要宏佳,郝 昆,楊戰(zhàn)營(yíng),楊文力,石康杰

(1.西北大學(xué) 現(xiàn)代物理研究所,陜西 西安 710127;2.西北大學(xué) 物理學(xué)院, 陜西 西安 710127)

粒子之間的相互作用可以用費(fèi)曼圖[1-3]表示。這些圖的外線代表入射粒子和出射粒子,內(nèi)線代表費(fèi)曼傳播子,費(fèi)曼圖Γ給定后,可以計(jì)算它的值SΓ。當(dāng)費(fèi)曼圖沒(méi)有回路時(shí),可以直接計(jì)算粒子之間的散射振幅,有回路時(shí)必須對(duì)回路對(duì)應(yīng)的動(dòng)量積分。這種積分通常是發(fā)散的,這就需要在拉格朗日密度中添加抵消項(xiàng)來(lái)抵消這種發(fā)散。扣除抵消項(xiàng)(A)后得到

RΓ=SΓ-A,

(1)

RΓ在動(dòng)量空間的積分就是收斂的[1,4-9]。

這種抵消發(fā)散的方法可以作如下解釋,原始的物理量是發(fā)散的不可測(cè)量的,我們測(cè)量到的結(jié)果是各種粒子相互作用之后的結(jié)果,也就是那些發(fā)散量由于相互作用抵消的結(jié)果,這些量包括相互作用常數(shù)。這些量是有限的,這樣做就等于給物理量重新進(jìn)行標(biāo)度,所以叫做重整化[3,10-11](renormalization)。

(2)

1 溫伯格漸近定理及An類函數(shù)

下面介紹溫伯格漸近定理。

首先定義動(dòng)量空間Rn中的An類函數(shù),實(shí)函數(shù)f(P)稱為屬于An。如果對(duì)每個(gè)子空間S?Rn有對(duì)應(yīng)的“指數(shù)”α(S)和“對(duì)數(shù)指數(shù)”β(S),而且對(duì)任何m≤n個(gè)獨(dú)立矢量(L1,L2,…,Lm)和Rn中的有界區(qū)域W(W是n維),存在一系列實(shí)數(shù)b1,b2,…,bm>1和M>0(它們依賴于L1,L2,…,Lm與W,但與η1,η2,…,ηm無(wú)關(guān))使

|f(P)|=|f(L1η1…ηm+L2η2…ηm+…+

Lmηm+C)|≤

(3)

當(dāng)C∈W且η1≥b1,η2≥b2,…,ηm≥bm時(shí)成立。

因此:

M=M(L1,L2,…,Lm;W);

(4)

bl=bl(L1,L2,…,Lm;W)>1。

(5)

為了方便,我們要求當(dāng)任何幾個(gè)坐標(biāo)矢Li反號(hào)時(shí),M和bl不變:

M=M(±L1,±L2,…,±Lm;W);

(6)

bl=bl(±L1,±L2,…,±Lm;W)。

(7)

令P=L1η1η2…ηm+L2η2…ηm+…+Lmηm+C,我們稱滿足條件

C∈W,|ηi|≥bi(L1,L2,…,Lm;W)

要強(qiáng)調(diào)的是,當(dāng)C在W內(nèi)變化時(shí),FW是不變的?，F(xiàn)在考慮f(P)的積分

(8)

(9)

由Fubini定理可知,這兩者相等。為了方便,可以選一些子空間E,滿足

Rn=I+E。

(10)

I和E相互獨(dú)立,并且把P局限在E內(nèi)。

溫伯格導(dǎo)出如下定理。

定理1

如果①函數(shù)f(P)∈An其漸近指數(shù)為α(S)、β(S),其中,S是任何Rn的非空的子空間。并且如果②f(P)在任何Rn的有界區(qū)域σ絕對(duì)可積,

(11)

且如果③DI<0,

其中

(12)

則有以下結(jié)果:

1)fI(P)存在;

2)fI(P)∈An-k,其αI(S)對(duì)任何S?E由下式給出,

(13)

式中:S′?I表示S′是I的子空間,包括S′=I;dimS′表示S′的維數(shù);Λ(I)S′=S表示S′沿I向E的投影是S;max表示取所有滿足Λ(I)S′=S的S′,對(duì)這樣的S′取極大值。實(shí)際上,根據(jù)Heine-Borel定理,在下一節(jié)證明只有有限個(gè)S′需要考慮,所以這里的max是對(duì)有限個(gè)量取最大值。

式(13)的右邊一般不是空間S的函數(shù),因?yàn)槭?13)中α(S′)+dimS′不是一個(gè)確定的數(shù)。本文令α({S})=-dimS-1,

β({S})=β≥0。

(14)

β與S無(wú)關(guān),就可以保證式(13)成立。

式(8)是一個(gè)多重積分,只要把每一個(gè)單重積分研究清楚就可以了,因?yàn)樗鼈兌际?∞到+∞的積分,各重積分被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)相同。下一節(jié)研究單重積分,它是漸近定理的關(guān)鍵或?qū)嵸|(zhì)部分。

2 漸近定理證明的關(guān)鍵部分

考慮I={L}以及

(15)

式中:f∈An。按式(3)、(6)、(7)、(14),當(dāng)P∈W,

|y|≥b0(L;W),有

|f(P+Ly)|≤M(L;W)|y|α(L)ln|y|β(L)。

(16)

由于非空的I={L}的子空間只有I(={L})自己,式(12)給出DI=α(L)+1。根據(jù)式(14),

α(L)=-2<-1。

(17)

由此,式(15)中|y|≥b0的兩段積分絕對(duì)收斂。另一方面,|y|≤b0的區(qū)間是有界的。根據(jù)式(11),f在這段的積分也絕對(duì)收斂。因此對(duì)任何P,fL(P)存在,漸近定理1的第1)部分成立。令P點(diǎn)在E上,證明了對(duì)E上的任何點(diǎn)P,fL(P)存在。

下面證明定理1的第2)部分。

任選矢量序列L1,L2,…,Lm∈E,它們之間以及它們和L之間互相獨(dú)立;選定Rn中的有界區(qū)域W。我們的任務(wù)是證明若f∈An,并滿足式(11)、(14),則fL(P)∈An-1。換句話說(shuō)就是可以找到M(L1,L2,…,Lm;W)和bl(L1,L2,…,Lm;W),當(dāng)ηl≥bl,C∈W,

就有

(18)

式中

P=L1η1…ηm+L2η2…ηm+…+Lmηm+C。

(19)

我們還須證明式(13)。

為了用f∈An的性質(zhì)求式(15)的漸近覆蓋,首先把y寫成

y=ξ0η1η2…ηm。

(20)

令|ξ0|=η0,y=±η0η1…ηm,得到

P+Ly=L1η1…ηm+L2η2…ηm+…+Lmηm+C±Lη0η1…ηm=±Lη0η1…ηm+L1η1…ηm+…+Lmηm+C。

(21)

這正是在坐標(biāo)系{±L,L1,…,Lm;W}下,P+Ly的η參數(shù)化。對(duì)比式(3),由于f∈An,有:

bl=bl(±L,L1,…,Lm;W)>1;

(22)

M=M(±L,L1,…,Lm;W)。

(23)

由式(6)、(7)和式(22)、(23)右邊對(duì)于+L和-L相等,當(dāng)C∈W,ηl≥bl,l=0,1,…,m,有:

|f(P+Ly)|≤

(24)

(25)

(26)

在這一段

ξ0≤-b0η1…ηm,η0≥b0η1…ηm。

(27)

因此有

(28)

我們計(jì)算式(27)、(28),由式(14)、(24)根據(jù)各η相關(guān)空間的維數(shù)得

(29)

其中

(30)

當(dāng)Li中有任意一些Lj反號(hào)變?yōu)?Lj時(shí),由式(7)可得,bl和M不變,因?yàn)棣梁挺碌淖诹渴沁@些矢量形成的空間,不會(huì)因?yàn)槟硯讉€(gè)Lj反號(hào)而改變空間,因而α和β的宗量也不變,所以FW不變,而且N=N(α{L},β{L})也不變。

在y=-∞→∞中間有一段

y∈[-b0,b0]η1η2…ηm,

(31)

對(duì)應(yīng)ξ0∈[-b0,b0]不符合η0=|ξ0|≥b0條件,須另作處理。

我們用中點(diǎn)為u,半徑為λ的小開(kāi)區(qū)間(u-λ,u+λ)覆蓋閉區(qū)間[-b0,b0]的u點(diǎn),這總是可能的。

令

Δξ1∈(u-λ,u+λ),

(32)

由式(31)可得

y=(u+Δξ1)η1…ηm;

(33)

令

(34)

有

y=uη1η2…ηm+ξ1η2η3…ηm;

(35)

再令

(36)

得

(37)

由式(19)的P給出

Lη0η2…ηm+L2η2…ηm+…+Lmηm+C。

(38)

這正是在坐標(biāo)系{L1+uL,±L,L2,…,Lm;W}下P+Ly的η參數(shù)表達(dá)式。由于f∈An,有:

bl(u)≡bl(L1+uL,±L,L2,…,Lm;W)>1;

(39)

M(u)≡M(L1+uL,±L,L2,…,Lm;W)。

(40)

由式(6)、(7)可知,式(39)、(40)的右邊與±號(hào)無(wú)關(guān)。根據(jù)式(38)中各個(gè)η相關(guān)的空間維數(shù)和式(14)得到如下結(jié)果。

(41)

有

(42)

令

(43)

這樣,閉區(qū)間[-b0,b0]上每一點(diǎn)u都被小開(kāi)區(qū)間(u-λ(u),u+λ(u))覆蓋。由Heine Borel定理可知,其中一定存在有限個(gè)小開(kāi)區(qū)間(ui1-λ(ui1),ui1+λ(ui1))寫成(ui1-λi1,ui1+λi1),i1=1,2,…,S,交迭在一起也可以覆蓋整個(gè)閉區(qū)間[-b0,b0]。

ηl≥bl(i1)

(44)

時(shí),有

(45)

(46)

I+i1≤

(47)

(48)

得到

(49)

由于式(45)中FW(i1)對(duì)ξ1的依賴關(guān)系只與其絕對(duì)值有關(guān),我們有I-i1

(50)

(51)

Δξ2η2=ξ2,

(52)

有

y=ui1η1…ηm+uη2…ηm+ξ2η3…ηm

(53)

和

P+Ly=L1η1…ηm+L2η2…ηm+…+Lmηm+C+L(ui1η1…ηm+uη2…ηm+ξ2η3…ηm)=

(L1+ui1L)η1…ηm+(L2+uL)η2…ηm+Lξ2η3…ηm+L3η3…ηm+…+Lmηm+C。

(54)

(55)

和

(56)

這正是在坐標(biāo)系{L1+ui1L,L2+uL,±L,L3,…,Lm;W}下P+Ly的η展開(kāi)式。由于f(P+Ly)∈An,就有

bl(i1u)≡bl(L1+ui1L,L2+uL,±L,L3,…,Lm;W)>1,l=1,2,0,3,…,m

(57)

M(i1u)≡M(L1+ui1L,L2+uL,±L,L3,…,Lm;W)。

(58)

根據(jù)式(6)和(7)可得,二者對(duì)±L的值相同。根據(jù)式(56)中各個(gè)η涉及的空間維數(shù)和式(14),

ηl≥bl(i1u),

(59)

有

|f(P+Ly)|≤

(60)

對(duì)于小區(qū)間(ui1i2-λi1i2,ui1i2+λi1i2),改寫M和bl的符號(hào)M(i1u)→M(i1i2),bl(i1u)→bl(i1i2),改寫式(60)中

FW(i1u)→FW(i1i2)。

(61)

(62)

由式(53)可得

y=ui1η1…ηm+ui1i2η2…ηm+ξ2η3…ηm。

(63)

因此,當(dāng)ξ2>0,有

(64)

(65)

由于FW(i1i2)只與ξ2的絕對(duì)值|ξ2|有關(guān)。式(65)的右邊等于

(66)

由式(62)、(64)得到:

(67)

N′(i1i2)=

(68)

由式(64)、(66)得

J-i1i2=J+i1i2=

(69)

然而|ξ2|≤b0(i1i2), 即ξ2∈[-b0(i1i2),b0(i1i2)]的區(qū)域沒(méi)有漸近覆蓋。我們用中心在u,半徑為λ的小開(kāi)區(qū)間(u-λ,u+λ)覆蓋閉區(qū)間[-b0(i1i2),b0(i1i2)],在這小開(kāi)區(qū)間的變量為Δξ3,ξ2=u+Δξ3,ξ2與y的關(guān)系是式(63),可得這過(guò)程可以一直進(jìn)行下去。到第r步時(shí),要處理ξr-1∈[-b0(i1…ir-1),b0(i1…,ir-1)]這段閉區(qū)間的問(wèn)題。ξr-1與y的關(guān)系是

y=ui1η1…ηm+…+ui1…ir-1ηr-1…ηm+ξr-1ηr…ηm,

(70)

用小開(kāi)區(qū)間(u-λ,u+λ)覆蓋閉區(qū)間[-b0(i1…ir-1),b0(i1…ir-1)]的u點(diǎn)。令小開(kāi)區(qū)間內(nèi)

ξr-1=u+Δξr,

(71)

也就是

y=ui1η1…ηm+…+ui1…ir-1ηr-1…ηm+(u+Δξr)ηr…ηm,

(72)

導(dǎo)出

P+Ly=L1η1…ηm+…+Lmηm+C+

L(ui1η1…ηm+…+ui1…ir-1ηr-1…ηm+(u+Δξr)ηr…ηm)=(L1+ui1L)η1…ηm+…+(Lr-1+ui1…ir-1L)ηr-1…ηm+(Lr+(u+Δξr)L)ηr…ηm+Lr+1ηr+1…ηm+Lmηm+C。

(73)

令Δξrηr=ξr,

(74)

得到

P+Ly=(L1+ui1L)η1…ηm+…+(Lr-1+ui1…ir-1L)ηr-1…ηm+(Lr+uL)ηr…ηm+Lξrηr+1…ηm+Lr+1ηr+1…ηm+…+Lmηm+C。

(75)

根據(jù)式(74),令

|ξr|=η0,

(76)

ηm±Lη0ηr+1…ηm+Lr+1ηr+1…ηm+…+Lmηm+C。

(77)

根據(jù)式(14)和式(77)中各個(gè)η相關(guān)空間的維數(shù),有

(78)

命題1由于閉區(qū)間[-b0(i1…ir),b0(i1…ir)]的中點(diǎn)為0,所以開(kāi)區(qū)間集合(-ui1…ir-λi1…ir,-ui1…ir+λi1…ir),ir=1,2,…,Sr也能覆蓋[-b0(i1…ir-1),b0(i1…ir-1)]在這些小區(qū)間中的一個(gè),我們標(biāo)志:

bl(i1…ir-1u)|u=ui1…ir≡bl(i1…ir);

(79)

M(i1…ir-1u)|u=ui1…ir≡M(i1…ir);

(80)

FW(i1…ir-1u)|u=ui1…ir≡FW(i1,…ir)。

(81)

y=ui1η1…ηm+…+ui1…ir-1ηr-1…ηm+

ui1…irηr…ηm+ξrηr+1…ηm。

(82)

給出I±i1…ir:

|f(P+Ly)|dy≤

(83)

|f(P+Ly)|dy≤

(84)

由于命題1對(duì)所有的r都適用(r=0,1,…,m),我們有如下命題。

命題2當(dāng)Lj中有一些反向,Lj→-Lj令伴隨的ui1…ij→-ui1…ij,Lj+ui1…ij→-(Lj+ui1…ijL),這時(shí)由式(6)和(7)可得,bl(i1…ir)不變,M(i1…ir)不變,又由于式(13)可得,α、β也不變,最終使?jié)u近覆蓋函數(shù)FW(i1…ir)不變,因而J±i1…ir不變。

將式(74)、(76)代入式(78)、(81)得

|f(P+Ly)|≤FW(i1…ir)=

(ηr/|ξr|)-r-1×ln(ηr/|ξr|)β×

(85)

由式(82)、(83)得

(86)

I±i1…ir

(87)

(88)

N′(i1…im)=

N(i1…im),ξ=ξm

(89)

得到

(90)

我們有如下命題。

命題3由命題2取r=m有,當(dāng)Lj中有一些反向,J±i1…im不變,b0(i1…im)不變。

現(xiàn)在我們還留下ξm∈[-b0(i1…im),b0(i1…im)],y=ui1η1…ηm+…+ui1…imηm+ξm這一段須處理。對(duì)這一段有

P+Ly=L1η1…ηm+…+Lmηm+C+

L(ui1η1…ηm+…+ui1…imηm+ξm)=

(L1+ui1L)η1…ηm+…+

(Lm+ui1…imL)ηm+Lξm+C。

(91)

找一個(gè)W′,使當(dāng)C∈W時(shí),Lξm+C∈W′。符合條件的最小的W′是W?L[-b0(i1…im),b0(i1…im)]。它的構(gòu)成是把W中的每一點(diǎn)擴(kuò)張為以該點(diǎn)為中點(diǎn)的線段L[-b0(i1…im),b0(i1…im)]。這樣,當(dāng)ξm∈[-b0(i1…im),b0(i1…im)],Lξm+C一定∈W′。由命題3有當(dāng)Lj中有一些反向?yàn)?Lj時(shí),也有b0(i1…im)不變。

令C′=Lzm+C∈W′,有

P+Ly=(L1+ui1L)η1…ηm+…+

(Lm+ui1…imL)ηm+C′。

(92)

(93)

得到

I0i1…im=

(94)

如果Lj中有一些反向Lj→-Lj,伴隨的ui1…ij也同時(shí)反號(hào)ui1…ij→-ui1…ij,則Lj+ui1…ijL→-(Lj+ui1…ijL),由于W′=W?L[-b0(i1…im),b0(i1…im)],由命題3可得,b0(i1…im)不變,所以W′不變,坐標(biāo)系變?yōu)?/p>

{±(L1+ui1L),±(L2+ui1i2L),…,±(Lm+ui1…imL);W′}。

命題4當(dāng)Lj中的某一些反號(hào),且式(6)和(7)成立時(shí),所有J±,J±i1…ir,J0i1…im都可以做到不變。所以式(6)和(7)可以由Rn遞推到Rn-1。

|fL(P)|,已經(jīng)知道的結(jié)果是,當(dāng)

ηl≥max{bl},l=1,2,…,m,

(95)

(96)

所以有

(97)

(98)

我們計(jì)算了J±,J±i1…ir,J0i1…im,由它們給出了在Rn-1=E上An-1函數(shù)fL(P)的漸近覆蓋。令P=L1η1…ηm+…+Lmηm+C,有

(99)

(100)

(101)

N2=1(取式(14)時(shí),由附錄A給出);

2b0(L1+ui1L1,…,Lm+ui1…imL;W);

(102)

W′=W?[-b0(i1…im),b0(i1…im)]L;

(103)

bl(L1+ui1L,…,Lr+ui1…irL,Lr+1,…,

W′)};

(104)

αi=-i-1,βi=2β+1。

(105)

式(14)成立。式(104)中右邊的e是為了使lnη≥1。

另一點(diǎn)要說(shuō)明的是在對(duì)各個(gè)J中沿L方向積分時(shí),矢量C=Cn-1,W=Wn-1都不變。對(duì)于J0i1…im,C∈W?W′不變,因?yàn)镴(P)的P不變,對(duì)J0i1…im,ξ沿L方向從-b0(i1…im)積到b0(i1…im),中點(diǎn)是矢量C的端點(diǎn),保持在W′內(nèi)積分時(shí),Ly沿L方向的投影總是在P點(diǎn)不動(dòng)。

我們有如下定理。

定理2當(dāng)fn∈An,而且對(duì)于任何坐標(biāo)系有式(14)時(shí),可以由溫伯格程序給出Rn-1任何坐標(biāo)系的

(106)

這里還有一個(gè)重要細(xì)節(jié)須說(shuō)明,在式(83)中當(dāng)積分J±i1…ir時(shí),ηr必須大于b0(i1…ir)br(i1…ir),否則這項(xiàng)就不存在。而對(duì)于其余ηr′≠r,則只要求ηr′≥br′(i1…ir),為解決此問(wèn)題,溫伯格引入新參量C(i1…ir)。本文改為全部要求ηr≥br(i1…ir),理由是漸近覆蓋FW的值可以任意擴(kuò)大,只要是有限值,就不影響理論框架。從式(99)來(lái)看,我們這樣處理,就是當(dāng)b0(i1…ir)br(i1…ir)≥ηr≥br(i1…ir)時(shí),多加了一項(xiàng)本來(lái)不存在的有限項(xiàng),這時(shí)Mn-1本來(lái)沒(méi)有式(100)～(102)聯(lián)合給出的那么大,我們的處理方式只是使它變大了而已,好處是使式(104)簡(jiǎn)單了。其實(shí)我們?cè)诤芏嘤?jì)算比如由式(86)給出式(87)時(shí),就曾經(jīng)一再擴(kuò)大積分的值(見(jiàn)附錄A)。在這些處理中,我們只是把“=0”擴(kuò)大為“>0”,把“小”的值擴(kuò)大為“大”的值。不違背漸近覆蓋式(99)是“有限的”這個(gè)原則,因此也是允許的。

3 f在有界區(qū)絕對(duì)可積的分析

下面我們的問(wèn)題是要從Rn的An函數(shù)fn積到Rn-k的An-k函數(shù)fn-k(P)我們還需要什么。我們只需要在Rn-k+1的對(duì)應(yīng)An-k+1函數(shù)fn-k+1在有界線段上絕對(duì)可積,這個(gè)條件又如何保證呢?下面的推導(dǎo)表明這只要對(duì)應(yīng)的fn-k+2在二維平面的有界區(qū)上絕對(duì)可積。最終,我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)fn∈An對(duì)1維至n維平面的有界區(qū)域絕對(duì)可積,而且α({S})=-dimS-1,βS≥0與S無(wú)關(guān),fn就在整個(gè)k空間絕對(duì)可積。其中,積分的每一步都需要這兩條性質(zhì)遞推下去。第2節(jié)的式(104)、(105)給出α和β的遞推性質(zhì),第3節(jié)我們推導(dǎo)在有界區(qū)域絕對(duì)可積條件式(11)的遞推性質(zhì)。

命題5如果fl∈Al在Rl的任何1～l維平面區(qū)域σl絕對(duì)可積,而且αl({S})=-dimS-1,則其積分函數(shù)fL(P)在E=Rl-1上的任何1～l-1維平面上的有界區(qū)域σl-1絕對(duì)可積。

注意:σl是1～l維平面上的有界區(qū),是邊緣光滑,在勒貝格積分意義下的可測(cè)點(diǎn)集。我們只用到各維的平行多邊形,

σl=Lmkm?…?Lm-ikm-i,

i=0→l,kS≡(aS,bS)。

(107)

式中:kS是線段。由式(83)、(84)可得,fL(P)的覆蓋函數(shù)FW的α、β指數(shù)滿足式(14)。下面證明fL(P)在任何E=Rl-1上的任何1～l-1維邊緣光滑的σl-1絕對(duì)可積。

(108)

(109)

(110)

(111)

(112)

(113)

當(dāng)α<-1時(shí)收斂。

(114)

當(dāng)α(-L)<-1時(shí)收斂。

因?yàn)閃?σl-1,所以對(duì)于任何P∈σl-1,參量M、b0都與P無(wú)關(guān)。α和β也只與L、-L有關(guān),因而與P(相當(dāng)于式(3)中的C)無(wú)關(guān)。

Ⅱ1+Ⅱ2+Ⅱ3,

(115)

其中

(116)

有界,Ⅱ3也類似。

命題6如果Al函數(shù)在Rl的任何有界區(qū)σl的積分絕對(duì)收斂,則由溫伯格程序得到的Rl-1的Al-1函數(shù)在Rl-1的任何有界區(qū)σl-1的積分也絕對(duì)收斂。

B(k)=ΠβCβ(E),

(117)

(118)

有

(119)

式中:

(120)

我們定義

(121)

(122)

dσ是σ的面積元。k空間的任何線性函數(shù)f可以表為一個(gè)矢量a與k空間的矢量P的內(nèi)積a·P。對(duì)于k空間的超平面T,

P=L1k1+L2k2+…+Lmkm+C=

L1η1η2…ηm+L2η2…ηm+…+

Lmηm+C。

(123)

式中:C∈W,W是Rn的有界區(qū),有

f=f1η1η2…ηm+f2η2…ηm+…+fmηm+f0,

(124)

f0=a·C,fi=a·Li,i=1,2,…,m。

(125)

1)當(dāng)f1,…,fm中有非零值的時(shí)候,排在最前面的非零項(xiàng)fkηk…ηm在η充分大時(shí)變?yōu)橹饕?xiàng),

(126)

2)當(dāng)所有fi(i=1,2,…,m)都為0時(shí),

f=f0=a·C

(127)

是C的線性式。

1)當(dāng)對(duì)于β,有至少一個(gè)μ,有式(126)中f≠0,且對(duì)所有μ,fi=0,i=1,2,…,k-1。由于lβμ是k的線性項(xiàng)[15],根據(jù)式(126),

(128)

(129)

ji(β)=0,i=1,2,…,k-1,

ji(β)=2,i=k,k+1, …,m。

(130)

2)當(dāng)對(duì)于β,對(duì)所有的μ,有fk=0,k=1,2,…,m,這時(shí)

(131)

式中:aβ是C和q以及μβ的大于0的二次式。

j1(β)=…=jm(β)=0

(132)

(133)

(134)

則有

(135)

(136)

|di(C)|≤di(W)。

(137)

bl(L1,L2,…,Lm,W)≥e

(138)

使當(dāng)

|ηl|≥bl

(139)

有:

(140)

(141)

我們有

(142)

根據(jù)文獻(xiàn)[15],A(k)是kq的多項(xiàng)式,而k可以按式(123)～(127)展開(kāi),這樣A(k)就可以展開(kāi)為η的多項(xiàng)式,

A=QA(η),

(143)

取各項(xiàng)中ηl的最高冪次加以比較,可以找到所有項(xiàng)的η的最高冪次sl,然后把QA(η)寫成

(144)

(145)

當(dāng)我們令

|ηl|≥bl(L1,L2,…,Lm;W)≥e,

(146)

(147)

|A|≤|η1|s1…|ηm|smP(A)。

(148)

由式(143)和式(148)得如下命題。

命題8

(149)

由命題7和8有如下命題。

M=M(±L1,±L2,…,±Lm;W);

bl=bl(±L1,±L2,…,±Lm;W)。

令ki…km都不為0,

ki≠0,i=1, …,m,

(150)

等價(jià)地有

ηi≠0,i=1, …,m。

(151)

Tl平面是在式(150)條件下取kl+1,…,km為固定值形成的平面(或等價(jià)地在式(151)前提下將ηl+1…ηm固定形成的平面)。

令k的多項(xiàng)式(已合并同類項(xiàng))為

(152)

Q在T的冪次為

(153)

Q在Tl的冪次為

(154)

我們將

k1=η1…ηm,k2=η2…ηm,…,km=ηm

代入式(154)得

(155)

Q對(duì)ηm的冪次為

(156)

Q對(duì)ηl的冪次為

(157)

對(duì)比式(153)和(155),式(154)和(157),我們發(fā)現(xiàn)

degkQ(k)|T=degηmQ(k(η)),

(158)

degkQ(k)|Tl=degηlQ(k(η)),

(159)

這是同一個(gè)Q(k(η))!

(160)

(161)

我們有

(162)

sl-jl=αl<-l。

(163)

αl=-l-1,βl=0。

(164)

我們有如下定理。

證明令Rn=L1y1?L2y2…?Lnyn,yi=-∞→∞。然后順次沿L1…Ln方向積分,每次都可保證式(14)、(6)、(7)和有界平面區(qū)絕對(duì)可積條件式(11)直至R1的A1函數(shù)。由式(14)和式(11)可知,在Ln方向也絕對(duì)可積。

附錄A

(165)

式中:

(166)

(167)

(168)