趙榮華

(吉林省四平市教育學(xué)院)

立體幾何的研究對(duì)象是空間幾何體,在研究空間幾何的有關(guān)問(wèn)題時(shí),我們經(jīng)常要對(duì)它的圖形進(jìn)行一些變換,如展開(kāi)、折疊、割補(bǔ)、還原等.本文舉例說(shuō)明.

1 折疊變換

將平面圖形按照一定的要求進(jìn)行折疊,得到空間幾何體,研究幾何體的性質(zhì),或計(jì)算幾何體的體積與表面積是一種常見(jiàn)的題型.解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是要分清折疊前后位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系中的變與不變.

例1 如圖1所示,在直角梯形ABCD中,AB//DC,∠BAD＝90°,AB＝4,AD＝2,DC＝3,點(diǎn)E在CD上,且DE＝2,將△ADE沿AE折起,使得平面ADE⊥平面ABCE,G為AE的中點(diǎn).

圖1

(1)求證:DG⊥平面ABCE;

(2)求四棱錐D-ABCE的體積;

(3)在線段BD上是否存在點(diǎn)P,使得CP//平面ADE? 若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(1)因?yàn)镚為AE的中點(diǎn),AD＝DE＝2,所以DG⊥AE.因?yàn)槠矫鍭DE⊥平面ABCE,平面ADE∩平面ABCE＝AE,DG?平面ADE,所以DG⊥平面ABCE.

(3)如圖2所示,過(guò)點(diǎn)C作CF//AE交AB于點(diǎn)F,則AF∶FB＝1∶3.過(guò)點(diǎn)F作FP//AD交DB于點(diǎn)P,連接PC,則DP∶PB＝1∶3.又CF//AE,AE?平面ADE,CF?平面ADE,所以CF//平面ADE.

圖2

同理,FP//平面ADE.又CF∩PF＝F,CF?平 面PFC,PF?平面PFC,所以平面PFC//平面ADE.因?yàn)镃P?平面PFC,所以CP//平面ADE,則在BD上存在點(diǎn)P,使得CP//平面ADE,且

本題已經(jīng)給出圖形,解答時(shí)只需抓住兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):一是圖形翻折前后哪些數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系發(fā)生了變化,哪些沒(méi)有發(fā)生變化;二是對(duì)照翻折后的圖形,按照一般的立體幾何問(wèn)題加以解答.

2 展平變換

將空間圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題,是解決立體幾何問(wèn)題基本的、常用的方法.將空間圖形展開(kāi)成平面圖形后,弄清幾何體中相應(yīng)點(diǎn)和線在展開(kāi)圖中的相應(yīng)的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

例2 如圖3 所示,已知在圓錐SO中,底面半徑r＝1,母線長(zhǎng)l＝4,M為母線SA上的一個(gè)點(diǎn),且SM＝x,從點(diǎn)M拉一根繩子,圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)A,則當(dāng)繩子最短時(shí),頂點(diǎn)到繩子的最短距離為_(kāi)________(用x表示).

圖3

因?yàn)榈酌姘霃絩＝1,母線長(zhǎng)l＝4,所以側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)為2πr＝2π,則側(cè)面展開(kāi)扇形的圓心角,因此,將圓錐側(cè)面展開(kāi)成一個(gè)扇形(如圖4),從點(diǎn)M拉一繩子圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)A,最短距離為Rt△ASM1中斜邊AM1的長(zhǎng)度.因?yàn)镾M1＝x,SA＝4,所以繩子的最短長(zhǎng)度的平方為f(x)＝AM21＝x2＋16(0≤x≤4).設(shè)繩子最短時(shí),頂點(diǎn)S到繩子的最短距離等于d,則

圖4

本題要求曲面上兩點(diǎn)間的最小距離,依據(jù)平面上兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)將曲面展平成平面,把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題.立體幾何中側(cè)面上兩點(diǎn)最短路程問(wèn)題,一般都采用一個(gè)思路.

3 割補(bǔ)變換

對(duì)于不規(guī)則的幾何體,通過(guò)“割”或“補(bǔ)”的方法可以將其變?yōu)橐?guī)則的幾何體,這就是割補(bǔ)變換法,割補(bǔ)變換常常用于求解體積問(wèn)題.

例3 圖5中的多面體的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形,上面的棱平行于底面,其長(zhǎng)為2a,其余的棱長(zhǎng)都是a.已知,則這個(gè)多面體的體積是________.

圖5

如圖6所示,在線段PQ上分別取C,C1兩點(diǎn),使得平面ABC⊥平面AA1B1B,平面A1B1C1⊥平面AA1B1B,AB的中點(diǎn)為M,連接CM,則又,所以

圖6

綜上,這個(gè)多面體的體積為

“割”與“補(bǔ)”是解決立體幾何問(wèn)題的常用方法,通過(guò)割補(bǔ)變換可化復(fù)雜的幾何體為已熟知的簡(jiǎn)單幾何體,從而較快地找出解決問(wèn)題的突破口.本題將多面體分割成三個(gè)可求體積的幾何體:一個(gè)棱柱和兩個(gè)棱錐.

4 還原變換

有些立體幾何問(wèn)題給出的圖形是三視圖或空間幾何體展開(kāi)的平面圖,解答時(shí)往往要將這些圖形還原成直觀圖,最后利用直觀圖來(lái)解決問(wèn)題.

例4 (多選題)如圖7所示,這是一個(gè)正方體的展開(kāi)圖,若將它還原為正方體,則以下正確的是( ).

圖7

A.AB//CD

B.CD//EF

C.DF//EG

D.HG//EF

由展開(kāi)圖可得幾何體的直觀圖如圖8所示,所以AB與CD為異面直線,HG與EF為異面直線,故A 和D 錯(cuò) 誤.由 正方體的性質(zhì)可得DF//EG,DF//CE,DF＝CE,所以四邊形CDFE為平行四邊形,則EF//CD,故B和C正確.

圖8

綜上,選BC.

本題考查空間兩條直線的位置關(guān)系,必須先把平面展開(kāi)圖還原成立體直觀圖.

折疊、展開(kāi)、割補(bǔ)和還原是立體幾何基本的圖形變換,也是高考?？碱}型.從以上四個(gè)例題可以看出,解決這類問(wèn)題的方法主要有兩種:一種是直觀想象,借助空間想象來(lái)解決問(wèn)題;另一種是實(shí)地實(shí)驗(yàn),通過(guò)折紙實(shí)驗(yàn)等直觀解決問(wèn)題.

(完)