同步空間誤差補償策略，通過迭代方式對各軸補償值進行計算，實現(xiàn)空間誤差的補償。該策略的具體運行流程如下：

(1)啟動NC加工程序；

(2)通過下式表示各軸運動量，也就是各軸的機械坐標：

K=[X′,Y′,Z′,φ,φ]

(11)

式(11)中：X′、Y′、Z′、φ、φ分別表示X軸、Y軸、Z軸、B軸、C軸上的運動量。

(3)對各軸運動量進行更新，具體如下式：

K′=K+ΔK

(12)

式(12)中：ΔK表示更新的各軸運動量；K′表示更新后的各軸運動量[15]。K′的初始值為K′=K，ΔK=0。

(13)

根據(jù)上式獲取刀具的理想位姿，用(ωi，ξi)來表示。并根據(jù)存在幾何誤差的正運動學式計算此時轉動鏈的變換矩陣，根據(jù)該矩陣獲得刀具的預測位姿，用(ωj，ξj)來表示[17]。

(4)根據(jù)(ωi，ξi)和(ωj，ξj)計算此時的殘留空間誤差，當殘留的空間誤差比允許公差小，各軸補償值具體如下式：

Kc=K′-K=[ΔX′,ΔY′,ΔZ′,Δφ,Δφ]

(14)

式(14)中：ΔX′、ΔY′、ΔZ′、Δφ、Δφ分別表示X軸、Y軸、Z軸、B軸、C軸上的運動補償量[18]。

當殘留的空間誤差比允許公差大，根據(jù)理想逆運動學思想，求取各軸的運動量，并將其作為各軸的補償值。首先在理想狀態(tài)下機床的逆運動學求解過程中代入[Δω，Δξ′]所對應的位姿增量，獲取其運動學逆解。其中Δω表示理想位姿的偏差；Δξ′表示實際位姿的偏差的單位向量。獲取的運動學逆解為ΔK1=[ΔX′1，ΔY′1，ΔZ′1，Δφ1，Δφ1]。在之前的運動量上疊加ΔK1，此時刀具實際運動姿態(tài)用P1來表示，計算P1處的運動量。此時相比理想位置，P1處產生一組新誤差[19]。不斷重復以上過程，使刀具逐漸接近理想位姿，并不斷對該過程中的運動量進行計算，疊加所計算的運動量，完成各軸運動量的求取，作為各軸的補償值[20]。

2 實驗測試

2.1 機床參數(shù)

為證明設計的車銑復合數(shù)控機床空間誤差建模和補償方法的有效性，以一臺車銑復合數(shù)控機床為研究對象，對該機床實施空間誤差建模和補償。實驗機床各軸的行程與定位精度如表1所示。

表1 實驗機床具體參數(shù)Tab.1 Specific parameters of the experimental machine tool

2.2 實驗準備

實驗中的坐標系設置情況如表2所示。

表2 坐標系具體參數(shù)Tab.2 Specific parameters of coordinate system

2.3 實驗方法設計

實施旋轉軸的幾何誤差辨識。在辨識前首先對直線軸誤差進行補償，補償方式為校正機床機械零點。具體校正步驟如下：

(1)通過壓表法尋找Z軸軸線與B軸軸線平行時的角度，將其設置為-90°；

(2)尋找檢棒平行于Y軸、X軸的4個高點；

(3)調整Y軸、X軸的坐標，使C軸與檢棒同心；

(4)將Y軸、X軸此時的機械坐標置零；

(5)使B軸返回0°，將刀儀與工件主軸端面靠近，考慮檢棒半徑與對刀儀距離，將機械坐標零點直接設置在工件主軸端面與刀具主軸軸線對齊的位置。

構建的C軸和B軸幾何誤差辨識模型如公式(5)和公式(6)所示，接著構建其空間誤差模型，并通過同步空間誤差補償策略進行空間誤差補償，根據(jù)補償結果測試各軸的定位精度及其重復定位精度，并對機床進行圓錐體的誤差補償測試，對其測量結果進行分析，觀察設計方法的直觀誤差補償效果。

在測試中，為形成對比效果，將基于靈敏度分析的建模與補償技術與精密臥式加工中心的誤差建模、測量與補償方法作為對比方法，共同進行實驗。用方法1、方法2表示這兩種方法，使敘述更加簡潔。

2.4 定位精度測試

首先測試3種方法補償后機床各軸的定位精度，觀測3種方法各軸的定位精度相較于原本定位精度的變化情況，測試結果如圖1所示。

圖1 各軸的定位精度測試結果Fig.1 Positioning accuracy test results for each axis

由圖1可以得出：文中方法補償后，實驗機床X軸、Y軸、Z軸的定位精度相比原本的定位精度提升了0.6 μm，B軸的定位精度提升了4″，C軸的定位精度提升了3″；方法1補償后，實驗機床X軸、Y軸、Z軸的定位精度相比原本的定位精度提升了0.4 μm，B軸的定位精度提升了1″，C軸的定位精度提升了1″；方法2補償后，實驗機床X軸、Y軸、Z軸的定位精度相比原本的定位精度提升了0.2 μm，B軸的定位精度提升了2″，C軸的定位精度提升了1″。對比可知，文中方法能夠實現(xiàn)最大程度的定位精度提升。

2.5 重復定位精度測試

接著測試3種方法補償后機床各軸的重復定位精度，觀測3種方法各軸的重復定位精度相較于原本重復定位精度的變化情況，測試結果如圖2所示。

圖2 各軸的重復定位精度測試結果Fig.2 Repetitive positioning accuracy test results for each axis

圖2表明：文中方法補償后，實驗機床X軸、Y軸、Z軸的重復定位精度相比原本的重復定位精度提升了0.5 μm，B軸的重復定位精度提升了6″，C軸的重復定位精度提升了3″；方法1補償后，實驗機床X軸、Y軸、Z軸的重復定位精度相比原本的重復定位精度提升了0.4 μm，B軸的重復定位精度提升了3″，C軸的重復定位精度提升了1″；方法2補償后，實驗機床X軸、Y軸、Z軸的重復定位精度相比原本的重復定位精度提升了0.3 μm，B軸的重復定位精度提升了3″，C軸的重復定位精度提升了1″。經(jīng)過對比，設計方法能夠最大程度上提升重復定位的精度。

2.6 圓錐體的誤差補償測試

對補償后的實驗機床進行圓錐體的誤差補償測試，主要是對正反行程中反行程產生的誤差進行測試，以獲得更加直觀的誤差補償效果。共進行3次實驗，每次正反行程的半徑不同，分別測試半徑較大、居中、偏小的圓度情況。

半徑較大時，反行程的實驗圓度如圖3所示。

圖3 半徑較大的測試情況Fig.3 Test cases with larger radii

根據(jù)圖3，半徑較大時，經(jīng)過方法1、方法2的補償后，反行程的實驗圓度得到了一定降低，而經(jīng)過設計方法的補償后，設計方法反行程實驗圓度比方法1、2好，說明設計方法的誤差補償效果更好。

半徑居中時，反行程的實驗圓度如圖4所示。

圖4 半徑居中時的測試情況Fig.4 Test situation when the radius is centered

圖4表明：半徑居中時，經(jīng)過方法1、方法2的補償后，反行程的實驗圓度得到了一定降低；而經(jīng)過設計方法的補償后，反行程實驗圓度的降低幅度比方法1、方法2大，同樣能夠證明設計方法的誤差補償效果更好。但整體來看，3種方法的降幅都比半徑較大時小。

半徑偏小時，反行程的實驗圓度如圖5所示。

圖5 半徑偏小時的測試情況Fig.5 Test situation with small radius deviation

圖5表明：半徑偏小時，同樣是設計方法的圓度降幅大于方法1、方法2。但半徑偏小時3種方法的整體降幅在3種半徑情況中最小，說明行程半徑越大，能夠實現(xiàn)的誤差補償部分越大，反之，能夠實現(xiàn)的誤差補償部分越小。

3 結束語

針對車銑復合數(shù)控機床進行系統(tǒng)性研究，提出一種空間誤差建模和補償方法，實現(xiàn)了誤差的離線補償，提升了機床的柔性加工制造與靈活的誤差補償，解決了目前的方法存在的局限性，對于中小車銑復合數(shù)控機床的精細化發(fā)展有意義。