劉可為

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 合肥 230601)

0 引 言

矩陣合同是線性代數(shù)中的一個重要概念,矩陣合同關(guān)系的判定是常見的問題之一.對稱矩陣合同關(guān)系的判定在線性代數(shù)教材中已有簡單實(shí)用的經(jīng)典結(jié)論,但非對稱矩陣合同關(guān)系的判定則比較困難.近年來,文獻(xiàn)[1-4]給出了一些非對稱矩陣合同關(guān)系的判定方法.

對稱矩陣、對角矩陣等特殊矩陣在線性代數(shù)的教學(xué)與研究中有著重要的作用,二十世紀(jì)六十年代我國的一些學(xué)者開始提出了矩陣的次轉(zhuǎn)置、次對稱、次正交、次正定等概念,并得到一些很好的結(jié)果,現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于工程技術(shù),統(tǒng)計等領(lǐng)域[5-9].

隨著研究的深入,人們發(fā)現(xiàn)次正定矩陣在矩陣方程論、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)、信息論、線性系統(tǒng)理論等眾多學(xué)科領(lǐng)域有著重要作用.由于次合同變換不改變矩陣的次對稱性,因此矩陣的次正定性判定可通過次合同變換把矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)型,再通過標(biāo)準(zhǔn)型次對角線上元素來判定.那么,如何選擇合適的次合同變換化矩陣為標(biāo)準(zhǔn)型,如何判定矩陣次合同就有著重要意義.受上述研究的影響,本文考慮實(shí)矩陣的次合同,探討了矩陣的次合同與合同之間的關(guān)系,并研究了如何判定矩陣的次合同.

1 n階方陣的次合同

定義1[5]設(shè)m×n階矩陣A=(aij)m×n,若矩陣B=(bij)n×m滿足bij=am-j+1,n-i+1,則稱B為A的次轉(zhuǎn)置矩陣,記為B=AST.若A=AST,則稱A為次對稱矩陣;若A=-AST,則稱A為反次對稱矩陣.

為了后續(xù)敘述方便,記AT為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,As,Aas,Ass與Aass分別為n階方陣A的對稱, 反對稱,次對稱與反次對稱部分;E為n階單位矩陣,J為次對角線上元素全為1,其余元素全為0的n階方陣.矩陣A與B合同,記為A?B.

為了方便說明本文的主要結(jié)果,先給出文獻(xiàn)[6-7]中兩個結(jié)果如下.

引理1[6]設(shè)A為m×n階矩陣,則AT=JnASTJm.

由引理1易得,若A為m×n階矩陣,則AST=JnATJm.

引理2[7]對于n階方陣A,下列諸條件等價

(i)A是次對稱矩陣; (ii)AJ是對稱矩陣; (iii)JA是對稱矩陣; (iv)A=JATJ.

命題1設(shè)A為n階方陣,則

(i)A可以唯一地表示成一個對稱矩陣與一個反對稱矩陣的和;

(ii)A可以唯一地表示成一個次對稱矩陣與一個反次對稱矩陣的和.

下證唯一性.設(shè)A=B1+C1=B2+C2,其中B1,B2是對稱陣,C1,C2是反對稱陣.則有

B1-B2=C2-C1,

將等式兩邊轉(zhuǎn)置得

B1-B2=(C2-C1)T=-(C2-C1),

即B1-B2=O.所以B1=B2,C1=C2.故得證A=As+Aas,其中

(ii)類似(i)的證明可得證,A=Ass+Aass,其中

為了方便研究矩陣的次合同,下面先給出揭示矩陣的次合同與矩陣的合同之間關(guān)系的一個重要結(jié)果.

BT=(PSTAP)T=PTAT(PST)T.

對上式兩邊右乘矩陣J可得PTAT(PST)TJ=BTJ,從而有PTATJJ(PST)TJ=BTJ,即

PT(JA)TJ(PT)STJ=(JB)T.

由引理1得PT(JA)TP=(JB)T,轉(zhuǎn)置得PT(JA)P=JB,故JA?JB.

再證充分性.若JA?JB,則存在可逆矩陣Q,使得JB=QTJAQ,等式兩邊取次轉(zhuǎn)置得

BSTJ=QSTASTJ(QT)ST.

對上式兩邊左乘矩陣J可得JBSTJ=JQSTASTJ(QT)ST,從而有JBSTJ=JQSTJJASTJ(QT)ST,即

JBSTJ=(JQSTJ)(JASTJ)(QT)ST.

由定理1易得如下結(jié)果.

注 由定理1與定理2可知,A與B次合同等價于JA與JB(或AJ與BJ)合同.因此可以把矩陣的次合同關(guān)系的判定轉(zhuǎn)化為合同關(guān)系的判定;也可以把矩陣的合同關(guān)系的判定轉(zhuǎn)化為次合同關(guān)系的判定.

定義3設(shè)A為n階方陣,若存在數(shù)λ及非零向量α,使得Aα=λJα,則稱λ為A的次特征值,α為A的對應(yīng)于次特征值λ的次特征向量.

由定義3可得,A的次特征值為方程|A-λJ|=0的根,而

|A-λJ|=|J||JA-λE|=|AJ-λE||J|,

即A的次特征值必為JA與AJ的特征值,反之亦然.故有如下結(jié)論.

命題2設(shè)A為n階方陣,則數(shù)λ為A的次特征值的充要條件是λ為JA或AJ的特征值.

注2 設(shè)A為n階次對稱矩陣,則A的次特征值為實(shí)數(shù).

接下來,給出次對稱矩陣對角化的結(jié)論類似于對稱矩陣的對角化.

定理3設(shè)A為n階次對稱矩陣,則存在正交矩陣,使得A次合同于Λ,其中

λ1,…,λn為A的次特征值.

證因?yàn)锳為次對稱矩陣,由引理2得JA為對稱矩陣,故存在正交矩陣P使得

其中λ1,…,λn為JA的特征值.于是有

下面給出次對稱矩陣的次合同的充要條件,據(jù)此可較簡便判定次對稱矩陣的次合同關(guān)系.

定理4設(shè)A與B為n階次對稱矩陣,則下列諸條件等價:

(ii)A與B有相同個數(shù)的正次特征值及負(fù)次特征值;

(iii)JA與JB有相同的正、負(fù)慣性指數(shù);

(iv)AJ與BJ有相同的正、負(fù)慣性指數(shù).

且

又由命題2可得

故得證.

對于非次對稱矩陣的次合同的判定,結(jié)合命題1,有如下結(jié)果.

Bss+Bass=PST(Ass+Aass)P=PSTAssP+PSTAassP,

即

Bass-PSTAassP=PSTAssP-Bss,

等式兩邊取次轉(zhuǎn)置得

PSTAssP-Bss=(Bass-PSTAassP)ST=-(Bass-PSTAassP).

所以Bss=PSTAssP且Bass=PSTAassP.得證.

由定理5易得下述推論.

注 利用定理5判定矩陣的次合同關(guān)鍵在于找出可逆陣P使得Bss=PSTAssP且Bass=PSTAassP,但在A,B已知的情況下,確定可逆陣P比較困難.

2 二階非次對稱矩陣的次合同

文獻(xiàn)[2,4]中對二階非對稱矩陣的合同關(guān)系給出了實(shí)用的判定方法.下面,對于二階非次對稱矩陣的次合同關(guān)系,給出簡單易用的判定方法.

由文獻(xiàn)[4]引理3可得

證因?yàn)锳ss,Bss為次對稱矩陣,由定理3可知存在正交矩陣P使得

其中λ1,λ2為Ass的次特征值.

且PJ為正交矩陣.所以存在正交矩陣Q1使得

其中η1,η2為Ass的次特征值.

類似可得,存在正交矩陣Q2使得

其中μ1,μ2為Bss的次特征值.

3 應(yīng)用實(shí)例

解令|B-λJ|=0得(λ-2)(λ-3)(λ+1)=0,即B有次特征值-1,2,3.又顯然A有次特征值-1,1,2,由定理4可得A與B次合同.

解(i) 由題設(shè)可得

且Ass的次特征值為1與4;而

下例在文獻(xiàn)[1]中已判得A與B合同,在此借助此例說明本文所得結(jié)論判別矩陣合同的有效性.

解記

則

4 結(jié) 論

本文主要討論了實(shí)矩陣次合同問題,揭示了矩陣次合同與合同之間的聯(lián)系,給出了矩陣次合同的一些充要條件.所得結(jié)果簡單實(shí)用,尤其便于判定次對稱矩陣及二階非次對稱矩陣的次合同問題.次轉(zhuǎn)置、次對稱及次合同等概念是線性代數(shù)里轉(zhuǎn)置、對稱及合同等經(jīng)典概念變化與拓展,由此產(chǎn)生了一系列有趣的問題.在教學(xué)中,把教材中一些概念及結(jié)論進(jìn)行合理的改變及拓展不僅能開拓學(xué)生的視野、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情還培養(yǎng)了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識發(fā)現(xiàn)問題解決問題的創(chuàng)新思維與能力,而且有助于提升教師的教學(xué)與科研能力.

致謝感謝審稿專家給出的寶貴意見,感謝唐爍老師對論文的多方面的指導(dǎo).