易 超

(西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院,四川成都 610031)

0 引言

懸臂梁在土木工程中有著廣泛應(yīng)用,如房屋結(jié)構(gòu)中的挑梁,基坑圍護結(jié)構(gòu)中的擋土樁,邊坡加固中的抗滑樁等均可看做懸臂梁[1]。材料力學(xué)基于平衡方程、物理方程和平面假定給出了常見短梁的計算結(jié)果[2],但由于把梁假設(shè)為縱向纖維受拉的桿件,無法得到其內(nèi)部應(yīng)力分布和變形情況,忽略了擠壓應(yīng)力的存在。彈性力學(xué)[3-4]給出了在集中荷載和均布荷載作用下懸臂梁的彈性力學(xué)解;南忠俊[5]、張琦躍[6]分別給出了矩形截面梁在受到純二次和四次分布荷載時的應(yīng)力函數(shù)和應(yīng)力解,但其求解模型中荷載在梁上最小值為0,在實際應(yīng)用中往往很少出現(xiàn)這種情況,更多情況是呈梯形分布的荷載;劉鴻[7]計算基坑中雙排抗滑樁位移時將其看做立起來的懸臂梁,采用彈性力學(xué)應(yīng)力函數(shù)法分別求出矩形分布荷載和三角形分布荷載對樁產(chǎn)生的位移后再疊加的計算方法,計算過程較為繁瑣。而針對懸臂梁在任意線性荷載作用下的該如何采用彈性力學(xué)半逆解法求解,尚無學(xué)者提出。

1 理論推導(dǎo)

1.1 確定應(yīng)力函數(shù)

采用彈性力學(xué)半逆解法求解受荷變形問題,關(guān)鍵在于如何選取既滿足相容方程又滿足邊界條件的應(yīng)力函數(shù)[8]。隨著受荷形式的愈趨復(fù)雜,應(yīng)力函數(shù)的選取也愈困難,對受多項式分布荷載的狹長截面梁通常取應(yīng)力函數(shù)為多項式形式[9]。

設(shè)有模型如下(為便于計算,按平面應(yīng)變問題考慮且不計體力):

圖1 推導(dǎo)模型

梁長為d,梁高為h,上邊緣受到大小為q(x)=q+kx的分布力作用,根據(jù)材料力學(xué)理論很容易得到橫截面上的正應(yīng)力為式(1)。

(1)

式中:M(x)為彎矩;Iz為橫截面慣性矩;

對于給定的梁Iz為常數(shù),因此將上式看成一個與x有關(guān)的函數(shù)和與y的函數(shù)的乘積。在彈性力學(xué)中有式(2)。

(2)

積分之后得到的應(yīng)力函數(shù)應(yīng)為數(shù)項關(guān)于x和y的函數(shù)乘積之和,形如式(3)。

(3)

式中:n為分布荷載的次數(shù)。

因此本文可選取應(yīng)力函數(shù)為式(4)。

φ(x,y)=x3f3(y)+x2f2(y)+xf1(y)+f0(y)

(4)

式中:f3(y)、f2(y)、f1(y)、f0(y)為關(guān)于y的待定函數(shù),應(yīng)力函數(shù)應(yīng)當滿足相容方程

并且x在區(qū)間[0,d]上滿足,所以與x有關(guān)項系數(shù)應(yīng)等于零,可求得各待定函數(shù)為式(5)～式(8)。

f3(y)=Ay3+By2+Cy+D

(5)

f2(y)=Ey3+Fy2+Gy+H

(6)

(7)

(8)

將式(5)～式(8)代入式(4)得應(yīng)力函數(shù)為式(9)。

φ(x,y)=x3(Ay3+By2+Cy+D)+

(9)

1.2 應(yīng)力求解

根據(jù)應(yīng)力函數(shù)與各應(yīng)力分量之間的關(guān)系,得到各應(yīng)力分量為式(10)～式(12)。

(6Ax3+6Ex2+Jx+M)y+2Bx3+2Fx2+Kx+N

(10)

2(Ey3+Fy2+Gy+H)

(11)

(12)

式(10)～式(12)中A～L為待定系數(shù),可根據(jù)應(yīng)力邊界條件確定。

主要邊界條件為:

當x=0時,梁左端為次要邊界,力的分布形式未知,可用圣維南原理放松

主要邊界條件應(yīng)當精確滿足,即x的各次項系數(shù)為0,根據(jù)上述邊界條件可建立13個方程,應(yīng)力函數(shù)中共有13個待定系數(shù),將所有方程聯(lián)立可解得所有待定系數(shù)如下:

對于右端固定端邊界,根據(jù)彈性理論,對于一個平衡體,如果物體內(nèi)部滿足平衡微分方程,在精確滿足主要邊界條件,以保證解的有效性的前提下,僅需滿足部分力的邊界條件時,剩余部分邊界條件在積分意義下可自動滿足,因此可無需驗證。

將所求得的待定系數(shù)的值代入式得到各應(yīng)力分量如式(13)～式(15)。

(13)

(14)

(15)

1.3 位移求解

根據(jù)彈性力學(xué)物理方程和幾何方程可得到水平位移、豎向位移的計算式和剪應(yīng)力的相等關(guān)系為式(16)～式(18)。

(16)

(17)

(18)

式(16)～式(18)中:E為彈性模量;μ為泊松比;u、v分別為x、y方向的位移見式(19)、式(20)。

所以

(19)

(20)

將式代入式得到式(21)。

(21)

將式左右兩邊分別看成是關(guān)于x、y的函數(shù),并令其左右兩邊相等等于一個常數(shù)ω,則得式(22)、式(23)。

(22)

(23)

對式積分得到式(24)、式(25)。

(24)

(25)

因此懸臂梁內(nèi)任意一點的位移為式(26)、式(27)。

(26)

(27)

令y=0,可得到撓度方程為式(28)。

(28)

2 結(jié)果討論

在本推導(dǎo)模型中,由于按照平面應(yīng)變問題考慮,截面寬度取為一個單位寬度,根據(jù)材料力學(xué)理論, 梁的彎矩和剪力分別為

懸臂梁在受任意線性荷載分布荷載下材料力學(xué)應(yīng)力解為式(29)。

(29)

若規(guī)定撓度向下為正,可得到材料力學(xué)中的撓度方程為式(30)。

(30)

對比式可知,材料力學(xué)解的σx、τxy分別為對應(yīng)彈性力學(xué)應(yīng)力解得第一項,彈性力學(xué)中其余項為修正項;σy為擠壓應(yīng)力,與材料力學(xué)結(jié)果完全不一致,這是因為在材料力學(xué)中作了縱向纖維受拉的假定,忽略了擠壓應(yīng)力的存在,因此,這也在預(yù)料之中[10-11]。

對比式可知,對于撓度方程,材料力學(xué)的解答均能在彈性力學(xué)應(yīng)力函數(shù)解答中找到與之對應(yīng)的項,材料力學(xué)中對撓度計算采用了簡化處理的方法且沒有考慮到泊松比對變形的影響,彈性力學(xué)解將泊松比考慮進去,對結(jié)果行了修正,式剩余的四項正為彈性力學(xué)的修正項。相比于材料力學(xué)解答結(jié)果,彈性力學(xué)解答不僅能得到撓度方程,也能得到物體內(nèi)部任意一點的應(yīng)力與變形,這在解決與其他物體接觸時的變形協(xié)調(diào)問題時相比于材料力學(xué)更具有優(yōu)勢。

此外,在式中若分別令k=0和q=0可得到懸臂梁分別在均布荷載和三角形荷載下的各應(yīng)力和位移解,相較于僅受均布荷載或三角形荷載下懸臂梁的彈性力學(xué)解,本文推導(dǎo)結(jié)果適用性更廣,如在工程中遇到懸臂梁受梯形分布、三角形分布或均布荷載的情況時無需重新推導(dǎo),可直接適用。

3 算例

某懸臂梁長5 m,橫截面高0.8 m,彈性模量為E=210 MPa,泊松比μ=0.2,在梁上受到q(x)=(6+2x) kN/m的分布力作用,為簡化計算在此不考慮重力作用。

根據(jù)本文所得結(jié)果與材料力學(xué)所得結(jié)果計算出撓度方程w、切應(yīng)力τxy、固定端的正應(yīng)力σx以及自由端擠壓應(yīng)力σy方程,并與ABAQUS有限元結(jié)果進行對比分析如表1、圖2～圖6所示。

表1 各方程對比

圖2 位移云圖

圖3 撓度變化

圖4 中性軸線剪力

圖5 固定端水平正應(yīng)力與梁高變化

圖6 自由端擠壓應(yīng)力

將理論結(jié)果與有限元結(jié)果繪制在同一圖中梁的撓度,材料力學(xué)計算結(jié)果最大,有限元結(jié)果居中,應(yīng)用本文方法計算結(jié)果最小,但三者在自由端最大誤差在3 mm以內(nèi),滿足要求;對于梁中性軸上的剪力,與材料力學(xué)結(jié)果基本一致,僅相差一個0.01 kN的修正項,有限元計算結(jié)果最小,三者誤差在1%以內(nèi),滿足工程設(shè)計要求;對于固定端的正應(yīng)力,材料力學(xué)結(jié)果最大,有限元計算結(jié)果最小、應(yīng)力函數(shù)法計算結(jié)果居中,與材料力學(xué)結(jié)果相比多了一項62.5y3,但相對誤差很小,兩者沿梁高方向正應(yīng)力曲線基本完全重合;對于擠壓應(yīng)力,材料力學(xué)中將其忽略為零,這顯然與實際情況不符,本文方法計算出擠壓應(yīng)力沿梁高呈三次曲線分布,中性軸以上較有限元結(jié)果稍偏大,中性軸以下較有限元結(jié)果稍偏小,整體分布規(guī)律一致。

4 結(jié)論

(1)針對懸臂梁在工程中應(yīng)用廣泛,材料力學(xué)解答無法得到其內(nèi)部任意一點的應(yīng)力和變形,從材料力學(xué)理論與彈性力學(xué)受力邊界條件進行分析,提出了任意線性荷載下懸臂梁的應(yīng)力函數(shù)表達式。

(2)根據(jù)邊界條件對未知量進行求解得到了相應(yīng)的應(yīng)力和位移表達式并與材料力學(xué)結(jié)果進行了對比分析,表明材料力學(xué)中的撓度、正應(yīng)力、切應(yīng)力在本文推導(dǎo)的結(jié)果中都能找到與之對應(yīng)項,本文結(jié)果在材料力學(xué)結(jié)果之上多出了修正項。

(3)材料力學(xué)結(jié)果沒有考慮擠壓應(yīng)力,本文方法求得擠壓應(yīng)力沿梁橫截面高度呈三次曲線分布,大小與數(shù)值模擬結(jié)果基本一致。

(4)選取一個實際案例分別應(yīng)用材料力學(xué)結(jié)論、有限元和本文推導(dǎo)結(jié)果分別計算出撓度、剪力、固定端正應(yīng)力和自由端擠壓應(yīng)力分布形式,并將3種方法所得結(jié)果進行對比分析,進一步驗證了本文所提應(yīng)力函數(shù)和求解結(jié)果的優(yōu)越性和可行性。