楊紅利

(江蘇省如皋市長江高級中學(xué),江蘇 如皋 226500)

數(shù)列是指按照一定規(guī)律排列的一系列數(shù)的集合,是高中階段的一個重要內(nèi)容,同時也是高考必考內(nèi)容之一.該類題在解答題、選擇題和填空題均會有所呈現(xiàn)[1].主要考查以下幾個方面:(1)考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識、數(shù)列的單調(diào)性及周期性等;(2)考查通過已知條件求數(shù)列的通項公式;(3)考查在解決數(shù)列的基本問題之后,考查數(shù)列求和方法,在此基礎(chǔ)上,進一步考查“裂項相消法”“錯位相減法”等方法.在求和之后,可能會與不等式、函數(shù)、最值等問題進行綜合.注意當(dāng)與不等式結(jié)合時,“放縮”思想及方法尤為重要;(4)考查“新數(shù)列”是等差或等比數(shù)列的證明方法,并求出通項公式[2].

1 求數(shù)列的通項公式

求數(shù)列通項公式主要以考查由遞推公式求通項公式,或已知前n項和求通項,或已知前n項和與第n項的關(guān)系式求通項為重點,特別是數(shù)列前n項和Sn與an關(guān)系的應(yīng)用.該類題難度中等,常常出現(xiàn)在選擇題、填空題以及解答題的第(1)小問中.

1.1 公式法

若能夠根據(jù)題目中的已知信息,推出數(shù)列{an}是一個等差或者等比數(shù)列,則可以根據(jù)通項公式an=a1+(n-1)d或an=a1qn-1進行求解.

例1(2019全國1理9)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和.已知S4=0,a5=5,則( ).

A．a(chǎn)>0,b>0 B．a(chǎn)>0,b>0

C．a(chǎn)>0,b>0 D．a(chǎn)>0,b>0,

解析由題意可知,{an}是一個等差數(shù)列,則可以根據(jù)公式法進行求解.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為a>0,b>0,由a>0,b>0,得a>0,b>0,解得a>0,b>0,所以a>0,b>0,故答案為A.

1.2 Sn與an的關(guān)系式法

若已知數(shù)列{an} 的前n項和Sn與通項an的關(guān)系式,求an時,可以運用該方法求解.做題步驟為由Sn與an的關(guān)系式,類比出Sn-1與an-1的關(guān)系式,然后兩式作差.要注意分n=1和n≥2兩種情況進行討論,一定要檢驗n=1是否也適合an.

1.3 累加法

當(dāng)數(shù)列{an}中有an-an-1=f(n),即第n項與第n-1項的差是個有“規(guī)律”的數(shù)時,就可以用這種方法.解題步驟為首先寫出所有項式子,而后等式的左右兩邊進行相加,最終運算求出通項公式.

例3已知a1=0,an+1=an+2(n-1),求通項an.

解析∵an+1-an=2n-1

∴a2-a1=1,a3-a2=3 ,a4-a3=5…

an-an-1=2n-3 (n≥2)

以上各式相加得an-a1=1+3+5+7+…+(2n-3)=(n-1)2(n≥2)

又a1=0,所以an=(n-1)2(n≥2),而a1=0也適合上式,

∴an=(n-1)2(n∈N*)

2 數(shù)列求和

高考數(shù)列求和部分重點考查裂項相消法和錯位相減法,多為解答題第二問,難度為中檔.

2.1 利用常用求和公式求和

該方法比較簡單,根據(jù)等比數(shù)列或者等差數(shù)列的求和公式進行運算即可.

解析設(shè)等差數(shù)列Sn的公差為Sn,則由Sn,Sn可得,Sn,Sn.

2.2 裂項法求和

裂項相消法就是將數(shù)列{an}的每一項進行分解,使相加后項與項之間能夠相互抵消,但在抵消的過程中,有的是依次項抵消,有的則是間隔項抵消.其可以細分為以下幾種:

表1 裂項相消常用公式

2.3 錯位相減法求和

如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,求數(shù)列{anbn}的前n項和時,常采用錯位相減法.做法為在等式兩邊同時乘以等比數(shù)列的公比,然后將Sn和qSn兩式相減.

例6(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=3an-4n．(1)計算a2,a3,猜想{an}的通項公式并加以證明;(2)求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn．

解析(1)由題意可得a2=3a1-4=9-4=5,a3=3a2-8=15-8=7,由數(shù)列{an}的前三項可猜想數(shù)列{an}是以3為首項,2為公差的等差數(shù)列,即an=2n+1,證明如下:當(dāng)n=1時,a1=3成立;假設(shè)n=k時,ak=2k+1成立．那么n=k+1時,ak+1=3ak-4k=3(2k+1)-4k=2k+3=2(k+1)+1也成立．則對任意的n∈N*,都有an=2n+1成立;

(2)由(1)可知,an·2n=(2n+1)·2n

Sn=3×2+5×22+7×23+…+(2n-1)·2n-1+(2n+1)·2n,①

2Sn=3×22+5×23+7×24+…+(2n-1)·2n+(2n+1)·2n+1,②

2.4 分組法求和

就是將數(shù)列的項分成幾項,將這幾項分別求和,然后再合并,從而得到該數(shù)列的和.例如當(dāng)一個數(shù)列可寫成cn=an±bn的形式,而數(shù)列{an},{bn}其中一個是等差數(shù)列,另一個是等比數(shù)列時,那么可用分組求和法.另外,如果一個數(shù)列可寫成cn={an,n為奇數(shù);bn,n為偶數(shù)}的形式,也可以使用該方法.

例7(2016年全國II)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,且a1=1,S7=28．記bn=[lgan],其中[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[0.9]=0,[lg99]=1．

(1)求b1,b11,b101;

(2)求數(shù)列{bn}的前1 000項和．

(2)記{bn}的前n項和為Tn,則T1 000=b1+b2+…+b1 000=[lga1]+[lga2]+…+[lga1 000]．

當(dāng)0≤lgan<1時,n=1,2,…,9;

當(dāng)1≤lgan<2時,n=10,11,…,99;

當(dāng)2≤lgan<3時,n=100,101,…,999;

當(dāng)lgan=3時,n=1 000．

∴T1 000=0×9+1×90+2×900+3×1=1 893.

3 數(shù)列與二次函數(shù)

通項公式、前n項和公式都是關(guān)于正整數(shù)的函數(shù),要善于從函數(shù)的觀點認識和理解數(shù)列問題.在高考中,經(jīng)常將函數(shù)與數(shù)列的最值以及數(shù)列的取值范圍結(jié)合起來進行考查.在求解時,考生很容易忽視n為正整數(shù)的特點,或即使考慮了n為正整數(shù),但對于n取何值時,能夠取到最值求解出錯.在關(guān)于正整數(shù)n的二次函數(shù)中其取最值的點要根據(jù)正整數(shù)距離二次函數(shù)的對稱軸遠近而定.

(1)證明:{an}是等差數(shù)列;

(2)若a4,a7,a9成等比數(shù)列,求Sn的最小值．

得2Sn+n2=2ann+n,①

所以2Sn+1+(n+1)2=2an+1(n+1)+(n+1),②

②-①,得2an+1+2n+1=2an+1(n+1)-2ann+1,化簡得an+1-an=1,所以數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列．

通過對高考數(shù)列題的深入研究和探討,我們可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列題的解題技巧和方法并不是固定的,而是需要根據(jù)題目的具體情況來靈活運用.因此,在教學(xué)中,教師應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解題策略,幫助學(xué)生理解數(shù)列的概念和性質(zhì),并掌握數(shù)列題的常用解題方法.同時,學(xué)生也應(yīng)該注重平時的練習(xí)和積累,不斷鞏固和提高自身的解題能力.