摘 要：【目的】對(duì)控制力矩陀螺（CMG）外框架路徑跟蹤存在的強(qiáng)耦合性和外部干擾等問(wèn)題，提出一種基于非線性滑?？刂频淖藨B(tài)穩(wěn)定優(yōu)化算法?！痉椒ā扛鶕?jù)建立的二自由度CMG動(dòng)力學(xué)模型來(lái)推導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)的仿射形式，利用李導(dǎo)數(shù)（Lie derivative）來(lái)明確輸入和輸出關(guān)系。將設(shè)計(jì)好的滑?？刂破鲬?yīng)用于CMG外框架角度跟蹤指定的參考軌跡中，使用功率趨近律來(lái)減小抖振影響，并通過(guò)設(shè)計(jì)李雅普諾夫函數(shù)來(lái)確保其閉環(huán)穩(wěn)定性?！窘Y(jié)果】Matlab仿真結(jié)果表明，使用非線性滑?？刂破髂苡行Э刂艭MG的非線性、強(qiáng)耦合性和不確定性等，同時(shí)可使CMG外框架的角速度保持穩(wěn)定，證明滑?？刂艭MG的可行性?！窘Y(jié)論】設(shè)計(jì)出的滑?？刂破髂軡M足CMG外框架姿態(tài)調(diào)節(jié)和漸進(jìn)穩(wěn)定的要求，對(duì)比試驗(yàn)結(jié)果表明，在相同條件下，滑模控制的控制精度和魯棒性要優(yōu)于自適應(yīng)控制和串級(jí)PID控制。

關(guān)鍵詞：控制力矩陀螺；不確定性；滑模控制

中圖分類號(hào)：TP273" " " " " " " " " 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A" " " " " " " " " " " " " 文章編號(hào)：1003-5168（2023）12-0009-05

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2023.12.002

Research on Attitude Stability Optimization Control of a 2-DOF"Control Moment Gyroscope

LI Zixiao" " HAN Guangxin

（College of Information and Control Engineering， Jilin of Chemical Technology， Jilin 132022， China）

Abstract：[Purposes] Aiming at the problems of strong coupling and external interference in the path tracking of the outer frame of control moment gyroscope （ CMG ）， an attitude stability optimization algorithm based on nonlinear sliding mode control is proposed. [Methods] According to the established two-degree-of-freedom CMG dynamic model， the standard affine form is derived， and the Lie derivative is used to clarify the relationship between the input and the output. The designed sliding mode controller is applied to the specified reference trajectory of CMG outer frame angle tracking. The power reaching law is used to reduce the chattering effect， and the Lyapunov function is designed to ensure its closed-loop stability. [Findings]" Matlab simulation results show that the nonlinear sliding mode controller can"effectively control the nonlinearity， strong coupling and uncertainty of CMG， and can keep the angular velocity of CMG outer frame stable， which proves the feasibility of sliding mode control CMG. [Conclusions] The designed sliding mode controller can meet the requirements of attitude adjustment and asymptotic stability of CMG outer frame. The comparison test results show that the control accuracy and robustness of sliding mode control are better than those of adaptive control and cascade PID control under the same conditions.

Keywords： control moment gyroscope; uncertainties; sliding mode control

0 引言

控制力矩陀螺儀（Control Moment Gyroscope，CMG）在任何環(huán)境中都具有自主導(dǎo)航的能力，廣泛應(yīng)用于航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)中，如國(guó)際空間站、微小衛(wèi)星。CMG既可控制航天器角動(dòng)量發(fā)生變化，也可控制衛(wèi)星姿態(tài)，同時(shí)還能輸出陀螺力矩［1］。為克服航天器存在的不確定干擾問(wèn)題，CMG控制系統(tǒng)采用的方法有PID控制、滑模魯棒控制、自適應(yīng)控制等，被控的對(duì)象大多是線性系統(tǒng)，在實(shí)際控制中存在著很大誤差［2-4］。Leeghim等［5］、Elkhayat等［6］采用非線性反演控制法對(duì)單自由度CMG進(jìn)行研究；Zhang等［7］對(duì)該框架進(jìn)行擴(kuò)展，將非線性魯棒反演算法應(yīng)用于二自由度CMG控制中；Stevenson等［8］在二自由度CMG平臺(tái)的基礎(chǔ)上，提出基于李雅普諾夫的有限三維姿態(tài)非線性控制公式。為研究二自由度CMG平臺(tái)的穩(wěn)定性，Naderolasli等［9］、Yu等［10］提出基于動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)控制的CMG穩(wěn)定法，考慮到角速度和控制約束，通過(guò)加快收斂速度來(lái)使CMG姿態(tài)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。對(duì)未知的CMG平臺(tái)干擾，Montoya-Cháirez等［11］、Cordero等［12］提出一種基于二自由度CMG模型的自適應(yīng)控制算法，在進(jìn)行閉環(huán)試驗(yàn)時(shí)，僅使用線性控制律來(lái)評(píng)估實(shí)際性能。二自由度CMG系統(tǒng)存在模型不確定性、測(cè)量與過(guò)程噪聲，要重點(diǎn)關(guān)注控制器的魯棒性［13］。

針對(duì)上述問(wèn)題，本研究提出一種滑模變結(jié)構(gòu)控制算法，可實(shí)現(xiàn)對(duì)2-DOF陀螺儀外框架的跟蹤，利用李雅普諾夫函數(shù)來(lái)驗(yàn)證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。通過(guò)仿真試驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證控制算法對(duì)CMG的跟蹤精度和魯棒性。

1 二自由度陀螺儀動(dòng)力學(xué)模型

加拿大Quanser公司生產(chǎn)的三自由度（three degrees of freedom，3-DOF）陀螺儀試驗(yàn)臺(tái)如圖1所示。該平臺(tái)由安裝在中央框架內(nèi)的轉(zhuǎn)子、用于支撐的內(nèi)外部框架和最外層矩形框架組成。當(dāng)轉(zhuǎn)子速度保持恒定時(shí)，每個(gè)萬(wàn)向節(jié)和框架都可繞其旋轉(zhuǎn)軸自由旋轉(zhuǎn)，從而形成一個(gè)3-DOF系統(tǒng)。

通過(guò)固定最外層矩形框架，對(duì)恒定轉(zhuǎn)子速度進(jìn)行設(shè)定，從而形成一個(gè)2-DOF系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)方程見(jiàn)式（1）。

式中[：θ]為內(nèi)萬(wàn)向節(jié)相對(duì)于外萬(wàn)向節(jié)的角度位置；[ψ]為外萬(wàn)向節(jié)相對(duì)于CMG表面的角度位置；[θ]、[ψ]為[θ]、[ψ]相應(yīng)的角速率，框架角度是由光學(xué)編碼器測(cè)量得到的。該儀器未配備速度傳感器，使用過(guò)濾器對(duì)其進(jìn)行處理，可獲得角速度；[P1]為轉(zhuǎn)子相對(duì)于內(nèi)萬(wàn)向節(jié)的角動(dòng)量；[J1]、[J2]和[J3]為轉(zhuǎn)子、外框架和內(nèi)框架繞其各自旋轉(zhuǎn)軸的慣性矩；[J4]為矩形框架的慣性矩；將[Ja]定義為[J4-J1]。由Quanser3-DOF陀螺儀數(shù)據(jù)可知，慣性矩分別為[P1=2.7、J1=0.007 5、J2=0.022 5、J3=0.003 6、Ja=0.004]。

定義狀態(tài)向量[x=θθψψT]和控制變量[u=τ2]，2-DOF陀螺儀的狀態(tài)方程見(jiàn)式（2）。

根據(jù)式（2）中的運(yùn)動(dòng)方程可得標(biāo)準(zhǔn)仿射形式，見(jiàn)式（3）。

式中[：fx]為系統(tǒng)的非線性函數(shù)；[?fx]為有界不確定性；[g]為系統(tǒng)的輸入向量；[h]為系統(tǒng)的輸出向量。

方程（3）、方程（4）為2-DOF陀螺儀系統(tǒng)模型。對(duì)該CMG模型設(shè)計(jì)出相應(yīng)的控制算法，得到CMG姿態(tài)控制指令。難點(diǎn)在于外部擾動(dòng)有一定規(guī)律地作用在CMG上，應(yīng)當(dāng)實(shí)現(xiàn)在任何外部輸入影響下外框架的軌跡跟蹤，內(nèi)框架起到調(diào)節(jié)作用。這種情況普通PID控制無(wú)法滿足。

2 滑模控制

2.1 滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

在2-DOF陀螺儀系統(tǒng)模型中，設(shè)計(jì)控制信號(hào)[ut]，使得外萬(wàn)向節(jié)的角度位置[ψt]收斂到指定的參考軌跡[ψdt]。同時(shí)，其他所有狀態(tài)保持有界，從而確保系統(tǒng)穩(wěn)定。

使用李導(dǎo)數(shù)，假設(shè)[γ]是系統(tǒng)的相對(duì)度，相關(guān)計(jì)算見(jiàn)式（5）。

式中：李導(dǎo)數(shù)[Lfh]及[Lgh]分別為標(biāo)量函數(shù)[h]關(guān)于[f]及[g]的導(dǎo)數(shù)，即對(duì)[ψ]進(jìn)行三次微分，從而明確控制輸入[u]和輸出[ψ]之間的關(guān)系。因此，對(duì)所考慮2-DOF陀螺儀，系統(tǒng)的相對(duì)度為3，相對(duì)度小于系統(tǒng)階數(shù)，方程（3）可轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)李導(dǎo)數(shù)形式，[z]的定義見(jiàn)式（6）。

陀螺儀有界不確定性的標(biāo)準(zhǔn)形式運(yùn)動(dòng)方程見(jiàn)式（7）。

方程式（7）可表示為式（8）。

向量[f]、[g]和[?f 的]定義見(jiàn)式（9）。

式（22）的計(jì)算結(jié)果小于零，保證所提出的閉環(huán)控制框架在所選滑動(dòng)面上是漸近穩(wěn)定性的。

3 仿真試驗(yàn)

為評(píng)估不確定情況下提出的滑?？刂朴行?，檢驗(yàn)陀螺儀裝置對(duì)非線性滑模控制的響應(yīng)。陀螺儀的初始條件為[ψ=0°和ψ=0°]、跟蹤期望信號(hào)[ψd]是振幅為1、頻率為1的正弦函數(shù)。為了使圓盤(pán)[q1]的速度保持恒定，采用比例控制器使轉(zhuǎn)子速度保持在試驗(yàn)所需的范圍內(nèi)，整個(gè)試驗(yàn)過(guò)程將其設(shè)置為650 r/s。假設(shè)陀螺儀外矩形框架未緊固或增加50 g額外質(zhì)量，其圍繞旋轉(zhuǎn)軸進(jìn)行標(biāo)稱振動(dòng)，在試驗(yàn)裝置中視為振動(dòng)干擾，檢驗(yàn)所提方案的魯棒性。在進(jìn)行仿真試驗(yàn)時(shí)，要在外框架[ψ]上增加振幅為0.1的正弦干擾。將S1和S2中的參數(shù)選定為k1=200、k2=2、ε=150、β=0.7。串級(jí)PID控制和自適應(yīng)控制的仿真結(jié)果如圖2至圖6所示。

由仿真結(jié)果可知，當(dāng)陀螺儀初始條件為650 r/min時(shí)，框架在1.4 s內(nèi)通過(guò)滑?？刂蒲杆龠_(dá)到穩(wěn)定位置。由此可以看出，滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)合理，參數(shù)正確。由圖2和圖3可以看出，滑?？刂频捻憫?yīng)時(shí)間更短，控制精度更準(zhǔn)確。由圖4可以看出，滑?？刂戚斎氲恼w穩(wěn)定，前3 s滑模面存在波動(dòng)。由圖5可知，與陀螺儀誤差相比，在使用滑?？刂破骺刂? s后，系統(tǒng)狀態(tài)與實(shí)際狀態(tài)的誤差基本為零，比對(duì)照試驗(yàn)的誤差波動(dòng)更加微小，控制效果整體更好。由圖6可知，外框架速度整體可控?；？刂魄捌诙墩?，但到達(dá)平衡狀態(tài)控制效果更佳，同時(shí)滑模控制參數(shù)選擇更為簡(jiǎn)單，當(dāng)存在振幅0.1的正弦干擾時(shí)，模型的魯棒性更強(qiáng)。

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)二自由度陀螺儀欠驅(qū)動(dòng)閉環(huán)系統(tǒng)，提出一種非線性滑模控制法來(lái)控制該框架，避免閉環(huán)系統(tǒng)出現(xiàn)不確定性干擾輸入。用所提出的非線性公式進(jìn)行仿真試驗(yàn)驗(yàn)證，將其應(yīng)用于受不確定性影響的系統(tǒng)中，用來(lái)證明其可行性。試驗(yàn)結(jié)果表明：通過(guò)滑?？刂颇苁乖撓到y(tǒng)外框架的角度達(dá)到穩(wěn)定，存在外部擾動(dòng)時(shí)仍能實(shí)現(xiàn)快速跟蹤，通過(guò)對(duì)比串級(jí)PID控制和自適應(yīng)控制效果，滑?？刂茖?duì)陀螺儀的控制精度更高、魯棒性能更好。

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