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        計算第一型曲面積分的截曲線法

        2024-01-02 10:08:08羅志剛
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2023年6期
        關(guān)鍵詞:方法

        羅志剛

        (湖北工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院, 武漢 430068)

        0 引 言

        文獻(xiàn)[1]通過考慮用曲面族去截積分區(qū)域,推廣了計算三重積分的截面法,并且指出這個方法對一般的n≥2重積分都適用.特別地,二重積分的情形,結(jié)果為

        (1)

        其中Cξ=D∩{(x,y)|ξ=φ(x,y),α≤ξ≤β}是覆蓋了積分區(qū)域D的截曲線族, dsξ是Cξ上的弧長元.然而,放到三維空間來看,二重積分不過是第一型曲面積分當(dāng)被積曲面位于xOy平面內(nèi)時的特殊情形.這提示筆者去考慮:定義在三維空間中一般曲面上的第一型曲面積分,是否也有類似于(1)的公式?

        具體說來,如果被積曲面S與曲面族Sξ的交線Cξ=S∩Sξ當(dāng)參數(shù)ξ跑遍區(qū)間[α,β]時覆蓋了曲面S,那么可以先完成截曲線Cξ上的(第一型曲線)積分,然后將諸截曲線的貢獻(xiàn)積分起來,結(jié)果有望等于S上的第一型曲面積分:

        其中的被積式(…)待定.

        本文給出的定理表明上述考慮完全正確,并且相關(guān)結(jié)果還可以推廣到n維(n≥2)空間.這些定理的證明使用了文獻(xiàn)[1-2]中的微分形式計算技巧.關(guān)于外微分和微分形式的初步介紹,可以參看文獻(xiàn)[3].文獻(xiàn)[1]以及本文的結(jié)果都可以看作Fubini定理的推廣.

        為了避免討論積分的存在性問題,本文中出現(xiàn)的函數(shù),都假定在所論及的定義域上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).

        1 主要結(jié)果

        定理1曲面S={(x,y,z)|F(x,y,z)=0}與曲面族Sξ={(x,y,z)|ξ=φ(x,y,z),α≤ξ≤β}的交線為曲線族Cξ=S∩Sξ,若S被Cξ覆蓋,則有

        (2)

        證將F(x,y,z)=0與ξ=φ(x,y)分別微分,有

        Fxdx+Fydy+Fzdz=0,φxdx+φydy+φzdz=dξ,

        (3)

        任何一點附近,以下三個行列式

        不能都為零.不妨設(shè)Dx≠0,這意味著dy和dz可以從(3)式中解出(或者說曲面S局部地可以用(ξ,x)參數(shù)化):

        (4)

        所以

        S上的面積元[1]

        其中dξdx=|dξ∧dx|.由此,原第一型曲面積分化成累次積分

        (5)

        在Cξ上作積分時,ξ暫時固定.

        另一方面,曲線Cξ上dξ=0,由(4)得到

        (6)

        注意,這里的dx,dy,dz都被約束在Cξ上.弧長元

        因此,(5)中Cξ上的積分可寫作

        (7)

        由(6)知,在Cξ上

        所以

        (8)

        其中應(yīng)用了Fxdx+Fydy+Fzdz=0.將上式代入到(7)中,即證明定理.

        上述證明方法不用作實質(zhì)性的修改,就可以用來得到n維(n≥3)空間的超曲面上的一般定理:

        定理2已知n維(n≥3)空間中,

        S={(x1,…,xn)|F(x1,…,xn)=0},Sξ={(x1,…,xn)|ξ=φ(x1,…,xn),α≤ξ≤β},Cξ=S∩Sξ.

        若超曲面S被超曲面族Cξ所覆蓋(注意,Cξ比S低一維),則有

        (9)

        其中n(n+1)/2個行列式

        分別是S和Cξ上的面積元(dSξ是比dS低一維的面積元).

        經(jīng)過驗證,上述定理對n=2同樣正確(此時Cξ是點,其上的積分等于被積函數(shù)在這些點上取值之和).

        值得注意的是,文獻(xiàn)[4]也討論了這里的問題,但只考慮了用平行平面族去截被積曲面這種特殊情況,我們這里是最一般的結(jié)果.

        2 應(yīng) 用

        下面舉例子來說明上述定理的用法.其中,第一個例子取自文獻(xiàn)[4].

        解此問題的常規(guī)解法是化二重積分.曲面S可以分成兩片

        從而有

        其中D={(z,x)|-1≤x≤1,0≤z≤2+x}.化累次積分,可得

        最后一步對x的積分稍稍復(fù)雜.

        下面用本文的定理求解.為便于對比,用兩種不同的方法選取截曲面族.

        法1取

        F(x,y,z)=x2+y2-1,ξ=φ(x,y,z)=y, -1≤ξ≤1,

        可以求得

        以及

        由定理1得

        最終得到

        法2取

        截曲線Cξ=S∩Sξ為橢圓(其中C1和C∞分別是S的邊界線).可以得到

        應(yīng)用定理1,有

        為了求出Cξ上的積分,將Cξ參數(shù)化:

        其中0≤θ≤2π.曲線Cξ上的弧長元

        所以

        從而得到

        不言而喻,只有當(dāng)截曲線Cξ上的積分容易算出時,本文的方法才更具有實用價值.

        例2求平面x+y+z=b上被曲面x2+y2+z2-xy-yz-zx=a2截出部分的面積(a>0).

        解取

        F(x,y,z)=x+y+z-b,ξ=φ(x,y,z)=x2+y2+z2-xy-yz-zx, 0≤ξ≤a2,

        容易求出

        應(yīng)用定理1,所求面積為

        最后,對參數(shù)ξ積分,得到

        最后,舉一個n維空間的例子來說明(9)的應(yīng)用.

        解超球面Sn(R)的面積為[1]

        An(R)=An(1)Rn-1,

        因此,要先計算單位超球面Sn(1)的面積An(1).取

        則有

        行列式Dxixj中,非零的只有

        其中i

        應(yīng)用

        得出

        其中B(x,y)和Γ(x)分別是第一類和第二類Euler積分[5].已知A2(1)=2π,反復(fù)運用上述遞推式,最后有

        與文獻(xiàn)[1]一致.但這里的方法直接建立了An(1)與An-1(1)的遞推關(guān)系,顯然更簡單.

        3 結(jié) 論

        通常,計算第一型曲面積分總是先將曲面作參數(shù)化(坐標(biāo)面投影也是一種特殊的參數(shù)化),然后轉(zhuǎn)化成二重積分來處理.本文的定理給出另一種方案:將被積曲面用一族截曲線覆蓋,先在截曲線上完成積分,之后將所有截曲線的貢獻(xiàn)積分起來.實際應(yīng)用中,如果截曲線上的積分很容易作出來,原第一型曲面積分的值往往能立即求得.這為第一型曲面積分的計算提供了更多的可選方案.

        致謝感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文作者的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.

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