摘 要：【目的】對控制力矩陀螺（CMG）外框架路徑跟蹤存在的強(qiáng)耦合性和外部干擾等問題，提出一種基于非線性滑模控制的姿態(tài)穩(wěn)定優(yōu)化算法?！痉椒ā扛鶕?jù)建立的二自由度CMG動力學(xué)模型來推導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)的仿射形式，利用李導(dǎo)數(shù)（Lie derivative）來明確輸入和輸出關(guān)系。將設(shè)計好的滑?？刂破鲬?yīng)用于CMG外框架角度跟蹤指定的參考軌跡中，使用功率趨近律來減小抖振影響，并通過設(shè)計李雅普諾夫函數(shù)來確保其閉環(huán)穩(wěn)定性?！窘Y(jié)果】Matlab仿真結(jié)果表明，使用非線性滑?？刂破髂苡行Э刂艭MG的非線性、強(qiáng)耦合性和不確定性等，同時可使CMG外框架的角速度保持穩(wěn)定，證明滑?？刂艭MG的可行性?！窘Y(jié)論】設(shè)計出的滑?？刂破髂軡M足CMG外框架姿態(tài)調(diào)節(jié)和漸進(jìn)穩(wěn)定的要求，對比試驗結(jié)果表明，在相同條件下，滑?？刂频目刂凭群汪敯粜砸獌?yōu)于自適應(yīng)控制和串級PID控制。

關(guān)鍵詞：控制力矩陀螺；不確定性；滑模控制

中圖分類號：TP273" " " " " " " " " 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A" " " " " " " " " " " " " 文章編號：1003-5168（2023）12-0009-05

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2023.12.002

Research on Attitude Stability Optimization Control of a 2-DOF"Control Moment Gyroscope

LI Zixiao" " HAN Guangxin

（College of Information and Control Engineering， Jilin of Chemical Technology， Jilin 132022， China）

Abstract：[Purposes] Aiming at the problems of strong coupling and external interference in the path tracking of the outer frame of control moment gyroscope （ CMG ）， an attitude stability optimization algorithm based on nonlinear sliding mode control is proposed. [Methods] According to the established two-degree-of-freedom CMG dynamic model， the standard affine form is derived， and the Lie derivative is used to clarify the relationship between the input and the output. The designed sliding mode controller is applied to the specified reference trajectory of CMG outer frame angle tracking. The power reaching law is used to reduce the chattering effect， and the Lyapunov function is designed to ensure its closed-loop stability. [Findings]" Matlab simulation results show that the nonlinear sliding mode controller can"effectively control the nonlinearity， strong coupling and uncertainty of CMG， and can keep the angular velocity of CMG outer frame stable， which proves the feasibility of sliding mode control CMG. [Conclusions] The designed sliding mode controller can meet the requirements of attitude adjustment and asymptotic stability of CMG outer frame. The comparison test results show that the control accuracy and robustness of sliding mode control are better than those of adaptive control and cascade PID control under the same conditions.

Keywords： control moment gyroscope; uncertainties; sliding mode control

0 引言

控制力矩陀螺儀（Control Moment Gyroscope，CMG）在任何環(huán)境中都具有自主導(dǎo)航的能力，廣泛應(yīng)用于航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)中，如國際空間站、微小衛(wèi)星。CMG既可控制航天器角動量發(fā)生變化，也可控制衛(wèi)星姿態(tài)，同時還能輸出陀螺力矩［1］。為克服航天器存在的不確定干擾問題，CMG控制系統(tǒng)采用的方法有PID控制、滑模魯棒控制、自適應(yīng)控制等，被控的對象大多是線性系統(tǒng)，在實際控制中存在著很大誤差［2-4］。Leeghim等［5］、Elkhayat等［6］采用非線性反演控制法對單自由度CMG進(jìn)行研究；Zhang等［7］對該框架進(jìn)行擴(kuò)展，將非線性魯棒反演算法應(yīng)用于二自由度CMG控制中；Stevenson等［8］在二自由度CMG平臺的基礎(chǔ)上，提出基于李雅普諾夫的有限三維姿態(tài)非線性控制公式。為研究二自由度CMG平臺的穩(wěn)定性，Naderolasli等［9］、Yu等［10］提出基于動態(tài)預(yù)測控制的CMG穩(wěn)定法，考慮到角速度和控制約束，通過加快收斂速度來使CMG姿態(tài)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。對未知的CMG平臺干擾，Montoya-Cháirez等［11］、Cordero等［12］提出一種基于二自由度CMG模型的自適應(yīng)控制算法，在進(jìn)行閉環(huán)試驗時，僅使用線性控制律來評估實際性能。二自由度CMG系統(tǒng)存在模型不確定性、測量與過程噪聲，要重點關(guān)注控制器的魯棒性［13］。

針對上述問題，本研究提出一種滑模變結(jié)構(gòu)控制算法，可實現(xiàn)對2-DOF陀螺儀外框架的跟蹤，利用李雅普諾夫函數(shù)來驗證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。通過仿真試驗來驗證控制算法對CMG的跟蹤精度和魯棒性。

1 二自由度陀螺儀動力學(xué)模型

加拿大Quanser公司生產(chǎn)的三自由度（three degrees of freedom，3-DOF）陀螺儀試驗臺如圖1所示。該平臺由安裝在中央框架內(nèi)的轉(zhuǎn)子、用于支撐的內(nèi)外部框架和最外層矩形框架組成。當(dāng)轉(zhuǎn)子速度保持恒定時，每個萬向節(jié)和框架都可繞其旋轉(zhuǎn)軸自由旋轉(zhuǎn)，從而形成一個3-DOF系統(tǒng)。

通過固定最外層矩形框架，對恒定轉(zhuǎn)子速度進(jìn)行設(shè)定，從而形成一個2-DOF系統(tǒng)，其動力學(xué)方程見式（1）。

式中[：θ]為內(nèi)萬向節(jié)相對于外萬向節(jié)的角度位置；[ψ]為外萬向節(jié)相對于CMG表面的角度位置；[θ]、[ψ]為[θ]、[ψ]相應(yīng)的角速率，框架角度是由光學(xué)編碼器測量得到的。該儀器未配備速度傳感器，使用過濾器對其進(jìn)行處理，可獲得角速度；[P1]為轉(zhuǎn)子相對于內(nèi)萬向節(jié)的角動量；[J1]、[J2]和[J3]為轉(zhuǎn)子、外框架和內(nèi)框架繞其各自旋轉(zhuǎn)軸的慣性矩；[J4]為矩形框架的慣性矩；將[Ja]定義為[J4-J1]。由Quanser3-DOF陀螺儀數(shù)據(jù)可知，慣性矩分別為[P1=2.7、J1=0.007 5、J2=0.022 5、J3=0.003 6、Ja=0.004]。

定義狀態(tài)向量[x=θθψψT]和控制變量[u=τ2]，2-DOF陀螺儀的狀態(tài)方程見式（2）。

根據(jù)式（2）中的運動方程可得標(biāo)準(zhǔn)仿射形式，見式（3）。

式中[：fx]為系統(tǒng)的非線性函數(shù)；[?fx]為有界不確定性；[g]為系統(tǒng)的輸入向量；[h]為系統(tǒng)的輸出向量。

方程（3）、方程（4）為2-DOF陀螺儀系統(tǒng)模型。對該CMG模型設(shè)計出相應(yīng)的控制算法，得到CMG姿態(tài)控制指令。難點在于外部擾動有一定規(guī)律地作用在CMG上，應(yīng)當(dāng)實現(xiàn)在任何外部輸入影響下外框架的軌跡跟蹤，內(nèi)框架起到調(diào)節(jié)作用。這種情況普通PID控制無法滿足。

2 滑?？刂?/p>

2.1 滑模控制器設(shè)計

在2-DOF陀螺儀系統(tǒng)模型中，設(shè)計控制信號[ut]，使得外萬向節(jié)的角度位置[ψt]收斂到指定的參考軌跡[ψdt]。同時，其他所有狀態(tài)保持有界，從而確保系統(tǒng)穩(wěn)定。

使用李導(dǎo)數(shù)，假設(shè)[γ]是系統(tǒng)的相對度，相關(guān)計算見式（5）。

式中：李導(dǎo)數(shù)[Lfh]及[Lgh]分別為標(biāo)量函數(shù)[h]關(guān)于[f]及[g]的導(dǎo)數(shù)，即對[ψ]進(jìn)行三次微分，從而明確控制輸入[u]和輸出[ψ]之間的關(guān)系。因此，對所考慮2-DOF陀螺儀，系統(tǒng)的相對度為3，相對度小于系統(tǒng)階數(shù)，方程（3）可轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)李導(dǎo)數(shù)形式，[z]的定義見式（6）。

陀螺儀有界不確定性的標(biāo)準(zhǔn)形式運動方程見式（7）。

方程式（7）可表示為式（8）。

向量[f]、[g]和[?f 的]定義見式（9）。

式（22）的計算結(jié)果小于零，保證所提出的閉環(huán)控制框架在所選滑動面上是漸近穩(wěn)定性的。

3 仿真試驗

為評估不確定情況下提出的滑模控制有效性，檢驗陀螺儀裝置對非線性滑?？刂频捻憫?yīng)。陀螺儀的初始條件為[ψ=0°和ψ=0°]、跟蹤期望信號[ψd]是振幅為1、頻率為1的正弦函數(shù)。為了使圓盤[q1]的速度保持恒定，采用比例控制器使轉(zhuǎn)子速度保持在試驗所需的范圍內(nèi)，整個試驗過程將其設(shè)置為650 r/s。假設(shè)陀螺儀外矩形框架未緊固或增加50 g額外質(zhì)量，其圍繞旋轉(zhuǎn)軸進(jìn)行標(biāo)稱振動，在試驗裝置中視為振動干擾，檢驗所提方案的魯棒性。在進(jìn)行仿真試驗時，要在外框架[ψ]上增加振幅為0.1的正弦干擾。將S1和S2中的參數(shù)選定為k1=200、k2=2、ε=150、β=0.7。串級PID控制和自適應(yīng)控制的仿真結(jié)果如圖2至圖6所示。

由仿真結(jié)果可知，當(dāng)陀螺儀初始條件為650 r/min時，框架在1.4 s內(nèi)通過滑模控制迅速達(dá)到穩(wěn)定位置。由此可以看出，滑?？刂破鞯脑O(shè)計合理，參數(shù)正確。由圖2和圖3可以看出，滑?？刂频捻憫?yīng)時間更短，控制精度更準(zhǔn)確。由圖4可以看出，滑模控制輸入的整體穩(wěn)定，前3 s滑模面存在波動。由圖5可知，與陀螺儀誤差相比，在使用滑?？刂破骺刂? s后，系統(tǒng)狀態(tài)與實際狀態(tài)的誤差基本為零，比對照試驗的誤差波動更加微小，控制效果整體更好。由圖6可知，外框架速度整體可控?；？刂魄捌诙墩?，但到達(dá)平衡狀態(tài)控制效果更佳，同時滑模控制參數(shù)選擇更為簡單，當(dāng)存在振幅0.1的正弦干擾時，模型的魯棒性更強(qiáng)。

4 結(jié)語

針對二自由度陀螺儀欠驅(qū)動閉環(huán)系統(tǒng)，提出一種非線性滑?？刂品▉砜刂圃摽蚣埽苊忾]環(huán)系統(tǒng)出現(xiàn)不確定性干擾輸入。用所提出的非線性公式進(jìn)行仿真試驗驗證，將其應(yīng)用于受不確定性影響的系統(tǒng)中，用來證明其可行性。試驗結(jié)果表明：通過滑?？刂颇苁乖撓到y(tǒng)外框架的角度達(dá)到穩(wěn)定，存在外部擾動時仍能實現(xiàn)快速跟蹤，通過對比串級PID控制和自適應(yīng)控制效果，滑?？刂茖ν勇輧x的控制精度更高、魯棒性能更好。

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