漢 巍

(蘭州工商學(xué)院 大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)部,甘肅 蘭州 730101)

在高等教育由大眾化教育跨向普及化教育的當(dāng)前階段,各學(xué)科培養(yǎng)目標(biāo)悄然發(fā)生著變化。習(xí)近平總書記在2018年9月10日全國教育大會上強調(diào),要在增強綜合素質(zhì)上下功夫,教育引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)綜合能力,培養(yǎng)創(chuàng)新思維。由此2020年開始的新文科、新工科、新醫(yī)科、新農(nóng)科的建設(shè)又在另一方面推動著各學(xué)科的改革。作為大學(xué)教育中處于通識教育的數(shù)學(xué)類課程的教學(xué)自然無可避免的應(yīng)做出相應(yīng)的改變。誠然,作為數(shù)學(xué)課程由于知識間的邏輯關(guān)系,其知識體系、教學(xué)內(nèi)容不可能有較大的改變。但其教學(xué)理念和培養(yǎng)的能力都要相應(yīng)的做出改變。

1 課程教學(xué)理念的改變

隨著高等教育由大眾化向普及化過渡,帶來的是學(xué)生學(xué)習(xí)自主性與主動性的一定程度的下降,因此如何更好使學(xué)生融入到課堂中來,尤其是讓文科生不產(chǎn)生畏難情緒的融入的數(shù)學(xué)課堂中來,就成為當(dāng)前教學(xué)思想中最重要的改變點。應(yīng)對這樣的改變,以往的以教師為中心組織課堂傳授知識的教學(xué)思想已經(jīng)無法讓學(xué)習(xí)主動性不夠強且進入大學(xué)后缺乏高考壓力的學(xué)生進入學(xué)習(xí)狀態(tài)。這樣的教學(xué)環(huán)境下教學(xué)的好壞已經(jīng)不能靠教師的講授水平的高低來決定。因此,必須充分地在現(xiàn)有的教學(xué)環(huán)境下考慮學(xué)生的因素,將學(xué)生的情況納入進來,在課程設(shè)計的過程中更多的加入吸引學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,提升學(xué)生學(xué)習(xí)主動性的內(nèi)容,將以教師為中心的教學(xué)思想轉(zhuǎn)變?yōu)橐詫W(xué)生為中心的教學(xué)思想。

2 課程培養(yǎng)能力的改變

隨著高等教育由大眾化向普及化過渡,帶來的是專業(yè)由原有的專到現(xiàn)有的泛。多個專業(yè)采用同一種基礎(chǔ)性課程,這就要求培養(yǎng)出的人才應(yīng)在更大范圍內(nèi)甚至于跨專業(yè)具備解決問題的能力,具備綜合利用所學(xué)知識解決現(xiàn)實問題的能力[1]。這樣無疑將人才知識應(yīng)用的能力的培養(yǎng)要求提升了一個檔次。這種能力的培養(yǎng)不能僅靠大三、大四這兩年專業(yè)知識的學(xué)習(xí),或者可以斷言僅有這兩年的培養(yǎng)完全無法做到,這種能力應(yīng)由更基礎(chǔ)性的學(xué)習(xí)階段培養(yǎng)起并貫穿大學(xué)學(xué)習(xí)的整個階段。即這種能力的培養(yǎng)應(yīng)由基礎(chǔ)課等課程形成相應(yīng)的萌芽,發(fā)展成一種思維模式,并在大三大四的專業(yè)課程的學(xué)習(xí)中應(yīng)用該思維模式,邊學(xué)習(xí)邊應(yīng)用,最終在大四畢業(yè)論文與畢業(yè)設(shè)計中綜合化的體現(xiàn)出來。這就要求處于基礎(chǔ)課程中的數(shù)學(xué)課程必須承擔(dān)起這種能力的培養(yǎng)。

3 行之有效的教學(xué)模式及切入點

數(shù)學(xué)課程在面對當(dāng)前的改變時,現(xiàn)有教學(xué)模式中最為有效的應(yīng)屬李江霞介紹的美國伍斯特理工學(xué)院在上世紀(jì)七十年代提出的“以學(xué)生為中心,以項目為驅(qū)動力,以結(jié)果為導(dǎo)向”的教學(xué)模式[2]。該教學(xué)模式認(rèn)為應(yīng)該把學(xué)生學(xué)習(xí)科學(xué)技術(shù)、生產(chǎn)管理思想的責(zé)任從教師身上轉(zhuǎn)移到學(xué)生身上,讓學(xué)生參與到實際的項目中去,在相應(yīng)項目進行過程中了解數(shù)學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、管理學(xué)的知識的作用進而學(xué)習(xí)相關(guān)知識,這樣將極大的促進學(xué)生學(xué)習(xí)動力的激發(fā)。該教學(xué)模式在以上述教學(xué)理念下將學(xué)生的學(xué)習(xí)過程轉(zhuǎn)化為以小組為單位,以具體的生活或工程問題為研究項目,通過研究項目完成對所學(xué)知識的整合,并在實踐中發(fā)揮學(xué)生的潛力,提高學(xué)生的綜合素質(zhì)和能力,最后通過項目的結(jié)果對相關(guān)學(xué)習(xí)情況進行檢驗。上述教學(xué)理念在該校實施后,該校在2011年被評為全美學(xué)生優(yōu)先考慮的前十的工程院校之一。

雖然該教學(xué)模式是一套涵蓋了本科教學(xué)全過程的教學(xué)模式,但其對課程改造的思路完全契合了當(dāng)下課程發(fā)展的要求,其對教學(xué)的改造的方式方法可以充分借鑒下來,即以實際問題解決作為課堂教學(xué)的結(jié)果,以學(xué)生主動探求解決實際問題所需的知識作為課堂教學(xué)的驅(qū)動力,以學(xué)生主動求知、教師進行引導(dǎo)與提供知識為課堂教學(xué)的主旨思想。由上可形成如下的教學(xué)改革思路:即在教學(xué)伊始,將實際問題呈現(xiàn)在學(xué)生面前,教師引導(dǎo)并輔助學(xué)生將復(fù)雜問題拆解成具體簡單的問題,由學(xué)生對照自身知識體系尋找解決問題所需要的知識欠缺點,由教師提供知識,由學(xué)生將教師提供的知識在解決具體問題的過程中內(nèi)化為自身的能力,在不斷解決問題的過程中逐步構(gòu)建起相應(yīng)學(xué)科的知識體系,最終以實際問題的解決達成對學(xué)生能力的培養(yǎng)。

面對如上的教學(xué)方式改革,對于數(shù)學(xué)課程而言,將數(shù)學(xué)建模思想與方法融入到教學(xué)過程中將是一種切實有效的途徑[3]。數(shù)學(xué)建模是根據(jù)實際問題抽象出數(shù)學(xué)模型,通過數(shù)學(xué)模型的求解解決實際問題的一個過程。數(shù)學(xué)建模的整個過程就是將一個具體問題細(xì)化分解,再將細(xì)化分解后的問題利用數(shù)學(xué)知識解決,并通過各個小問題的解決實現(xiàn)整體問題的求解。這當(dāng)中問題的從小到大進行解決的過程實現(xiàn)了知識體系的建構(gòu)。上述過程體現(xiàn)了從實際問題出發(fā)結(jié)合所學(xué)知識解決實際問題的過程[4]。通過這數(shù)學(xué)建模思想與方法融入教學(xué)可以直觀地讓學(xué)生體會到知識應(yīng)用的方式方法,可以有效的達成能力的培養(yǎng)。

4 數(shù)學(xué)建模思想融入教學(xué)的著力點

將上述教學(xué)模式和教學(xué)思想融入日常教學(xué)必須建立在對于課程教學(xué)的改造上,那么選擇一門合適的課程可以達到事半功倍的效果。在大學(xué)階段所教授的三門基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)課程——微積分(高等數(shù)學(xué))、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計中,筆者認(rèn)為概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程是一個較為恰當(dāng)?shù)倪x擇。之所以選擇概率統(tǒng)計課程作為數(shù)學(xué)建模思想融入教學(xué)的首選目標(biāo),有著以下的原因。首先,雖然數(shù)學(xué)課程均是從實際中來,但就當(dāng)前的教學(xué)狀況來看,微積分需要引入極限這一思維方式,為各門課程打下基礎(chǔ),其作用更多的體現(xiàn)在工具性的一面上;而線性代數(shù)由于其代數(shù)學(xué)分支所帶來的高度抽象化、離散化的原因,其知識體系高度抽象化,將實際問題轉(zhuǎn)換成線性代數(shù)所解決的問題需要一定的抽象化過程,導(dǎo)致無法比較直觀的展現(xiàn)出對于實際問題的解決過程。因此該兩門課程不是數(shù)學(xué)建模思想融入課堂的良好選擇,但可在課程中在針對適當(dāng)?shù)膬?nèi)容融入相關(guān)思想,如極值、方程求解的內(nèi)容。其次,概率統(tǒng)計課程的誕生是來源于對于賭博這一實際問題的研究,而其后的隨機變量、數(shù)字特征等概念也是為了解決數(shù)據(jù)量較大條件下對隨機量刻畫的問題,進而通過概率融合入統(tǒng)計學(xué)誕生了數(shù)理統(tǒng)計學(xué),可見概率統(tǒng)計課程體系恰好體現(xiàn)著概率統(tǒng)計發(fā)展的整個過程,每一階段都可以視作某一實際問題的解答過程。因此,概率統(tǒng)計課程自然成為了一種比較恰當(dāng)?shù)倪x擇。

5 當(dāng)前概率統(tǒng)計課程中數(shù)學(xué)建模思想的體現(xiàn)

在現(xiàn)有的概率統(tǒng)計教學(xué)中數(shù)學(xué)建模思想并非沒有體現(xiàn),但其體現(xiàn)非常稀少,僅僅在部分例題中出現(xiàn)一鱗半爪?，F(xiàn)有教學(xué)的內(nèi)容更多的還是在數(shù)學(xué)內(nèi)容推導(dǎo)這個范疇內(nèi)進行,從概念的引入到相關(guān)性質(zhì)的推導(dǎo),再到相關(guān)概念的簡單應(yīng)用。這樣的教學(xué)方式從數(shù)學(xué)教學(xué)的角度而言沒有問題,但如果引導(dǎo)不到位,經(jīng)常會出現(xiàn)為了概念而概念的現(xiàn)象。學(xué)生學(xué)習(xí)時也僅是了解相關(guān)概念,進一步理解概念的性質(zhì),熟悉相關(guān)的應(yīng)用。而這個應(yīng)用也僅僅局限在這個概念本身上,缺乏前后聯(lián)系。學(xué)生沒有一個大的目的性作為驅(qū)動,往往造成的結(jié)果是學(xué)生學(xué)習(xí)到的知識是片面的,是就事論事的。這樣的后果就意味著學(xué)生培養(yǎng)起的能力往往是微觀化的,無法在復(fù)雜的實際問題中找到解決問題的線索,無法應(yīng)用所學(xué)知識。而從學(xué)生學(xué)習(xí)體驗而言隨著學(xué)習(xí)的深入,前面的知識無法通過應(yīng)用內(nèi)化為自身知識基礎(chǔ),導(dǎo)致無法為后續(xù)知識提供基礎(chǔ),造成學(xué)習(xí)難度加大,學(xué)習(xí)效果不佳,學(xué)習(xí)挫敗感較強,甚至出現(xiàn)無法理解所學(xué)知識的情況,進而放棄學(xué)習(xí)。

6 將數(shù)學(xué)建模思想融入概率統(tǒng)計課程的相關(guān)實踐

對于數(shù)學(xué)建模思想融入概率統(tǒng)計課程,筆者進行了以下改革:

改革的總體思想為從實際問題入手,將實際問題拆解為一個又一個的小問題,分散在每一節(jié)課程的學(xué)習(xí)中,以問題解決為指引,推動學(xué)生思考與學(xué)習(xí),最終在課程結(jié)束時解決總問題。

具體而言,即在課程開始將實際問題呈現(xiàn)在學(xué)生面前,如筆者提供的問題為公交車車門設(shè)計問題。即如何給出合適的高度既能保證絕大多數(shù)乘客進出車門不碰頭,又保證材料最省。

在課程的第一節(jié)提出該問題后,分析車輛設(shè)計優(yōu)化的兩難問題即為了讓所有人在通過車門時不受到阻礙而造成的車輛車頂過高,造成所需材料增加,而讓車門變得低矮可以讓車輛所需材料減少但乘客舒適度會降低。因此既要保證乘客的乘車舒適度又要兼顧車輛的成本,就將問題轉(zhuǎn)化為如何確定車門高度讓大多數(shù)乘客進出車門時不用低頭的問題。在概率統(tǒng)計課程的教學(xué)中,首先,從最簡單的問題入手,即討論身高在一定區(qū)間內(nèi)的單個及多個乘客在給定高度下不低頭的可能性。這樣通過乘車人的身高的無法預(yù)測性引出概率課程研究的對象-隨機現(xiàn)象,進而展開對于隨機事件的討論。接著通過討論乘客身高區(qū)間與車門高度區(qū)間的比較的可能性問題引出概率及概率的計算。在完成相關(guān)教學(xué)后,討論乘客攜帶兒童進入車輛,分成抱小孩與領(lǐng)小孩兩種情況,引出事件間的關(guān)系分成有影響的條件概率與無影響的獨立性進行說明。以上可以完成概率論第一章的教學(xué)。完成教學(xué)后解決相關(guān)問題。對是否碰頭給出初步解決。該部分的邏輯如圖1所示。

在解決了第一個問題后,對第一個問題做遞進式討論,即討論身高不確定條件下乘客在給定高度條件下不碰頭的可能性。由于身高不確定,因此需要設(shè)定變量進行討論,并討論該變量所附帶的變化規(guī)律。由此引出身高這個變量對應(yīng)的隨機變量這一問題,進一步分成單個人的身高、多個人的身高,身高在一定范圍內(nèi)多個人的整體身高的情況進行討論,引出一維連續(xù)性隨機變量、多維隨機變量,一維離散型隨機變量的概念。之后討論如何確定身高的規(guī)律。通過討論規(guī)律的形式、規(guī)律中關(guān)鍵參數(shù)的來源、規(guī)律中參數(shù)的確定、確定參數(shù)后正確與否的檢驗引出常見分布、期望與方差、參數(shù)估計、假設(shè)檢驗的內(nèi)容。完成這些內(nèi)容后解決遞進問題的回答,讓學(xué)生形成一套討論問題的流程。該部分的邏輯如圖2所示。

圖2 身高不確定條件下乘客在給定高度下不碰頭的可能性問題拆解流程圖

最終將問題明確為確定車門高度使得乘客進出車門時不碰頭的概率在90%以上,利用上一個問題的解決,由學(xué)生形成最終的解決方案,達到復(fù)習(xí)本門課程的目的。

在一學(xué)期的教學(xué)后,試驗班成績與全校平均成績的對比情況如表1所示。

表1 實驗班成績與全校評卷成績對比表

由以上數(shù)據(jù)可見該種教學(xué)方式較好的引發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,大部分學(xué)生可以較好的掌握知識,卷面成績較高。雖然教學(xué)情況較好,但實驗教學(xué)過程中仍有以下問題出現(xiàn):雖然以問題的方式引發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,但相關(guān)知識仍需要教師講授,無法充分發(fā)揮學(xué)生的自主性,未讓讓學(xué)生自行探索,學(xué)生仍處于被動接受狀態(tài),教學(xué)效果仍不甚理想。

針對該情況筆者有如下設(shè)想:充分利用現(xiàn)有網(wǎng)絡(luò)資源和線上優(yōu)秀課程庫。將學(xué)生分成小組,利用翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)法,教師在第一節(jié)課將總問題進行拆解,形成相應(yīng)的每一節(jié)的問題,學(xué)生利用課下時間學(xué)習(xí)相關(guān)知識,在課堂中與教師共同討論匯報學(xué)習(xí)成果并解決該節(jié)相關(guān)問題,于課程結(jié)束時形成相關(guān)論文。這樣的教學(xué)方式可以充分鍛煉學(xué)生應(yīng)用知識的能力,也更貼近實際問題解決的場景,但以上方式與傳統(tǒng)教學(xué)模式差距較大,且需要學(xué)生有較為主動學(xué)習(xí)的能力,在有較好學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的學(xué)生中可以使用該方法,應(yīng)有較為良好的效果。

7 結(jié)語

在當(dāng)前的教育環(huán)境下,必須堅持“以學(xué)生為中心”的教學(xué)理念,應(yīng)將課程轉(zhuǎn)化成“以項目為驅(qū)動力,以結(jié)果為導(dǎo)向”的問題化教學(xué)形式。數(shù)學(xué)建模思想與方法融入當(dāng)前數(shù)學(xué)課程教學(xué)是一種切實有效的途徑,能直觀有效的達成應(yīng)用能力的培養(yǎng)。