亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        矩陣的Kronecker積的性質(zhì)

        2024-01-02 10:07:40戴星宇宋伊萍
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2023年6期
        關(guān)鍵詞:標(biāo)準(zhǔn)

        李 俊, 戴星宇, 宋伊萍

        (國(guó)防科技大學(xué) 理學(xué)院,長(zhǎng)沙 410072)

        0 引 言

        矩陣的Kronecker積是矩陣的一種重要乘積,在信號(hào)處理、隨機(jī)過程向量分析、群論、數(shù)值分析等領(lǐng)域中都有著廣泛應(yīng)用. 大部分教材中除了會(huì)介紹Kronecker積的基本性質(zhì)外,還會(huì)給出Kronecker積的特征值、特征向量、秩、跡和行列式等重要結(jié)果[1-2],但是對(duì)于Kronecker積的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形、最小多項(xiàng)式、范數(shù)和分解等內(nèi)容基本沒有介紹,文獻(xiàn)[3]中給出了Kronecker積的幾個(gè)范數(shù)公式,文獻(xiàn)[4]通過行列式因子法給出Kronecker積的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形,文獻(xiàn)[5]通過分析Jordan塊的冪的秩的變化規(guī)律給出Kronecker積的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形. 本文通過初等變換法給出Kronecker積的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的一種新的證明方法,進(jìn)而給出關(guān)于Kronecker積的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形、最小多項(xiàng)式、范數(shù)和分解的相關(guān)結(jié)果.

        1 預(yù)備知識(shí)

        先約定文中的記號(hào):A?B表示矩陣A和B的Kronecker積,En表示n階的單位矩陣,Jr1(λ1)表示λ1對(duì)應(yīng)的r1階Jordan塊,JA表示矩陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形,di(λ)表示相應(yīng)矩陣的第i個(gè)不變因子,Di(λ)表示相應(yīng)矩陣的第i階行列式因子.除特殊聲明外,本文所考慮的矩陣都是方陣.

        引理1[2,5]若A和B分別是下三角矩陣、單位下三角矩陣、上三角矩陣、單位上三角矩陣、對(duì)角矩陣、酉矩陣、行滿秩矩陣、列滿秩矩陣、Hermite正定矩陣、Hermite半正定矩陣,則A?B也是下三角矩陣、單位下三角矩陣、上三角矩陣、單位上三角矩陣、對(duì)角矩陣、酉矩陣、行滿秩矩陣、列滿秩矩陣、Hermite正定矩陣、Hermite半正定矩陣.

        引理2假設(shè)λ1,μ1∈,且λ1μ1≠0,r1,t1都是正整數(shù).若r1≥t1,則λ矩陣(λEt1-λ1Jt1(μ1))r1的不變因子為

        d1(λ)=(λ-λ1μ1)r1-t1+1,d2(λ)=(λ-λ1μ1)r1-t1+3,…,

        dk(λ)=(λ-λ1μ1)r1-t1+2k-1, …,dt1(λ)=(λ-λ1μ1)r1+t1-1.

        若r1

        d1(λ)=…=dt1-r1(λ)=1,dt1-r1+1(λ)=(λ-λ1μ1)r1-t1+1,

        dt1-r1+2(λ)=(λ-λ1μ1)r1-t1+3, …,dt1(λ)=(λ-λ1μ1)r1+t1-1.

        由矩陣Cr1的元素排列的規(guī)律可知,隨著列數(shù)增加每一列的非零元素對(duì)應(yīng)的因式λ-λ1μ1的次數(shù)減少,隨著行數(shù)減少每一行的非零元素對(duì)應(yīng)的因式λ-λ1μ1的次數(shù)減少,因此Cr1的k階非零子式中因式λ-λ1μ1的次數(shù)至少是k(r1-t1+k),即矩陣Cr1的k階行列式因子實(shí)質(zhì)上是由該矩陣中取第1,2,…,k行和第t1-k+1,t1-k+2,…,t1列的非零k階子式來確定,進(jìn)而由行列式因子的定義知

        D1(λ)=(λ-λ1μ1)r1-t1+1,D2(λ)=(λ-λ1μ1)2(r1-t1+2),…,

        Dk(λ)=(λ-λ1μ1)k(r1-t1+k), …,Dt1(λ)=(λ-λ1μ1)r1t1.

        令d1(λ),d2(λ),…,dt1(λ)表示(λEt1-λ1Jt1(μ1))r1的不變因子,則

        Dk(λ)=d1(λ)d2(λ)…dk(λ),k=1,2,…,t1.

        因此λ矩陣(λEt1-λ1Jt1(μ1))r1的不變因子為

        d1(λ)=(λ-λ1μ1)r1-t1+1,d2(λ)=(λ-λ1μ1)r1-t1+3,…,

        dk(λ)=(λ-λ1μ1)r1-t1+2k-1, …,dt1(λ)=(λ-λ1μ1)r1+t1-1.

        若r1

        Dt1-r1(λ)=1,Dt1-r1+1(λ)=(λ-λ1μ1)t1-r1+1,…,

        Dt1-k(λ)=(λ-λ1μ1)(t1-k)(r1-k), …,Dt1(λ)=(λ-λ1μ1)t1r1.

        因此λ矩陣Cr1的不變因子為

        d1(λ)=…=dt1-r1(λ)=1,dt1-r1+1(λ)=(λ-λ1μ1)r1-t1+1,

        dt1-r1+2(λ)=(λ-λ1μ1)r1-t1+3, …,dt1(λ)=(λ-λ1μ1)r1+t1-1.

        解對(duì)λ矩陣C進(jìn)行初等變換

        因此λ矩陣C的不變因子為d1(λ)=1,d2(λ)=(λ-6)2,d3(λ)=(λ-6)4.

        因此λ矩陣F的不變因子為d1(λ)=λ-6,d2(λ)=(λ-6)3,d3(λ)=(λ-6)5.

        2 Kronecker積的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

        關(guān)于矩陣A和B的Kronecker積A?B的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形,有如下結(jié)果.

        定理1設(shè)矩陣A和B的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形分別為

        JA=diag(Jr1(λ1),Jr2(λ2),…,Jrs(λs)),

        JB=diag(Jt1(μ1),Jt2(μ2),…,Jtk(μk)),

        則A?B的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是由Jri(λi)?Jtj(μj),1≤i≤s,1≤j≤k對(duì)應(yīng)的Jordan塊構(gòu)成.

        證因?yàn)镴A?B~A?B,A?B~JA?JB,所以JA?B~JA?JB.因此JA?JB的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形也是A?B的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.由于

        是分塊對(duì)角矩陣,因此只需要確定每一塊的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形,就可以得到A?B的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.因此A?B的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是由Jri(λi)?Jtj(μj)對(duì)應(yīng)的Jordan塊構(gòu)成,1≤i≤s,1≤j≤k.

        下面給出兩個(gè)Jordan塊的Kronecker積的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.

        定理2[4-5]設(shè)A=Jr1(λ1),B=Jt1(μ1),令r=max{r1,t1},t=min{r1,t1}.

        (i) 若λ1μ1≠0,則A?B的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是從Jr-t+1(λ1μ1)開始階數(shù)依次增加2的t個(gè)Jordan塊構(gòu)成,即

        JA?B=diag(Jr-t+1(λ1μ1),Jr-t+3(λ1μ1),…,Jr+t-1(λ1μ1));

        (ii) 若λ1≠0,μ1=0,則A?B的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是由r1個(gè)Jordan塊Jt1(0)構(gòu)成,即

        JA?B=diag(Jt1(0),Jt1(0),…,Jt1(0));

        (iii) 若λ1=0,μ1≠0,則A?B的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是由t1個(gè)Jordan塊Jr1(0)構(gòu)成,即

        JA?B=diag(Jr1(0),Jr1(0),…,Jr1(0));

        (iv) 若λ1=μ1=0,則A?B的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是由2個(gè)1階Jordan塊J1(0),2個(gè)2階 的Jordan塊J2(0),…,2個(gè)t-1階的 Jordan塊Jt-1(0),r-t+1個(gè)t階的Jordan塊Jt(0)構(gòu)成,即

        JA?B=diag(J1(0),J1(0),…,Jt-1(0),Jt-1(0),Jt(0),…,Jt(0)).

        (i) 由于λ1μ1≠0,令C=λEt1-λ1Jt1(μ1),則對(duì)λE-A?B進(jìn)行一系列初等變換

        由引理2知,λE-A?B的不變因子為

        d1(λ)=…=dt1(r1-1)(λ)=1,dt1(r1-1)+1(λ)=(λ-λ1μ1)r1-t1+1,

        dt1(r1-1)+2(λ)=(λ-λ1μ1)r1-t1+3, …,dt1r1(λ)=(λ-λ1μ1)r1+t1-1,

        因此

        JA?B=diag(Jr-t+1(λ1μ1),Jr-t+3(λ1μ1),…,Jr+t-1(λ1μ1)).

        再通過適當(dāng)?shù)牧凶儞Q和行變換最終就可將λE-A?B的前t1行化成

        diag(D,…,D,λE-λ1Jt1(μ1)).

        由于λE-λ1Jt1(μ1)的不變因子為d1(λ)=…=dt1-1(λ)=1,dt1(λ)=λt1,故λE-A?B的不變因子為

        d1(λ)=…=dr1(t1-1)(λ)=1,dr1(t1-1)+1(λ)=…=dr1t1(λ)=λt1.

        即A?B的初等因子為是r1個(gè)λt1,因此A?B的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為

        JA?B=diag(Jt1(0),Jt1(0),…,Jt1(0)).

        (iii) 由于λ1=0,μ1≠0,故

        于是

        進(jìn)而λE-A?B通過初等變換可化成diag(Et1,…,Et1,λr1Et1),故λE-A?B的不變因子為

        d1(λ)=…=dt1(r1-1)(λ)=1,dt1(r1-1)+1(λ)=…=dt1r1(λ)=λr1.

        即A?B的初等因子是t1個(gè)λr1,因此A?B的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為

        JA?B=diag(Jr1(0),Jr1(0),…,Jr1(0)).

        (iv) 由于λ1=μ1=0,令C=λE-A?B,則

        其中

        對(duì)矩陣C進(jìn)行類似的變換,最終可以得到

        其中F,G1,G2,H1,H2如上,

        故C的不變因子為

        d1(λ)=…=dt1(r1-2)-s+2(λ)=1,dt1(r1-2)-s+3(λ)=dt1(r1-2)-s+4(λ)=λ,…,

        dt1r1-s-1(λ)=dt1r1-s(λ)=λt-1,dt1r1-s+1(λ)=…=dt1r1(λ)=λt,

        其中λ,λ2,…,λt-1各有2個(gè),λt有s個(gè).因此A?B的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為

        JA?B=diag(J1(0),J1(0),…,Jt-1(0),Jt-1(0),Jt(0),…,Jt(0)),

        其中Jt(0)有|r1-t1|+1塊.

        注 定理2中的情形(i)中的具體情形:

        當(dāng)r1≤t1時(shí),

        JA?B=diag(Jt1-r1+1(λ1μ1),Jt1-r1+3(λ1μ1),…,Jt1+r1-1(λ1μ1));

        當(dāng)r1≥t1時(shí),

        JA?B=diag(Jr1-t1+1(λ1μ1),Jr1-t1+3(λ1μ1),…,Jr1+t1-1(λ1μ1)).

        因此λE-A1?B1的不變因子為

        d1(λ)=d2(λ)=d3(λ)=d4(λ)=1,d5(λ)=(λ-6)2,d6(λ)=(λ-6)4.

        通過類似計(jì)算可分別求得A1?B2,A2?B1,A2?B2的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形,即

        3 Kronecker積的最小多項(xiàng)式

        假設(shè)矩陣A和B的最小多項(xiàng)式分別為

        mA(λ)=(λ-λ1)m1(λ-λ2)m2…(λ-λs)ms,

        mB(λ)=(λ-μ1)n1(λ-μ2)n2…(λ-μk)nk,

        則矩陣A的相異特征值只有λ1,λ2,…,λs,并且A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形中對(duì)應(yīng)的Jordan塊中最高階數(shù)分別為m1,m2,…,ms,矩陣B的相異特征值只有μ1,μ2,…,μk,并且B的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形中對(duì)應(yīng)的Jordan塊中最高階數(shù)分別為n1,n2,…,nk.由矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形與最小多項(xiàng)式之間的關(guān)系以及定理2可得下列定理.

        定理3已知矩陣A和B的最小多項(xiàng)式分別為

        mA(λ)=(λ-λ1)m1(λ-λ2)m2…(λ-λs)ms,

        mB(λ)=(λ-μ1)n1(λ-μ2)n2…(λ-μk)nk,

        令tij=min{mi,nj},1≤i≤s,1≤j≤k.

        (i) 若λiμj≠0且λiμj兩兩不同,1≤i≤s,1≤j≤k,則A?B的最小多項(xiàng)式

        (ii) 若存在1≤i0≤s,1≤j0≤k使得λi0=μj0=0,且λiμj兩兩不同,1≤i≠i0≤s,1≤j≠j0≤k,則A?B的最小多項(xiàng)式

        (iii) 若存在1≤i0≤s,使得λi0=0,且λiμj兩兩不同,1≤i≠i0≤s,1≤j≤k,則A?B的最小多項(xiàng)式

        (iv) 若存在1≤j0≤k使得μj0=0,且λiμj兩兩不同,1≤i≤s,1≤j≠j0≤k,則A?B的最小多項(xiàng)式

        (v) 若上述四種情況中連乘部分只要出現(xiàn)一次因式相同的情形,則只保留相同一次因式中方冪次數(shù)最高的那一項(xiàng),而該一次因式方冪次數(shù)低的項(xiàng)直接舍去.

        解由例2可知矩陣A1?B1,A1?B2,A2?B1,A2?B2的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形分別為

        由最小多項(xiàng)式與Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的關(guān)系可知,A1?B1,A1?B2,A2?B1,A2?B2的最小多項(xiàng)式分別為

        mA1?B1(λ)=(λ-6)4,mA1?B2(λ)=λ3,mA2?B1(λ)=λ2,mA2?B2(λ)=λ2.

        這與定理3中的結(jié)論是一致的.

        由于矩陣可相似對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng)矩陣的最小多項(xiàng)式是互不相同的一次因式的乘積,故有下列推論.

        推論1[5]已知A∈m×m和B∈n×n都是非零矩陣,則A?B可相似對(duì)角化的充分必要條件是A和B都可相似對(duì)角化.

        證充分性容易證明.下面采用定理3中記號(hào)約定,若A∈m×m和B∈n×n都是非零矩陣,并且A?B可相似對(duì)角化,因此A?B的最小多項(xiàng)式是互不相同的一次因式的乘積,由于mi≥1,nj≥1,1≤i≤s,1≤j≤t,并且定理3中的四種情況分別對(duì)應(yīng)著

        (1)mi+nj-1=1,1≤i≤s,1≤j≤t;

        (2)ti0j0=min{mi0,nj0}=1,mi+nj-1=1,1≤i≠i0≤s,1≤j≠j0≤t;

        (3)mi0=1,mi+nj-1=1,1≤i≠i0≤s,1≤j≤t;

        (4)nj0=1,mi+nj-1=1,1≤i≤s,1≤j≠j0≤t;

        因此mi=1,nj=1,1≤i≤s,1≤j≤t,即A和B的最小多項(xiàng)式都是互不相同的一次因式的乘積,故A和B都可相似對(duì)角化.

        4 Kronecker積的范數(shù)和分解

        為了完整起見,本節(jié)將已有的Kronecker積的常見矩陣范數(shù)性質(zhì)進(jìn)行了羅列,此外還給出Kronecker積的常見分解的相關(guān)結(jié)果.

        性質(zhì)1[3]已知矩陣A∈m×m和B∈n×n,則

        ‖A?B‖1=‖A‖1‖B‖1, ‖A?B‖∞=‖A‖∞‖B‖∞, ‖A?B‖2=‖A‖2‖B‖2,

        ‖A?B‖F(xiàn)=‖A‖F(xiàn)‖B‖F(xiàn), ‖A?B‖m1=‖A‖m1‖B‖m1,

        ‖A?B‖mp=‖A‖mp‖B‖mp, ‖A?B‖m∞=‖A‖m∞‖B‖m∞.

        由引理1可知,關(guān)于矩陣A∈m×m,B∈n×n的Kronecker積的三角分解、QR分解、滿秩分解、奇異值分解、極分解有如下性質(zhì).

        性質(zhì)2若A=L1R1和B=L2R2分別是矩陣A和B的三角(Doolittle,Crout)分解,則

        A?B=(L1?L2)(R1?R2)

        為矩陣A?B的三角(Doolittle,Crout)分解.

        證若A=L1R1和B=L2R2分別是矩陣A和B的三角分解,即L1,L2是下三角矩陣,R1,R2是上三角矩陣,由引理1知L1?L2是下三角矩陣,R1?R2是上三角矩陣,因此A?B=(L1?L2)(R1?R2)為矩陣A?B的三角分解.

        特別地,若A=L1R1和B=L2R2分別是矩陣A和B的Doolittle分解(或Crout分解),則L1,L2是單位下三角矩陣(或R1,R2是單位上三角矩陣),由引理1知L1?L2也是單位下三角矩陣(或R1?R2是單位上三角矩陣),因此A?B=(L1?L2)(R1?R2)為矩陣A?B的Doolittle分解(或Crout分解).

        性質(zhì)3若A=L1D1R1和B=L2D2R2分別是矩陣A和B的LDR分解,則

        A?B=(L1?L2)(D1?D2)(R1?R2)

        為矩陣A?B的LDR分解.

        證若A=L1D1R1和B=L2D2R2分別是矩陣A和B的LDR分解,即L1,L2是單位下三角矩陣,D1,D2是對(duì)角矩陣,R1,R2是單位上三角矩陣,由引理1知L1?L2是單位下三角矩陣,D1?D2是對(duì)角矩陣,R1?R2是單位上三角矩陣,因此

        A?B=(L1?L2)(D1?D2)(R1?R2)

        為矩陣A?B的LDR分解.

        A?B=(G1?G2)(G1?G2)H

        為矩陣A?B的Cholesky分解.

        A?B=(G1?G2)(G1?G2)H

        為矩陣A?B的Cholesky分解.

        性質(zhì)5[5]若A=Q1R1和B=Q2R2分別是矩陣A和B的QR分解,則

        A?B=(Q1?Q2)(R1?R2)

        為矩陣A?B的QR分解.

        性質(zhì)6若A=F1G1和B=F2G2分別是矩陣A和B的滿秩分解,則

        A?B=(F1?F2)(G1?G2)

        為矩陣A?B的滿秩分解.

        證若A=F1G1和B=F2G2分別是矩陣A和B的滿秩分解,即F1,F2是列滿秩矩陣,G1,G2是行滿秩矩陣,由引理1知F1?F2是列滿秩矩陣,G1?G2是行滿秩矩陣,因此

        A?B=(F1?F2)(G1?G2)

        為矩陣A?B的滿秩分解.

        A?B=(U1?U2)(Σ1?Σ2)(V1?V2)H

        為矩陣A?B的奇異值分解.

        性質(zhì)8[6]若A=C1Q1=Q1D1和B=C2Q2=Q2D2分別是矩陣A和B的極分解,其中Q1和Q2是酉矩陣,C1,D1,C2,D2是Hermite半正定矩陣,則

        A?B=(C1?C2)(Q1?Q2)=(Q1?Q2)(D1?D2)

        為矩陣A?B的極分解.

        證若A=C1Q1=Q1D1和B=C2Q2=Q2D2分別是矩陣A和B的極分解,其中Q1和Q2是酉矩陣,C1,D1,C2,D2是Hermite半正定矩陣,由引理1知Q1?Q2是酉矩陣,C1?C2是Hermite半正定矩陣,D1?D2是Hermite半正定矩陣,因此

        A?B=(C1?C2)(Q1?Q2)=(Q1?Q2)(D1?D2)

        為矩陣A?B的極分解.

        5 結(jié) 論

        本文通過初等變換法給出矩陣A和B的Kronecker積A?B的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形與A和B的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形之間的關(guān)系,以及Kronecker積A?B的最小多項(xiàng)式與A和B的最小多項(xiàng)式之間的關(guān)系,由此證明了矩陣的Kronecker積A?B可對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng)矩陣A和B都可對(duì)角化. 此外本文還總結(jié)了Kronecker積A?B的各種范數(shù)以及分解與矩陣A和B的相應(yīng)范數(shù)和分解的關(guān)系.

        致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.

        猜你喜歡
        標(biāo)準(zhǔn)
        2022 年3 月實(shí)施的工程建設(shè)標(biāo)準(zhǔn)
        忠誠(chéng)的標(biāo)準(zhǔn)
        標(biāo)準(zhǔn)匯編
        上海建材(2019年1期)2019-04-25 06:30:48
        美還是丑?
        你可能還在被不靠譜的對(duì)比度標(biāo)準(zhǔn)忽悠
        一家之言:新標(biāo)準(zhǔn)將解決快遞業(yè)“成長(zhǎng)中的煩惱”
        專用汽車(2016年4期)2016-03-01 04:13:43
        2015年9月新到標(biāo)準(zhǔn)清單
        標(biāo)準(zhǔn)觀察
        標(biāo)準(zhǔn)觀察
        標(biāo)準(zhǔn)觀察
        欧美伦费免费全部午夜最新| 91亚洲最新国语中文字幕| 国产一区二区三区精品毛片| 欧美顶级少妇作爱| 99久久人人爽亚洲精品美女| 日韩精品网| 美利坚亚洲天堂日韩精品| 精品久久久久久综合日本| 色屁屁www影院免费观看入口| 国产精品高潮无码毛片| 日本大片在线一区二区三区| 亚洲最大免费福利视频网| 精品少妇人妻av无码久久| 亚洲精品美女久久久久久久 | 自拍偷自拍亚洲精品播放| 人妻少妇喷水意淫诱惑| 久久久精品亚洲一区二区国产av| 中国少妇内射xxxx狠干| 日韩爱爱网站| 亚洲av中文字字幕乱码| 熟妇高潮一区二区三区在线观看| 国产在线一区二区三区av | 变态另类人妖一区二区三区| 国产激情电影综合在线看| 囯产精品无码va一区二区| 亚洲中文字幕亚洲中文| 人人妻人人添人人爽欧美一区| 亚洲乱码av中文一区二区| 韩国主播av福利一区二区| 国内自拍视频一区二区三区| 久久无码专区国产精品| 国产精品日韩欧美一区二区区| 蜜桃色av一区二区三区麻豆| 国产女人18毛片水真多18精品| 韩国精品一区二区三区无码视频 | 日韩精品视频在线观看免费 | 狠狠色噜噜狠狠狠8888米奇| 成人性生交片无码免费看| 久久久久无码精品国| 亚洲一区二区三区综合免费在线| 久久国产精品精品国产色婷婷|