*本文系江蘇省十四五規(guī)劃課題“初中數(shù)學(xué)課程中的代數(shù)推理及教學(xué)策略研究”（SJMJ/2022/02）、“走向整體設(shè)計(jì)：初中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)的實(shí)踐研究”（E/2022/05）的研究成果。

收稿日期：2023-10-15

作者簡(jiǎn)介：胡松，南京市鼓樓區(qū)教育局副局長(zhǎng)，正高級(jí)教師，江蘇省“333高層次人才培養(yǎng)工程”培養(yǎng)對(duì)象，南京市學(xué)科教學(xué)帶頭人。

摘要：傳統(tǒng)教學(xué)中，教師常把推理能力的培養(yǎng)交給“圖形與幾何”，忽視了“數(shù)與代數(shù)”對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生推理能力的價(jià)值與作用。其實(shí)，代數(shù)推理是數(shù)學(xué)中的重要推理類型，也是啟發(fā)思維的重要載體。代數(shù)教學(xué)中，要促使學(xué)生真正學(xué)習(xí)，開發(fā)學(xué)生潛能，教師不僅要講授知識(shí)，更要點(diǎn)明其算理，即在課堂上“講道理”。教師可以從講清知識(shí)的來(lái)龍去脈、破解代數(shù)中的“規(guī)定”之疑、厘清例習(xí)題道理三個(gè)方面入手，分析教材結(jié)構(gòu)、改造教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理能力。

關(guān)鍵詞：初中代數(shù)；代數(shù)推理能力；數(shù)學(xué)思維

中圖分類號(hào)：G633.62 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2023）22-0089-04

數(shù)學(xué)道理是指數(shù)學(xué)中的概念、法則、定理等知識(shí)背后蘊(yùn)含的算理，包括產(chǎn)生之理、本源之理、呈現(xiàn)之理及隱性之理。數(shù)學(xué)教學(xué)中，要促使學(xué)生真正學(xué)習(xí)，開發(fā)學(xué)生潛能，教師不僅要講授知識(shí)，更要點(diǎn)明其算理，即在課堂上“講道理”。學(xué)生通過(guò)教師“講道理”的過(guò)程，經(jīng)歷、感知、體驗(yàn)知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程，由淺入深、由易到難地學(xué)習(xí)知識(shí)、理解知識(shí)，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的萌芽點(diǎn)、連接點(diǎn)和生長(zhǎng)點(diǎn)，建立新舊知識(shí)的聯(lián)系，提高數(shù)學(xué)創(chuàng)造力，培養(yǎng)和強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維，形成系統(tǒng)性的推理能力。推理能力的培養(yǎng)一直是認(rèn)知心理學(xué)和教育學(xué)的熱門話題?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“2022版課標(biāo)”）將“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界”作為數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)之一，并指出數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為運(yùn)算能力、推理意識(shí)或推理能力。學(xué)生經(jīng)歷獨(dú)立的思維過(guò)程，具備推理意識(shí)或推理能力，有助于形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和理性精神[1]6。

一、培養(yǎng)推理能力的教學(xué)現(xiàn)狀

推理是人們?cè)趯W(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。培養(yǎng)推理能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心價(jià)值所在，學(xué)生推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中。初中階段，“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”都是培養(yǎng)學(xué)生推理能力的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師常把推理能力的培養(yǎng)交給“圖形與幾何”，忽視了“數(shù)與代數(shù)”對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生推理能力的價(jià)值與作用。其實(shí)，代數(shù)推理是數(shù)學(xué)中的重要推理類型，而代數(shù)運(yùn)算是代數(shù)推理的重要形式，是得到結(jié)論的重要途徑，也是啟發(fā)思維的重要載體?！皵?shù)與代數(shù)”的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)量關(guān)系、探究數(shù)學(xué)規(guī)律、建立數(shù)學(xué)模型，有利于學(xué)生形成抽象能力、推理能力和模型觀念，發(fā)展幾何直觀和運(yùn)算能力。依托“數(shù)與代數(shù)”的內(nèi)容，教師可以通過(guò)情境、活動(dòng)、問(wèn)題串的設(shè)計(jì)，在歸納的過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生依次計(jì)算或嘗試，尋找探索事物變化規(guī)律的方法，從而養(yǎng)成有條理地思考的習(xí)慣，讓學(xué)生在代數(shù)邏輯論證的過(guò)程中，逐漸提升自身的推理能力。

在2022版課標(biāo)的指引下，關(guān)于幾何邏輯推理能力的研究與成果百花齊放，但針對(duì)“數(shù)與代數(shù)”推理能力的研究仍很薄弱。在教學(xué)實(shí)踐中，目前的教學(xué)設(shè)計(jì)也弱化了代數(shù)推理的作用。3年來(lái)筆者跟蹤了區(qū)域內(nèi)近百節(jié)代數(shù)領(lǐng)域的課，發(fā)現(xiàn)：35％的代數(shù)課上，教師直接拋出概念或法則，然后根據(jù)概念、法則進(jìn)行鞏固訓(xùn)練，對(duì)概念、法則的生成缺乏必要的闡述與探究；55％的代數(shù)課上，教師由特殊情形或大量的實(shí)例類比得到概念或法則，然后根據(jù)概念、法則進(jìn)行直接應(yīng)用，對(duì)概念、法則的生成同樣缺乏從算理角度進(jìn)行論證的過(guò)程；只有10％的代數(shù)課，教師在概念、法則的教學(xué)過(guò)程中，融入豐富的類比、歸納、猜想、驗(yàn)證的環(huán)節(jié)。因此，加強(qiáng)代數(shù)推理的理論研究和實(shí)踐探索是擺在廣大教師面前的重要課題。

推理的本質(zhì)是有條理地思考和表達(dá)，即建立思維的條理性和邏輯性[2]。在“數(shù)與代數(shù)”教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理能力，關(guān)鍵是在課堂上“講道理”，即揭示概念、法則的生成邏輯。

二、培養(yǎng)代數(shù)推理能力的教學(xué)策略

數(shù)學(xué)課堂是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的主戰(zhàn)場(chǎng)，相較于知識(shí)、結(jié)論的呈現(xiàn)與記憶，每個(gè)概念、法則的感知、抽象、概括、驗(yàn)證等過(guò)程更為重要。代數(shù)課程的價(jià)值在于讓學(xué)生理解算理，熟練計(jì)算，善用推理。一堂好的代數(shù)課應(yīng)讓學(xué)生在掌握知識(shí)技能的過(guò)程中，學(xué)會(huì)理性思考，提升代數(shù)推理能力。教師要?jiǎng)?chuàng)造性地使用教材，積極開發(fā)、利用各種教學(xué)資源，為學(xué)生提供豐富多彩的學(xué)習(xí)素材。教師明理，課堂方能講理；課堂講理，學(xué)生方能悟理。

（一）講清知識(shí)的來(lái)龍去脈

數(shù)學(xué)教材中呈現(xiàn)的概念、法則等是前人對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生和形成過(guò)程進(jìn)行的概括，抽象性較高?！爸v道理”的數(shù)學(xué)課要還原知識(shí)的形成過(guò)程，讓學(xué)生了解知識(shí)的形成軌跡，避免死記硬背性學(xué)習(xí)，從理解的角度去學(xué)習(xí)知識(shí)，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率。在教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師要將數(shù)學(xué)的基本思想、基本經(jīng)驗(yàn)落實(shí)到基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的教學(xué)過(guò)程中去，要設(shè)計(jì)出體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)整體性、邏輯連貫性、思想一致性、方法普適性、思維系統(tǒng)性的系列化數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，發(fā)現(xiàn)值得研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題，構(gòu)建研究數(shù)學(xué)對(duì)象的基本路徑，獲得有價(jià)值的數(shù)學(xué)結(jié)論，建立數(shù)學(xué)模型，解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，以實(shí)現(xiàn)從“知其然”到“知其所以然”，再到“知何由以知其所以然”的跨越。

（二）破解代數(shù)中的“規(guī)定”之疑

代數(shù)課堂有許多“規(guī)定”。遇到一些難以理解的知識(shí)點(diǎn)，教師則告訴學(xué)生，這是“規(guī)定”。久而久之，學(xué)生不再問(wèn)“為什么”，數(shù)學(xué)課堂也逐漸變得不講道理。而我們倡導(dǎo)“講道理”，就要破除課堂“規(guī)定”之風(fēng)，解決學(xué)生心中的疑惑。具體怎么做呢？要學(xué)生猜想如何“規(guī)定”，從知識(shí)的連續(xù)性理解“規(guī)定”的合理性，從體系的完整性體驗(yàn)“規(guī)定”的必要性，從驗(yàn)證的角度推導(dǎo)“規(guī)定”的科學(xué)性。如“0的絕對(duì)值、相反數(shù)是0，一個(gè)數(shù)與0相加仍得這個(gè)數(shù)，任何數(shù)與0相乘都得0”等代數(shù)知識(shí)的教學(xué)均應(yīng)遵循上述四個(gè)步驟。

（三）講解例習(xí)題時(shí)厘清道理

代數(shù)的研究對(duì)象不僅是數(shù)字，而且是各種抽象的結(jié)構(gòu)。代數(shù)推理是使用代數(shù)的定義、性質(zhì)，從已知的數(shù)學(xué)式子推導(dǎo)出新的數(shù)學(xué)式子的過(guò)程。例習(xí)題講解是代數(shù)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，從“講道理”的角度看，我們對(duì)例習(xí)題的講解不能停留在熟能生巧的層面，也無(wú)須過(guò)多地強(qiáng)調(diào)技巧?！爸v道理”的教學(xué)要把每一道例習(xí)題看成一種代數(shù)模型，嘗試從分析問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的角度去講解例習(xí)題，在講解過(guò)程中要多追問(wèn)，厘清每一個(gè)步驟的依據(jù)。講解過(guò)程中也要滲透數(shù)學(xué)的常見(jiàn)思想方法，如歸納類比、分類討論、數(shù)形結(jié)合等，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的品質(zhì)。

三、培養(yǎng)代數(shù)推理能力的教學(xué)探索

在代數(shù)學(xué)習(xí)的起始階段，教師就應(yīng)重視如何在代數(shù)課中講好道理。越“簡(jiǎn)單”的課，越應(yīng)該挖掘其內(nèi)在的原理，將“理”貫穿在學(xué)習(xí)的始終。蘇科版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)“去括號(hào)”這節(jié)課在很多教師眼中就是這樣一節(jié)“簡(jiǎn)單”的課。他們認(rèn)為，在學(xué)生的認(rèn)知里，很容易得到去括號(hào)法則，學(xué)生運(yùn)算出現(xiàn)錯(cuò)誤，也不是不明白法則導(dǎo)致的。但學(xué)生是否明白法則的合理性和邏輯性，大部分教師是忽略的。所以，本文就以這一課為例，從分析教材結(jié)構(gòu)、改造教學(xué)內(nèi)容兩方面，在教學(xué)實(shí)踐中探索如何上好“講道理”的數(shù)學(xué)課。

（一）分析教材結(jié)構(gòu)

教材從情境引入、活動(dòng)建構(gòu)、例習(xí)題講解三個(gè)方面呈現(xiàn)了“去括號(hào)”一課的教學(xué)內(nèi)容。首先，教材在“議一議”環(huán)節(jié)創(chuàng)設(shè)了小亮在假期勤工儉學(xué)活動(dòng)中賣報(bào)紙的學(xué)習(xí)情境，引出如何合并多項(xiàng)式同類項(xiàng)的問(wèn)題：

在假期的勤工儉學(xué)活動(dòng)中，小亮從報(bào)社以每份0.4元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)a份報(bào)紙，以每份0.5元的價(jià)格賣出b份（b≤a）報(bào)紙，剩余的報(bào)紙以每份0.2元的價(jià)格退回報(bào)社，小亮贏利多少元？

小亮購(gòu)進(jìn)a份報(bào)紙支出0.4a元，售出b份報(bào)紙收入0.5b元，退回剩余報(bào)紙收入0.2（a-b）元。這樣，小亮贏利[-0.4a+0.5b+0.2（a-b）]元。

如何合并多項(xiàng)式-0.4a+0.5b+0.2（a-b）中的同類項(xiàng)？

在此基礎(chǔ)上，教材在“試一試”環(huán)節(jié)展開“填表”與“討論”的建構(gòu)活動(dòng)，通過(guò)反復(fù)代入不同的數(shù)值，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建對(duì)概念、法則的初步認(rèn)知，由此引出去括號(hào)法則：

括號(hào)前面是“＋”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“＋”號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)的符號(hào)都不改變。括號(hào)前面是“－”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“－”號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)的符號(hào)都要改變。

接著，教材通過(guò)典型例習(xí)題講解，進(jìn)一步鞏固并拓展去括號(hào)法則的運(yùn)用。

教材內(nèi)容從現(xiàn)實(shí)情境引入，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，設(shè)計(jì)的目的是為了引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系生活實(shí)際感受去括號(hào)的必要性及價(jià)值。“試一試”環(huán)節(jié)的操作與討論活動(dòng)，設(shè)計(jì)的目的是引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)值計(jì)算，尋找到相等的式子，然后通過(guò)不完全歸納得到法則。但從實(shí)際教學(xué)效果來(lái)看，“議一議”環(huán)節(jié)，多數(shù)學(xué)生能直接得到實(shí)際結(jié)果，弱化了此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)目的；“試一試”環(huán)節(jié)，大多數(shù)學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)，也能直觀得到a+（-b+c）＝a-b+c或a-（-b+c）＝a+b-c。從代數(shù)推理的角度看，這兩個(gè)環(huán)節(jié)未能充分展示去括號(hào)的必要性和去括號(hào)法則的數(shù)學(xué)道理。

（二）改造教學(xué)內(nèi)容

從內(nèi)容維度上看，學(xué)習(xí)本課時(shí)前，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了數(shù)與代數(shù)的兩次蛻變，一是“從正數(shù)到負(fù)數(shù)”的數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程，二是“從數(shù)到字母”的演變過(guò)程，學(xué)生已初步掌握了有理數(shù)、代數(shù)式的相關(guān)概念和計(jì)算，理解了它們的價(jià)值。從經(jīng)驗(yàn)維度上看，學(xué)生在三個(gè)方面已具備括號(hào)的應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)：通過(guò)用式子表示“加法的交換律、結(jié)合律，乘法的分配律、結(jié)合律、交換律”，體會(huì)了括號(hào)表達(dá)的便捷性；通過(guò)用式子表示有理數(shù)的運(yùn)算法則（如，減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)），體會(huì)了括號(hào)表達(dá)的簡(jiǎn)約性；通過(guò)“程序運(yùn)算”，體會(huì)到括號(hào)應(yīng)用的一般性。

首先，我們將情境問(wèn)題改造為兩個(gè)問(wèn)題：

（1）某汽車4S店倉(cāng)庫(kù)中原有車輛32輛，第二天又入庫(kù)12輛，并賣出8輛，那么倉(cāng)庫(kù)中還剩多少輛車？

（2）某汽車4S店倉(cāng)庫(kù)中原有車輛32輛，第二天賣出12輛，第三天賣出8輛，那么倉(cāng)庫(kù)中還剩多少輛車？

設(shè)計(jì)這兩個(gè)問(wèn)題，更加直接地指向去括號(hào)法則，以問(wèn)題（1）為例，既可以列式：32+12-8，也可以列式：32+（12-8），讓學(xué)生在“數(shù)”的運(yùn)算中發(fā)現(xiàn)結(jié)論，從而遷移到“式”的運(yùn)算。

然后，在建構(gòu)環(huán)節(jié)中，我們?cè)O(shè)計(jì)了兩個(gè)活動(dòng)。第一個(gè)活動(dòng)是上述情境問(wèn)題的延伸：

（1）某汽車4S店倉(cāng)庫(kù)中原有車輛a輛，第二天又入庫(kù)b輛，并賣出c輛，那么倉(cāng)庫(kù)中還剩多少輛車？

（2）某汽車4S店倉(cāng)庫(kù)中原有車輛a輛，第二天賣出b輛，第三天賣出c輛，那么倉(cāng)庫(kù)中還剩多少輛車？

2022版課標(biāo)提出：“教材在初中階段也需要設(shè)計(jì)相應(yīng)內(nèi)容，讓學(xué)生經(jīng)歷從數(shù)的具體計(jì)算過(guò)渡到式的抽象運(yùn)算的過(guò)程……”[1]93有了前面的討論，學(xué)生已經(jīng)有了感性的認(rèn)識(shí)，也就能夠過(guò)渡到抽象的形式化規(guī)則。

第二個(gè)活動(dòng)是“講道理”的環(huán)節(jié)，是探究“去括號(hào)法則”的主要活動(dòng)，意在引導(dǎo)學(xué)生將經(jīng)驗(yàn)上升為規(guī)律，抽象為符號(hào)。符號(hào)作為一種特殊的語(yǔ)言，有其自身的獨(dú)特之處。數(shù)學(xué)符號(hào)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。2022版課標(biāo)提出：“在小學(xué)階段，學(xué)生只需要感悟數(shù)學(xué)的說(shuō)理；到了初中階段，學(xué)生要會(huì)用數(shù)學(xué)的符號(hào)表達(dá)數(shù)學(xué)道理?！盵1]93學(xué)生不僅要能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，還要從學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)本身的邏輯出發(fā)，“講出道理”，解釋規(guī)律的合理性，才真正實(shí)現(xiàn)了思維的升華。在“講道理”的環(huán)節(jié)，教師要追問(wèn)學(xué)生如何解釋自己的發(fā)現(xiàn)是正確的。在解釋規(guī)律的基礎(chǔ)上，教師還要引導(dǎo)學(xué)生用文字描述法則，加深對(duì)法則的理解，在文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言方面完善數(shù)學(xué)概念。

最后，在“小結(jié)與思考”環(huán)節(jié)，我們?cè)O(shè)計(jì)了兩道練習(xí)題：

（1）說(shuō)明：兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的和不能被2整除。

（2）說(shuō)明：若一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)和個(gè)位數(shù)的和能夠被3整除，那么這個(gè)兩位數(shù)也能被3整除。

2022版課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)課程的核心素養(yǎng)主要包括會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界[1]5-6。本節(jié)課的“小結(jié)與思考”沒(méi)有使用常規(guī)的回憶課堂學(xué)習(xí)過(guò)程的方式，而是再次提出挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)情境中自覺(jué)養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言進(jìn)行推理和運(yùn)算的習(xí)慣。這里不僅用到了本節(jié)課學(xué)習(xí)的“去括號(hào)法則”，還需要學(xué)生創(chuàng)造性地衍生出“添括號(hào)法則”，從而達(dá)到真正內(nèi)化本節(jié)課內(nèi)容，并更上一層樓的目標(biāo)，發(fā)展學(xué)生的代數(shù)推理能力。

數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，數(shù)學(xué)不僅是運(yùn)算和推理的工具，還是表達(dá)和交流的語(yǔ)言。數(shù)學(xué)思維與客觀事物發(fā)生和發(fā)展的規(guī)律具有同構(gòu)性，是現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)學(xué)內(nèi)容的邏輯性在人的大腦中的反映。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該以數(shù)學(xué)的內(nèi)容邏輯為基本線索，將“心理邏輯”和“內(nèi)容邏輯”有機(jī)地融合為一體?！爸v道理”的數(shù)學(xué)課將合情推理和演繹推理融合在代數(shù)的教學(xué)中，從而提升學(xué)生的代數(shù)推理能力。

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責(zé)任編輯：殷偉