邵龍，徐曼曼，王向東，2，張志濤，毛徐徐

（1.安徽工程大學(xué) 機械工程學(xué)院，安徽 蕪湖 241000；2.蕪湖磁輪傳動技術(shù)有限公司，安徽 蕪湖 241000）

離心水泥制管機是將裝有混凝土的管模高速旋轉(zhuǎn)，在離心力的作用下使混凝土沿管模內(nèi)壁成形的工業(yè)機械，具有工藝簡單，構(gòu)件強度高，脫?？旌托矢叩葍?yōu)點，廣泛用于水利建設(shè)等排水工程。托輪是離心制管機的主要支承部件，數(shù)量眾多，長期磨損造成很大的能耗，采用無接觸的永磁軸承實現(xiàn)磁懸浮可從根本上解決磨損問題。永磁軸承無控制或電源等裝置，結(jié)構(gòu)簡單，設(shè)計方便，還兼具噪聲低，減振性好，壽命長，能量損耗低，環(huán)保性高，旋轉(zhuǎn)速度高和精度高等特點，在一些惡劣的工作環(huán)境下依然可以運轉(zhuǎn)。

永磁軸承在飛輪儲能、離心泵、風力發(fā)電機等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，對其研究也在不斷的深入，涉及到系統(tǒng)建模、承載力理論推導(dǎo)和結(jié)構(gòu)優(yōu)化等多方面：文獻［1］根據(jù)積分定義將分子電流模型的被積函數(shù)積分域分割成有限微域，能夠快速準確地計算出永磁軸承承載力，且計算過程簡單，計算程序易于編寫，相對誤差較?。晃墨I［2］基于庫侖模型和矢量法推導(dǎo)了具有n對磁環(huán)的軸向、徑向和垂直極化永磁軸承的力與剛度，并通過有限元分析驗證了數(shù)學(xué)模型的準確性，結(jié)果表明該數(shù)學(xué)模型可以滿足工業(yè)生產(chǎn)對永磁轉(zhuǎn)子幾何參數(shù)選擇和優(yōu)化的需要；文獻［3］基于平面點磁荷場、虛功原理和疊加定理，在二維平面建立了2 個矩形截面磁體之間的作用力模型，得到軸向堆疊式永磁軸承的磁力解析式；文獻［4］設(shè)計了一種能充分利用磁能，具有更大徑向磁力的軸向磁化多環(huán)永磁軸承，采用虛位移法得到該軸承徑向磁力解析模型，并通過試驗驗證了模型的正確性；文獻［5］通過選擇定子外徑、徑向氣隙和長度作為參數(shù)，采用最大徑向力和剛度作為軸承的設(shè)計和優(yōu)化目標，優(yōu)化后的最大徑向力和剛度分別是單對磁環(huán)徑向軸承的13.20 和13.75 倍；文獻［6］設(shè)計了一種轉(zhuǎn)子完全被動懸浮的混合軸承組，箔片軸承提供徑向支承，海爾貝克陣列永磁軸承提供軸向支承，試驗驗證了轉(zhuǎn)子在40 000 r/min 時可保持穩(wěn)定懸??；文獻［7］綜合比較了不同結(jié)構(gòu)永磁軸承的剛度，結(jié)果表明對于高度較大、寬度較小的永磁體，采用徑向磁化堆疊的永磁軸承剛度最大；文獻［8］設(shè)計了一種將永磁軸承和螺旋槽軸承混合使用的支承系統(tǒng)，結(jié)果表明該系統(tǒng)具有承載能力大，摩擦功耗低等特點，提高了飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動態(tài)穩(wěn)定性。

如果直接將永磁軸承水平放置在離心制管機中，會導(dǎo)致中心位置沿徑向的懸浮力為零，對于需要較高承載力的離心制管機，普通結(jié)構(gòu)無法滿足其正常使用?；谟来泡S承在定子180°（外磁環(huán)的圓心角為180°）時懸浮力最大的研究結(jié)果［9］，本文以半定子環(huán)、全轉(zhuǎn)子環(huán)徑向永磁軸承替代托輪的離心制管機永磁懸浮支承系統(tǒng)，以徑向永磁軸承為研究對象，應(yīng)用蒙特卡洛法對基于等效磁荷法建立的永磁軸承磁力模型的四重積分方程組進行求解。考慮大型磁環(huán)難以加工，用有限元軟件仿真討論了扇形、梯形和矩形拼接磁環(huán)的懸浮力和轉(zhuǎn)矩。

1 永磁懸浮離心制管機結(jié)構(gòu)

以半定子環(huán)永磁軸承替代離心制管機傳統(tǒng)托輪支承結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)無托輪式非接觸支承，同時取消了皮帶傳動和托輪傳動，采用三爪卡盤將驅(qū)動主軸與管模直接相連。根據(jù)厄恩肖（Earnshaw）定理，在僅由永磁體或直流電流形成的靜態(tài)磁場中，一個永磁體無法實現(xiàn)穩(wěn)定懸浮，這意味著徑向永磁軸承需要對軸向位置進行控制，才能使轉(zhuǎn)子穩(wěn)定地懸浮起來，因此使用調(diào)心滾子軸承限制軸向位移，使離心制管機能夠正常工作。永磁懸浮離心制管機結(jié)構(gòu)如圖1所示。

永磁懸浮離心制管機主要包括圍繞管樁的轉(zhuǎn)子永磁環(huán)和其下方的定子，轉(zhuǎn)子永磁環(huán)與定子永磁體磁性相反，二者之間的斥力使管樁懸浮。設(shè)備工作時，管樁和磁環(huán)繞x軸方向做旋轉(zhuǎn)運動，轉(zhuǎn)速最高可達800 r/min。

2 永磁軸承數(shù)學(xué)建模

永磁軸承磁力的常用計算方法有等效磁荷法、分子電流法和有限元法等。分子電流法分析結(jié)果較準確，與試驗數(shù)據(jù)非常吻合［10］，但建立半定子環(huán)永磁軸承模型困難；等效磁荷法原理簡單，建立的磁力解析模型比較完善，是最常用的磁力計算方法［11］。

根據(jù)等效磁荷理論，將徑向充磁永磁環(huán)視為外表面充滿類似正負電荷的磁荷，將磁環(huán)內(nèi)部的磁荷和磁場視為零，磁荷產(chǎn)生的磁場都在永磁環(huán)外部，再通過庫侖定律計算磁環(huán)之間的磁力。半定子環(huán)徑向充磁的永磁軸承數(shù)學(xué)模型如圖2 所示，Oxy，O′x′y′分別為外磁環(huán)和內(nèi)磁環(huán)的坐標系；R1，R2分別為內(nèi)磁環(huán)內(nèi)、外環(huán)面的半徑，R3，R4分別為外磁環(huán)內(nèi)、外環(huán)面的半徑；L1為內(nèi)磁環(huán)厚度，L2為外磁環(huán)厚度；α為點B在O′x′y′坐標平面的 角 度，β為 點A在Oxy坐標平 面的角 度，θ為OO′在xOy平面的投影相對于x軸的角度，即內(nèi)外磁環(huán)的偏心角度；e為內(nèi)磁環(huán)相對外磁環(huán)在xOy平面上的徑向偏移距離，即OO′在xOy平面的投影長度，z為內(nèi)磁環(huán)相對外磁環(huán)在z軸方向上的位移。

圖2 永磁軸承數(shù)學(xué)模型Fig.2 Mathematical model of permanent magnet bearing

在外磁環(huán)與內(nèi)磁環(huán)的內(nèi)側(cè)面分別取任意點A和B，求解相應(yīng)的等效磁荷MA和MB分別為

式中：Br1，Br2分別為外磁環(huán)和內(nèi)磁環(huán)的剩余磁通密度；z1，z2分別為內(nèi)磁環(huán)和外磁環(huán)內(nèi)環(huán)面上磁荷的軸向位置。

徑向磁化的永磁環(huán)產(chǎn)生的磁力F［12］由外磁環(huán)內(nèi)表面對內(nèi)磁環(huán)內(nèi)外表面產(chǎn)生的磁力、外磁環(huán)外表面對內(nèi)磁環(huán)內(nèi)外表面產(chǎn)生的磁力組成，即

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率，μ0= 4π × 10-7H/m；r為點B相對于點A的矢量位置；i，j，k分別為x，y，z軸的正向單位矢量；下標a= 1，2；b= 3，4。

將磁力分別向x，y，z方向投影，可得磁力F在各個方向分量

3 蒙特卡洛法求解磁力

磁力計算是永磁軸承參數(shù)設(shè)計的重要環(huán)節(jié)，通過等效磁荷法建立磁力解析模型，得到關(guān)于偏移位置的四重積分。利用MATLAB 的積分函數(shù)（nIntegrate）求解四重積分時周期長，甚至不能獲得解析解。蒙特卡洛法以概率統(tǒng)計理論為基礎(chǔ)，使用隨機數(shù)解決計算方面比較復(fù)雜的問題，算法簡單且適應(yīng)性強，目前在自然科學(xué)和社會科學(xué)的各個領(lǐng)域中廣泛利用。通過蒙特卡洛法近似求解四重積分，可以簡化磁力求解過程［13］。在文獻［14］中，當隨機變量數(shù)N=5.0×106時，蒙特卡洛法計算結(jié)果與for 循環(huán)計算結(jié)果（穩(wěn)定值）的差值小于0.185%，但蒙特卡洛法計算效率更高。蒙特卡洛法可以將系統(tǒng)屬性轉(zhuǎn)化為求定積分I=(x)dx，其中D為高維空間中的區(qū)域， （fx）為被積目標函數(shù)。

定積分I為某個隨機變量的數(shù)學(xué)期望，可改寫為

式中：g(x)為概率密度函數(shù)。

一般g（x）在區(qū)域D內(nèi)均勻分布，即

對于區(qū)域D上的n重積分，從D中均勻產(chǎn)生N個點表示區(qū)域D的體積，則D上n重積分的近似值為

將（8）式用于等效磁荷法中四重積分得到磁力為

4 算例分析

4.1 蒙特卡洛法結(jié)果分析

基于半定子環(huán)永磁軸承的結(jié)構(gòu)，文中計算的永磁軸承尺寸和永磁體性能參數(shù)見表1，永磁軸承氣隙10 mm，內(nèi)外磁環(huán)充磁方向相反。將參數(shù)代入蒙特卡洛法編制的程序中求解。

表1 永磁軸承尺寸和永磁體性能參數(shù)Tab.1 Size of permanent magnet bearing and performance parameters of permanent magnet

蒙特卡洛法的隨機變量數(shù)量不同，計算的積分值一般不同。通過定義不同N值（N=1 000 000，10 000 000，100 000 000），得到在不同樣本數(shù)量下軸承徑向懸浮力隨偏移距離的變化曲線，如圖3所示：隨著N值的增大，軸承徑向懸浮力波動幅度越小，曲線越平滑，近似于直線。在偏移距離e=4 mm時分別運行10次，得出永磁軸承懸浮力計算結(jié)果，如圖4所示：N值越大，可重復(fù)性越高。但隨著N值的增大，計算時間也會增加。工程實踐中N的取值要合適。

圖3 偏移距離對永磁軸承徑向懸浮力的影響Fig.3 Effect of offset distance on radial suspension force of permanent magnet bearing

圖4 不同N值時e=4 mm處的永磁軸承徑向懸浮力Fig.4 Radial suspension force of permanent magnet bearing at e=4 mm for different N values

4.2 蒙特卡洛法與有限元法對比

文獻［15］指出，在永磁軸承結(jié)構(gòu)設(shè)計初期無具體尺寸的情況下很難進行數(shù)值模擬，因此許多學(xué)者采用比理論計算更精確的有限元仿真設(shè)計永磁軸承結(jié)構(gòu)［16-17］，文獻［18-19］的研究結(jié)果也表明有限元仿真的結(jié)果較準確。本文三維電磁場使用有限元分析軟件ANSYS Maxwell 3D 進行仿真分析，建立模型如圖5所示。

圖5 半定子環(huán)永磁軸承三維有限元模型Fig.5 Three - dimensional finite element model of permanent magnet bearing with half - stator ring

內(nèi)磁環(huán)的懸浮力與偏移距離（偏心角度θ為90°）、偏心角度（偏心距離為3 mm）的關(guān)系如圖6所示：2種算法結(jié)果的趨勢相同，二者相對誤差Er隨偏移距離和偏心角度的變化基本不變，說明理論計算與有限元結(jié)果之間存在一定的線性誤差。因此可以對理論計算結(jié)果進行修正，修正系數(shù)K根據(jù)懸浮力仿真值Fy和計算值F'y進行加權(quán)確定，即

圖6 懸浮力與偏移距離、偏心角度的關(guān)系Fig.6 Relationship between suspension force and offset distance or eccentricity angle

修正后的計算結(jié)果如圖7所示，修正后的理論計算與有限元結(jié)果的最大誤差僅為1.5%。因此，在設(shè)計永磁軸承結(jié)構(gòu)時，可先通過理論計算進行初步的結(jié)構(gòu)設(shè)計，但不能保證較高的精度；在基本參數(shù)初步確定后仍需對數(shù)據(jù)進行驗證和修正以得到較優(yōu)的結(jié)構(gòu)。

圖7 參數(shù)修正后懸浮力與偏移距離、偏心角度的關(guān)系Fig.7 Relationship between suspension force and offset distance or eccentricity angle after parameter correction

5 永磁體形狀優(yōu)化分析

由于離心機管樁尺寸巨大，能適配于管樁外徑的大型磁環(huán)難以制造且價格昂貴，在工程實踐中一般采用將若干塊永磁體拼接組成磁環(huán)，導(dǎo)致表面的磁感應(yīng)強度不均勻，特別是兩磁體間隙附近磁感應(yīng)強度下降很多，在離心機旋轉(zhuǎn)時會產(chǎn)生不利的影響。為降低磁場的不均勻性對拼接式磁環(huán)懸浮力的影響，采用有限元分析軟件對矩形、梯形、徑向充磁扇形永磁體和平行充磁永磁體拼接的磁環(huán)進行分析計算，尋找拼接式永磁軸承的合理設(shè)計方案。

將永磁體分成20 塊，由于2 個相鄰的磁體之間存在很強的排斥力，導(dǎo)致安裝困難，因此在相鄰磁體之間留有間隙以減少排斥力。

靜磁場時拼接磁環(huán)受到的懸浮力與偏移距離的關(guān)系如圖8 所示，4 種拼接方式對懸浮力的影響不大。拼接磁環(huán)以600 r/min 的轉(zhuǎn)速運轉(zhuǎn)時受到的懸浮力和扭矩如圖9 所示：每種拼接方式對中時懸浮力最大，且矩形永磁體拼接時懸浮力波動最大，即峰值取決于轉(zhuǎn)子與永磁體邊緣位置的接近程度［20］；扇形永磁體拼接時的扭矩最小，梯形永磁體次之，矩形永磁體最大。因此，在具體工程實踐中可根據(jù)需求選擇扇形或矩形永磁體拼接磁環(huán)。

圖8 拼接磁環(huán)懸浮力與偏移距離的關(guān)系Fig.8 Relationship between suspension force of spliced magnetic ring and offset distance

圖9 拼接磁環(huán)的懸浮力和扭矩Fig.9 Suspension force and torque of spliced magnetic ring

6 結(jié)論

為解決離心制管機磨損問題，基于等效磁荷法建立了半定子環(huán)永磁軸承數(shù)學(xué)模型，采用蒙特卡洛法近似計算軸承懸浮力，在本文條件下得到以下結(jié)論：

1）運用蒙特卡洛法求解方程，合理選取隨機變量N的個數(shù)，能達到較高的計算精度，理論計算與有限元結(jié)果的最大誤差為1.5%。

2）扇形和梯形永磁體拼接磁環(huán)懸浮力波動較?。簧刃斡来朋w拼接磁環(huán)在運行中具有很小的扭矩，梯形永磁體次之。