李軍星，寧世杰，邱 明

（1. 河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471003； 2. 高端軸承河南省協(xié)同創(chuàng)新中心，河南 洛陽(yáng) 471003）

滾動(dòng)軸承是一種精密機(jī)械元件，在機(jī)械行業(yè)應(yīng)用廣泛。其性能和可靠性會(huì)直接影響機(jī)械設(shè)備的工作性能、壽命及運(yùn)行安全。影響滾動(dòng)軸承壽命和可靠性的一個(gè)關(guān)鍵因素是其徑向游隙：若徑向游隙過小，會(huì)使軸承的摩擦力矩增大，進(jìn)而產(chǎn)生摩擦熱，易引發(fā)軸承發(fā)熱而損壞；若徑向游隙過大，則會(huì)造成設(shè)備在運(yùn)行過程中振動(dòng)較大，從而導(dǎo)致軸承的使用壽命縮短。以往大多是根據(jù)軸承徑向游隙公差帶或者工程經(jīng)驗(yàn)來確定軸承徑向游隙的合理區(qū)間，導(dǎo)致誤差非常大。因此，滾動(dòng)軸承徑向游隙的可靠性設(shè)計(jì)一直是機(jī)械設(shè)計(jì)領(lǐng)域研究的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

已有很多學(xué)者開展了滾動(dòng)軸承徑向游隙優(yōu)化設(shè)計(jì)研究。如：李皓川等[1]在極變換的基礎(chǔ)上提出了一種選點(diǎn)的方法，結(jié)合稀疏響應(yīng)面，對(duì)滾動(dòng)軸承工作游隙極限狀態(tài)函數(shù)進(jìn)行擬合，并基于有限元方法計(jì)算出工作游隙；鄭牧等[2]對(duì)軸承安裝后的徑向游隙減小量進(jìn)行了分析和計(jì)算，推導(dǎo)了軸承的原始徑向游隙；邱明等[3-4]分析了軸承徑向游隙的變化對(duì)軸承剛度及疲勞壽命的影響，指出徑向游隙是影響軸承力學(xué)性能的關(guān)鍵指標(biāo)；沈宇涵等[5]分析了圓柱滾子軸承徑向游隙對(duì)徑向剛度的影響；胡北等[6]考慮了軸承溫升、徑向載荷等因素的影響，分析并計(jì)算了軸承徑向游隙。然而，以上研究大多是通過修正經(jīng)驗(yàn)公式或仿真分析來確定滾動(dòng)軸承徑向游隙的合理范圍，缺乏對(duì)滾動(dòng)軸承整個(gè)部件可靠性的考慮。

針對(duì)產(chǎn)品的可靠性設(shè)計(jì)，應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型在工程實(shí)際中已得到廣泛應(yīng)用。如：Zhang等[7]研究了應(yīng)力分布與強(qiáng)度分布之間的關(guān)系，引入條件可靠度的概念，建立了在單應(yīng)力和多應(yīng)力作用下的系統(tǒng)可靠性模型；Ali等[8]討論了形狀參數(shù)不同時(shí)應(yīng)力和強(qiáng)度分別服從廣義Weibull分布以及對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)的應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型，并對(duì)系統(tǒng)可靠性進(jìn)行了評(píng)估；Wang等[9]建立了在應(yīng)力和強(qiáng)度服從一定分布時(shí)可靠度的極大似然估計(jì)模型，并確定了可靠度置信區(qū)間；楊曉蔚[10]運(yùn)用應(yīng)力-強(qiáng)度干涉理論，在軸承壽命分布為Weibull分布的前提下，建立了評(píng)估可靠壽命的Weibull失效概率密度函數(shù)表達(dá)式和可靠度函數(shù)表達(dá)式；張先超等[11]推導(dǎo)了基于應(yīng)力-強(qiáng)度干涉理論的可靠度計(jì)算公式，并提出了當(dāng)應(yīng)力和強(qiáng)度分別同時(shí)服從單參數(shù)和雙參數(shù)指數(shù)分布時(shí)的可靠度估計(jì)方法；伊梟劍等[12]提出了基于應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型的可靠性設(shè)計(jì)方法，將火工品感度參數(shù)和外界刺激參數(shù)引入應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型，來評(píng)估火工品的可靠性。

本文提出了一種基于應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型的滾動(dòng)軸承可靠性設(shè)計(jì)方法。首先，將軸承原始徑向游隙和失效徑向游隙看作隨機(jī)變量，構(gòu)建軸承二維隨機(jī)干涉模型；其次，針對(duì)工程中常用的軸承原始徑向游隙和失效徑向游隙分布模型，推導(dǎo)了滾動(dòng)軸承可靠性評(píng)估解析式和徑向游隙置信區(qū)間；最后，結(jié)合工程實(shí)例及現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，驗(yàn)證本文方法的有效性和適用性。

1 滾動(dòng)軸承徑向游隙可靠性設(shè)計(jì)模型

研究發(fā)現(xiàn)，滾動(dòng)軸承游隙與軸承的多種失效模式密切相關(guān)，是影響軸承可靠性的重要因素[13]。根據(jù)大量試驗(yàn)可知，由于在生產(chǎn)過程中加工、裝配等因素的影響，軸承原始徑向游隙呈隨機(jī)分布，而造成軸承失效的失效徑向游隙也因工作環(huán)境的影響而呈隨機(jī)分布。因此，本文引入應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型。此處應(yīng)力和強(qiáng)度的概念是廣義的，應(yīng)力指影響零件性能和功能的各種環(huán)境因素，強(qiáng)度指零件抵抗應(yīng)力的因素。軸承的原始徑向游隙會(huì)影響軸承所受應(yīng)力的分布，而失效徑向游隙是軸承抵抗應(yīng)力所導(dǎo)致的，因而，將原始徑向游隙X看作應(yīng)力因素，失效徑向游隙Y看作強(qiáng)度因素，則軸承的可靠度R可以定義為[14]：

式中：P為概率值，f(x)為應(yīng)力的概率密度函數(shù)，g(y)為強(qiáng)度的概率密度函數(shù)。

在給定軸承徑向游隙X時(shí)，可通過式(1)對(duì)軸承進(jìn)行可靠性評(píng)估。

此外，由于工程中更關(guān)注軸承原始徑向游隙的設(shè)計(jì)，則根據(jù)式(1)，可以設(shè)計(jì)出在給定可靠度R下軸承原始徑向游隙XR：

同時(shí)，考慮到軸承原始徑向游隙的估計(jì)精確程度取決于樣本容量的大小，僅用點(diǎn)估計(jì)是不夠的，因此給出軸承原始徑向游隙的置信區(qū)間：

式中：下標(biāo)l和u分別表示各參數(shù)值的下限與上限。

由此，可以對(duì)軸承的原始徑向游隙進(jìn)行設(shè)計(jì),使得該軸承的可靠性達(dá)到要求。

2 滾動(dòng)軸承徑向游隙可靠性設(shè)計(jì)方法

軸承原始徑向游隙和失效徑向游隙都是服從一定分布的隨機(jī)變量，可以通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到，一般服從正態(tài)分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布的較多。本文分別討論軸承原始徑向游隙和失效徑向游隙同時(shí)服從正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、指數(shù)分布和Weibull分布（分別表示為正態(tài)分布-正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布-對(duì)數(shù)正態(tài)分布、指數(shù)分布-指數(shù)分布、Weibull 分布-Weibull 分布）時(shí)滾動(dòng)軸承可靠性設(shè)計(jì)方法。

2.1 正態(tài)分布-正態(tài)分布

假設(shè)原始徑向游隙X服從正態(tài)分布，失效徑向游隙Y服從正態(tài)分布，其中μx、σx分別為X的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，μy、σy分別為Y的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，則X、Y的概率密度函數(shù)分別為：

令Z=Y-X，根據(jù)正態(tài)分布的加法定理可知，Z服從正態(tài)分布，且：

則式(1)可變換為：

令u=(z-μz)/σz，得到原始徑向游隙和失效徑向游隙均服從正態(tài)分布時(shí)軸承的可靠度為：

式中：Φ(?)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

根據(jù)式(1)可以得到在給定可靠度R下軸承的可靠度指標(biāo)為：

因此，當(dāng)軸承可靠度為R時(shí)可以設(shè)計(jì)出軸承原始徑向游隙：

在實(shí)際中，均值和方差是通過樣本統(tǒng)計(jì)分析獲得的，其精度由樣本容量決定，且僅用點(diǎn)估計(jì)是不夠的，因此進(jìn)一步設(shè)計(jì)軸承原始徑向游隙的置信區(qū)間。

由于μx、μy、σx、σy也是隨機(jī)變量，根據(jù)隨機(jī)變量參數(shù)區(qū)間估計(jì)理論和區(qū)間數(shù)擴(kuò)張?jiān)?，考慮了隨機(jī)變量參數(shù)估計(jì)區(qū)間后，式(8)可改寫為[15]：

由數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論可知：

則在置信度為1-α下，μx的下限和上限為：

式中：Zα/2為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的百分位點(diǎn)。

將式(13)代入式(8)，可得：

當(dāng)樣本數(shù)量nx、ny足夠大時(shí)，可近似認(rèn)為σx=Sx,σy=Sy，其中Sx、Sy分別為X、Y的樣本標(biāo)準(zhǔn)差。將Sx、Sy代入式(13)，可得軸承可靠度指標(biāo)ZR的區(qū)間。

當(dāng)樣本數(shù)量nx、ny不是很大時(shí)，(μy-μx)的下限和上限為：

式中：v為自由度。

取v為整數(shù)，則風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)α′[15]為：

根據(jù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，可得：

進(jìn)而可得：

將式(15)和(19)代入式(8)[15]，可得ZR的下限和上限為：

由式(8)、(9)、(11)、(20)可得當(dāng)可靠度為R時(shí)μx的下限和上限為：

2.2 對(duì)數(shù)正態(tài)分布-對(duì)數(shù)正態(tài)分布

假設(shè)原始徑向游隙X服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，失效徑向游隙Y服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其中μx、σx分別為X的對(duì)數(shù)均值和對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差，μy、σy分別為Y的對(duì)數(shù)均值和對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差，則X、Y的概率密度函數(shù)分別為：

根據(jù)式(1)可得：

式中：Z=lnY- lnX。

根據(jù)正態(tài)分布的加法定理可知，Z服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，且：

由于X和Y均服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其對(duì)數(shù)形式服從正態(tài)分布，推導(dǎo)過程與2.1 節(jié)一致，這里不再贅述，只給出最終的原始徑向游隙估計(jì)區(qū)間。

由(21)式易知，當(dāng)可靠度為R時(shí)μx的下限和上限為：

2.3 指數(shù)分布-指數(shù)分布

假設(shè)原始徑向游隙X服從指數(shù)分布E(μx)，失效徑向游隙Y服從指數(shù)分布E(μy)，其中μx、μy均為服從指數(shù)分布的一個(gè)參數(shù)，則X、Y的概率密度函數(shù)分別為：

在沒有給出μx和μy確切數(shù)值的情況下，需要根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對(duì)R進(jìn)行估計(jì)，這里采取極大似然估計(jì)法。根據(jù)極大似然估計(jì)的不變性[16]，可以得到μx、μy的 估 計(jì) 值，則 可 靠 度R的 估 計(jì)值為：

根據(jù)式(1)可得[10]：

則：

設(shè)x1,x1, …,xm和y1,y2, …,yn分別來自樣本總體X和Y，則μx和μy的函數(shù)分別為：

由文獻(xiàn)[17]可得μx和μy的極大似然估計(jì)分別為：

則：

對(duì)式(35)作變換，可以得到原始徑向游隙和失效徑向游隙均服從指數(shù)分布時(shí)軸承的可靠性設(shè)計(jì)方法，表示為：

而對(duì)于服從指數(shù)分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)，可參考文獻(xiàn)[18]進(jìn)行。

2.4 Weibull分布-Weibull分布

假設(shè)原始徑向游隙X服從Weibull 分布W(ηx,mx)，失 效 徑 向 游 隙Y服 從Weibull 分 布W(ηy,my)，其中ηx、ηy、mx、my分別為分布的比例參數(shù)和形狀參數(shù)，則X、Y的概率密度函數(shù)分別為：

式中：

式中：

將式(43)變換為：

將式(40)、(42)代入式(44)，可得到原始徑向游隙和失效徑向游隙均服從Weibull分布時(shí)軸承的可靠性設(shè)計(jì)方法，表示為：

可以將Weibull 分布與指數(shù)分布進(jìn)行變換，因此，對(duì)于服從Weibull分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)與指數(shù)分布類似，但前者更復(fù)雜，也可參考文獻(xiàn)[18]進(jìn)行。

3 工程實(shí)例

為了驗(yàn)證本文方法的有效性和適用性，以16004 深溝球軸承為例，進(jìn)行其可靠性分析。軸承內(nèi)圈直徑d=20 mm，外圈直徑D=42 mm，寬度w=8 mm。

采用軸承徑向游隙測(cè)量?jī)x測(cè)試滾動(dòng)軸承的徑向游隙。共采集10組，每組測(cè)試3次后取平均值。測(cè)試現(xiàn)場(chǎng)如圖1所示，測(cè)試結(jié)果如表1所示。

圖1 滾動(dòng)軸承徑向游隙測(cè)試現(xiàn)場(chǎng)Fig.1 Test site of radial clearance of rolling bearing

表1 滾動(dòng)軸承徑向游隙測(cè)試結(jié)果Table 1 Test results of radial clearance of rolling bearing 單位：μm

當(dāng)樣本數(shù)據(jù)服從Weibull 分布時(shí)，參數(shù)估計(jì)的精度受樣本數(shù)量的影響較大。一般來說，當(dāng)樣本數(shù)量較少時(shí)，參數(shù)估計(jì)很可能不準(zhǔn)確，故分別做出原始徑向游隙和失效徑向游隙服從正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、指數(shù)分布時(shí)的Q-Q圖，進(jìn)行定性檢驗(yàn)。原始徑向游隙和失效徑向游隙的Q-Q圖分別如圖2和圖3所示。由圖可知，原始徑向游隙和失效徑向游隙的數(shù)據(jù)同時(shí)服從正態(tài)分布時(shí)的擬合效果比其他分布的效果好。

圖2 滾動(dòng)軸承原始徑向游隙的Q-Q圖Fig.2 Q-Q diagram of original radial clearance of rolling bearing

圖3 滾動(dòng)軸承失效徑向游隙的Q-Q圖Fig.3 Q-Q diagram of failed radial clearance of rolling bearing

接下來采用非參數(shù)檢驗(yàn)（單樣本柯爾莫戈洛夫-斯米諾夫檢驗(yàn)）進(jìn)行定量檢驗(yàn)。假設(shè)樣本數(shù)據(jù)服從原假設(shè)，顯著性水平為0.05，當(dāng)樣本呈顯著性即p＞0.05 時(shí)，認(rèn)為原假設(shè)成立。檢驗(yàn)結(jié)果如表2所示。

表2 滾動(dòng)軸承徑向游隙非參數(shù)檢驗(yàn)結(jié)果Table 2 Non-parametric test results of radial clearance of rolling bearing

由表2可知，原假設(shè)為正態(tài)分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)，原始徑向游隙和失效徑向游隙樣本數(shù)據(jù)的p值均大于0.05，故接受原假設(shè)，認(rèn)為原始徑向游隙和失效徑向游隙均服從正態(tài)分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布。

當(dāng)樣本數(shù)據(jù)均服從正態(tài)分布時(shí)，結(jié)合試驗(yàn)數(shù)據(jù)，計(jì)算后可得：

進(jìn)一步進(jìn)行軸承徑向游隙可靠性設(shè)計(jì)。分別選取工程中常用的可靠度0.95和0.999，對(duì)軸承原始徑向游隙置信區(qū)間進(jìn)行設(shè)計(jì)。

通過式(16)計(jì)算可得t分布中自由度v=16.877，取整后v=16。

當(dāng)R=0.95 時(shí)，由式(17)可得α′=0.394 5。查表得tα/2(16) = 0.917 6。

同理，有：

將上述數(shù)據(jù)代入式(21)，可得R=0.95時(shí)軸承原始徑向游隙的置信區(qū)間為：

當(dāng)R=0.999 時(shí)，由式(17)可得α′=0.055 78，查表得tα′/2(16) = 1.926 8。

同理，有：

將上述數(shù)據(jù)代入式(21)，可得R=0.999 時(shí)軸承原始徑向游隙的置信區(qū)間為：

當(dāng)樣本數(shù)據(jù)均服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)，計(jì)算步驟與正態(tài)分布類似，計(jì)算過程不再贅述。

軸承可靠度為：

R=0.95時(shí)軸承原始徑向游隙的置信區(qū)間為：

R=0.999時(shí)軸承原始徑向游隙的置信區(qū)間為：

綜上可知：當(dāng)樣本數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布時(shí)，滾動(dòng)軸承的可靠度為0.898 5；當(dāng)樣本數(shù)據(jù)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)，可靠度為0.903 2。不同分布下原始徑向游隙置信區(qū)間如表3所示。由圖2可知，樣本數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布的擬合效果比對(duì)數(shù)正態(tài)分布好，結(jié)合表3可知樣本數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布時(shí)算得的游隙置信區(qū)間更為可靠。

表3 不同樣本數(shù)據(jù)分布下滾動(dòng)軸承原始徑向游隙置信區(qū)間Table 3 Confidence interval of original radial clearance of rolling bearing under different distributions of sample data

根據(jù)GB/T 4604—2006可知[19]，16004深溝球軸承徑向游隙的參考范圍為[5，20] μm，由此可知算得的徑向游隙符合國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)。此外，采用本文方法可以設(shè)計(jì)出任意可靠度下的滾動(dòng)軸承徑向游隙置信區(qū)間，且結(jié)果更加合理可靠。

4 結(jié) 論

1）提出了一種基于應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型的軸承徑向游隙可靠性設(shè)計(jì)方法。將軸承原始徑向游隙和失效徑向游隙看作隨機(jī)變量，構(gòu)建了軸承二維隨機(jī)干涉模型，從而實(shí)現(xiàn)了滾動(dòng)軸承徑向游隙的可靠設(shè)計(jì)。

2）針對(duì)工程中常用的服從正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、指數(shù)分布和Weibull分布的徑向游隙樣本數(shù)據(jù)，分別推導(dǎo)了求解滾動(dòng)軸承可靠性和徑向游隙置信區(qū)間的解析式，為滾動(dòng)軸承可靠性設(shè)計(jì)和評(píng)估提供了理論依據(jù)。

3）將所求得的16004深溝球軸承徑向游隙置信區(qū)間與現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)對(duì)比，結(jié)果驗(yàn)證了本文方法的有效性和適用性。