摘 要：初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域?qū)W習(xí)內(nèi)容，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生從條件到結(jié)論的思維方式和推理方法，使學(xué)生經(jīng)由嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^程形成綜合運(yùn)用“圖形與幾何”領(lǐng)域知識與方法解決初中數(shù)學(xué)問題和相關(guān)生活實(shí)際問題的能力。在教學(xué)實(shí)踐中，教師可以從課前準(zhǔn)備階段的學(xué)情分析與教學(xué)思考入手，明確課堂教學(xué)目標(biāo)和基本教學(xué)方法；課堂上通過帶領(lǐng)學(xué)生分析前期所學(xué)知識提煉“圖形與幾何”領(lǐng)域的研究路徑，基于幾何模型的建立、應(yīng)用與強(qiáng)化穩(wěn)步推進(jìn)教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證、獨(dú)立思考、小組合作學(xué)習(xí)等多樣化的學(xué)習(xí)過程，從中培養(yǎng)模型觀念，發(fā)展數(shù)學(xué)建模思維。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；幾何模型；三角形；中位線定理；平行四邊形；逆命題

中圖分類號：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：0450-9889（2024）13-0072-05

初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域?qū)W習(xí)內(nèi)容，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生從條件到結(jié)論的思維方式和推理方法，使學(xué)生經(jīng)由嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^程形成綜合運(yùn)用“圖形與幾何”領(lǐng)域知識與方法解決初中數(shù)學(xué)問題和相關(guān)生活實(shí)際問題的能力。而這對于剛剛接觸邏輯推理的初中生而言，不僅思維難度較大，而且綜合運(yùn)用所學(xué)知識與方法解決問題的能力要求也相對較高?；趯W(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，我們認(rèn)為，運(yùn)用幾何模型幫助學(xué)生總結(jié)已有的邏輯推理經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會利用已有的經(jīng)驗(yàn)構(gòu)建幾何模型，可以有效強(qiáng)化學(xué)生的模型意識、培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念，促進(jìn)其形成幾何直觀和空間觀念等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)［1］。

初中數(shù)學(xué)幾何模型是幫助學(xué)生理解和解決“圖形與幾何”領(lǐng)域相關(guān)問題的有效工具。借助模型，學(xué)生可以更加直觀地掌握圖形的形狀、大小、位置等概念，提升對圖形的理解以及對相關(guān)問題的解決能力。初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域所涉及的定義、性質(zhì)、判定、定理等，多數(shù)都有對應(yīng)的幾何模型?？梢哉f，初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的教學(xué)實(shí)際上就是讓學(xué)生認(rèn)識幾何模型、探索幾何模型性質(zhì)、拓展幾何模型相關(guān)聯(lián)的衍生模型、在數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題中運(yùn)用幾何模型解決問題的過程。因此，針對該領(lǐng)域的教學(xué)，教師應(yīng)根據(jù)教與學(xué)的需要創(chuàng)設(shè)適合的情境，適當(dāng)增加幾何模型及衍生模型的教學(xué)過程，引導(dǎo)學(xué)生樹立模型意識、培養(yǎng)模型觀念，使他們對已學(xué)知識和方法有更深入的認(rèn)識和理解，進(jìn)而發(fā)展數(shù)學(xué)建模思維［2］。下面我們以人教版數(shù)學(xué)八年級下冊“三角形中位線定理”一課為例，探討在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中通過實(shí)踐幾何模型的建立、應(yīng)用和強(qiáng)化培養(yǎng)學(xué)生模型觀念、提高學(xué)生邏輯推理能力、促進(jìn)學(xué)生形成幾何直觀和空間觀念等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的具體做法。

一、課前準(zhǔn)備階段的學(xué)情分析與教學(xué)思考

（一）學(xué)情分析

在學(xué)習(xí)本課之前，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了運(yùn)用全等三角形的相關(guān)知識探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理、判定定理的學(xué)習(xí)過程，能夠運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)定理、判定定理進(jìn)行簡單的推理并對這個推理過程做出說明，能夠計(jì)算求解簡單的角、線段、面積、周長等問題，演繹推理能力得到了進(jìn)一步培養(yǎng)和發(fā)展。這些推理經(jīng)驗(yàn)和活動經(jīng)驗(yàn)的積累及相關(guān)解題能力的發(fā)展，為學(xué)生在本課探索并證明三角形中位線定理打下了扎實(shí)的思維方法基礎(chǔ)。

根據(jù)以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)三角形中位線定理的過程中，遇到的最大困難是不知如何將“中位線定理”這一新問題向之前所學(xué)的平行四邊形知識轉(zhuǎn)化，也就是不知道如何添加輔助線將中位線問題變成平行四邊形問題。盡管部分學(xué)生在預(yù)習(xí)教材內(nèi)容后知道了怎樣添加輔助線，但對于為什么要添加輔助線、為什么要這樣添加輔助線、還可以怎樣添加輔助線、以后遇到新的類似問題又該如何添加輔助線等問題依然感到困惑。而要解決這一系列衍生問題，幾何模型的建立起著至關(guān)重要的作用。因此，教師在教學(xué)過程中，需要引導(dǎo)學(xué)生對平行四邊形這一特殊的幾何模型進(jìn)行深度探究，促進(jìn)其深度理解，重點(diǎn)是讓學(xué)生從中感悟到模型的作用和魅力，進(jìn)而發(fā)展其邏輯推理能力，促進(jìn)其形成模型思維［3］。

（二）目標(biāo)分析

本課教學(xué)，學(xué)生需要理解并掌握三角形中位線的定義，能夠通過定義畫出三角形的中位線。在探索和證明三角形中位線定理的過程中，學(xué)生需要了解輔助線添加的目的，先通過合情推理直觀感受中位線的位置特點(diǎn)，再通過演繹推理證明中位線的位置關(guān)系，進(jìn)而得出其中的數(shù)量關(guān)系。此外，學(xué)生還需要學(xué)會先通過幾何直觀進(jìn)行判定、再通過邏輯推理來驗(yàn)證判定的數(shù)學(xué)思維方法，并通過把三角形中位線定理的題設(shè)與結(jié)論互換證明其逆命題的真實(shí)性，鞏固通過添加輔助線構(gòu)造數(shù)學(xué)模型解決新問題的思維方法。本課教學(xué)對學(xué)生的能力培養(yǎng)集中在培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力、抽象能力、推理能力以及對所學(xué)知識的應(yīng)用能力等方面。

（三）教學(xué)分析

三角形中位線定理是三角形的重要性質(zhì)定理。本課在探索和證明三角形中位線定理的過程中，應(yīng)考慮學(xué)生原有的知識積累和認(rèn)知水平，特別是學(xué)生已經(jīng)掌握的解決問題的方法和技巧，并在此基礎(chǔ)上對學(xué)生加以引導(dǎo)，使學(xué)生通過新舊經(jīng)驗(yàn)的相互作用形成新的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，豐富和調(diào)整已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，同時讓學(xué)生學(xué)會總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生完成三角形中位線定理的證明過程。本課教學(xué)，教師還要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從用三角形解決平行四邊形問題過渡到用平行四邊形解決三角形中位線問題，強(qiáng)化學(xué)生對轉(zhuǎn)化思想的認(rèn)識并引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用，使學(xué)生通過獨(dú)立思考、合作探究，有效突破借輔助線添加實(shí)現(xiàn)定理證明的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

為幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)，教師可以設(shè)計(jì)一個建立幾何模型、運(yùn)用幾何模型、強(qiáng)化幾何模型的教學(xué)過程，讓學(xué)生經(jīng)歷提煉“圖形與幾何”領(lǐng)域基本研究路徑，面對新問題經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證最終建立、運(yùn)用和強(qiáng)化新的幾何模型的學(xué)習(xí)過程。其間需要在三角形中位線定理基本圖形基礎(chǔ)上衍生出做輔助線的方法，以及用全等三角形和平行線四邊形知識解決問題的方法等方法性知識，教師在教學(xué)中還可以引導(dǎo)學(xué)生通過將兩種方法進(jìn)行對比，讓學(xué)生感受到運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理解決問題的簡潔性；通過對三角形中位線定理逆命題的證明，讓學(xué)生進(jìn)一步感受“圖形與幾何”領(lǐng)域的研究路徑以及問題解決方法的多樣性［4］。

二、課堂教學(xué)階段幾何模型的建立、應(yīng)用與強(qiáng)化

（一）以舊引新提煉研究路徑

主問題：這段時間我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？

在學(xué)生自由作答的同時，教師可強(qiáng)化以下三個追問，逐漸引出相關(guān)的研究路徑（如圖1）。

追問1：在研究平行四邊形時，我們研究了哪些內(nèi)容？

追問2：觀察符號語言，你有什么發(fā)現(xiàn)？

追問3：關(guān)于這些性質(zhì)和判定的研究，我們經(jīng)歷了哪些學(xué)習(xí)過程？

教學(xué)分析：通過帶領(lǐng)學(xué)生回憶平行四邊形的學(xué)習(xí)內(nèi)容，歸納“圖形與幾何”領(lǐng)域從性質(zhì)到判定、從文字到符號、從猜想到驗(yàn)證的研究路徑，一方面可以幫助學(xué)生梳理知識，另一方面可以為本課三角形中位線的學(xué)習(xí)與研究明確方向和路徑。學(xué)生通過對平行四邊形性質(zhì)定理和判定定理的回顧，可進(jìn)一步明確兩者之間互為逆命題的關(guān)系；通過對比四邊形和平行四邊形性質(zhì)上的差異，體會從一般到特殊的學(xué)習(xí)過程，體會平行四邊形性質(zhì)定理和判定定理的特殊性所在；通過思考“為什么要學(xué)習(xí)符號語言”的問題，感受數(shù)學(xué)符號語言的簡潔美；通過觀察符號語言，進(jìn)一步理解用兩個條件判定一個平行四邊形的優(yōu)勢及重要性。

（二）經(jīng)由“猜想—驗(yàn)證”，初步建立幾何模型

1.引導(dǎo)學(xué)生展開猜想

主問題：請大家猜一猜三角形中位線與什么有關(guān)？

追問1：三角形的中位線是一條什么線？

追問2：你覺得三角形的中位線有什么特點(diǎn)？

追問3：要想證明我們的猜想對不對，必須要知道已知條件是什么、求證是什么。請問這里的已知條件和求證各是什么？

追問4：解決這個問題的切入點(diǎn)在哪里？

追問5：中點(diǎn)是這個問題非常重要的已知條件，我們需要回憶一下跟中點(diǎn)有關(guān)的知識。那么，與中點(diǎn)有關(guān)的知識，我們之前學(xué)習(xí)了哪些？哪些可以幫我們解決這個問題？

教學(xué)分析：從“三角形中位線”這一數(shù)學(xué)名詞入手，學(xué)生很容易聯(lián)想到它一定與中點(diǎn)有關(guān)。于是教師可以先畫出三角形的一條中位線，讓學(xué)生直觀感知它是什么，從而引出三角形中位線的定義，便于學(xué)生理解和接受。鑒于三角形的中位線定理在同一個題設(shè)下指向兩個結(jié)論（一個表明位置關(guān)系，一個表明數(shù)量關(guān)系），并且需要添加輔助線來證明，這就進(jìn)一步增加了它的學(xué)習(xí)難度。那么，教師如何幫助學(xué)生分解學(xué)習(xí)難點(diǎn)呢？教師可以先讓學(xué)生觀察三角形中位線的基本圖形，猜想其特點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀。通常情況下，多數(shù)學(xué)生能夠直觀猜測到與第三邊平行的位置關(guān)系，卻很少有學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)二者之間的數(shù)量關(guān)系。雖然學(xué)生只能猜到一半的結(jié)論，但教師可以順應(yīng)學(xué)生的思維實(shí)施教學(xué)，先證明是否平行：通過共同探討已知條件、求證什么，厘清研究方向和內(nèi)容，把直觀的猜想判定上升到邏輯推理的高度，從中培養(yǎng)學(xué)生的推理意識，發(fā)展學(xué)生的推理能力。

2.組織學(xué)生展開小組合作探究

教師順應(yīng)學(xué)生的思維，先課件出示如圖2所示的問題，引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證自己的猜想。

師：要想證明兩線平行，目前我們有哪些方法？

生：平行線的判定法。

師：還有嗎？（無應(yīng)答）

師：之前我們學(xué)習(xí)了平行四邊形，平行四邊形的對邊有什么性質(zhì)？

生：互相平行。

師：那么，你能得到什么啟發(fā)？

生：證明它是平行四邊形的一組對邊！

師：那么，接下來我們需要做的就是，如何在三角形中位線這個圖上構(gòu)造出一個平行四邊形，再利用平行四邊形的知識來證明兩線平行。試試看吧！

由證明兩線平行過渡到發(fā)現(xiàn)和驗(yàn)證兩線的數(shù)量關(guān)系，教師在提出自己的猜想后，開始帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)與三角形有關(guān)的知識，為驗(yàn)證兩線的倍半關(guān)系尋找突破口：七年級學(xué)習(xí)了線段的中點(diǎn)知識，知道線段中點(diǎn)可以平分線段，得到相等或倍半的數(shù)量關(guān)系；八年級學(xué)習(xí)了三角形的中線知識，知道中線可以平分三角形的一條邊以及三角形的面積，同樣可以得到相等或倍半的數(shù)量關(guān)系，甚至在等腰三角形中還具有三線合一的性質(zhì)；在八年級學(xué)習(xí)三角形全等時，還學(xué)習(xí)了倍長中線構(gòu)造三角形全等的知識。

教學(xué)分析：帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)相關(guān)知識，是為了教給學(xué)生解決問題的方法，讓學(xué)生學(xué)會梳理知識，學(xué)會從已學(xué)知識中選擇適用的知識解決所面臨的新的關(guān)聯(lián)問題，實(shí)現(xiàn)知識的遷移與運(yùn)用，進(jìn)而提高解決問題的能力。

面對本課倍半關(guān)系這個新問題，學(xué)生先獨(dú)立思考、再小組合作不斷嘗試，最后互相補(bǔ)充，給出了八種證明三角形中位線定理的方法。

解法一：如圖3（1），延長DE至F，使EF=DE，則△ADE≌△CFE。于是有∠DAC=∠ACF，AD=CF，則BD∥CF，BD=CF，四邊形DBCF為平行四邊形，DE∥BC，DE=0.5BC。

解法二：如圖3（2），延長ED至F，使DF=DE。解法和過程同解法一。（略）

解法三：如圖3（3），過點(diǎn)A做AG∥BC。過點(diǎn)E做GF∥AB，交BC于點(diǎn)F，交AG于點(diǎn)G。于是四邊形ABFG為平行四邊形，△AEG≌△CEF。于是AB∥GF，AB=GF，GE=EF=0.5GF，AG=BF=FC=0.5BC。于是有AD=0.5AB=GE=0.5GF，四邊形ADEG為平行四邊形，DE∥BC，DE=0.5BC。

解法四：如圖3（4），過點(diǎn)A做AG∥BC，取BC中點(diǎn)F，連接FE并延長，交AG于點(diǎn)G。則有△AEG≌△CEF，AG=FC=BF=0.5BC，GE=EF=0.5GF，于是四邊形ABFG為平行四邊形，AD∥GE，AD=0.5AB=GE=0.5GF；四邊形ADEG為平行四邊形，DE∥BC，DE=0.5BC。

解法五：如圖3（5），過點(diǎn)A做AG∥BC。過點(diǎn)D做GF∥AC，交BC于點(diǎn)F，交AG于點(diǎn)G。過程與方法同解法三（略）。

解法六：如圖3（5），過點(diǎn)A做AG∥BC，取BC中點(diǎn)F，連接FD并延長交AG于點(diǎn)G。解法與過程同解法四（略）。

解法七：如圖3（6），延長DE至F，使EF=DE。由EA=EC，ED=EF，可知四邊形ADCF為平行四邊形，則BD∥CF，BD=CF，于是四邊形DBCF為平行四邊形，則有DE∥BC，DE=0.5BC。

解法八：如圖3（7），分別過點(diǎn)B，A，C向直線DE做垂線段，垂足分別為F，G，H。則有△ADG≌△BDF，△AEG≌△CEH，F(xiàn)B∥CH；于是FD=DG=0.5FG，GE=EH=0.5GH，F(xiàn)B=AG=HC，DE=0.5FH，四邊形FBCH為平行四邊形，DE∥BC，DE=0.5BC。

在學(xué)生完成證明后，教師帶領(lǐng)學(xué)生適時總結(jié)這些解法的共性：在已有線段中點(diǎn)的前提下，可補(bǔ)全另一條線段，使之形成互相平分的關(guān)系（如圖4），進(jìn)而構(gòu)造出平行四邊形或全等三角形，再利用平行四邊形的知識進(jìn)行證明。此時可見，平行四邊形可以起到聯(lián)系未知與已知的橋梁作用，從而成為一種解題方法的新模型。這個模型可以啟發(fā)學(xué)生：今后遇到新問題，要努力往模型的方向進(jìn)行思考，思考的問題包括“這個新問題與我們之前學(xué)過的哪個模型有聯(lián)系？”“可以怎樣聯(lián)系？”“這個問題可以怎樣轉(zhuǎn)化？”等等。

教學(xué)分析：在證明三角形中位線定理的過程中，教師通過讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、推理論證、歸納總結(jié)、形成定理的過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)表達(dá)；通過啟發(fā)學(xué)生回顧三角形中位線定理的證明過程，讓學(xué)生感悟平行四邊的性質(zhì)定理、判定定理在其中所起到的重要作用；通過總結(jié)建立模型的方法，讓學(xué)生理解一題多解和多題一解，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用平行四邊形和三角形的知識解決問題的能力。

（三）經(jīng)由逆向推理，嘗試運(yùn)用幾何模型

主問題：三角形中位線定理實(shí)際上就是三角形中位線的性質(zhì)。平行四邊形性質(zhì)的逆命題就是平行四邊形的判定，那么三角形中位線定理的逆命題也能成立嗎？

追問：根據(jù)三角形中位線定理的符號語言，請寫出逆命題的已知和求證，并進(jìn)行證明。

教學(xué)分析：用符號語言寫出三角形中位線定理的逆命題（如圖5），對學(xué)生來說并不困難。根據(jù)幾何圖形的研究路徑，進(jìn)一步研究中位線定理的逆命題是否成立，旨在培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。對于學(xué)生而言，三角形中位線定理的證明可以讓他們了解添加輔助線的方法以及運(yùn)用平行四邊形知識解決問題的優(yōu)越性和必要性，但是在證明逆命題的過程中，學(xué)生將會重新思考解決問題的切入點(diǎn)以及添加輔助線的新方法，并形成新的幾何模型，進(jìn)一步鞏固和掌握添加輔助線的方法以及平行四邊形知識和模型思想的應(yīng)用。

學(xué)生通過獨(dú)立思考、小組合作、互相補(bǔ)充的方式，最終用三種方法完成了這一逆命題的證明。

1.從倍半關(guān)系入手，通過倍長中位線做輔助線構(gòu)造平行四邊形，再運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和三角形全等的知識最終解決問題。

解法一：如圖6（1），延長DE至F，使EF=DE，則DF∥BC，DF=BC，四邊形DBCF是平行四邊形，于是有BD∥CF，BD=CF，△ADE≌△CFE；于是可得AD=DB，AE=EC。

2.從倍半關(guān)系入手，通過取中點(diǎn)連線構(gòu)造兩個平行四邊形，再推理出第三個平行四邊形，最終運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理解決問題。

解法二：如圖6（2），取BC的中點(diǎn)F，連接DF，EF，則DE=BF=FC，DE∥BC；于是可知四邊形DBFE和四邊形DFCE均為平行四邊形，于是有BD∥EF，DF∥EC，則四邊形ADFE為平行四邊形，AD=DB，AE=EC。

3.從平行的條件入手，通過做平行線構(gòu)造平行四邊形，再結(jié)合倍半關(guān)系，判定兩個新的平行四邊形，最后解決問題。

解法三：過點(diǎn)E作EF∥BD，交BC于點(diǎn)F，連接DF，則四邊形DBFE為平行四邊形；于是可得DE=BF，DE=0.5BC，DE=FC，DE∥BC；于是四邊形DFCE和四邊形ADFE為平行四邊形，則有AD=DB，AE=EC。

從不同角度思考，解決問題的方法不同，思維的路徑也不同，最終形成的幾何模型及解決問題時所用到的知識點(diǎn)也不同。從學(xué)生解決問題的方法來看，學(xué)生一步一步地從運(yùn)用全等三角形知識過渡到運(yùn)用平行四邊形的知識解決問題，基本達(dá)成了本課教學(xué)目標(biāo)。

三、課堂小結(jié)與課后作業(yè)

（一）課堂小結(jié)

回顧總結(jié)，強(qiáng)化解題過程中幾何模型的建立、應(yīng)用與強(qiáng)化以及推理過程中轉(zhuǎn)化思想與模型思想的應(yīng)用。

問題1：在本課中，你學(xué)習(xí)了哪些知識？

問題2：在本課中，你學(xué)習(xí)了哪些添加輔助線的方法？

問題3：在本課中，你學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

問題4：什么是幾何模型？你體會到幾何模型的哪些魅力？

教師用四個問題引導(dǎo)學(xué)生回顧總結(jié)本課的學(xué)習(xí)收獲，最終提煉出如圖7所示的結(jié)論。

教學(xué)分析：小結(jié)部分從知識、方法、思想三個層面對本課所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)歸納，化繁為簡，旨在培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)歸納的習(xí)慣與能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新思維，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀與空間觀念。

（二）課后作業(yè)

教師用問題5引出如圖8所示的課后作業(yè)。

問題5：根據(jù)本課所學(xué)內(nèi)容，已知兩個中點(diǎn)可以證明平行和倍半關(guān)系，已知平行和倍半關(guān)系可以證出兩個中點(diǎn)，那么把一個中點(diǎn)與一個平行或倍半關(guān)系相結(jié)合能否得出另外兩個結(jié)論呢？

教學(xué)分析：最后的探究式課后作業(yè)，既是本課知識應(yīng)用的延續(xù)，也是解題切入點(diǎn)、添加輔助線方法的延續(xù)，還是思維方法和幾何模型的延續(xù)，可以幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固本課所學(xué)內(nèi)容，對幾何模型進(jìn)行強(qiáng)化。

總之，模型觀念是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出的“三會”核心素養(yǎng)在初中階段的主要表現(xiàn)之一，與小學(xué)階段的模型意識相互銜接。在小學(xué)階段，模型意識僅要求學(xué)生對數(shù)學(xué)模型普適性有一個初步的感悟；到了初中階段，模型觀念開始要求學(xué)生對運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題有清晰的認(rèn)識，要求學(xué)生知道數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系的基本途徑，要求學(xué)生能夠初步感知數(shù)學(xué)建模的基本過程。為了回應(yīng)課標(biāo)的要求，本課教學(xué)通過引導(dǎo)學(xué)生在解決問題時建立幾何模型，在解決新的問題時應(yīng)用幾何模型，讓學(xué)生在反反復(fù)復(fù)的正向、逆向的思維訓(xùn)練中逐漸熟悉幾何模型，訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性、深刻性，讓學(xué)生在學(xué)到新的數(shù)學(xué)知識的同時，也學(xué)會總結(jié)思維方法，建立和應(yīng)用幾何模型解決問題，從而有效發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

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注：本文系南寧市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“基于新課程標(biāo)準(zhǔn)初中數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的實(shí)踐研究”（2022C492）、南寧市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“初中生‘?dāng)?shù)學(xué)思維表達(dá)能力’培養(yǎng)的實(shí)踐研究”（2023B203）、南寧市“中小學(xué)、幼兒園教育教學(xué)銜接”專項(xiàng)課題“新課標(biāo)背景下小初數(shù)學(xué)教學(xué)有效銜接的研究”（2022XJJY001）的階段研究成果。

（責(zé)編 白聰敏）