摘 要：【目的】考查單模NH3分子激光器系統(tǒng)雙參數(shù)變化下的復(fù)雜度（C0），研究該系統(tǒng)周期與混沌運動關(guān)系，為激光混沌在加密及光纖通信中的應(yīng)用研究提供理論依據(jù)。【方法】以Lorenz-Haken系統(tǒng)為研究對象，建立單模NH3分子激光器系統(tǒng)混沌吸引子相圖，從而對整個系統(tǒng)吸引子有直觀認識。從數(shù)值仿真出發(fā)，用Matlab軟件來構(gòu)建激光系統(tǒng)分岔圖、Lyapunov指數(shù)、復(fù)雜度（C0）等基本動力學(xué)行為圖，分析不同參數(shù)變化對單模NH3分子激光器系統(tǒng)的影響?！窘Y(jié)果】對單模NH3分子激光器系統(tǒng)，從復(fù)雜度（C0）來看，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)時，其復(fù)雜度（C0）較?。幌到y(tǒng)處于混沌狀態(tài)時，其復(fù)雜度（C0）較大。雙參數(shù)變化對混沌系統(tǒng)影響的結(jié)果表明，該系統(tǒng)參數(shù)是相互制約的，且系統(tǒng)受參數(shù)的影響程度較大?！窘Y(jié)論】參數(shù)a對單模NH3分子激光器系統(tǒng)影響強度大，充分體現(xiàn)單模NH3分子激光器系統(tǒng)混沌特性及該系統(tǒng)對參數(shù)的敏感性。

關(guān)鍵詞：單模NH3分子激光器系統(tǒng)；Lyapunov指數(shù)；復(fù)雜度；混沌

中圖分類號：TP273" " " " " " " " " 文獻標(biāo)志碼：A" " " " " " " " " " " " " 文章編號：1003-5168（2023）12-0004-05

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2023.12.001

Analysis of Chaotic Behavior in Single Mode NH3 Molecular Laser

KANG Jie1" " LEI Tengfei2" " DING Ziyang1" " LI Lianrong1" " SUN Weiyun1

（1. Zhengzhou Technical College， Zhengzhou 450121， China;

2. Qilu Institute of Technology， Jinan 250200，China）

Abstract：[Purposes] Through examining the complexity （ C0 ） of the a single mode NH3 molecular laser system under dual parameter changes，the relationship between the system period and chaotic motion is studied， which provides a theoretical basis for the application of laser chaos in encryption and optical fiber communication. [Methods] Taking Lorenz-Haken system as the research object， the chaotic attractor phase diagram of single-mode NH3 molecular laser system is established， so as to have an intuitive understanding of the attractor of the whole system. From the aspect of numerical simulation， Matlab software is used to construct the basic dynamic behavior diagrams of laser system such as bifurcation diagram， Lyapunov exponent and complexity （ C0 ） ， and analyze the influence of parameters on single-mode NH3 molecular laser system. [Findings] For the single-mode NH3 molecular laser system， when the system is in the periodic state， its complexity （ C0 ） is small. When the system is in a chaotic state， its complexity （ C0 ） is large. The results of the influence of two parameters on the chaotic system show that the system parameters are mutually restricted， and the system is greatly affected by the parameters. [Conclusions] The parameter a has a great influence on the single-mode NH3 molecular laser system， which fully reflects the chaotic characteristics of the single-mode NH3 molecular laser system and the sensitivity of the system to the parameters.

Keywords： single-mode NH3 molecular laser system; Lyapunov exponent; complexity; chaos

0 引言

混沌是指確定性系統(tǒng)內(nèi)的隨機性，是大自然中普遍存在的一種現(xiàn)象。1963年，Lorenz［1］在發(fā)表的論文中指出混沌現(xiàn)象，并建立第一個混沌模型。從此拉開對混沌系統(tǒng)及混沌動力學(xué)研究的序幕［2］。十幾年前，大部分科研是研究如何構(gòu)建混沌系統(tǒng)的。近年來，發(fā)現(xiàn)有許多工程系統(tǒng)中也廣泛存在著混沌現(xiàn)象，如電機系統(tǒng)［3］、電力系統(tǒng)、DC/DC變換器系統(tǒng)［4］及激光器系統(tǒng)［5］。

20世紀80年代，多位學(xué)者在CO2激光器、Xe激光器、He-Ne激光器、NH3激光器及半導(dǎo)體激光器等激光器中發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象。NH3激光器系統(tǒng)作為一種強非線性、多耦合復(fù)雜系統(tǒng)，該系統(tǒng)的混沌行為備受關(guān)注。穆鵬華等［5］對一類復(fù)激光系統(tǒng)采用參數(shù)失配方案，使兩個激光混沌系統(tǒng)同步，并對系統(tǒng)的安全性進行分析與測試；李璞等［6］對激光混沌物理隨機數(shù)發(fā)生器進行研究，指明各種隨機數(shù)發(fā)生器的優(yōu)缺點，同時介紹該方向已有的研究成果；趙建利等［7］、丁靈等［8］、樊利等［9］、廖健飛等［10］、王云才等［11］對激光混沌系統(tǒng)分別采用有限時間主從控制、延時反饋控制、并聯(lián)及串聯(lián)控制方法進行研究，最后均能實現(xiàn)穩(wěn)定控制。綜上所述，對激光器混沌機理的研究更應(yīng)重視，激光器混沌系統(tǒng)的同步控制對激光器的混沌機理研究尤為重要。

針對一類單模激光器的數(shù)學(xué)模型，本研究先構(gòu)建整個系統(tǒng)吸引子相圖，對其有直觀認識，再采用分岔圖、Lyapunov指譜及復(fù)雜度SE等分析法來研究參數(shù)變化對單模NH3分子激光器系統(tǒng)的影響。為更深入探究參數(shù)對單模激光器系統(tǒng)相互制約的強度，通過數(shù)值模擬法（雙參數(shù)變化對系統(tǒng)復(fù)雜度的影響）對其進行研究，分析結(jié)果可知：參數(shù)a對系統(tǒng)影響強度大，對激光混沌在加密及光纖通信中的應(yīng)用研究有著重要參考價值［12］。

1 單模NH3分子激光器混沌系統(tǒng)模型

20世紀70年代，德國物理學(xué)家Hermann Haken（赫爾曼·哈肯）對單模NH3分子激光器進行數(shù)學(xué)推導(dǎo)及簡化，得到Maxwell-Bloch（麥克斯韋-布洛）方程，該方程可用于描述均勻加寬單模激光器的運動變化，一直被相關(guān)研究者沿用。當(dāng)尺度發(fā)生變化時，發(fā)現(xiàn)Maxwell-Bloch方程與Lorenz（洛倫茲）方程在形式上有著很大程度上的一致性。光學(xué)領(lǐng)域典型的Lorenz-Haken（洛倫茲-哈肯）激光系統(tǒng)簡化后的動力學(xué)方程［7］見式（1）。

式中：x為激光的電場強度；y為單模激光器諧振腔內(nèi)增益介質(zhì)的宏觀計劃強度；z為單模激光器諧振腔內(nèi)增益介質(zhì)的離子數(shù)反轉(zhuǎn)密度；a、c分別為x、y、z的抽運功率；b為抽運參數(shù)。

通過仿真發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a=1.425 3、c=50、b=0.277 8時，Lorenz-Haken（洛倫茲-哈肯）激光器系統(tǒng)進入混沌態(tài)。典型混沌吸引子相圖如圖1所示。由圖1可以看出，該系統(tǒng)的3個李雅普諾夫特征指數(shù)（Lyapunov）分別為LE1=0.35、LE2=0、LE3=-2.7。該指數(shù)分布情況完全符合三維混沌系統(tǒng)（+，0，-）的李雅普諾夫特征指數(shù)（Lyapunov）規(guī)律，同時表明系統(tǒng)維數(shù)為小數(shù)，即系統(tǒng)存在分形特性，系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)如圖2所示。

2 參數(shù)對激光器混沌系統(tǒng)影響

利用李雅普諾夫特征指數(shù)譜圖（Lyapunov指數(shù)譜）、典型分岔及復(fù)雜度（C0）來分析參數(shù)a、b、c對單模激光器混沌系統(tǒng)的影響。

保持參數(shù)b、c不變，改變參數(shù)a的大小，單模激光器系統(tǒng)隨變參數(shù)a變化的分岔圖和LE譜圖如圖3所示。系統(tǒng)復(fù)雜度隨a變化情況如圖4所示。

由圖3可知，該系統(tǒng)處于周期狀態(tài)時，此時區(qū)間最大Lyapunov指數(shù)小于0；該系統(tǒng)處于非周期狀態(tài)（即混沌態(tài)）時，此時區(qū)間最大Lyapunov指數(shù)大于0。由此可得分岔圖與LE譜圖具有高度的一致性。通過觀察該系統(tǒng)的復(fù)雜度（C0），系統(tǒng)處于周期狀態(tài)時，系統(tǒng)的復(fù)雜度（C0）較?。幌到y(tǒng)處于混沌態(tài)時，系統(tǒng)的復(fù)雜度（C0）較大。

保持參數(shù)a和c不變，改變參數(shù)b，單模激光器系統(tǒng)隨著參數(shù)b變化的LE譜圖與分岔圖如圖5所示。由圖5可知，該系統(tǒng)一旦處于周期態(tài)，便會出現(xiàn)一個交匯的匯點，此時區(qū)間最大的Lyapunov指數(shù)小于0，說明該系統(tǒng)正處于周期狀態(tài)，即此區(qū)間Lyapunov指數(shù)為（+，0，-）時，系統(tǒng)處于混沌態(tài)。同樣的，LE譜圖與分岔圖保持著高度一致性。從另外一個角度來看，在對該系統(tǒng)復(fù)雜度（C0）進行分析，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)時，復(fù)雜度（C0）較??；系統(tǒng)處于混沌態(tài)時，系統(tǒng)的復(fù)雜度較大。如圖6所示。

固定參數(shù)a和b的值，使參數(shù)c的值發(fā)生變化。當(dāng)參數(shù)b的值為［20，60］時，單模激光器系統(tǒng)隨參數(shù)c的值變化LE譜圖和分岔圖如圖7所示。由圖7可知，該系統(tǒng)處于周期狀態(tài)時，此區(qū)間最大Lyapunov指數(shù)小于0，該系統(tǒng)處于非周期態(tài)（即混沌狀態(tài)）時，此區(qū)間Lyapunov指數(shù)值為（+，0，-）。同樣的，LE譜圖與分岔圖保持高度一致性。此外，從單模激光器系統(tǒng)復(fù)雜度（C0）的變化情況來看，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)時，復(fù)雜度（C0）較??；系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時，復(fù)雜度（C0）較大，如圖8所示。

3 雙參數(shù)對混沌系統(tǒng)影響

以單模NH3分子激光器為例，建立以最大Lyapunov指數(shù)、復(fù)雜度（C0）為標(biāo)準量的數(shù)學(xué)模型，詳細分析該系統(tǒng)的分岔空間，參數(shù)a和b同時變化，系統(tǒng)復(fù)雜度變化情況如圖9所示。由圖9可知，單模激光器系統(tǒng)的參數(shù)不是單一影響因素，而是相互制約的，前文在研究系統(tǒng)影響因素時，僅考慮一個參數(shù)變化的情況。根據(jù)系統(tǒng)隨參數(shù)a變化的分岔圖及LE譜圖（圖3）與系統(tǒng)隨參數(shù)b變化的分岔圖及LE譜圖（圖5），發(fā)現(xiàn)這兩個參數(shù)的變化對該系統(tǒng)的影響具有一致性，同時還發(fā)現(xiàn)參數(shù)a變化對該系統(tǒng)的影響較大。

4 結(jié)語

利用典型系統(tǒng)的LE指數(shù)譜圖、分岔圖及復(fù)雜度（C0）等，相對全面地分析單模NH3分子激光器混沌系統(tǒng)的混沌動力學(xué)特性，同時借助雙參數(shù)變化下的復(fù)雜度來進一步研究系統(tǒng)的分岔空間。由仿真結(jié)果可知：對單模NH3分子激光器系統(tǒng)，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)時，其復(fù)雜度（C0）較??；系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時，其復(fù)雜度（C0）較大。雙參數(shù)對混沌系統(tǒng)的影響結(jié)果表明：該系統(tǒng)的不同參數(shù)是相互制約的，且系統(tǒng)受參數(shù)a的影響程度較大。由此可知，系統(tǒng)處于混沌運動時的參數(shù)范圍，對激光混沌同步控制及光纖通信的研究有著重要參考價值。

參考文獻：

［1］LORENZ E N.Deterministic nonperiodic flow［J］.American Meteorological Society，1963（2）：130-141.

［2］CHEN G R，UETA T.Yet another chaotic attractor［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，1999（7）：1465-1466.

［3］雷騰飛，康杰，劉彥芬，等.同步磁阻電機系統(tǒng)的混沌特性與反饋控制［J］.邵陽學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2017（3）：34-39.

［4］FAKHFAKH L，AMMOUS A.New simplified model for predicting conducted EMI in DC/DC converters［J］.Electrical Engineering，2017（3）：1087-1097.

［5］穆鵬華，潘煒，李念強，等.雙路激光混沌復(fù)用系統(tǒng)的混沌同步及安全性能研究［J］.物理學(xué)報，2015（12）：210-219.

［6］李璞，王云才.面向高速保密通信的激光混沌物理隨機數(shù)發(fā)生器研究進展［J］.激光與光電子學(xué)進展，2014（6）：13-24.

［7］趙建利，王京，王慧.洛倫茲-哈肯激光混沌系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定主動控制方法研究［J］.物理學(xué)報，2012（11）：79-87.

［8］丁靈，吳加貴，夏光瓊，等.雙光反饋半導(dǎo)體激光混沌系統(tǒng)中外腔延時反饋特征的抑制［J］.物理學(xué)報，2011（1）：284-289.

［9］樊利，夏光瓊，吳正茂.基于光電反饋的激光混沌并聯(lián)同步系統(tǒng)研究［J］.物理學(xué)報，2009（2）：989-994.

［10］廖健飛，夏光瓊，吳加貴，等.基于光電負反饋的激光混沌串聯(lián)同步系統(tǒng)研究［J］.物理學(xué)報，2007（11）：6301-6306.

［11］王云才，李艷麗，王安幫，等.激光混沌通信中半導(dǎo)體激光器接收機對高頻信號的濾波特性［J］.物理學(xué)報，2007（8）：4686-4693.

［12］顏森林，遲澤英，陳文建.激光混沌同步及其在光纖保密通信中的應(yīng)用［J］.中國科學(xué)E輯：信息科學(xué)，2004（4）：467-480.