趙雁，高飛，2，夏玉磊，李志娟，張致遠

（1.洛陽軸承研究所有限公司，河南 洛陽 471039；2.清華大學(xué) 機械工程系，北京 100083）

在精密機床、高速電主軸、航空航天、渦輪增壓器等領(lǐng)域，角接觸球軸承長期以較高的轉(zhuǎn)速運行，并承受著軸向力、徑向力、力矩載荷的聯(lián)合作用，聯(lián)合載荷使鋼球的承載特性和運動狀態(tài)發(fā)生較大變化［1］，易引發(fā)球與保持架的頻繁碰撞，球與保持架之間的碰撞則影響著保持架的運轉(zhuǎn)穩(wěn)定性［2］，嚴重時將導(dǎo)致保持架兜孔異常磨損［3］，甚至可能造成保持架斷裂［4-5］，故有必要對聯(lián)合載荷下精密軸系角接觸球軸承鋼球與保持架的動力學(xué)行為進行分析。

國內(nèi)外學(xué)者做了大量關(guān)于軸承動力學(xué)行為的研究：文獻［6］建立了軸承有限元仿真模型，分析了加速工況下軸承的接觸特性，結(jié)果表明加速階段鋼球穩(wěn)定性較差，增大了保持架應(yīng)力；文獻［7］分析了變工況下軸承保持架的穩(wěn)定性，發(fā)現(xiàn)增加軸向載荷使保持架與球的碰撞增加，導(dǎo)致保持架運行不穩(wěn)定；文獻［8］的研究發(fā)現(xiàn)，由于高溫作用引發(fā)鋼球在溝道上的滑移，顯著增大了鋼球與保持架的碰撞力以及保持架兜孔磨損率，最終導(dǎo)致保持架失穩(wěn)；文獻［9］研究了高速角接觸球軸承保持架橢圓兜孔對保持架兜孔沖擊力以及保持架穩(wěn)定性的影響，結(jié)果表明，保持架兜孔設(shè)計為橢圓狀有助于提高較大徑向載荷下高速角接觸球軸承保持架的穩(wěn)定性，并減小保持架兜孔的沖擊載荷；文獻［10］建立了曲柄滑塊機構(gòu)用球軸承動力學(xué)模型，分析了轉(zhuǎn)速、徑向游隙對軸承-機構(gòu)系統(tǒng)運動精度和動力學(xué)特性的影響，結(jié)果表明，隨著轉(zhuǎn)速和徑向游隙的增加，鋼球與保持架之間的碰撞力增大且存在較大的沖擊波動變化；文獻［11］建立了擺動工況下球軸承的動力學(xué)模型，分析了擺動工況下鋼球與保持架的瞬時碰撞行為，結(jié)果表明，擺動工況下減小徑向載荷或增加變速時間有利于減小鋼球與保持架的碰撞。

上述文獻均基于單一滾動軸承模型分析滾動體及保持架的動態(tài)性能與接觸特性，缺乏關(guān)于角接觸球軸承成對使用時的動力學(xué)行為研究。因此，本文建立一對角接觸球軸承支承的精密軸系仿真模型，開展不同轉(zhuǎn)速、載荷以及結(jié)構(gòu)參數(shù)下軸承鋼球與保持架的動力學(xué)行為分析。

1 精密軸系模型

1.1 精密軸系結(jié)構(gòu)及坐標系

精密軸系由一對角接觸球軸承共同支承，如圖1 所示，2 套軸承的跨距為34 mm，內(nèi)圈靜止，外圈轉(zhuǎn)速為n，軸向預(yù)緊力為Fa，徑向載荷為Fr，力矩載荷為M。為描述各零件的運動與相對位置關(guān)系，建立固定坐標系Oxyz、外圈坐標系Oexeyeze、鋼球坐標系Obxbybzb、保持架坐標系Ocxcyczc以及兜孔坐標系Opxpypzp。

圖1 精密軸系示意圖Fig.1 Diagram of precision shafting

1.2 軸承受力及運動分析

鋼球與保持架的作用力及運動關(guān)系如圖2 所示，外圈繞x軸旋轉(zhuǎn)；保持架以角速度ωcm旋轉(zhuǎn)；鋼球繞x軸以角速度ωbvj公轉(zhuǎn)的同時繞自身軸線以角速度ωbrj自轉(zhuǎn)，且鋼球在運動過程中可能包含滾動和滑動2種運動。圖2中：Qbczj，Tbcyj分別為鋼球與保持架兜孔作用的法向力、切向力；Fcy，F(xiàn)cz分別為引導(dǎo)擋邊對保持架的法向力、切向力；ψc為保持架坐標系與固定坐標系的夾角；φj為第j個鋼球的方位角。

圖2 軸承運動及鋼球與保持架相互作用示意圖Fig.2 Diagram of bearing motion and interaction between steel ball and cage

鋼球與保持架的法向作用力Qbcj為

式中：Kbc為鋼球與保持架的接觸剛度；εbcj為鋼球中心相對于兜孔中心的位移；Cp為保持架兜孔間隙；Cbc為阻尼系數(shù)；vbcj為鋼球相對于兜孔的速度。

鋼球與保持架兜孔的切向作用力為

式中：fsot為鋼球與保持架兜孔的摩擦因數(shù)，取0.085［12］。

1.3 軸承動力學(xué)微分方程

保持架在運動過程中受到引導(dǎo)套圈的作用力、自身重力以及鋼球的作用力，其動力學(xué)微分方程為

式中：mc為保持架質(zhì)量；Jcx，Jcy，Jcz為保持架繞x，y，z軸的轉(zhuǎn)動慣量；ωcx，ωcy，ωcz為保持架角速度在x，y，z方向的分量；Z為鋼球數(shù)量；Gc為保持架重力；Dw為鋼球直徑；Dpw為球組節(jié)圓直徑；Qbcxpj，Qbcypj，Qbczpj為Qbcj在xp，yp，zp方向的分量；Tbcxpj，Tbcypj為Tbcj在xp，yp方向的分量；Tbc為套圈對保持架的軸向摩擦力；Mc為引導(dǎo)擋邊對保持架的力矩。

鋼球、外圈的動力學(xué)微分方程參考文獻［13］。

2 仿真分析

以一對7000型角接觸球軸承為支承的精密軸系為研究對象，軸承主要結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。以左端軸承為例，分析不同載荷和轉(zhuǎn)速下精密軸系軸承鋼球的動力學(xué)行為以及鋼球與保持架的作用規(guī)律，探究工況條件和結(jié)構(gòu)參數(shù)對精密軸系中軸承鋼球與保持架動力學(xué)行為的影響。

表1 7000型角接觸球軸承主要結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Main structural parameters of 7000 angular contact ball bearing

2.1 轉(zhuǎn)速和軸向預(yù)緊力對鋼球與保持架動力學(xué)行為的影響

2.1.1 鋼球的運動軌跡

當Fr=60 N，M=0 時，分析不同轉(zhuǎn)速和軸向預(yù)緊力下鋼球的運動軌跡，如圖3所示：在徑向載荷、軸向預(yù)緊力作用下，n=10 000 r/min，F(xiàn)a=20 N 時鋼球質(zhì)心在x方向發(fā)生偏移，運動軌跡在xOz平面投影近似呈橢圓形，在xOy平面投影呈“I”形，此時鋼球的運行比較穩(wěn)定；Fa=20 N 保持不變，轉(zhuǎn)速增大至50 000 r/min 時，鋼球在x方向的運動出現(xiàn)明顯波動，在xOz，xOy平面上投影點的重復(fù)性變差；保持n=50 000 r/min 不變，軸向預(yù)緊力增大至60 N 時，鋼球在x方向上的位移波動減小，這是因為隨著軸向預(yù)緊力的增大，鋼球與溝道之的接觸載荷增大，弱化了鋼球高速旋轉(zhuǎn)時的離心效應(yīng)，鋼球的運行穩(wěn)定性提高。

圖3 不同轉(zhuǎn)速和軸向預(yù)緊力下鋼球的運動軌跡Fig.3 Motion trajectory of steel balls under different speeds and axial preloads

2.1.2 鋼球與保持架的作用力及運動狀態(tài)

當Fr=60 N 時，不同轉(zhuǎn)速下鋼球與保持架的作用力隨軸向預(yù)緊力的變化如圖4所示：當轉(zhuǎn)速小于40 000 r/min 時，鋼球與保持架的作用力隨著軸向預(yù)緊力的增大而增大；當轉(zhuǎn)速大于40 000 r/min時，鋼球與保持架的作用力隨著軸向預(yù)緊力的增大出現(xiàn)波動，且較大和較小的軸向預(yù)緊力均導(dǎo)致作用力頻繁波動。

圖4 不同轉(zhuǎn)速下鋼球與保持架的作用力隨軸向預(yù)緊力的變化Fig.4 Variation of acting force between steel ball and cage with axial preload under different speeds

n=50 000 r/min 時，鋼球公轉(zhuǎn)速度與保持架轉(zhuǎn)速隨軸向預(yù)緊力的變化如圖5所示：軸向預(yù)緊力為20 N 時，鋼球的公轉(zhuǎn)速度和保持架轉(zhuǎn)速存在較大波動；當軸向預(yù)緊力增大至40 N時，鋼球的公轉(zhuǎn)速度平滑變化，保持架轉(zhuǎn)速波動減??；隨著軸向預(yù)緊力繼續(xù)增大至60 N，鋼球的公轉(zhuǎn)速度的穩(wěn)定性有所降低，保持架轉(zhuǎn)速出現(xiàn)了明顯波動。

圖5 n=50 000 r/min 時鋼球的公轉(zhuǎn)速度和保持架轉(zhuǎn)速隨軸向預(yù)緊力的變化Fig.5 Variation of revolution speed of steel ball and speed of cage with axial preload when n=50 000 r/min

綜上分析可知：當軸向預(yù)緊力較小時，高速運行時鋼球產(chǎn)生較大的離心力，鋼球運行不穩(wěn)定導(dǎo)致其與套圈之間的接觸角頻繁變化，造成鋼球的公轉(zhuǎn)速度劇烈波動，鋼球與保持架的作用力較大且碰撞頻次高；隨軸向預(yù)緊力增大，鋼球公轉(zhuǎn)速度與保持架轉(zhuǎn)速變化穩(wěn)定，速度較慢的鋼球可以在保持架作用下發(fā)生微小滑動，兩者之間的作用力相對平穩(wěn)；繼續(xù)增大軸向預(yù)緊力，鋼球與套圈之間的接觸載荷更加充分，鋼球與保持架之間的碰撞難以改變其運動狀態(tài)，鋼球滑動減弱且與保持架的作用力增大。

2.2 力矩載荷和軸向預(yù)緊力對鋼球與保持架動力學(xué)行為的影響

2.2.1 鋼球的運動軌跡

當Fa=50 N，F(xiàn)r=0，n=10 000 r/min 時，不同力矩載荷作用下鋼球的運動軌跡如圖6 所示：當M=1 N · m時，鋼球整體運行穩(wěn)定；當M=5 N · m時，鋼球在承載區(qū)內(nèi)整體運行穩(wěn)定，而進出承載區(qū)過程中在x方向上存在明顯波動，其軌跡在xOz平面投影呈“D”形，在xOy平面投影呈“V”形。

圖6 不同力矩載荷下鋼球的運動軌跡Fig.6 Motion trajectory of steel balls under different torque loads

2.2.2 鋼球與保持架的作用力及運動狀態(tài)

當Fr=0，n=10 000 r/min時，不同軸向預(yù)緊力下鋼球與保持架的作用力隨力矩載荷的變化如圖7所示。當Fa=40 N，F(xiàn)r=0，n=10 000 r/min 時，鋼球的公轉(zhuǎn)速度與保持架轉(zhuǎn)速隨力矩載荷的變化如圖8所示。由圖7 和圖8 可知：隨著力矩載荷的增大，鋼球與保持架的作用力總體呈先增大再減小而后快速增大的趨勢；當軸承僅承受軸向預(yù)緊力時，每個鋼球受載一致，鋼球轉(zhuǎn)速不變，鋼球與保持架的作用力較小；而在大軸向預(yù)緊力與小力矩載荷作用下，每個鋼球均受載但接觸載荷存在差異，造成各個鋼球產(chǎn)生速度差，鋼球與保持架兜孔之間產(chǎn)生較強的擠壓接觸，鋼球與保持架的作用力較大；隨著力矩載荷的增大，存在一部分鋼球受載較大而其他鋼球受載較小，鋼球與保持架兜孔之間的位置關(guān)系可以通過受載較小鋼球的微小滑動調(diào)節(jié)，從而改善兩者之間的相互作用；隨著力矩載荷的繼續(xù)增大，部分鋼球發(fā)生卸載，鋼球反復(fù)進出承載區(qū)與卸載區(qū)，鋼球出承載區(qū)之后轉(zhuǎn)速發(fā)生波動，造成保持架轉(zhuǎn)速頻繁波動，鋼球與保持架的作用力急劇增大。

圖7 不同軸向預(yù)緊力下鋼球與保持架的作用力隨力矩載荷的變化Fig.7 Variation of acting force between steel ball and cage under different axial preloads with torque load

圖8 鋼球公轉(zhuǎn)速度與保持架轉(zhuǎn)速隨力矩載荷的變化Fig.8 Variation of revolution speed of steel balls and speed of cage with torque load

2.3 軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)對鋼球與保持架動力學(xué)行為的影響

2.3.1 保持架兜孔間隙

當Fa=40 N 時，鋼球與保持架的作用力隨兜孔間隙的變化如圖9 所示：在徑向載荷作用下，鋼球與保持架的作用力隨著兜孔間隙的增大先減小后增大；在力矩載荷作用下，鋼球與保持架的作用力隨著兜孔間隙的增大而減小。

圖9 不同載荷及轉(zhuǎn)速下鋼球與保持架的作用力隨兜孔間隙的變化Fig.9 Variation of acting force between steel ball and cage with pocket clearance under different loads and speeds

鋼球的公轉(zhuǎn)速度與保持架轉(zhuǎn)速隨兜孔間隙的變化如圖10 所示：兜孔間隙對鋼球的公轉(zhuǎn)速度影響很小，對保持架轉(zhuǎn)速影響較大。兜孔間隙較小時，保持架轉(zhuǎn)速處于頻繁波動狀態(tài)，轉(zhuǎn)速的變化將引起其與鋼球之間的劇烈碰撞；兜孔間隙較大時，給鋼球提供了一定的自由移動空間，保持架轉(zhuǎn)速波動性減小，鋼球與保持架的作用力降低。

圖10 鋼球公轉(zhuǎn)速度與保持架轉(zhuǎn)速隨兜孔間隙的變化Fig.10 Variation of revolution speed of steel ball and speed of cage with pocket clearance

2.3.2 外圈溝曲率半徑系數(shù)

當Fa=40 N時，鋼球與保持架的作用力隨外溝曲率半徑系數(shù)的變化如圖11 所示：n=10 000 r/min時，徑向載荷和力矩載荷作用下的鋼球與保持架的作用力均隨著外溝曲率半徑系數(shù)的增大先減小再趨于穩(wěn)定；n=40 000 r/min 時，徑向載荷作用下的鋼球與保持架的作用力隨著外溝曲率半徑系數(shù)的增大而減小，力矩載荷作用下的鋼球與保持架的作用力隨著外溝曲率半徑系數(shù)的增大先減小后緩慢變化。

圖11 不同載荷及轉(zhuǎn)速下鋼球與保持架的作用力隨外溝曲率半徑系數(shù)的變化Fig.11 Variation of acting force between steel ball and cage with outer groove curvature radius coefficient under different loads and speeds

鋼球公轉(zhuǎn)速度與保持架轉(zhuǎn)速隨外溝曲率半徑系數(shù)的變化如圖12 所示：外溝曲率半徑系數(shù)對鋼球公轉(zhuǎn)速度和保持架轉(zhuǎn)速影響較大；較小的外溝曲率半徑系數(shù)會增加鋼球的接觸載荷，導(dǎo)致保持架轉(zhuǎn)速波動增大，鋼球與保持架的作用力增大；外溝曲率半徑系數(shù)增大，保持架轉(zhuǎn)速波動逐漸減小，鋼球與保持架的作用力隨之減小。

圖12 鋼球的公轉(zhuǎn)速度與保持架轉(zhuǎn)速隨外溝曲率半徑系數(shù)的變化Fig.12 Variation of revolution speed of steel ball and speed of cage with outer groove curvature radius coefficient

3 試驗驗證

采用高速攝影系統(tǒng)（圖13a）測量精密軸系保持架的轉(zhuǎn)速，在保持架端面圓周方向上設(shè)置標記點（圖13b），對高速攝像機拍攝圖片標記點的像素位置信息進行數(shù)據(jù)處理，得到保持架轉(zhuǎn)速。

圖13 保持架轉(zhuǎn)速測量Fig.13 Measurement of cage speed

Fa=40 N，F(xiàn)r=20 N，M=0，n=2 000 r/min時，保持架轉(zhuǎn)速如圖14所示：仿真值略高于試驗值，試驗測得的保持架轉(zhuǎn)速波動較大，仿真結(jié)果的波動較小，仿真結(jié)果和試驗結(jié)果具有較高的一致性，驗證了精密軸系仿真模型的準確性。

圖14 保持架轉(zhuǎn)速試驗結(jié)果與仿真結(jié)果的對比Fig.14 Comparison between experimental and simulation results of cage speed

4 結(jié)論

建立了角接觸球軸承支承的精密軸系動力學(xué)仿真模型，分析了轉(zhuǎn)速、載荷、軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)對鋼球與保持架動力學(xué)行為的影響，在本文的條件下得到以下結(jié)論：

1）徑向載荷和力矩載荷改變了球的運動軌跡，導(dǎo)致鋼球與保持架的轉(zhuǎn)速發(fā)生較大變化，且力矩載荷的影響程度更加明顯；

2）徑向載荷作用下，低速工況時鋼球與保持架的作用力隨軸向預(yù)緊力增大而增大，高速工況時鋼球與保持架的作用力隨軸向預(yù)緊力先減小后增大，高速工況下選擇合適的軸向預(yù)緊力有助于改善鋼球與保持架的接觸行為；

3）力矩載荷作用下，鋼球與保持架的作用力隨著力矩載荷的增大先增大再減小而后急劇增大，在小力矩載荷工況下，鋼球與保持架的作用力相對較大；

4）適當增大保持架兜孔間隙與外溝曲率半徑系數(shù)有利于減小保持架轉(zhuǎn)速的波動，降低鋼球與保持架的作用力。