廖獻(xiàn)文

(福建省永春美嶺中學(xué),福建 永定 362618)

勃羅卡點(diǎn)(Brocard point)問(wèn)題自1875年由勃羅卡提出之后,已經(jīng)有148年之久.在這段歷史中,不斷有人重新發(fā)現(xiàn)并研究它.時(shí)至今日,人們圍繞勃羅卡點(diǎn)得到了很多結(jié)論,豐富了這個(gè)問(wèn)題法的研究成果,使其成為三角形幾何學(xué)中的一個(gè)亮點(diǎn).2011年北京大學(xué)保送生數(shù)學(xué)考試試題第2題就是以勃羅卡點(diǎn)為背景來(lái)進(jìn)行命制的.筆者經(jīng)過(guò)探究,給出試題的四種證明方法,并將試題進(jìn)行推廣.

1 試題呈現(xiàn)

2011年北京大學(xué)保送生數(shù)學(xué)考試試題第2題如下:

如圖1所示,已知△ABC中,∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO.求證:△ABC三邊成等比數(shù)列.

圖1 試題題圖

分析本題實(shí)際上是當(dāng)點(diǎn)O是(正)勃羅卡點(diǎn)時(shí), 依定義,∠OAB=∠OBC=OCA=θ, 同時(shí)又滿足∠OAC=θ, 表明OA又是角A的平分線. 實(shí)際上, 就是當(dāng)點(diǎn)O是勃羅卡點(diǎn)時(shí), 又增加了一個(gè)條件, 就預(yù)示著△ABC滿足某些條件.

2 勃羅卡點(diǎn)與勃羅卡角的定義

如圖2所示,設(shè)點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),滿足∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ,稱點(diǎn)P為△ABC的正勃羅卡點(diǎn),角θ為△ABC的勃羅卡角.

圖2 正勃羅卡點(diǎn)(角) 圖3 負(fù)勃羅卡點(diǎn)(角)

如圖3所示,設(shè)點(diǎn)P′是△ABC內(nèi)一點(diǎn),滿足∠P′BA=∠P′CB=∠P′AC=θ,稱點(diǎn)P′為△ABC的負(fù)勃羅卡點(diǎn),角θ為△ABC的勃羅卡角[1].

注若三角形給定,則三角形的勃羅卡點(diǎn)是勃羅卡角是存在的.所以,一個(gè)三角形有兩個(gè)勃羅卡點(diǎn),分別叫做正勃羅卡點(diǎn)和負(fù)勃羅卡點(diǎn),對(duì)應(yīng)的也有兩個(gè)勃羅卡角. 可以證明,這兩個(gè)勃羅卡角的大小是相等的,而通常情況下,兩個(gè)勃羅卡點(diǎn)是不重合的.

3 證法探究

證法1如圖4所示, 設(shè)∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO=θ, 延長(zhǎng)AO交△BOC的外接圓O1于點(diǎn)D.由于∠OBC=∠OCA, 因此AC為外接圓O1的切線,C為切點(diǎn), 所以∠ODC=∠ACO=θ, 故AC=CD.

在△BCD與△ABC中,

∠BCD=∠BOD=∠OAB+∠OBA=∠OBC+∠OBA=∠ABC,

即∠BCD=∠ABC.

圖4 證法1圖

又因?yàn)閏os2θ=cosA=-cos(B+C), 所以1+cos(B+C)-cos(B-C)=cos4θ, 展開(kāi)得1-2sinBsinC=cos4θ, 即2sin22θ=2sinBsinB, 亦即sin2A=sinBsinC.再由正弦定理得BC2=AB·AC, 即AB,BC,CA成等比數(shù)列.

證法3 如圖5所示, 對(duì)于任意△ABC, 過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線AD, 作∠ACD=∠ABC, 連接BD, 在BD上取點(diǎn)O, 使得∠OCA=∠ODA=θ.

因?yàn)锳D∥BC, 所以∠OBC=∠ODA=θ=∠OCA, 則A,D,C,O四點(diǎn)共圓, 所以∠OAC=∠ODC, 而∠BAC=∠ADC, 所以∠OAB=∠ODA=θ, 點(diǎn)O是△ABC的(正)勃羅卡點(diǎn).

圖5 證法3圖 圖6 證法3圖

在圖5的基礎(chǔ)上,過(guò)D,A作BC(延長(zhǎng)線)的垂線, 垂足分別為E,F, 得到圖6,在△BDE,△ABF,△ACF,△DCE中, 易得

=cotB+cotC+cotA,

即cotθ=cotA+cotB+cotC.

?sin2A=sinBsinC.

再由正弦定理得BC2=AB·AC, 即AB,BC,CA成等比數(shù)列.

證法4如圖1所示, 在△AOC中,∠AOC=π-θ-θ=π-2θ.

①

在△BOC中,∠BOC=π-C,

由正弦定理得

②

在△AOC中OA=OC.

結(jié)合式①、式②得

為了確保拋光過(guò)程覆蓋的均勻性，Rososhansky等[39]在光柵軌跡規(guī)劃方法當(dāng)中引入柔性拋光頭與工件的彈性接觸變化。文獻(xiàn)[40] 中針對(duì)光柵軌跡拋光引入行距適應(yīng)算法，將該方法應(yīng)用于自由曲面加工中，提高了拋光軌跡覆蓋的均勻性。

即AB,BC,CA成等比數(shù)列.

4 試題推廣

實(shí)際上, 我們得出下列結(jié)論:

結(jié)論1 已知△ABC中(見(jiàn)圖1),∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO=θ, 則A=2θ?OA=OC?a2=bc.

我們知道, 一個(gè)三角形有兩個(gè)勃羅卡點(diǎn). 在本題中,O是正勃羅卡點(diǎn), 且滿足條件∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO=θ.如圖7所 示, 若引人O′是負(fù)勃羅卡點(diǎn), 即滿足條件∠O′BA=∠O′CB=∠O′AB=∠O′AC=θ′. 利用證法 3 中同樣的方法, 對(duì)負(fù)勃羅卡角θ′, 同樣可得cotθ′=cotA+cotB+cotC, 所以cotθ=cotθ′, 即θ=θ′, 則AO,AO′都是A的內(nèi)角平分線, 即A,O,O′三點(diǎn)共線, 且O′A=O′B.于是得到結(jié)論2.

圖7 正、負(fù)勃羅卡點(diǎn)

結(jié)論2已知在△ABC中,O,O′分別是正、負(fù)勃羅卡點(diǎn), 且各自滿足:∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO=θ,∠O′BA=∠O′CB=∠O′AB=∠O′AC=θ′.則

(1)θ=θ′;

(2)A=2θ?OA=OC?O′A=O′B?A,O,O′共線.

回顧試題,我們發(fā)現(xiàn)試題實(shí)際上給出了三邊成等比數(shù)列的三角形的勃羅卡點(diǎn)的一個(gè)性質(zhì), 容易想到的問(wèn)題是:如果△ABC三邊成等差數(shù)列, 那么相應(yīng)的勃羅卡點(diǎn)有什么特殊性質(zhì)呢?

下面研究三邊成等差數(shù)列的三角形的勃羅卡點(diǎn)問(wèn)題. 以下問(wèn)題中, 三邊成等差數(shù)列, 就是指a,b,c成等差數(shù)列.

首先我們給出如下引理:

其中a,b,c是△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊.引理1和引理2的證明參見(jiàn)文獻(xiàn)[2].

結(jié)論3 在△ABC中,α是勃羅卡角,P是正勃羅卡點(diǎn),Q是負(fù)勃羅卡點(diǎn), 則

結(jié)論4 在△ABC中,α為正勃羅卡角,則

a2,b2,c2成等差數(shù)列?cotA,cotB,cotC成等差數(shù)列?cotα=3cotB.