張維元,俞驍翀

(北京師范大學 物理學系,北京 100875)

光學微腔能夠同時在空間和頻率維度上約束光場,將諧振光子長時間局限在微納尺度,并多次作用于模式范圍內(nèi)的物質(zhì),極大增強了光與物質(zhì)相互作用,是基礎(chǔ)光物理和光子學應(yīng)用研究的重要平臺[1].其中,基于全內(nèi)反射約束光場的回音壁微腔具有超高的品質(zhì)因子和很小的模式體積,備受研究者們關(guān)注,在微型激光器[2-5]、微腔非線性光學與光頻梳[6-7]、集成光子學回路[8-9]和高靈敏光學傳感[10-15]等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用.

光學微腔中的回音壁模式滿足矢量波動方程以及電磁場邊界條件.除了二維圓腔、三維球腔等少數(shù)旋轉(zhuǎn)對稱規(guī)則幾何形狀具有簡單的解析解外,人們也發(fā)展了多種近似手段和數(shù)值方法分析介觀微腔中的回音壁模式.一般回音壁模式按偏振可以分為橫電(TE)模式和橫磁(TM)模式,在結(jié)構(gòu)對場約束不太大時大致為線偏振狀態(tài),這也限制了回音壁模式與一些手性物質(zhì)的相互作用時的可區(qū)分度.

本文考慮在微腔中使用手性材料,以得到相比常規(guī)回音壁模式更為豐富的模式偏振,開拓回音壁模式的偏振調(diào)控自由度,可以更好的進行各種基礎(chǔ)光物理和光子學應(yīng)用.基于麥克斯韋方程組和手性材料唯象本構(gòu)關(guān)系,本文將對存在手性材料時的回音壁模式偏振特性進行分析,建立并驗證適用于有限元方法的手性材料微納結(jié)構(gòu)仿真框架.

1 手性材料中的電磁場

對于旋光性相對較弱的常見手性材料,將唯象本構(gòu)關(guān)系中的與旋光性相關(guān)的交叉耦合項作為微擾,已經(jīng)足以計算出光學模式以及對應(yīng)的本征頻率.但是考慮到日益發(fā)展的納米技術(shù),電磁場之間的交叉耦合越來越不適合作為微擾效應(yīng),開發(fā)非微擾的模式求解手段還是非常有必要的.

首先考慮本構(gòu)關(guān)系[16-18]：

(1)

(2)

(3)

在均勻材料區(qū)域中,e±ih分別滿足矢量亥姆霍茲方程：

(4)

獨立邊界條件可以取：

(5)

由于電磁場在均勻介質(zhì)中滿足橫波條件,上述矢量亥姆霍茲方程解的形式只能取為

e±ih=

(6)

其中,A±可以取為標量亥姆霍茲方程的解乘以一個簡單矢量場.可以發(fā)現(xiàn),在手性材料存在下,電磁場不可能由單一的線偏振場來描述.以下以波動方程的平面波解和柱面波解為例,簡要分析手性材料中的電磁場傳播模式和諧振模式特性.

1.1 平面電磁波

對于平面電磁波,可以取

(7)

直接得到

電磁場為左右旋圓偏振平面波的疊加.由于兩束圓偏振光具有不同的波速,偏振方向?qū)l(fā)生旋轉(zhuǎn),即產(chǎn)生旋光現(xiàn)象.

1.2 柱面電磁波

對于軸對稱結(jié)構(gòu),考慮半徑為R的二維圓腔,其內(nèi)外相對介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別為ε、μ和ε1、μ1.利用對稱性,內(nèi)外部分別取為

(9)

其中k和k1分別為腔內(nèi)外的波矢,z方向為軸向,其內(nèi)部和外部解分別為

(10)

(11)

對于常規(guī)材料(κ1= 0),上式變?yōu)槌Ｒ姷亩S圓腔特征方程

(12)

其中J+=J-=J,H+=H-=H.特征方程左側(cè)兩項分別代表不同的偏振模式.

2 手性材料微結(jié)構(gòu)的有限元電磁場仿真

對于其它更加不規(guī)則的結(jié)構(gòu),上述理論分析可以通過模式分解、邊界元等手段進行數(shù)值計算,但是需要針對不同的應(yīng)用情形進行開發(fā).而有限元等仿真方法則直接通過數(shù)值求解麥克斯韋方程組得到電磁場分布,更具有通用性.以下將通過改寫具有唯象本構(gòu)關(guān)系麥克斯韋方程組,實現(xiàn)通用的、兼容主流有限元軟件的手性材料仿真框架.使得計算手性材料存在下的傳播、散射、耦合、本征值問題更加方便.

2.1 有限元仿真框架

通過重新定義電位移和磁場強度矢量

(13)

可以將存在手性材料的麥克斯韋方程組變換為自洽的有源形式

(14)

其中,自由電荷密度

ρe=-i

(15)

電流密度

(16)

在材料交界面處,還將存在由χ突變所引起的邊界電流

(17)

(18)

至此,需要求解的變量均只與電場相關(guān),兼容常規(guī)的波動光學仿真的設(shè)置.

2.2 二維圓腔仿真

利用COMSOL軟件的波動光學模塊,在二維軸對稱模型下,對圓腔進行了仿真.圓腔半徑R=10 μm,內(nèi)外部折射率分別為1.445和1,方位角模式數(shù)m=50,內(nèi)外部手性b=b1同步變化.仿真結(jié)果如圖1所示.其中,本征頻率在手性反號時不發(fā)生變化(圖1a).這可以從兩方面進行解釋：從對稱性角度,手性反號等價于進行了一次鏡像操作,模式也變?yōu)槠溏R像;從特征方程角度,等價于公式(11)中的正負腳標發(fā)生交換,并不改變特征方程.這說明鏡像對稱的常規(guī)微腔僅通過簡單觀察模式的諧振頻率移動來進行手性物質(zhì)的區(qū)分是不可行的.而當模式存在對稱破缺時,如果微腔存在垂直于旋轉(zhuǎn)軸的反映面,也無法從本征頻率區(qū)分手性的符號.將仿真得到的模式場分布與直接求解波動方程得到的精確解進行了比較(圖1b-d),發(fā)現(xiàn)兩者完全重合,證明上述仿真方法的可靠性.

圖1 圓腔模式的場分布及旋光性依賴.

引入手性材料后,腔模偏振特性如圖2所示.定義手性參數(shù)P=(|Er+iEz|2-|Er-iEz|2)/2(|Er|2+|Ez|2)來表征模式中左右旋圓偏振光的比例,結(jié)果顯示了與旋光參數(shù)間的強烈依賴.在初始無旋光的情形下,腔內(nèi)模式為線偏振的TE模和TM模.當腔體材料具有旋光性時,腔內(nèi)的電場逐漸由線偏振變?yōu)闄E圓偏振,并最終成圓偏振.其中原TM模式的偏振波動較大是因為與其他模式交叉耦合所致,使它具備了一些周圍模式的偏振特性.

圖2 (a) 微腔邊界處TE模式的手性隨旋光參數(shù)的變化,插圖為b=-0.1和0.1時的電場偏振態(tài)(b) 微腔邊界處TM模式的手性隨旋光參數(shù)的變化,插圖為b=0.05和0.1時的電場偏振態(tài)

當微腔內(nèi)外材料的手性不再同步變化時,內(nèi)部或者外部手性變化才有可能導(dǎo)致不對稱的模式移動.圖3比較了內(nèi)部手性從零變到非零(b=0.2)時,腔模諧振頻率對外部介質(zhì)手性的響應(yīng),以及外部手性從零變到非零(b1=0.2)時,腔模諧振頻率對內(nèi)部介質(zhì)手性的響應(yīng).當內(nèi)部或外部介質(zhì)具有旋光性時,腔模諧振頻率確實產(chǎn)生了非對稱的手性響應(yīng).這使得我們有望通過檢測模式的諧振頻率來測量介質(zhì)的旋光性,并進而對其成分進行確定.特別地,初始的TE和TM模式的響應(yīng)是相反的,這更加有助于提高靈敏度并補償環(huán)境擾動.

圖3 在內(nèi)外部材料手性不同步變化時,TM和TE模式與旋光性的依賴關(guān)系,其中虛線為TM模式,實線為TE模式.

圖4 三類常見微結(jié)構(gòu)中手性誘導(dǎo)的模式分布變化,上圖為無旋光性,下圖為有旋光性.

2.3 對其它旋光性微納結(jié)構(gòu)的仿真

對于其他手性材料微納結(jié)構(gòu),前述的有限元仿真框架均能夠進行有效的計算.在圖4中,展示了由手性材料組成的橢圓微腔(圖4(a))、圓柱波導(dǎo)(圖4(b))以及內(nèi)部存在手性溶液的三維微泡腔(圖4(c))的模式電場分布(下圖),并與無手性的常規(guī)微納結(jié)構(gòu)(上圖)進行了對比,可以明顯發(fā)現(xiàn)手性材料對模式偏振的影響.例如在手性圓柱波導(dǎo)中,基模的場分布是旋轉(zhuǎn)對稱的,明顯表現(xiàn)出了圓偏振模式的特征.

3 小結(jié)

本文基于麥克斯韋方程組和手性材料的唯象本構(gòu)關(guān)系建立了兼容有限元仿方法的旋光性仿真框架,并使用COMSOL軟件的波動光學模塊對其進行了驗證,成功得到了二維、三維下多種光學微納結(jié)構(gòu)在加入旋光性后的模式場分布.這為手性材料微納結(jié)構(gòu)中模式非微擾分析以及針對手性檢測的微納光學器件的設(shè)計提供的有力的工具.