何孝凱,曹周鍵

(1. 湖南第一師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖南 長沙 410205;2. 北京師范大學(xué) 天文系,北京 100875)

電磁現(xiàn)象和引力現(xiàn)象的相似性是一個值得人們深入思考的問題.牛頓的萬有引力平方反比定律和庫侖的靜電力平方反比定律最先引起人們注意到這個相似性的對比.在電流間的安培力被發(fā)現(xiàn)以后,人們花了很多努力去尋找引力的“安培力”對應(yīng).在牛頓時空觀的理論框架下,這些努力失敗了.

引力“安培力”的問題在一定程度上引導(dǎo)馬赫原理被提出,進(jìn)而助力了廣義相對論的誕生.在廣義相對論框架下,人們發(fā)現(xiàn)磁型引力場對應(yīng)引力“安培力”.后來人們發(fā)現(xiàn)在弱場、低速近似下,愛因斯坦方程表現(xiàn)為類似麥克斯韋方程的形式.該方程與麥克斯韋方程只差到一個符號.這一符號差異導(dǎo)致引力邁斯納效應(yīng)[1]和引力發(fā)電機(jī)不存在[2].

本文不著力于探討電磁現(xiàn)象和引力現(xiàn)象的物理實質(zhì)相似性,而是重點關(guān)注它們之間形式的相似性問題.作為廣義相對論理論核心的愛因斯坦方程預(yù)言了引力波的存在.在平直時空背景下傳播的引力波可以被描述為平直時空的微擾.在弱場、低速條件下,愛因斯坦方程和麥克斯韋方程非常類似,而麥克斯韋方程可以描述電磁波,那么弱場、低速近似下愛因斯坦方程的引力電和引力磁是否可以在形式上被用來描述引力波呢?這就是本文將要重點討論的問題.在本文中我們采用幾何單位制c=G=1.

1 引力電、引力磁和類麥克斯韋方程

考慮低速、低密度的物質(zhì)場,用數(shù)學(xué)的語言描述就是說存在一個坐標(biāo)系可以將時空度規(guī)場表述為

gμν=ημν+hμν

(1)

|hμν|<<1

(2)

同時物質(zhì)場的能動張量可以表達(dá)為

(3)

|vi|<<1,ρ～O(ε)

(4)

這里ημν是閔氏度規(guī),ρ是物質(zhì)場能量密度,為小量,記為O(ε),v=(v1,v2,v3)為物質(zhì)的速度場.能動張量的空-空分量是速度平方的量級,此處已被當(dāng)作速度的高階小量忽略掉.

度規(guī)式(1)對應(yīng)的克氏符為

(5)

對于里奇張量,保留到一階,有

根據(jù)式(5),有

(6)

利用反跡張量記號：

可以將調(diào)和規(guī)范條件表述為

(7)

在上式的最后一步中用到了Tμν和ξμ都是小量.

上面的論述表明,可選取調(diào)和規(guī)范并滿足式(1)—(4).為記號簡便,接下來采用這樣的規(guī)范并丟掉記號中的波浪符號.此時,愛因斯坦方程變?yōu)?/p>

(8)

由此可以求得推遲解：

其中B(r,t′)表示r為球心t′為半徑的坐標(biāo)球殼.現(xiàn)引入類電磁學(xué)記號：

(9)

將引力電磁四勢Aμ和引力電流Jμ代入調(diào)和規(guī)范條件,得到類洛倫茲規(guī)范條件：

(10)

我們可以進(jìn)一步引入類似電磁學(xué)的標(biāo)勢和矢勢以及引力電場、引力磁場記號：

φ≡A0,A≡(A1,A2,A3)

E≡

(11)

B≡×A

(12)

對式(11)取散度,得

(13)

上式的最后一步用到了式(9).

對式(11)取旋度,得

其中j≡(J1,J2,J3).

至此,我們就得到了完整的類麥克斯韋引力電磁方程組[3]：

(14)

(15)

(16)

(17)

除了式(14)右端的負(fù)號,上述方程組形式上與麥克斯韋方程組完全一樣.

2 遠(yuǎn)場區(qū)的引力電和引力磁

在現(xiàn)實的物理系統(tǒng)中,物質(zhì)場的分布都在有限區(qū)域.在這個區(qū)域以外,物質(zhì)場變成零,對應(yīng)的類麥克斯韋方程式(14)—(17)變成無源方程組. 形式上該方程組和無源麥克斯韋方程組完全一樣,而遠(yuǎn)場區(qū)變成引力波的波動區(qū). 這自然讓我們聯(lián)想,這個無源的類麥克斯韋方程組是不是正好描述引力波.

不失一般性,考慮沿x方向傳播的單色平面類電磁波解：

E=E0cos(kx-ωt),B=B0cos(kx-ωt)

等價地,有

(18)

根據(jù)類麥克斯韋方程的性質(zhì),可知類電磁波解的傳播速度為光速,所以k=ω.將式(18)代入調(diào)和規(guī)范條件式(7)得到

ωφ0+kA0x=0

(19)

φ0=-A0x

(20)

根據(jù)式(6),通過直接計算可以發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)變換后仍然滿足調(diào)和規(guī)范,同時Aμν變?yōu)?/p>

實際上,上述的規(guī)范變換或者說坐標(biāo)變換對應(yīng)通常教科書中描述引力波常用的橫向無跡規(guī)范[4].換句話說,遠(yuǎn)場區(qū)的引力電和引力磁對應(yīng)的橫向無跡規(guī)范引力波等于0.

3 討論

上節(jié)分析表明遠(yuǎn)場區(qū)的引力電和引力磁對應(yīng)的平直時空微擾張量可以通過規(guī)范變換變成0.由此,我們自然想到一個問題,是否引力電和引力磁完全是規(guī)范效應(yīng),沒有物理實質(zhì).答案是否定的.引力電和引力磁具有很好的物理意義,在弱引力場和后牛頓近似中有廣泛應(yīng)用.問題的關(guān)鍵在于有源和無源的區(qū)別以及穩(wěn)態(tài)和波動的區(qū)別.

在無源區(qū),我們可以使用橫向無跡規(guī)范.因為橫向無跡規(guī)范很重要的一個條件是真空愛因斯坦方程.非真空情形下橫向無跡規(guī)范不存在,上一節(jié)講到的規(guī)范變換也不成立.所以,在有源區(qū)引力電和引力磁可以有效地、方便地刻畫引力場.重要的是,本文的分析表明,這樣的引力電和引力磁傳不遠(yuǎn),它們不能脫離引力源存在,自然也就不能描述脫離引力源傳播的引力波.

雙星系統(tǒng)是人們最為熟悉的引力波源[5-7].對比本文的分析,我們會問,難道間距很大的雙星系統(tǒng)不能做如式(3)的弱場、低速近似.對于雙星系統(tǒng),能量動量張量可寫為[8]

引力電和引力磁是后牛頓分析中經(jīng)常使用的概念,常伴隨后牛頓規(guī)范使用. 后牛頓規(guī)范中強(qiáng)調(diào)的低速就是相對物質(zhì)而言的,沒有物質(zhì)就談不上低速.后牛頓規(guī)范中的低速既是對物質(zhì)性質(zhì)的要求也是對規(guī)范選擇的要求.本文的分析讓我們體會到,后牛頓規(guī)范是在源區(qū)附近使用的概念.這是為什么在地球附近的衛(wèi)星項目檢驗廣義相對論效應(yīng)的時候可以使用引力電和引力磁[9-12],原因就是所涉及的源場區(qū)附近的引力場行為.

另外值得指出的是,文獻(xiàn)中還有另外一種形式的引力電和引力磁的概念.這種引力電和引力磁是通過曲率張量的相關(guān)分量來定義的[13].此種形式的引力電和引力磁完全對應(yīng)引力波的概念.但這種形式的引力電和引力磁對應(yīng)的動力學(xué)方程除了是對偶形式物理量和相關(guān)性質(zhì)與電磁場有些類似之外,方程形式與麥克斯韋方程很不一樣.