摘要：盡管數(shù)值模擬方法在求解流體動(dòng)力學(xué)的湍流過(guò)程中發(fā)展迅速，但處理復(fù)雜的幾何形狀和流動(dòng)過(guò)程時(shí)，在準(zhǔn)確建模和計(jì)算速度等問(wèn)題上仍面臨挑戰(zhàn)性。針對(duì)當(dāng)前在計(jì)算流體力學(xué)（Computational Fluid Dynamics，CFD）上存在的計(jì)算代價(jià)大等問(wèn)題，本文在傳統(tǒng)的湍流數(shù)值模擬技術(shù)的基礎(chǔ)上，結(jié)合機(jī)器學(xué)習(xí)，以經(jīng)典的Sandia Flame D 燃燒模型為例，通過(guò)引入物理信息的深度學(xué)習(xí)算法， 建立物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)（Physical-Information Neural Network，PINN），將符合規(guī)律的物理信息內(nèi)嵌到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，使得用小樣本就能實(shí)現(xiàn)參數(shù)的流場(chǎng)重構(gòu)。在平面維度上，分別對(duì)PINN 和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法重構(gòu)的結(jié)果，與CFD 軟件仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，其中PINN 方法在訓(xùn)練集大小不及樣本點(diǎn)總數(shù)一半的情況下，即可得到數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法在大樣本情況下的重構(gòu)結(jié)果，重構(gòu)出燃燒過(guò)程在t=1 s 時(shí)刻的軸向、徑向速度以及溫度的L2 相對(duì)誤差分別為0.187%、1.194%， 0.071%， 且在訓(xùn)練集占樣本點(diǎn)總數(shù)的55%、70%、82% 的情況下，PINN 方法均比數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法誤差小。在時(shí)間維度上，成功重構(gòu)t=0.3、0.5、1 s 時(shí)刻的軸向速度云圖，證明PINN 方法能夠重構(gòu)出幾何模型采樣時(shí)間范圍內(nèi)任意時(shí)刻的物理場(chǎng)分布云圖。

關(guān)鍵詞：計(jì)算流體力學(xué)；深度學(xué)習(xí)；物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；湍流燃燒；流場(chǎng)重構(gòu)

中圖分類號(hào)：TQ038.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

湍流數(shù)值模擬技術(shù)在實(shí)際工程應(yīng)用（如航空、航天、航海等領(lǐng)域）中有非常廣泛的應(yīng)用場(chǎng)景，也越來(lái)越受到學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的重視。目前在湍流的數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)中，最常見是使用雷諾平均法進(jìn)行求解，相較于直接數(shù)值模擬方法速度更快[1]。盡管越來(lái)越多的研究人員對(duì)數(shù)值模擬技術(shù)進(jìn)行了深入的研究，但是這種技術(shù)在解決工程應(yīng)用問(wèn)題過(guò)程中需要耗費(fèi)的計(jì)算量依舊很大[2]。

深度學(xué)習(xí)（DL）以其對(duì)復(fù)雜時(shí)空系統(tǒng)進(jìn)行非線性建模的強(qiáng)大能力，近年來(lái)在計(jì)算力學(xué)領(lǐng)域受到了極大關(guān)注，以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為代表的深度學(xué)習(xí)方法快速發(fā)展，并逐漸與傳統(tǒng)的物理模型等科學(xué)領(lǐng)域進(jìn)行結(jié)合[3-5]。深度學(xué)習(xí)模型的構(gòu)建方式主要分為兩種類型：數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方式和物理信息驅(qū)動(dòng)方式。在數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法框架中，DL 模型被構(gòu)造為一個(gè)黑盒，用來(lái)學(xué)習(xí)從輸入到輸出的代理映射。深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以其獨(dú)特的逼近能力使得在維度維數(shù)都很高的情況下也能學(xué)習(xí)映射，通常所需的數(shù)據(jù)集非常龐大，通過(guò)各種工業(yè)仿真軟件模擬得到[6]。然而，從模擬中獲得足夠的數(shù)據(jù)集需要大量的時(shí)間和精力，并且對(duì)模擬的過(guò)程需要仔細(xì)監(jiān)察。為了減少這樣昂貴的花銷，基于物理信息的深度學(xué)習(xí)策略打開了這樣的市場(chǎng)，通過(guò)將符合物理運(yùn)動(dòng)規(guī)律的偏微分方程（Partial DifferentialEquation，PDE）、或者初始/邊界條件嵌入到深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，利用事物反應(yīng)的內(nèi)在物理規(guī)律來(lái)實(shí)現(xiàn)求解。

物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)（Physical InformationNeutral Network， PINN）方法最開始是由Raissi 等[7]所提出的應(yīng)用于求解PDE 的一種深度學(xué)習(xí)方法。隨著機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域的飛速發(fā)展，計(jì)算流體力學(xué)領(lǐng)域的學(xué)者也不斷努力，將計(jì)算流體力學(xué)與深度學(xué)習(xí)相結(jié)合。Wang 等[8]介紹了PINN 的一般框架，并展示了其在建模復(fù)雜物理系統(tǒng)（如求解/識(shí)別PDE） 方面的能力，Li 等[9] 利用PINN 在薛定諤方程的參數(shù)研究方面取得了進(jìn)展，Nabian 等[10] 進(jìn)一步提高了PINN 在求解非線性PDE上的能力。與以往一些研究的不同之處在于，除了物理定律之外，PINN 還可以利用現(xiàn)有的測(cè)量數(shù)據(jù)，從而有可能發(fā)現(xiàn)物理尚未完全理解的系統(tǒng)。特別是近年來(lái)開創(chuàng)性地利用PINN 模擬流體流動(dòng)。如Kissas等[11] 根據(jù)MRI數(shù)據(jù)和守恒定律利用PINN 預(yù)測(cè)動(dòng)脈血壓。Karniadakis 等[12] 將物理信息驅(qū)動(dòng)的機(jī)器學(xué)習(xí)方法應(yīng)用于診斷鋰電池的壽命，Sun 等[13] 提出了一種無(wú)需任何仿真數(shù)據(jù)的流體流動(dòng)代理建模的PINN 方法。李艷東等[14]將物理信息耦合到對(duì)鍋爐的數(shù)值模擬方法中，提升了計(jì)算的準(zhǔn)確性。陸至彬等[15] 應(yīng)用PINN 策略處理固體、流體共軛傳熱建模的問(wèn)題。

本文的研究目標(biāo)是構(gòu)建基于物理信息的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的流體動(dòng)力學(xué)方案，利用流體力學(xué)的隱藏物理方程，結(jié)合計(jì)算流體力學(xué)中經(jīng)典的湍流燃燒模型，預(yù)測(cè)速度場(chǎng)和溫度場(chǎng)。從傳統(tǒng)方法的對(duì)比和從時(shí)間范圍的角度，分別應(yīng)用本方案來(lái)重構(gòu)速度場(chǎng)和溫度場(chǎng)，并與商業(yè)軟件Fluent 數(shù)值模擬的確切解進(jìn)行了比較，在算法性能和時(shí)間領(lǐng)域上對(duì)參與燃燒反應(yīng)中的參數(shù)進(jìn)行流場(chǎng)重構(gòu)實(shí)驗(yàn)。仿真結(jié)果表明，該方法能夠?qū)崿F(xiàn)采樣時(shí)間范圍內(nèi)任意時(shí)刻的速度場(chǎng)、溫度場(chǎng)的重構(gòu)，同傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法相比，在精度和所需訓(xùn)練集樣本數(shù)量上有更好的性能。在全局情況下，采用物理信息的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的流體動(dòng)力學(xué)方案，能夠重構(gòu)出采樣時(shí)間范圍內(nèi)任意時(shí)刻的物理場(chǎng)信息。

1 Flame D 燃燒過(guò)程數(shù)值模擬

1.1 物理模型結(jié)構(gòu)與網(wǎng)格劃分

Sandia 值班射流火焰系列是美國(guó) Sandia 國(guó)家實(shí)驗(yàn)室與德國(guó)技術(shù)大學(xué)合作完成的一系列不同雷諾數(shù)的值班射流火焰實(shí)驗(yàn)[16-18]，其中Sandia Flame D 是一個(gè)廣泛使用的測(cè)試案例，該系列火焰實(shí)驗(yàn)測(cè)量了詳細(xì)的速度場(chǎng)和標(biāo)量場(chǎng)等實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，經(jīng)過(guò)大量準(zhǔn)確性研究驗(yàn)證，常被用來(lái)驗(yàn)證模型的正確性。

燃燒器的構(gòu)造是一個(gè)軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)，整個(gè)燃燒器包括3 個(gè)部分，分別由半徑為3.6 mm 的燃料口，外圍半徑為9.1 mm 的值班口，以及半徑為300 mm 的伴流口組成。燃料口中燃料組分為25% 甲烷和75%空氣（體積分?jǐn)?shù)） ，以49.6 m/s 的速度進(jìn)入燃燒器內(nèi)[19]。值班口以11.4 m/s 的速度注入高溫空氣，主要作用是點(diǎn)火與引燃。本文采用二維的Sandia Flame D模型的結(jié)構(gòu)示意圖見圖1，邊界條件設(shè)定如表1 所示，整個(gè)燃燒器結(jié)構(gòu)可以按圖1 中X 軸對(duì)稱展開。

在前處理軟件Gambit 上對(duì)二維Sandia FlameD 進(jìn)行建模和結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分，采用標(biāo)準(zhǔn)的四面體網(wǎng)格對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行劃分，最后生成的網(wǎng)格數(shù)是2 450 個(gè)，二維Sandia Flame D 網(wǎng)格劃分如圖2 所示。

1.2 湍流燃燒的CFD 計(jì)算

數(shù)值模擬的目的在于獲取用于模型訓(xùn)練所需的數(shù)據(jù)集，以及獲取作為結(jié)果驗(yàn)證的對(duì)照樣本。湍流燃燒數(shù)值模擬方法主要有3 種，分別為直接數(shù)值模擬（Direct Numerical Simulation，DNS）、雷諾平均數(shù)值模擬（Reynolds Average Numerical Simulation，RANS）和大渦模擬（Large Eddy Simulation，LES）[20-21]。目前關(guān)于Sandia 值班射流系列火焰的數(shù)值模擬研究已經(jīng)非常多，由于RANS 方法的計(jì)算成本相對(duì)較低，且本方案的二維Sandia Flame D 燃燒實(shí)驗(yàn)的復(fù)雜度較低，RANS 方法能滿足對(duì)該流場(chǎng)的計(jì)算精度的要求，因此本次數(shù)值模擬采用RANS 方法， 并應(yīng)用RealizableK-ε湍流模型。

應(yīng)用本方案的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)和基于物理信息的深度學(xué)習(xí)方法，研究對(duì)采樣時(shí)間范圍內(nèi)的各物理場(chǎng)的重構(gòu)。甲烷燃燒數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)是一個(gè)瞬態(tài)問(wèn)題，隨著時(shí)間的推移，甲烷在燃燒器內(nèi)逐漸燃燒，各物理場(chǎng)的流場(chǎng)分布也隨時(shí)間的變化呈現(xiàn)出不同的特征，最后趨于穩(wěn)定狀態(tài)?；诖耍ㄟ^(guò)數(shù)值模擬獲得一段時(shí)間范圍的數(shù)據(jù)集，取其中的一部分用于訓(xùn)練，構(gòu)造網(wǎng)絡(luò)模型來(lái)驗(yàn)證本方案的可行性。圖3 展示了數(shù)值模擬計(jì)算的基本過(guò)程。

本次CFD 數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)在CFD 軟件AnsysFluent 19.0 中進(jìn)行，氣相燃燒模型包括有限速率模型、非預(yù)混燃燒模型、預(yù)混燃燒模型、部分預(yù)混燃燒模型和渦耗散概念模型（EDC），這幾種模型均可用于湍流計(jì)算?；鹧娴男纬砂〝U(kuò)散火焰和預(yù)混火焰，擴(kuò)散火焰是非預(yù)混的燃料和氧化劑燃燒所形成的結(jié)果，在這種情形下火焰鋒面會(huì)受到各個(gè)方向的對(duì)流或擴(kuò)散的影響，火焰尾部形狀較為凌亂。而預(yù)混火焰在燃燒前，燃料和氧化劑就已經(jīng)相互滲透，火焰形狀較為規(guī)整，非預(yù)混燃燒模型計(jì)算速度快但準(zhǔn)確性有所欠缺，預(yù)混燃燒模型計(jì)算速度較慢，但準(zhǔn)確性高，而EDC 主要用于考慮污染物生成的慢反應(yīng)過(guò)程，特點(diǎn)是計(jì)算成本高、速度慢、精度高。由于本實(shí)驗(yàn)是基于甲烷與空氣的燃燒反應(yīng)，可以視作快反應(yīng)過(guò)程，于是在保證一定的精度下，選擇計(jì)算速度、準(zhǔn)確性均居中的部分預(yù)混燃燒模型，該模型燃料和氧化劑可以從2 個(gè)或者3 個(gè)口進(jìn)入，在燃料反應(yīng)之前，將部分燃料和氧化劑提前混合在一起。使用耦合求解器（Coupled）求解控制方程，計(jì)算中使用自調(diào)整的動(dòng)態(tài)計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)，求解的梯度采用最小二乘法，動(dòng)量項(xiàng)、湍流擴(kuò)散率以及其他項(xiàng)均使用二階迎風(fēng)格式。

邊界條件的設(shè)定，主要是對(duì)燃料口、值班口、伴流口分別賦予注入速度。燃料口以49.6 m/s 的速度注入CH4，值班口以11.4 m/s 的速度注入H2、H、O、O2、OH、H2O、CO、CO2、NO 等混合物質(zhì)組分氧化劑，伴流口以0.9 m/s 速度注入空氣進(jìn)行緩沖。選擇瞬態(tài)計(jì)算，計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)設(shè)置0.01 s，每2 個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)保存一下當(dāng)前反應(yīng)區(qū)域內(nèi)多個(gè)物理參數(shù)的數(shù)值分布數(shù)據(jù)。迭代次數(shù)設(shè)置為500，迭代完成之后計(jì)算域的出、入口的質(zhì)量?jī)敉窟_(dá)到?1.891 019×10?5 kg/s，且模擬量和真實(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)幾乎吻合，可判斷為收斂。

圖4 給出了Sandia Flame D 軸向的溫度分布的CFD 數(shù)值模擬結(jié)果和真實(shí)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比圖。從比較結(jié)果來(lái)看，F(xiàn)luent 的計(jì)算結(jié)果具有高保真性，與真實(shí)數(shù)據(jù)有較高的吻合程度，因此數(shù)值模擬的數(shù)據(jù)作為用于訓(xùn)練的樣本數(shù)據(jù)具有可靠性。

2 基于物理信息的網(wǎng)絡(luò)框架

2.1 基礎(chǔ)理論

物理信息的深度學(xué)習(xí)模型在流體力學(xué)上的應(yīng)用，本質(zhì)在于利用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)求解非線性PDE。PINN 即一種基于物理信息的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，它不僅能夠像傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一樣學(xué)習(xí)到訓(xùn)練數(shù)據(jù)樣本的分布規(guī)律，而且能夠?qū)W習(xí)到數(shù)學(xué)方程描述的物理定律。

假設(shè)對(duì)于求解以下一維PDE 問(wèn)題，形式如下

ut +uux +0.01πuxx = 0，"x 2 Ω，"t ∈ [0，T] （1）

其中：u（t， x）為方程的解，是關(guān)于時(shí)間t 和位置x 的函數(shù)；ut和ux分別是u（t， x）對(duì)變量t 和x 的偏導(dǎo)數(shù)；uxx為u（t， x）對(duì)x 的二階導(dǎo)數(shù)。

PINN 即通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和PDE 的耦合運(yùn)算，將物理方程的殘差合并到損失函數(shù)中來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)PDE 的求解。對(duì)于上述的一維PDE 問(wèn)題，該物理信息網(wǎng)絡(luò)的輸入是t、x，網(wǎng)絡(luò)的輸出是u0（t， x），網(wǎng)絡(luò)輸出的偏微分u′0（t， x）滿足PDE 的等式關(guān)系。目標(biāo)函數(shù)一部分由u（t， x）和u0（t， x）的偏差關(guān)系來(lái)構(gòu)成，另一部分由u′0（t， x）滿足的物理等式關(guān)系構(gòu)成，通過(guò)不斷迭代使得目標(biāo)函數(shù)即損失函數(shù)達(dá)到最小，從而使網(wǎng)絡(luò)可以逼近解。

圖5 展示了PINN 算法的求解過(guò)程。整個(gè)算法的框架主要分為兩個(gè)部分，即神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合部分和PDE 量化部分。由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合部分的輸出構(gòu)成損失函數(shù)的數(shù)據(jù)損失部分Lossd，由PDE 量化部分?jǐn)y帶的物理規(guī)律構(gòu)成損失函數(shù)的方程損失部分Losse，兩部分共同構(gòu)成算法的目標(biāo)函數(shù)。通過(guò)梯度下降算法，使用自動(dòng)微分技術(shù)讓目標(biāo)函數(shù)最小化來(lái)迭代更新神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的參數(shù)，直到損失函數(shù)值趨于穩(wěn)定收斂，這樣所構(gòu)造的基于物理信息的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型不需要引入邊界條件，就可以實(shí)現(xiàn)燃燒器區(qū)域內(nèi)的流場(chǎng)各參數(shù)的解的逼近，對(duì)輸入可行范圍內(nèi)的（t， x）即可得到相應(yīng)的輸出。

2.2 Flame D 燃燒過(guò)程中的物理信息方程

在計(jì)算流體力學(xué)中，物質(zhì)運(yùn)動(dòng)/反應(yīng)的情況大都可以通過(guò)一系列的控制方程進(jìn)行描述[22]，一般經(jīng)由質(zhì)量守恒方程、動(dòng)量守恒方程和能量守恒方程能較好地描述流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。在本方案的工作中，所采用的實(shí)例為二維黏性不可壓縮流體的Sandia FlameD 非穩(wěn)態(tài)甲烷燃燒模型，它的控制方程主要由連續(xù)性方程、動(dòng)量守恒方程和能量守恒方程構(gòu)成。

對(duì)于質(zhì)量守恒方程，又稱為連續(xù)性方程，它描述了流體的質(zhì)量守恒原理，二維情況下的甲烷燃燒模型的連續(xù)性方程可寫成如下形式：

ux +uy = 0 （2）

對(duì)于動(dòng)量守恒方程，大部分流體流動(dòng)的情況都符合納維-斯托克斯（Navier-Stoke，N-S）方程，N-S 方程概括了黏性不可壓縮流體流動(dòng)的普遍規(guī)律。本次甲烷燃燒模型數(shù)值模擬采用的是Realizable K-ε模型，在二維直角坐標(biāo)系中的湍流流動(dòng)的控制方程的通用表達(dá)式可以表達(dá)為如下形式：

式中：φ 為各個(gè)物理參數(shù) u、v、T、K、ε 的統(tǒng)稱，其中u、v分別為二維坐標(biāo)系中軸向和徑向的速度分量；ρ為甲烷混合氣體密度；г為廣義擴(kuò)散系數(shù)；S稱為源項(xiàng)。г和S的表達(dá)式視物理參數(shù)的情況而變化[23]。

因此燃燒模型的控制方程可描述成以下5 組方程：

其中：T 代表溫度；K 代表脈動(dòng)動(dòng)能；ε代表耗散率；p代表壓力；μ和μt分別為分子黏性和黏性系數(shù)，μ可由Fluent 計(jì)算得出，而μt由下式表示：

μt = cμρK2/ε （5）

c1 、 c2 、 cμ"、 σT 、 σK 、 σε 為 6 個(gè)經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，分別取值1.44、1.92、0.09、1.0、1.0、1.3。

至此，用于PINN 耦合算法的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)部分和PDE 部分已構(gòu)造完成。

2.3 數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)下的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)模型

本次研究?jī)?nèi)容實(shí)現(xiàn)的是對(duì)物理量徑向速度u、軸向速度v以及溫度T的流場(chǎng)重構(gòu)，因此，基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)下的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的輸出為3 個(gè)， 不考慮PDE 的影響，則損失函數(shù)包含3 部分，分別對(duì)應(yīng)著兩個(gè)方向的速度損失項(xiàng)，以及溫度損失項(xiàng)。構(gòu)造損失函數(shù)的形式如式（6）所示。

式（6）中N 為方程的個(gè)數(shù)，此處N=6。構(gòu)造的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型基本結(jié)構(gòu)為1 個(gè)3 輸入3 輸出的全連接網(wǎng)絡(luò)模型，輸入時(shí)刻信息和網(wǎng)格的位置坐標(biāo)信息，輸出的物理量對(duì)應(yīng)著Sandia Flame D 燃燒模型計(jì)算區(qū)域內(nèi)的速度分量和溫度分布。模型的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)深度設(shè)計(jì)為10 層，各隱藏層的神經(jīng)元個(gè)數(shù)為12，采用全連接結(jié)構(gòu)，激活函數(shù)采用tanh，網(wǎng)絡(luò)中的超參數(shù)w、b 進(jìn)行隨機(jī)初始化操作，采用Adam優(yōu)化器進(jìn)行參數(shù)調(diào)整。構(gòu)造的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型如圖6所示。

2.4 物理信息下的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)模型

基于物理信息的PINN 下的流場(chǎng)重構(gòu)，考慮了符合流體運(yùn)動(dòng)的N-S 方程，將N-S 方程加入到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近的損失函數(shù)表達(dá)式中，根據(jù)2.1 節(jié)中的PINN算法的基礎(chǔ)理論和2.2 節(jié)中的Sandia Flame D 燃燒的控制方程的介紹，得知耦合PINN 方法的損失函數(shù)主要由兩部分組成，一部分是基于實(shí)驗(yàn)數(shù)值模擬的數(shù)據(jù)誤差，另一部分是符合物理規(guī)律的PDE 誤差，因此可以構(gòu)造整體的誤差損失函數(shù)如式（7）所示。

其中 ei 的表達(dá)式根據(jù) 2.2 節(jié)中 Flame D 燃燒實(shí)驗(yàn)的控制方程可得：

由此構(gòu)造的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型基本結(jié)構(gòu)為3 輸入6 輸出的全連接網(wǎng)絡(luò)模型，輸入變量為時(shí)刻信息以及網(wǎng)格的位置坐標(biāo)信息，輸出變量對(duì)應(yīng)著Sandia FlameD 燃燒模型計(jì)算區(qū)域內(nèi)的速度分量、溫度分布以及用于后續(xù)PDE 計(jì)算的參數(shù)p、K 和ε。最終對(duì)重構(gòu)出的速度分量、溫度分布進(jìn)行流場(chǎng)分布情況的可視化處理，得到各參數(shù)的分布云圖。模型采用全連接的結(jié)構(gòu)，深度設(shè)計(jì)為10 層，各隱藏層的神經(jīng)元個(gè)數(shù)為12，激活函數(shù)采用tanh，網(wǎng)絡(luò)中的超參數(shù)w，b 進(jìn)行隨機(jī)初始化操作，采用Adam 優(yōu)化器進(jìn)行參數(shù)調(diào)節(jié)。構(gòu)造的基于物理信息的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型如圖7 所示。

3 結(jié)果與分析

通過(guò)對(duì)Sandia Flame D 燃燒模型進(jìn)行數(shù)值模擬，得到不同時(shí)刻下各物理參數(shù)（速度、溫度等）的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，結(jié)合本文提出的基于物理信息的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的流體動(dòng)力學(xué)方案，對(duì)非穩(wěn)態(tài)燃燒模型燃燒反應(yīng)在某一時(shí)刻的物理參數(shù)進(jìn)行檢測(cè)以及可視化，并與傳統(tǒng)的純數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法在物理參數(shù)的云圖結(jié)果、樣本數(shù)量、準(zhǔn)確度等幾個(gè)維度進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證算法的可靠性和優(yōu)越性。最后實(shí)現(xiàn)在采樣時(shí)間范圍內(nèi)，對(duì)全局中任意時(shí)刻的流場(chǎng)重構(gòu)，提升了本文深度學(xué)習(xí)算法的流體動(dòng)力學(xué)方案的應(yīng)用廣度。

3.1 不同方法下的結(jié)果對(duì)比

為了評(píng)估模型算法的性能指標(biāo)，采用各參數(shù)的L2 相對(duì)誤差作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，將每個(gè)時(shí)間步的L2 相對(duì)誤差定義為：

其中 V 是物理參數(shù)的矢量表達(dá)，L2 相對(duì)誤差衡量的是通過(guò)網(wǎng)絡(luò)模型得出的預(yù)測(cè)值和高保真的真實(shí)數(shù)據(jù)之間的誤差關(guān)系，其值越小，代表模型的準(zhǔn)確性越高。

對(duì)燃燒反應(yīng)的物理參數(shù)進(jìn)行流場(chǎng)重構(gòu)。樣本數(shù)據(jù)t ∈ [0.9;1.1]，計(jì)算域范圍x ∈ [0，40D] ，y ∈ [0，5D]，共計(jì)20 組數(shù)據(jù)。在甲烷燃燒區(qū)域范圍內(nèi)，分別用2.3 節(jié)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)模型和2.4 節(jié)基于物理信息的網(wǎng)絡(luò)模型，總樣本點(diǎn)數(shù)為36 600。在訓(xùn)練樣本點(diǎn)不同數(shù)量的情況下，以t=1 s 的流場(chǎng)作為檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，將兩種方法重構(gòu)的t=1 s 的物理參數(shù)結(jié)果進(jìn)行可視化處理，分別對(duì)其燃燒過(guò)程的u、 v、T的實(shí)驗(yàn)結(jié)果以云圖的方式展現(xiàn)出來(lái)，并與工業(yè)軟件Fluent 中數(shù)值模擬的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖8 所示。

在全部樣本點(diǎn)總數(shù)為36 600 的情況下，分別在訓(xùn)練樣本數(shù)為20 000、25 000、30 000、35 000 時(shí)分析兩種算法模型對(duì)于重構(gòu)Sandia Flame 燃燒實(shí)驗(yàn)區(qū)域中的流場(chǎng)分布情況，結(jié)合各網(wǎng)絡(luò)模型輸出結(jié)果和真實(shí)結(jié)果之間，采用L2 相對(duì)誤差作為衡量指標(biāo)，比較兩種方法得出的計(jì)算域內(nèi)物理參數(shù)u（X 方向速度）和T（溫度）與高保真的真實(shí)數(shù)據(jù)之間的L2 相對(duì)誤差，來(lái)對(duì)比分析結(jié)合物理信息的PINN 方法的優(yōu)劣性，結(jié)果如表2 和圖9 所示（其中?u、 ?v、 ?T分別表示u， v，T 的L2 相對(duì)誤差）。

當(dāng)訓(xùn)練樣本數(shù)大于或等于20 000 時(shí)，數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法和PINN 方法在大致情況上都能夠?qū)崿F(xiàn)物理場(chǎng)的重構(gòu)。隨著訓(xùn)練樣本數(shù)的增加，數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法下的速度、溫度等的L2 相對(duì)誤差會(huì)一直隨訓(xùn)練樣本數(shù)的增加而逐漸減少，而PINN 方法下的速度、溫度等的L2 相對(duì)誤差在更少樣本數(shù)25 000 的時(shí)候就基本達(dá)到飽和，即隨著樣本數(shù)的增加，模型精度的提升跨度較小，而數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型的精度隨著樣本點(diǎn)的增加仍有較大提升的趨勢(shì)，這意味著PINN 方法在需要少量的訓(xùn)練樣本數(shù)的情況下就可以達(dá)到數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)在大量訓(xùn)練樣本數(shù)的情況下的精度，表明了PINN 相對(duì)于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)在所需訓(xùn)練樣本數(shù)上的優(yōu)越性，能用更少的數(shù)據(jù)樣本學(xué)習(xí)到更具泛化能力的模型，同時(shí)PINN 方法訓(xùn)練的模型相對(duì)于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的模型在精度方面也有一定程度的提升。

3.2 任意時(shí)刻的流場(chǎng)重構(gòu)

Sandia Flame D 燃燒實(shí)驗(yàn)是瞬態(tài)變化的過(guò)程，火焰的形狀隨著反應(yīng)的進(jìn)行逐漸變化。在3.1 節(jié)基礎(chǔ)上，采用物理信息下的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型來(lái)實(shí)現(xiàn)采樣時(shí)間范圍內(nèi)的任意時(shí)刻的流場(chǎng)重構(gòu)。通過(guò)1.2 節(jié)的數(shù)值模擬，選擇采樣樣本為燃燒過(guò)程t=0～1 s 時(shí)間范圍內(nèi)、采樣間隔為0.01 s的100 組數(shù)據(jù)，共計(jì)183 000 個(gè)樣本點(diǎn)，隨機(jī)選取其中100 000 個(gè)樣本點(diǎn)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，利用構(gòu)造的物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)模型分別對(duì)0.3、0.5、1 s 的軸向速度進(jìn)行重構(gòu)預(yù)測(cè)，同時(shí)對(duì)3 個(gè)時(shí)刻的流場(chǎng)云圖與工業(yè)計(jì)算軟件Fluent 上的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果如圖10 所示。

可以看到，PINN 方法重構(gòu)出的參數(shù)流場(chǎng)分布情況與Fluent 真實(shí)模擬流場(chǎng)分布情況基本一致，PINN方法僅用近55% 的樣本數(shù)據(jù)即可實(shí)現(xiàn)對(duì)經(jīng)典湍流燃燒實(shí)驗(yàn)的流場(chǎng)重構(gòu)。同時(shí)也展現(xiàn)出Sandia FlameD 燃燒反應(yīng)是一個(gè)隨時(shí)間變化的過(guò)程，燃燒反應(yīng)在幾何區(qū)域內(nèi)從左往右擴(kuò)散，軸向速度也不斷填充反應(yīng)的區(qū)域，直至呈現(xiàn)出飽和的狀態(tài)，大小趨于穩(wěn)定。可以看到在Sandia Flame D 燃燒反應(yīng)發(fā)生的時(shí)間域上，PINN 能夠?qū)崿F(xiàn)在采樣時(shí)間范圍內(nèi)任意時(shí)刻的軸向速度的流場(chǎng)重構(gòu)，并且能夠直觀地體現(xiàn)物理參數(shù)隨著燃燒過(guò)程而產(chǎn)生的變化規(guī)律。

4 結(jié)束語(yǔ)

應(yīng)用本文構(gòu)建的基于物理信息的深度學(xué)習(xí)求解流體動(dòng)力學(xué)方案，對(duì)Sandia Flame D 甲烷燃燒模型進(jìn)行了數(shù)值模擬計(jì)算，分別構(gòu)建了數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)框架和PINN 網(wǎng)絡(luò)框架。先在小樣本范圍內(nèi)，將Fluent計(jì)算結(jié)果和傳統(tǒng)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法以及PINN 耦合算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行可視化對(duì)比，并用L2 相對(duì)誤差衡量了模型精度，結(jié)果表明在保證精度的前提下，PINN耦合算法用總樣本數(shù)量的55% 即可得到傳統(tǒng)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)算法用總樣本數(shù)量80% 訓(xùn)練的結(jié)果，進(jìn)一步驗(yàn)證了基于物理信息的深度學(xué)習(xí)算法在傳統(tǒng)算法上性能的優(yōu)越性。在大樣本范圍內(nèi)，進(jìn)行了全局的流場(chǎng)重構(gòu)，運(yùn)用PINN 耦合算法實(shí)現(xiàn)了全局采樣時(shí)間范圍內(nèi)，任意時(shí)刻的流場(chǎng)重構(gòu)， Fluent 模擬結(jié)果和PINN重構(gòu)結(jié)果兩者基本一致。這證明了本方案的有效性，以及基于物理信息的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型可訓(xùn)練性好等優(yōu)點(diǎn)。

本文的研究方案在具有代表性的湍流燃燒模型中具有較好的精度和一定的泛化性，可為復(fù)雜的工業(yè)級(jí)裝置上的研究提供思路。下一步的工作將開展對(duì)復(fù)雜工業(yè)模型在采樣時(shí)間范圍之外熱流場(chǎng)的預(yù)測(cè)。

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（責(zé)任編輯：劉亞萍）

基金項(xiàng)目： 國(guó)家自然科學(xué)基金基礎(chǔ)科學(xué)中心項(xiàng)目（61988101）；新疆維吾爾自治區(qū)重大科技專項(xiàng)項(xiàng)目（2022A01006-4）；國(guó)家自然科學(xué)基金（62273149，62203173）；上海市重型燃?xì)廨啓C(jī)領(lǐng)域聯(lián)合創(chuàng)新計(jì)劃（UIC 計(jì)劃））