林厚棟

(福清融城中學,福建 福州 350300)

解三角形中的最值(范圍)問題往往與平面解析幾何、三角函數(shù)、導數(shù)、基本不等式等相關知識加以交匯與融合,充分體現(xiàn)了新課標中“在知識的交匯處命題”的指導思想.此類問題較全面地考查學生的識別模型的能力、化歸與轉(zhuǎn)化能力以及運算求解能力等.破解此類問題的關鍵是要基于問題情境,依托圖形特征或目標問題導向,樹立模型意識,并以模型為導向,結合正余弦定理實施合理轉(zhuǎn)化,進而構建出具體的模型實現(xiàn)問題的求解.

1 策略剖析

解三角形本質(zhì)上是在三角形內(nèi)蘊方程(三角形的正弦定理、余弦定理、三角形內(nèi)角和定理以及三角形兩邊之和大于第三邊)的基礎上,把試題設定的條件(方程)與內(nèi)蘊方程建立起聯(lián)系,從而得到三角形的全部或者部分度量關系.而度量關系的形成,就需要對已知條件進行深度加工或?qū)D形中隱藏的內(nèi)蘊特征進行挖掘,把情境問題模型化,以利于順利求解問題.解三角形中有關的最值(范圍)問題常見的解題路徑是: 直觀感知(直觀數(shù)式和直觀幾何圖形特征)、識別模式(建立已知和未知之間的聯(lián)系)、引入變量(邊或角)、建立模型、問題求解.

解三角形中的最值(范圍)問題,最根本的落腳點是樹立模型化思想,模型化思想的內(nèi)涵包含函數(shù)模型的建立或者隱形的軌跡方程模型的確認,軌跡模型常有圓、橢圓、雙曲線等.在運用動點的軌跡方程模型中,首先要通過觀察發(fā)現(xiàn)三角形的邊與邊之間的數(shù)量關系,進而借助平面幾何的相關知識以及圖形的直觀意識,利用數(shù)形結合思想,直觀感知其軌跡方程中的圖形特征,借助化歸轉(zhuǎn)化等思想快速地實現(xiàn)問題的求解.

2 應用賞析

(1)寫出函數(shù)解析式S(x);

(2)求S(x)的最小值.

(2)由(1)知,

評注本題中以角為變量,利用正弦定理以及三角形的面積公式建立目標函數(shù)S(x)模型,通過三角恒等變換,求得函數(shù)S(x)的最值,并注意結合具體的圖形特征限制變量的取值范圍.

解法1設BC=x,則AC=2x,由面積公式得

①

根據(jù)余弦定理得

將其代入①式得

化簡可得(x-3)2+y2=8.

故點C的軌跡是一個圓(x-3)2+y2=8(y≠0).

圖1 解法2圖

解析由題知,sinB=-cosC>0.

解析設CD=2BD=2x>0,在△ABD中,AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB=x2+4+2x,

同理AC2=4x2+4-4x,

評注例3涉及的最值問題求解是基于構建以角為變量的函數(shù)模型,依托二倍角公式,并結合正弦定理的轉(zhuǎn)化,巧妙而簡明地利用基本不等式來確定對應的最值問題,回歸解三角形本質(zhì),使問題的求解變得自然順暢.例4問題中呈現(xiàn)的三角形給出了一條邊上一個三等分點到頂點的長度和一個特殊角,但這些條件是無法確定原三角形的大小和形狀的.因此就要求在理解三角形變化的過程中,依托已知條件CD=2BD,并結合問題目標,選取邊BD作為基本變量,以兩個三角形為載體,運用余弦定理,把問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題.

正如波利亞在《怎樣解題》中所提到的:沒有任何一道題是徹底完成了的,總會有些事情可以做[1].只有將立足模型與立意思想兩者交相融合,才能使問題的解決和素養(yǎng)的發(fā)展齊頭并進,才能將數(shù)學問題解答得更加“揮灑自如、甄于完美”,使學生對數(shù)學問題的本質(zhì)理解得更加透徹,對問題中所蘊含的數(shù)學思想領悟得更加深刻,學生的思維品質(zhì)亦能得到更好的發(fā)展,基礎知識得以進一步夯實,關鍵能力從中也得到顯著提高,最終促使學生數(shù)學核心素養(yǎng)真正落地.