章江華, 王成偉

(北京服裝學院 文理學院,北京 100029)

0 引 言

在某點處高階可導的函數(shù)可以表示為泰勒多項式及其余項的和.該泰勒多項式可用于近似計算,其相應的拉格朗日型余項可用于該近似的誤差分析.利用符號計算工具包容易求得一個函數(shù)的泰勒多項式,但當作誤差分析時,往往需要手工推導泰勒公式中的余項.值得注意的是拉格朗日型余項形式有時不是唯一的,比如文獻[1-2]給就出了“拉格朗日型余項Rn(x)用函數(shù)的(n+1)階導數(shù)、(n+2)階導數(shù)表示均可”的結(jié)論.本文將注解由該“不唯一”造成的應用拉格朗日型余項作誤差分析時余項形式選擇問題,讓泰勒公式及其余項形式的理解更細致.

為簡單且不失一般性,下面僅涉及函數(shù)在x0=0處的泰勒公式,即麥克勞林公式.

設(shè)函數(shù)f(x)在含原點的某個開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到n+1階導數(shù),那么對于(a,b)內(nèi)任一非零的x,有

f(x)=pn(x)+Rn(x),

(1)

其中

(2)

(3)

稱(1)式為函數(shù)f(x)的帶有拉格朗日余項的n階麥克勞林公式;稱(2)式為函數(shù)f(x)的n階麥克勞林多項式,若f(n)(0)≠0,稱(2)式為函數(shù)f(x)的n次麥克勞林多項式;稱(3)式為函數(shù)f(x)的n階拉格朗日型余項.

通過求函數(shù)f(x)的n+1階導數(shù)再代入(1)(2)(3)式而獲得麥克勞林公式的方法稱為直接法. 通過基本初等函數(shù)的麥克勞林公式運算求得麥克勞林公式的方法稱為間接法.文獻[3]中注明直接法或間接法求得的同次麥克勞林多項式pn(x)是相同的,沒有給出相應的拉格朗日型余項形式的論述.文獻[4]中論證了pn(x)是近似f(x)精度最高的多項式.下面將從兩個方面對麥克勞林公式中的余項形式展開討論,指出直接法或間接法求得的同次麥克勞林多項式pn(x)所對應的余項形式不一定相同.從泰勒公式解決問題本意看,間接法得到的余項也有價值,用于誤差分析有時效果更好.

1 麥克勞林公式階數(shù)及其余項形式的選擇

利用麥克勞林公式求給定次數(shù)的麥克勞林多項式時,麥克勞林公式的階數(shù)可能不同,相應的余項形式也會不同.一般地,選取階數(shù)高的余項形式作誤差分析精度更好.

例1求sinx的帶有拉格朗日型余項的n階麥克勞林公式.

故帶有拉格朗日型余項的n階麥克勞林公式為

(4)

簡化

于是

當n=2m時,(4)式為

(5)

當n=2m+1時,(4)式為

(6)

注1 (5)式中有“0·x2m”項,說明sinx的2m(偶數(shù))階麥克勞林多項式是2m-1(奇數(shù))次多項式.當n=2m+2時,(4)式為

觀察(6)與(7)式可以發(fā)現(xiàn),麥克勞林多項式是相同的,余項形式不同,麥克勞林公式的階數(shù)不同.

從應用的角度看,用于近似計算sinx的2m+1次多項式可由2m+1階麥克勞林公式(6)式獲得,也可由2m+2階麥克勞林公式(7)式獲得,但相應的余項形式不同.顯然,用階數(shù)高的余項形式作誤差分析精度更好.

同理,cosx的帶有拉格朗日型余項的n階麥克勞林公式也可作類似的討論.即cosx的帶有拉格朗日型余項的2m階麥克勞林公式為

(8)

cosx的帶有拉格朗日余項的2m+1階麥克勞林公式為

當近似計算cosx所采用的多項式次數(shù)給定時,利用(9)式中的余項作誤差分析精度比用(8)式好. 因此,在教材[3-7]中只給出(9)式型公式.

需要注意的是教材[3-7]配置的習題有“寫出函數(shù)的麥克勞林公式”,成了沒有考慮到上述細節(jié)的讀者的難點.為保持認知一致性,建議從近似計算的角度來配置習題,或在教材中寫入上述細節(jié),讓表述更清晰.

一般地,當f(n)(0)=0時,函數(shù)f(x)的帶有拉格朗日型余項的n階麥克勞林公式中的pn(x)是低于n次的多項式.故從近似計算角度看,當選取一定次數(shù)的麥克勞林多項式后,作誤差分析時,選取麥克勞林公式的階數(shù)高的余項形式,精度更高.

結(jié)論1若函數(shù)f(x)在含原點的某個開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到n+1階導數(shù),且函數(shù)f(x)在x0=0的某階(比如f(i)(0)=0)導數(shù)為零,則用于近似計算f(x)的某次(比如i-1次)麥克勞林多項式對應的余項有不同的形式,階數(shù)高的余項形式精度高.

2 間接法獲得的余項與直接法獲得的余項的比較

例2求函數(shù)f(x)=sin2x的帶有拉格朗日型余項的n階麥克勞林公式.

故帶有拉格朗日型余項的n階麥克勞林公式為

(10)

簡化

于是

當n=2m+1時,(10)式為

(11)

當n=2m時,(11)式可表達為

(12)

所以sin2x的帶有拉格朗日型余項的2m+1階麥克勞林公式為

(13)

若利用cosx的帶有拉格朗日型余項的2m階麥克勞林公式(8)得

所以sin2x的帶有拉格朗日型余項的2m階麥克勞林公式為

(14)

注2 比較(11)與(13)式或(12)與(14)式可發(fā)現(xiàn)直接法與間接法所得余項形式上是一樣的.

例3求f(x)=xex的帶有拉格朗日型余項的n階麥克勞林公式.

解 直接法因為f(n)(x)=(n+x)ex,n=0,1,2,…,所以

f(n)(0)=n,f(n+1)(θ13x)=(n+1+θ13x)eθ13x, 0<θ13<1.

故帶有拉格朗日型余項的n階麥克勞林公式為

(15)

間接法利用ex的帶有拉格朗日型余項的n階麥克勞林公式,得

(16)

注3 由定義可判斷(16)式不是xex帶有拉格朗日型余項的n階麥克勞林公式.為比較(16)與(15)式中的余項,將用于近似計算xex的多項式取為同次.由(15)式得xex帶有拉格朗日型余項的n+1階麥克勞林公式

(17)

結(jié)論2間接法獲得的麥克勞林多項式及其余項的和不一定是麥克勞林公式,但其誤差分析的價值優(yōu)于直接法獲得的麥克勞林公式.

3 結(jié) 論

泰勒公式中的余項是近似計算中誤差分析的基礎(chǔ),加深其認識具有重要的意義.通過3個例子的麥克勞林公式的求解結(jié)果說明用于近似計算的多項式給定次數(shù)后,余項可能有多種表達形式,高階的精度更高.間接法獲得的余項雖然不一定滿足拉格朗日型余項標準形式,但是也具有誤差分析的價值.建議在教材中補充余項討論的細節(jié),引入“n階麥克勞林多項式”的稱謂,使思維更清晰,降低難度.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.