莫益群

(浙江省寧波市余姚市三七市鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué),浙江 寧波 315412)

對(duì)平行線問(wèn)題的處理和簡(jiǎn)單角度問(wèn)題的計(jì)算,是初中生必備的能力.學(xué)生在解決這類試題的過(guò)程中,可以提高計(jì)算能力,培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng).

1 試題呈現(xiàn)

筆者在課堂上呈現(xiàn)如下試題:

如圖1所示,已知l∥m,∠1=135°,∠2=95°,求∠3.

圖1 試題圖

2 百花齊放,解法薈萃

經(jīng)過(guò)2分鐘的思考后,生1給出了如下解答.

生1:解法1 如圖2所示,作直線n∥l.

教師點(diǎn)評(píng)生1的解法思路清晰、過(guò)程簡(jiǎn)潔,很精彩,充分利用了平行線的性質(zhì),兩條平行線被第三條直線所截,這是平面幾何中一個(gè)重要的解題模型[1].

圖2 解法1圖

生2觀察生1的解答過(guò)程,受到啟示,給出了如下的解法.

生2:解法2 延長(zhǎng)AB,JC交于點(diǎn)H,如圖3所示.

∵m∥l,∴∠1+∠BHC=180°.

∵∠2=∠BHC+∠BCH=∠BHC+180°-∠3,

∴∠1+∠2+∠3=∠BHC+180°-∠3+∠1+∠3=∠BHC+∠1+180°=180°+180°=360°,

∴∠3=360°-135°-95°=130°.

教師點(diǎn)評(píng)與解法1相比,解法2也是通過(guò)構(gòu)造平行線被第三條直線所截來(lái)做的,構(gòu)造輔助線后圖形不如解法1的對(duì)稱,相應(yīng)的解題過(guò)程也就更繁瑣了.不過(guò)能有如此的探究精神,是值得表?yè)P(yáng)的.

如果應(yīng)用對(duì)稱的思想,則圖1中AB、BC是平等的,延長(zhǎng)AB,JC可以解決,那么延長(zhǎng)CB、KA交于一點(diǎn)也必定可以解決,而且過(guò)程完全相似.同學(xué)們下課后自己去試試.

圖3 解法2圖

生3這時(shí)也舉手了,說(shuō)想到了一種簡(jiǎn)便方法.

生3:解法3 連接AC,如圖4所示.

∵l∥m,∴∠KAC+∠JCA=180°.

又∵∠2+∠BAC+∠ACB=180°,

∴∠1+∠2+∠3

=∠2+∠BAC+∠ACB+∠KAC+∠JCA=180°+180°=360°,

∴∠3=360°-135°-95°=130°.

教師點(diǎn)評(píng)解法3也是通過(guò)構(gòu)造平行線被第三條直線所截來(lái)做的.與解法2相比,由于輔助線并沒(méi)有改變?cè)瓐D的對(duì)稱性,解答過(guò)程相應(yīng)的也簡(jiǎn)單.生3構(gòu)造了一個(gè)△ABC,用到了三角形的內(nèi)角和.那么能夠通過(guò)構(gòu)造一個(gè)四邊形來(lái)解決么?

圖4 解法3圖

同學(xué)們思考了2分鐘后,生4舉手了,說(shuō)已經(jīng)想到了如何利用四邊形的內(nèi)角和來(lái)解決了.

生4:解法4 過(guò)A點(diǎn)作直線AH交CJ于點(diǎn)H,如圖5所示.

∵m∥l,∴∠KAH=∠AHC,

∴∠1+∠2+∠3=∠BAH+∠KAH+∠2+∠3=∠BAH+∠AHC+∠2+∠3=360°(四邊形內(nèi)角和為360°).

教師點(diǎn)評(píng)解法4也通過(guò)構(gòu)造平行線被第三條直線所截來(lái)做,只是構(gòu)造了四邊形,不僅用了平行線的性質(zhì),而且用到了四邊形的內(nèi)角和.相對(duì)與解法2來(lái)說(shuō),作輔助線后更為對(duì)稱,相應(yīng)的解法也更簡(jiǎn)單.與解法3比較,因?yàn)锳H可以有無(wú)數(shù)條,所以不如解法3的圖形對(duì)稱.從對(duì)稱的角度來(lái)看,點(diǎn)A與點(diǎn)C是平等的,既然過(guò)A點(diǎn)作直線AH可以解這道題,那么,過(guò)點(diǎn)C作直線與l相交也必然可以解決這道題,而且過(guò)程完全相似,同學(xué)們下課后自行解決.

圖5 解法4圖

這時(shí)生5舉手了,說(shuō)自己同樣是構(gòu)造四邊形,但這時(shí)圖象更對(duì)稱,解答過(guò)程更簡(jiǎn)單.

生5:解法5 作AH∥BC交JC于點(diǎn)H,如圖6.

∵BC∥AH,

∴∠2+∠BAH=180°,∠3+∠CHA=180°.

∵l∥m,∴∠KAH=∠CHA,

∴∠1+∠2+∠3=∠KAH+∠BAH+∠2+∠3=∠AHC+∠BAH+∠2+∠3

①

=∠AHC+∠3+∠2+∠BAH

=180°+180°=360°.

∴∠3=360°-135°-95°=130°.

圖6 解法5圖

教師點(diǎn)評(píng)解法5可以像解法4一樣,在①式就用四邊形內(nèi)角和得出結(jié)論,那過(guò)程就如解法3一樣.之所以寫出上面的解法,是想讓同學(xué)們知道,解法5的輔助線比解法4更對(duì)稱美觀,所以解答過(guò)程可以少用一個(gè)知識(shí)點(diǎn)(即四邊形的內(nèi)角和).

同樣,由于點(diǎn)A與點(diǎn)C是平等的,于是過(guò)點(diǎn)C作AB的平行直線與l相交也必然可以解決這道題,而且過(guò)程完全相似,下課后同學(xué)們自行解決.

這時(shí)生6舉手說(shuō),他想出了一種更為對(duì)稱的做輔助線的方法.

生6:解法6 作A,B,C關(guān)于直線p對(duì)稱的點(diǎn)A′,B′,C′,連接A′B′,B′C′,如圖7所示.

圖7 解法6圖

∵六邊形內(nèi)角和為(6-2)×180°=720°

∴∠3=360°-135°-95°=130°.

教師點(diǎn)評(píng)與前五種解法相比較,解法6的輔助線最對(duì)稱、最美麗,解答過(guò)程相應(yīng)的也最簡(jiǎn)潔.

此時(shí)教室里響起了一陣熱烈的掌聲……

3 試題推廣

我們下面來(lái)看看更為復(fù)雜的題:

推廣1 如圖8所示,已知AB∥CD,求∠A+∠E+∠F+∠G+∠H+∠C.

圖8 推廣1圖

師:用上題中六種方法一一去解它,你會(huì)發(fā)現(xiàn),作輔助線后,越具有對(duì)稱性,解決起來(lái)就越簡(jiǎn)單.下面請(qǐng)同學(xué)們用最對(duì)稱的解法6去解決這個(gè)問(wèn)題.

同學(xué)們這時(shí)在思考、動(dòng)筆作輔助線,在計(jì)算2分鐘后,生7展示了自己的解法.

圖9 推廣1的解答

師:現(xiàn)在,我們將問(wèn)題推廣到更一般的的情形.

推廣2 如圖10所示,已知A1X∥AnY,求∠A1+∠A2+……+∠An.

圖10 推廣2圖

同學(xué)們?cè)谟?jì)算,在思考,在作輔助線,經(jīng)過(guò)5分鐘后,生8舉手了,說(shuō)自己已經(jīng)做好了.

圖11 推廣2的解答

教師點(diǎn)評(píng)同學(xué)們,今天我們一起學(xué)習(xí)了平行線中角度問(wèn)題的計(jì)算.我們從最簡(jiǎn)單的問(wèn)題開始,各位同學(xué)給出了不同的解法,你們都很優(yōu)秀,很棒,值得表?yè)P(yáng),繼續(xù)努力.經(jīng)過(guò)這堂課的學(xué)習(xí),我們不僅會(huì)作了各種輔助線,也明白了一個(gè)道理:圖形越對(duì)稱,解答越簡(jiǎn)潔.

數(shù)學(xué)是美好的,尤其是幾何世界里的各種對(duì)稱問(wèn)題,希望同學(xué)們能領(lǐng)悟?qū)ΨQ思想,輕松破解平面幾何問(wèn)題.(叮叮?！?此時(shí)下課鈴聲響起了)

4 教學(xué)反思

通過(guò)一節(jié)課,解決一道題,引導(dǎo)學(xué)生積極思考,最后學(xué)生都參與解題,感受到了幾何的魅力.問(wèn)題的設(shè)計(jì)由淺入深,層層深入,在鍛煉學(xué)生幾何直觀的同時(shí),提升了學(xué)生直觀想象的素養(yǎng),滲透了對(duì)稱思想.