余志武，張 鵬，丁叁叁

(1.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410075；2.高速鐵路建造技術(shù)國家工程實(shí)驗(yàn)室，湖南 長沙 410075；3.中車青島四方機(jī)車車輛股份有限公司，山東 青島 266111)

磁懸浮列車是一種通過非接觸式電磁力來實(shí)現(xiàn)懸浮、導(dǎo)向和牽引的新興陸地交通工具[1-2],其具有環(huán)境友好性強(qiáng)、維護(hù)成本低、爬坡能力強(qiáng)、無脫軌風(fēng)險(xiǎn)等優(yōu)點(diǎn),受到全世界范圍內(nèi)的廣泛關(guān)注[3]。磁浮列車與軌道梁的動力相互作用是影響列車行車安全性、平穩(wěn)性以及橋梁動力性能的關(guān)鍵因素之一[4-5],國內(nèi)外學(xué)者針對該問題從多角度開展了研究[6-9],取得了很多成果。Wang等[10]將車輛模型簡化為移動均布荷載,研究了軌道梁跨中撓度以及撓度沖擊系數(shù)隨車速的變化關(guān)系。Zhao等[11]在懸浮平衡點(diǎn)處將磁軌關(guān)系線性化,采用簡化的線性彈簧-阻尼器模擬復(fù)雜的電磁力,基于10自由度磁浮車輛模型,分析了運(yùn)行在簡支型和連續(xù)型軌道梁上磁浮車輛的行車性能。Yang等[12]建立了磁浮車輛-軌道梁-基礎(chǔ)-土體相互作用模型,用比例-積分-微分控制器(PID)實(shí)現(xiàn)了對電磁力的控制,分析了土體振動對磁浮車輛振動響應(yīng)的影響。周勁松等[13]建立了磁浮車輛垂向動力學(xué)模型,運(yùn)用虛擬激勵法分析了隨機(jī)軌道不平順激勵的磁浮車輛的運(yùn)行平穩(wěn)性。

以上研究都是基于確定性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)模型進(jìn)行的響應(yīng)分析,然而,由于建造誤差和測量精度的不完全可控性,服役期內(nèi)材料經(jīng)時(shí)行為劣化等主客觀因素的影響,工程結(jié)構(gòu)的物理參數(shù)往往伴隨著一定的離散性[14]。已有研究表明,結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機(jī)變異對結(jié)構(gòu)振動的影響不能忽略[15],采用隨機(jī)結(jié)構(gòu)模型能更加客觀合理地反映實(shí)際情況。已有研究中,考慮隨機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)影響的車橋動力相互作用分析還比較有限。

自20世紀(jì)70年代以來,國內(nèi)外學(xué)者針對隨機(jī)結(jié)構(gòu)引起的動力分析問題進(jìn)行了廣泛的研究,主要形成了隨機(jī)模擬法(蒙特卡洛法)[16]、隨機(jī)攝動法[17]、正交多項(xiàng)式展開法[18]和概率密度演化理論[19-21]四大類方法。經(jīng)典的隨機(jī)模擬法需要消耗大量的計(jì)算時(shí)間,隨機(jī)攝動法要求隨機(jī)變量變異性小并存在“久期項(xiàng)”問題,正交多項(xiàng)式展開法受隨機(jī)變量概率分布的限制大,上述不足限制了人們采用這些方法分析車橋耦合振動問題。概率密度演化理論適用于隨機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)和隨機(jī)激勵引起的復(fù)合振動問題[20],能高效地計(jì)算出結(jié)構(gòu)反應(yīng)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和概率密度函數(shù)(PDF)。迄今為止,國內(nèi)外還沒有應(yīng)用該方法分析軌道梁參數(shù)隨機(jī)引起的磁浮車橋隨機(jī)振動的案例。

本文建立磁浮列車-控制器-軌道梁耦合系統(tǒng)時(shí)變隨機(jī)動力分析模型,基于高斯分布運(yùn)用Voronoi區(qū)域剖分概率空間并賦予隨機(jī)軌道梁參數(shù)代表點(diǎn)初始概率,將概率密度演化理論引入磁浮車橋振動系統(tǒng),分析軌道梁參數(shù)的隨機(jī)變異對車輛、軌道梁和電磁力響應(yīng)的影響,研究系統(tǒng)響應(yīng)隨車速的變化規(guī)律。

1 磁浮車輛、軌道梁子系統(tǒng)模型和動力方程

1.1 磁浮車輛子系統(tǒng)

磁浮列車模型由多節(jié)車輛組成,每節(jié)車輛是由車體、磁轉(zhuǎn)向架以及懸掛裝置組成的多自由度動力振動系統(tǒng)。由于豎向運(yùn)動對車輛與軌道梁相互作用起主導(dǎo)作用,因此僅考慮垂直平面內(nèi)車輛的10個(gè)自由度:車體浮沉和點(diǎn)頭(zc,βc),磁轉(zhuǎn)向架浮沉和點(diǎn)頭(zbj,βbj,j=1,2,3,4)。假定車輛各部件均為剛體,各剛體間通過彈簧-阻尼器連接,每節(jié)車輛通過16個(gè)電磁集中力和軌道結(jié)構(gòu)相互作用來兼顧計(jì)算精度和效率[22],車輛模型見圖1。

圖1 磁浮車輛分析模型

根據(jù)彈性系統(tǒng)總勢能不變原理的“對號入座”法則[23-24],建立列車的運(yùn)動方程[25]

(1)

1.2 隨機(jī)軌道梁子系統(tǒng)

軌道梁是磁浮線路的主要承載結(jié)構(gòu),建立軌道梁模型主要有模態(tài)疊加法和有限單元法。模態(tài)疊加法雖然能適當(dāng)減少計(jì)算工作量,然而很難避免選取有限階模態(tài)時(shí)無法準(zhǔn)確考慮軌道結(jié)構(gòu)振動特性的問題[23]。視梁體為Euler-Bernoulli梁,采用有限單元法對軌道梁離散,不失一般性,軌道梁子系統(tǒng)的確定性動力方程為

(2)

式中:Mb、Cb和Kb分別為(Nb×Nb)維的軌道梁子系統(tǒng)的初始質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣;Nb為整體自由度;Ub、Fb(t)分別為(Nb×1)維的結(jié)構(gòu)響應(yīng)向量和激勵向量。Γ為(Nb×Nb)維外荷載激勵加載位置矩陣,隨車輛在橋上運(yùn)行位置的改變而變化;Cs、Ks分別為支座阻尼和剛度。

阻尼采用Rayleigh阻尼假定,有

Cb=αMb+βKb

(3)

(4)

將隨機(jī)變量引入運(yùn)動方程,則結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣為隨機(jī)矩陣,公式(2)變?yōu)?/p>

(Ks+Kb)()Ub=ΓFb(t)

(5)

經(jīng)過有限元基本原理和線性代數(shù)推導(dǎo),可得到隨機(jī)矩陣的線性組合表達(dá)式為

(6)

(7)

(8)

1.3 電磁懸浮力計(jì)算模型

磁浮車輛通過電磁懸浮力和軌道結(jié)構(gòu)相互耦合作用,電磁懸浮力由一系列的電磁鐵產(chǎn)生,每個(gè)電磁鐵和軌道的相互作用模型見圖2。

圖2 電磁鐵-軌道梁相互作用示意

假定電磁鐵中的磁阻和磁通漏為零,忽略材料的磁飽和特性,視磁勢均勻分布,瞬時(shí)垂向電磁力Fsup為電流和懸浮間隙的函數(shù)[28],可表示為

(9)

式中:B為磁通密度;it為瞬時(shí)電流;δt為瞬時(shí)懸浮間隙;μ0為磁導(dǎo)率;A為電磁鐵有效磁極面積;N為繞組線圈匝數(shù)。

由式(9)可知,電磁懸浮力和懸浮間隙呈平方反比非線性關(guān)系,可見常導(dǎo)磁浮本質(zhì)具有不穩(wěn)定性,須引入閉環(huán)反饋控制器使懸浮間隙在一定的范圍內(nèi)穩(wěn)定變化?；诠こ虒?shí)踐中廣泛應(yīng)用的PID控制策略,采用電流控制實(shí)現(xiàn)閉環(huán)反饋的控制方案,其算法原理為

(10)

2 概率空間選點(diǎn)

k=1,2,…,n

(11)

式中:?k,j∈(1,n),在維數(shù)較低的情況下,?k,j確定的點(diǎn)集可以直接采用,當(dāng)點(diǎn)集?k,j所確定的向量維度n很大時(shí),直接使用n維點(diǎn)集將會導(dǎo)致很大的誤差[20]。

為兼顧計(jì)算精度和效率的要求,采用超球體篩分方法對點(diǎn)集進(jìn)行篩分,即

(12)

式中:r0為篩分半徑。

對經(jīng)過篩選后的點(diǎn)集進(jìn)行仿射變換,進(jìn)一步優(yōu)化點(diǎn)集的均勻程度,即

(13)

式中:μk,j為均值;βk,j為變異系數(shù)。

‖x-γm‖?k≠m}

(14)

為方便求解概率密度演化方程,以圖3所示Voronoi區(qū)域來確定代表點(diǎn)的賦予概率,其概率密度函數(shù)為

(15)

圖3 Voronoi區(qū)域示意

所有點(diǎn)集組成的總概率空間的聯(lián)合密度函數(shù)滿足

(16)

3 磁浮車輛-軌道梁系統(tǒng)耦合隨機(jī)時(shí)變運(yùn)動方程

根據(jù)第1節(jié)的方法闡述,分別建立車輛子系統(tǒng)、軌道梁子系統(tǒng)運(yùn)動方程,采用分離迭代法通過電磁懸浮力將兩個(gè)子系統(tǒng)耦合,建立磁浮車輛-軌道梁耦合隨機(jī)動力分析系統(tǒng),見圖4。

圖4 磁浮列車-軌道梁耦合隨機(jī)動力分析系統(tǒng)

聯(lián)合式(1)和式(5),得到磁浮車橋耦合隨機(jī)時(shí)變運(yùn)動方程為

(17)

式中:ζ1、ζ2均為隨機(jī)變量,分別用來描述結(jié)構(gòu)材料物理特性參數(shù)的隨機(jī)性和外荷載的隨機(jī)性。

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

Fd(t)表示確定性荷載引起的外力向量

(23)

(24)

(25)

(26)

4 概率密度演化方法求解系統(tǒng)響應(yīng)

不失一般性,車輛子系統(tǒng)和軌道梁子系統(tǒng)耦合隨機(jī)時(shí)變運(yùn)動方程(17)可以統(tǒng)一改寫為

(27)

(28)

根據(jù)概率守恒原理建立響應(yīng)的概率密度演化方程并求得概率信息,圖5給出了概率密度演化理論求解磁浮動力分析系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)流程。

圖5 概率密度演化理論求解磁浮系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)流程

概率密度演化理論求解磁浮動力分析系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)的具體步驟如下:

Step1根據(jù)多體動力學(xué)和有限元方法建立確定性的磁浮車橋耦合振動方程。

Step2采用數(shù)論選點(diǎn)法在概率空間ΩΘ構(gòu)造軌道梁物理特性參數(shù)的代表性點(diǎn)集Θ={Θ1,Θ2,…,Θs},通過Voronoi區(qū)域計(jì)算代表性點(diǎn)的賦予概率。

Step4假設(shè)Y為待求解的物理量,Y=(yx,1,yx,2,…,yx,m,…,yx,n)T包含車橋系統(tǒng)的任意物理量,則有

(29)

(30)

式中:gx(·)、Gx(·)為轉(zhuǎn)化方程。

顯然,構(gòu)造后的增廣系統(tǒng)(Y,Θ)包含了磁浮車橋耦合系統(tǒng)中所有隨機(jī)變量和物理量,是概率保守系統(tǒng)。設(shè)(Y,Θ)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為pYΘ(y,θ,t),經(jīng)過相關(guān)推導(dǎo)[20],建立廣義概率密度演化方程為

(31)

Step5在給定的初始條件pYΘ(y,θq,t)|t=t0=δ(y-y0)Pq下,采用帶TVD格式的雙邊差分法計(jì)算Y(t)的概率密度函數(shù)的數(shù)值解[20]為

(32)

5 算例分析

表1 軌道梁基本參數(shù)

5.1 模型驗(yàn)證、計(jì)算精度和效率對比

為驗(yàn)證模型的正確性,以軌道梁彈性模量隨機(jī)為例計(jì)算系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)。概率密度演化方法聯(lián)合概率空間選點(diǎn)法(PDEM)的代表性樣本數(shù)取Nsp=500,隨機(jī)模擬法(MCS)Nsp分別取600,1 000、4 000、8 000。為方便模型驗(yàn)證,以隨機(jī)變異系數(shù)COV=0.05為例,在計(jì)算機(jī)配置相同的條件下分析,計(jì)算結(jié)果見表2、圖6和圖7。

表2 兩種方法計(jì)算結(jié)果對比

圖6 軌道梁跨中豎向位移隨機(jī)響應(yīng)

圖7 首車車體質(zhì)心處豎向位移隨機(jī)響應(yīng)

由圖6(a)、圖6(b)、圖7(a)、圖7(b)和表2可知,隨著MCS樣本數(shù)量的增加,兩種方法計(jì)算結(jié)果的偏差越來越小,并逐漸趨近于PDEM的計(jì)算值,PDEM計(jì)算500次和MCS計(jì)算8 000次響應(yīng)的結(jié)果相當(dāng),最大偏差為2.36 %。計(jì)算時(shí)間方面,PDEM耗時(shí)385.12 min,MCS耗時(shí)7 621.32 min,這說明本文提出的方法具有較高的計(jì)算效率和精度,相比隨機(jī)模擬法能提高計(jì)算效率1～2個(gè)數(shù)量級。

從圖6(c)、圖6(d)可知,計(jì)算結(jié)果中的三維概率密度演化圖中包含豐富的概率信息,能為軌道結(jié)構(gòu)的可靠性與安全評定提供概率分析基礎(chǔ)。不同時(shí)刻軌道梁跨中豎向位移的概率密度演化呈現(xiàn)出復(fù)雜的隨機(jī)演化特征,集中松散程度隨時(shí)間變化而變化,概率密度函數(shù)呈現(xiàn)非標(biāo)準(zhǔn)高斯分布。軌道梁最大跨中豎向位移均值為5.52 mm,對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.69 mm,最大變異系數(shù)為12.48 %。文獻(xiàn)[11]中采用確定性分析方法計(jì)算的軌道梁豎向位移最大值約為5.69 mm,位于本文計(jì)算結(jié)果的范圍內(nèi),這也說明了本文車橋相互作用模型的正確性。

分析圖7可知,車體豎向位移呈現(xiàn)出明顯概率密度演化性質(zhì),概率密度曲線的分布隨時(shí)間變化而變化。當(dāng)車體由剛性軌道駛?cè)肴嵝攒壍懒簳r(shí),車體質(zhì)心處豎向位移概率密度曲線發(fā)生了明顯的概率發(fā)散。車體豎向位移均值最大值為4.23 mm,標(biāo)準(zhǔn)差最大值為0.41 mm,對應(yīng)的變異系數(shù)為9.62%,等概率密度曲線略窄于軌道梁跨中豎向位移。這是由于軌道梁響應(yīng)經(jīng)控制后的電磁力和二系懸掛傳遞至車體后有一定的折減,與預(yù)期一致。

5.2 隨機(jī)軌道梁參數(shù)影響分析

將隨機(jī)彈性模量(Var 1),質(zhì)量密度(Var 2)和阻尼比(Var 3)視為獨(dú)立隨機(jī)變量,通過概率密度演化方法計(jì)算軌道梁跨中豎向位移和加速度、首車車體豎向位移以及電磁懸浮力響應(yīng)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)COV,然后利用三倍標(biāo)準(zhǔn)差原理(3σ)估計(jì)響應(yīng)滿足99.75%概率保證率的最大值Max,計(jì)算結(jié)果見表3。

表3 隨機(jī)軌道梁參數(shù)作用時(shí)磁浮系統(tǒng)動力響應(yīng)

分析表3可知,車橋響應(yīng)的最大值和變異系數(shù)隨著Var 1～Var 3變異性的增大有不同程度的增加趨勢,但并非線性增加。Var 1、Var 2、Var 3變異系數(shù)增加4倍時(shí),軌道梁跨中豎向位移分別增加3.30倍、0.10倍和0.26倍;跨中豎向加速度分別增加4.00倍、0.38倍和1.28倍;車體豎向位移分別增加2.16倍、0.03倍和0.02倍;電磁懸浮力分別增加0.21倍、0.02倍,0.01倍。Var 1對車橋響應(yīng)的影響較大,而Var 2和Var 3的影響程度較小。這是因?yàn)閺椥阅Ａ康碾S機(jī)性直接導(dǎo)致了軌道梁整體剛度的變化,故而在磁浮列車荷載的沖擊下,系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)出現(xiàn)較大的離散性,這也和預(yù)期結(jié)果一致。電磁力受軌道梁隨機(jī)參數(shù)影響較小,而軌道梁跨中加速度和豎向位移、車體豎向位移受隨機(jī)參數(shù)的影響較大。通過進(jìn)一步計(jì)算可知,電磁力受閉環(huán)反饋控制器的控制作用,在軌道梁和車體振動出現(xiàn)較大的變幅時(shí),控制系統(tǒng)能夠?qū)崟r(shí)調(diào)節(jié)電磁懸浮間隙和電流,從而輸出穩(wěn)定的電磁力使系統(tǒng)穩(wěn)定懸浮。綜上可得,車橋動力響應(yīng)受隨機(jī)軌道梁參數(shù)影響的敏感程度為:軌道梁跨中加速度>軌道梁跨中位移>車體位移>電磁懸浮力。

5.3 車速影響分析

列車運(yùn)行速度是磁浮車橋耦合振動的一個(gè)重要影響因素。將車速工況分為13個(gè)等級,在100～700 km/h區(qū)間按50 km/h等間隔變化。計(jì)算隨機(jī)因素Var 1、Var 2和Var 3作為單一隨機(jī)變量獨(dú)立作用時(shí),以及三種隨機(jī)因素作為復(fù)合隨機(jī)變量(Coupled Case)耦合作用時(shí)軌道梁和車體的隨機(jī)響應(yīng),結(jié)果見圖8～圖10。

圖8 隨機(jī)彈性模量作用時(shí)不同車速第二跨軌道梁跨中豎向位移隨機(jī)響應(yīng)(COV=0.05)

從圖8可以看出,軌道梁跨中豎向位移均值和標(biāo)準(zhǔn)差曲線響應(yīng)峰值隨車速的提高先增加后減小,在車速650 km/h附近分別達(dá)到最大值7.56、1.41 mm,最大變異系數(shù)為0.19。這說明軌道梁豎向位移受車速影響較大,車橋耦合共振會影響軌道梁的隨機(jī)響應(yīng)和離散程度,車速和彈性模量共同作用時(shí)軌道梁位移響應(yīng)有較大的離散性和明顯的非平穩(wěn)特征。

從圖9可得,軌道梁跨中加速度均值和標(biāo)準(zhǔn)差隨車速的提高有先增加后減小的趨勢。隨著Var 1變異性增強(qiáng),軌道梁加速度標(biāo)準(zhǔn)差隨車速的變化曲線極值點(diǎn)位置發(fā)生了變化,尖峰的程度有增加的趨勢。這是因?yàn)閺椥阅Ａ康碾S機(jī)將導(dǎo)致軌道梁的固有頻率發(fā)生變化,從而影響車橋耦合共振速度。相比傳統(tǒng)的確定性分析方法,本文所采用的隨機(jī)方法能夠輸出均值、標(biāo)準(zhǔn)差和概率密度函數(shù),為考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機(jī)變異的磁浮車橋耦合共振車速分析和可靠度分析提供了途徑,這也反映了本文方法的優(yōu)越性。

圖9 不同變異系數(shù)工況下隨機(jī)彈性模量引起的軌道梁加速度與車速的關(guān)系

從圖10(a)、圖10(b)可知,Var 1、Var 2、Var 3和Coupled Case的均值和標(biāo)準(zhǔn)差都隨著車速的增加整體上先增加后減小,最大變異系數(shù)分別為0.34、0.14、0.05、0.37。Var 1工況、Coupled Case工況車體加速度響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差隨車速的變化曲線非常接近,且相較于Var 2、Var 3工況隨車速的變化幅度較大。這說明由Var 1和Coupled Case引起的車輛隨機(jī)響應(yīng)受車速的影響較大,而由Var 2和Var 3引起的車輛隨機(jī)響應(yīng)受車速的影響較小。從圖10 (c)可知,Coupled Case和Var 1工況的最大值隨車速的變化曲線走勢基本一致但沒有完全重合,最大誤差為11.11%。這說明3種軌道結(jié)構(gòu)隨機(jī)因素耦合參振時(shí),隨機(jī)彈性模量對車輛垂向隨機(jī)振動有主導(dǎo)作用,隨機(jī)阻尼比和質(zhì)量密度的影響很小但不容忽略,這與5.2分析結(jié)論一致。

圖10 首車車體加速度隨機(jī)響應(yīng)(COV=0.15)

6 結(jié)論

基于磁浮車輛-控制器-軌道梁耦合系統(tǒng)時(shí)變隨機(jī)動力分析模型,將概率密度演化理論引入磁浮車橋振動系統(tǒng),基于MATLAB開發(fā)了隨機(jī)動力分析程序,采用隨機(jī)模擬法和文獻(xiàn)結(jié)果驗(yàn)證了模型的計(jì)算效率和精度,研究了隨機(jī)軌道梁參數(shù)和車速對磁浮系統(tǒng)動力響應(yīng)的影響規(guī)律,可得出以下結(jié)論:

1) 基于概率密度演化理論的磁浮車輛-控制器-軌道梁時(shí)變隨機(jī)動力分析模型高效準(zhǔn)確,相比隨機(jī)模擬法計(jì)算效率提高1～2個(gè)數(shù)量級。

2) 車橋隨機(jī)響應(yīng)受隨機(jī)軌道梁參數(shù)影響的敏感程度為:軌道梁跨中加速度>軌道梁跨中位移>車體位移>電磁懸浮力。

3) 車橋響應(yīng)受車速的影響較大,并非隨車速的提高而單調(diào)增加。

4) 隨機(jī)彈性模量對車輛垂向隨機(jī)振動有主導(dǎo)作用,隨機(jī)阻尼比和質(zhì)量密度的影響很小但不容忽略。因此,在軌道梁服役周期內(nèi),應(yīng)合理考慮和控制軌道梁參數(shù)的隨機(jī)變異。