孫中奎 金晨

(1. 西北工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 西安 710129) (2. 太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院, 太原 030024)

引言

人們對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)的研究由來(lái)已久. 最早可追溯至18世紀(jì)中葉,Bernoulli、Poisson、Euler、Lagrange 等人在對(duì)古典幾何問(wèn)題的研究中就涉及到了時(shí)滯系統(tǒng)[1]. 1771年Condorcet 導(dǎo)出了歷史上已知的第一個(gè)時(shí)滯系統(tǒng)。但是,由于時(shí)滯系統(tǒng)本身的復(fù)雜性,在此后的兩個(gè)世紀(jì)中,對(duì)這方面的研究基本陷于停頓。直到二十世紀(jì)七十年代,在生物、物理、經(jīng)濟(jì)、電路系統(tǒng)、控制理論和工程應(yīng)用等問(wèn)題的研究中,推導(dǎo)出大量的時(shí)滯系統(tǒng),才又一次引發(fā)人們對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)的研究熱潮[2-5]. 近年來(lái),隨著非線性科學(xué)的蓬勃發(fā)展,時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)的研究逐漸成為被廣泛關(guān)注的熱點(diǎn)前沿問(wèn)題. 由中科院與科睿唯安聯(lián)合發(fā)布的《研究前沿》在2018年和2019年連續(xù)兩年將時(shí)滯系統(tǒng)理論方法的研究列為工程學(xué)、數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)領(lǐng)域十大熱點(diǎn)前沿之一.

時(shí)滯在現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)中普遍存在,在過(guò)去很長(zhǎng)一段時(shí)間里,人們對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)的研究經(jīng)常忽略系統(tǒng)中的固有時(shí)滯. 這種做法在對(duì)精度要求不高的情況下的確可以起到簡(jiǎn)化系統(tǒng)的效果,但是隨著對(duì)系統(tǒng)精度要求的不斷提高,時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)性能的影響越來(lái)越不可忽略. 在數(shù)學(xué)、生物、力學(xué)、經(jīng)濟(jì)、工程等領(lǐng)域中的時(shí)滯問(wèn)題逐漸引起了人們的廣泛關(guān)注[6-10]. 隨著對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)研究的深入,人們發(fā)現(xiàn)一方面忽略時(shí)滯可能會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論. 例如:在對(duì)懸臂梁系統(tǒng)研究中,若不考慮時(shí)滯因素根本無(wú)法解釋系統(tǒng)在某些條件下的強(qiáng)烈的自激振動(dòng)現(xiàn)象. 另一方面,與無(wú)時(shí)滯的動(dòng)力系統(tǒng)相比,含有時(shí)滯的動(dòng)力系統(tǒng)往往會(huì)呈現(xiàn)更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象. 例如:著名的Mackey-Glass 方程,即便其方程維數(shù)只有一維,系統(tǒng)也可以產(chǎn)生混沌現(xiàn)象.在Ikeda 方程中,時(shí)滯甚至還能導(dǎo)致高維混沌.

在時(shí)滯系統(tǒng)中,系統(tǒng)狀態(tài)隨時(shí)間的演化不僅依賴當(dāng)前,還和系統(tǒng)過(guò)去的狀態(tài)有關(guān). 這在數(shù)學(xué)上一般用時(shí)滯微分方程來(lái)描述. 由于時(shí)滯的存在,導(dǎo)致時(shí)滯系統(tǒng)的特征方程有無(wú)窮多個(gè)根,其解空間是無(wú)窮維的. 這給對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)的研究帶來(lái)了巨大困難和挑戰(zhàn). 同時(shí),已有的研究已經(jīng)發(fā)現(xiàn),時(shí)滯可能導(dǎo)致系統(tǒng)從穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定,甚至出現(xiàn)極限環(huán)、分岔、混沌等復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為,對(duì)系統(tǒng)性能產(chǎn)生重要影響. 基于以上分析,對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)的研究具有重大的理論價(jià)值和工程應(yīng)用前景,是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的前沿課題.

本文將以時(shí)滯為主題,對(duì)以下四方面科學(xué)問(wèn)題進(jìn)行綜述,即時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性與分岔、時(shí)滯系統(tǒng)的混沌及其控制、時(shí)滯系統(tǒng)隨機(jī)動(dòng)力學(xué)研究、時(shí)滯網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究. 介紹了時(shí)滯系統(tǒng)研究的主要方法,闡述了時(shí)滯系統(tǒng)領(lǐng)域內(nèi)相關(guān)熱點(diǎn)問(wèn)題的研究進(jìn)展,并結(jié)合研究現(xiàn)狀展望了若干值得關(guān)注的問(wèn)題.

1 時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性與分岔

1.1 穩(wěn)定性

研究時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定性主要有兩類方法,一類是基于Lyapunov 泛函的時(shí)域方法. 從系統(tǒng)的狀態(tài)空間出發(fā),構(gòu)造滿足特定條件的Lyapunov 泛函[11-16]. 許多學(xué)者對(duì)此做了很多努力,發(fā)展出了很多改進(jìn)方法,如:Lyapunov-Razumikhin 方法[3,10]、自由權(quán)矩陣方法[17,18]、基于Jensen 不等式,Park 不等式的改良結(jié)果[19,20]、時(shí)滯分解法[21,22]. 另一類是基于系統(tǒng)方程特征根分析的頻域方法.總體思路是根據(jù)系統(tǒng)的特征根分布特點(diǎn)判定時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性. 該方法最早由Pontryagin 在研究一類超越方程問(wèn)題時(shí)提出并給出了用特征多項(xiàng)式的零點(diǎn)分布來(lái)表征的時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性的原則性方法[23]. 自Pontryagin 提出的特征根方法問(wèn)世以來(lái),引起了很多學(xué)者的關(guān)注和興趣,相繼取得了許多實(shí)用性更強(qiáng)的研究成果,豐富完善了此類方法在時(shí)滯系統(tǒng)中的應(yīng)用。如:Rouche 定理[24],Cooke 和Grossman 方法[25,26],Nyquist 準(zhǔn)則[27], Mikhailov 判據(jù)[28,29], 輻角原理法[30,31], 域分解方法[32].

總體上看,基于Lyapunov 泛函的時(shí)域方法的基本思路是將穩(wěn)定性問(wèn)題轉(zhuǎn)換為尋找Lyapunov-Kasvoskii泛函或Lyapunov-Razumikhin 函數(shù)的問(wèn)題,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為歸結(jié)為求解線性矩陣不等式的問(wèn)題. 在實(shí)際應(yīng)用中, 由于構(gòu)造Lyapunov 泛函尚無(wú)規(guī)律可循, 且對(duì)沿系統(tǒng)軌線的全導(dǎo)數(shù)估計(jì)依賴于不等式估計(jì)技巧, 導(dǎo)致這類方法得到的結(jié)果常常過(guò)于保守. 基于系統(tǒng)方程特征根分析的頻域方法的基本思路是將時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題轉(zhuǎn)換為頻域內(nèi)超越特征函數(shù)的穩(wěn)定性問(wèn)題,或復(fù)雜矩陣函數(shù)的譜問(wèn)題. 特征根分析中的主要困難是特征方程中含有指數(shù)形式的超越函數(shù), 使得特征根有無(wú)窮多個(gè), 通常無(wú)法獲得其所有特征根的信息. 無(wú)論是時(shí)域方法還是頻域方法, 都是在借鑒了研究非線性常微分方程思路的基礎(chǔ)上,對(duì)其研究方法進(jìn)行改進(jìn)和推廣,進(jìn)而應(yīng)用在對(duì)非線性時(shí)滯常微分方程的研究中. 頻域法只適用于時(shí)不變系統(tǒng),而時(shí)域法適用于任何時(shí)滯系統(tǒng).

1.2 Hopf 分岔

在非線性時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)中,Hopf 分岔作為被討論的最多的分岔一直都是時(shí)滯系統(tǒng)研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一. Hopf 分岔是非線性系統(tǒng)特有的現(xiàn)象,分岔發(fā)生時(shí)系統(tǒng)可在不從外界吸收能量的情況下維持周期振動(dòng),即工程中的“自激振動(dòng)”. 產(chǎn)生這種“自激振動(dòng)”的內(nèi)在機(jī)制是: 系統(tǒng)平衡點(diǎn)隨著某個(gè)系統(tǒng)參數(shù)變化發(fā)生穩(wěn)定性切換, 而系統(tǒng)非線性將受擾后發(fā)散的運(yùn)動(dòng)制約在有限范圍內(nèi). 在數(shù)學(xué)上,對(duì)應(yīng):系統(tǒng)存在某個(gè)參數(shù)值,使得系統(tǒng)特征方程除了一對(duì)簡(jiǎn)單的共軛純虛根外,其余特征根均具有負(fù)實(shí)部. 在時(shí)滯系統(tǒng)中,關(guān)于Hopf 分岔的研究成果非常豐富. 整體上看,主要圍繞: 分岔存在條件、分岔方向、分岔解的求解及其穩(wěn)定性等問(wèn)題進(jìn)行研究. 常用研究方法有:

(1)中心流形定理和規(guī)范型理論[33-36]

借助中心流形定理對(duì)系統(tǒng)降維,利用規(guī)范型理論對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行等價(jià)簡(jiǎn)化. 不僅可以判定分岔點(diǎn)附近周期解的存在性,還能得到周期解的近似解析表達(dá)式. 該方法有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)做支撐,因此,受到很多數(shù)學(xué)家的青睞,但由于其繁雜的計(jì)算量和精度上的不足在工程領(lǐng)域和實(shí)際應(yīng)用中受到一定限制.

(2)Lyapunov-Schmidt 方法[37]

該方法的主要思想是將方程所在的整個(gè)空間分解為兩個(gè)子空間,得到等價(jià)的子空間的兩個(gè)方程,其中一個(gè)方程由隱函數(shù)定理保證了其解的唯一性,于是原方程的分岔分析便被約化為子空間中另一個(gè)低維方程的分岔分析.

(3)Fredholm 擇一法[38]

區(qū)別于中心流形定理中先進(jìn)行降維,再在低維空間內(nèi)研究約化系統(tǒng)分岔的做法. 該方法先將解在整個(gè)解空間展開(kāi), 再向低維子空間進(jìn)行約化.

(4)多尺度法[39-41]

在系統(tǒng)非線性項(xiàng)較小的情況下,該方法十分有效且可以省去應(yīng)用中心流形定理的繁瑣計(jì)算過(guò)程．由于只適用于弱非線性系統(tǒng)且分岔參數(shù)只能在分岔點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)變化,這種方法的應(yīng)用十分受限.

(5)增量諧波平衡法[42]

這是由Lau 和Cheung 提出的基本原理發(fā)展而來(lái)的方法,現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于各種強(qiáng)非線性時(shí)滯系統(tǒng)的分岔分析中. 其基本思想是將Newton-Raphson 方法與諧波平衡法相結(jié)合,得到一組非線性代數(shù)方程. 但主要問(wèn)題在于諧波項(xiàng)項(xiàng)數(shù)和初始迭代值的選取沒(méi)有確定的理論依據(jù),主要依靠研究者的經(jīng)驗(yàn).

(6)攝動(dòng)-增量方法[43,44]

該方法是由Chan 等人在攝動(dòng)-迭代法的基礎(chǔ)上提出的一種改進(jìn)方法. 把經(jīng)典的攝動(dòng)法與增量法相結(jié)合,在分岔點(diǎn)附近采用攝動(dòng)法,然后對(duì)參數(shù)依次增加一個(gè)小量,利用“正交”條件得到一個(gè)代數(shù)方程組,求其解可得所求周期解的修正量. 該方法即兼顧了多尺度方法的優(yōu)點(diǎn),又省去了應(yīng)用中心流形定理的繁瑣計(jì)算過(guò)程,現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于計(jì)算各種強(qiáng)非線性時(shí)滯系統(tǒng)的周期解問(wèn)題中.

此外,研究Hopf分岔的方法還包括弧長(zhǎng)路徑跟蹤法、特征函數(shù)法、頻域法、離散Lyapunov 泛函和不變流形理論相結(jié)合等方法.我國(guó)學(xué)者胡海巖、王在華、徐鑒等人在對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性及分岔的研究中也取得了很多優(yōu)秀成果[10,45-48].

2 時(shí)滯系統(tǒng)的混沌及其控制

2.1 時(shí)滯系統(tǒng)中的混沌

混沌作為非線性動(dòng)力系統(tǒng)所特有的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象,由美國(guó)氣象學(xué)家洛倫茲在研究氣候模型時(shí)首先發(fā)現(xiàn)的. 混沌是一種在確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的隨機(jī)狀態(tài). 對(duì)于不含時(shí)滯的動(dòng)力系統(tǒng)而言,混沌現(xiàn)象往往只能在高維系統(tǒng)中出現(xiàn). 然而,對(duì)于含時(shí)滯的非線性系統(tǒng),即便是在最簡(jiǎn)單的一維系統(tǒng)中, 也可產(chǎn)生混沌. 例如, Mackey 和Glass 在研究粒細(xì)胞和骨髓干細(xì)胞再循環(huán)過(guò)程中引入了一個(gè)一維的含有時(shí)滯的動(dòng)力系統(tǒng)Mackey-Glass 系統(tǒng)[49],并在此一維時(shí)滯系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了混沌. 隨后Farmer對(duì)著名的Macky-Glass 系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了深入研究,發(fā)現(xiàn)了時(shí)滯和吸引子維數(shù)之間的線性依賴關(guān)系[50]. Heiden 等人在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格證明了一維時(shí)滯微分方程可產(chǎn)生混沌[51].

Ikeda 等人、Lepri 等人在對(duì)一個(gè)含有時(shí)滯的光學(xué)系統(tǒng)的研究中發(fā)現(xiàn)了高維混沌行為[52,53]. Fischer 在半導(dǎo)體激光系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)中也發(fā)現(xiàn)了時(shí)滯誘導(dǎo)的高維混沌[54]. 在文獻(xiàn)[55]中Boe 等人、在文獻(xiàn)[56]中Ueda 等人研究了時(shí)滯系統(tǒng)的分岔和混沌以及通向混沌的道路. Plaut 等人在文獻(xiàn)[57]中研究了參激和外激共同作用下的時(shí)滯非線性系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng). Nbendjo 等人運(yùn)用Melnikov 方法分析了Duffing 系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的必要條件,并結(jié)合數(shù)值方法研究了該時(shí)滯系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象[58,59]. 我國(guó)學(xué)者胡海巖等人研究了帶有時(shí)滯位移反饋的Duffing 系統(tǒng)的分岔和混沌現(xiàn)象[60]. 我國(guó)學(xué)者徐鑒等人在文獻(xiàn)[47,48]中分別研究了帶有時(shí)滯速度反饋的Duffing 振子和帶有時(shí)滯位移反饋的Van der Pol-Duffing 振子的動(dòng)力學(xué)行為,并借助中心流形理論,得到了約化系統(tǒng),結(jié)合分岔圖、Poincare 映射等數(shù)值方法討論了時(shí)滯導(dǎo)致的分岔以及時(shí)滯誘導(dǎo)的混沌等復(fù)雜行為.

2.2 混沌的控制及其同步

自混沌現(xiàn)象被發(fā)現(xiàn)以來(lái),控制混沌逐漸成為一個(gè)重要的研究方向,并在二十世紀(jì)九十年代后取得了長(zhǎng)足發(fā)展,很多混沌控制方法被提出并在對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)混沌控制的應(yīng)用中不斷成熟,完善起來(lái). 控制混沌的主要方法有:OGY 控制法[61-63]、時(shí)滯反饋控制法[64,65]、開(kāi)環(huán)控制法[66,67]、自適應(yīng)控制法[68,69]、線性和非線性控制法[70,71]等. 整體上看,Pyragas 提出的時(shí)滯反饋控制法不需重構(gòu)像空間,不需跟蹤目標(biāo)狀態(tài)且對(duì)噪聲不敏感. 因而在各種動(dòng)力系統(tǒng)中有著更廣泛的應(yīng)用. 在對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)混沌的控制研究中,Babloyantz 等人基于改進(jìn)的OGY 控制法研究了一類混沌網(wǎng)絡(luò)振子的不穩(wěn)定周期軌道[72]. Celka 應(yīng)用Pyragas 所提出的時(shí)滯反饋控制法研究了一個(gè)時(shí)滯電路模型的混沌運(yùn)動(dòng)[73]. 在文獻(xiàn)[74]中,作者研究了一類含時(shí)滯的一階連續(xù)時(shí)間矢量系統(tǒng)的混沌控制問(wèn)題. 文獻(xiàn)[75]中, 作者推廣了標(biāo)準(zhǔn)反饋控制法并將其應(yīng)用到含時(shí)滯的一維動(dòng)力系統(tǒng)中,實(shí)現(xiàn)了混沌控制. 針對(duì)不穩(wěn)定軌道的周期未知的困難,Nakajima 等人[76]和Kittel 等人[77]分別提出了自適應(yīng)控制法, 并已被廣泛應(yīng)用到對(duì)混沌時(shí)滯系統(tǒng)的控制上來(lái)[78].

隨著時(shí)滯系統(tǒng)混沌研究的蓬勃發(fā)展, 關(guān)于時(shí)滯系統(tǒng)混沌同步方面的工作也取得了一系列豐富的成果. 1990年P(guān)ecora 和Carroll 首次發(fā)現(xiàn)了時(shí)滯系統(tǒng)的混沌同步現(xiàn)象[79]. 2000年Voss 在含有時(shí)滯反饋的動(dòng)力系統(tǒng)中首次發(fā)現(xiàn)了被驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)可以與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的未來(lái)狀態(tài)同步,并將這種反直覺(jué)的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象稱為超前同步[80]. 隨后在2001 年, Voss 在先前工作的基礎(chǔ)上推廣了文獻(xiàn)[80]的主要結(jié)論, 使之能夠?qū)煦缦到y(tǒng)進(jìn)行長(zhǎng)期預(yù)測(cè)[81], 并運(yùn)用所提超前同步的概念研究了一個(gè)電路系統(tǒng)的超前同步[82]. 緊接著, Masolle 和Zanette 又進(jìn)一步推廣了Voss 的結(jié)果, 研究發(fā)現(xiàn)超前同步的超前時(shí)間具有一定獨(dú)立性[83,84]. Pyragas 首次從理論角度研究了一維時(shí)滯系統(tǒng)的完全同步,推導(dǎo)了Mackey-Glass 系統(tǒng)發(fā)生完全同步的解析條件[85]. Shahverdiev 等人對(duì)含多時(shí)滯Mackey-Glass 系統(tǒng)的完全同步問(wèn)題展開(kāi)了全面研究[86]. Boccaletti 等人綜述了混沌同步領(lǐng)域的主要方法, 詳細(xì)介紹了幾種不同類型的混沌同步的特征[87]. 文獻(xiàn)[88,89]和文獻(xiàn)[90-92]分別研究了由于參數(shù)不匹配而導(dǎo)致的完全同步和滯后同步問(wèn)題. 文獻(xiàn)[93-95]研究了時(shí)滯系統(tǒng)的相同步問(wèn)題. 文獻(xiàn)[96,97]研究了帶有時(shí)滯反饋的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的混沌同步問(wèn)題. 作者研究了單時(shí)滯系統(tǒng)和多時(shí)滯系統(tǒng)中的混沌運(yùn)動(dòng)及其同步控制策略,揭示了時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)混沌行為的關(guān)鍵性影響[98,99]. 關(guān)于機(jī)器學(xué)習(xí)在混沌的預(yù)測(cè)及其同步問(wèn)題上的應(yīng)用可以參看文獻(xiàn)[100,101].

此外,近年來(lái)有越來(lái)越多的學(xué)者在一些工程和實(shí)際應(yīng)用中開(kāi)展了時(shí)滯利用的研究,即利用時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)進(jìn)行主動(dòng)干預(yù)和控制. 例如,我國(guó)學(xué)者徐鑒等人利用時(shí)滯對(duì)吸振器和隔振器的動(dòng)態(tài)行為進(jìn)行調(diào)節(jié),大大提高了吸振器的吸振性[102-104]. 在海洋平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)控制中,有學(xué)者通過(guò)在控制通道中引入人為時(shí)滯,發(fā)現(xiàn)適當(dāng)?shù)臅r(shí)滯可以增強(qiáng)海洋平臺(tái)穩(wěn)定性,減弱波浪引發(fā)的振動(dòng),從而提高系統(tǒng)的控制性能[105-107].

3 時(shí)滯系統(tǒng)的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)研究

關(guān)于隨機(jī)時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究,雖然沒(méi)有確定性時(shí)滯系統(tǒng)那樣深入和完善,但也吸引了海內(nèi)外諸多學(xué)者的關(guān)注. 自Kiyosi It對(duì)隨機(jī)微分方程領(lǐng)域開(kāi)創(chuàng)性的研究以來(lái)[108],對(duì)隨機(jī)時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)也取得了一系列成果. Mohammed 的專著[109]對(duì)之前的工作進(jìn)行了總結(jié),進(jìn)一步發(fā)展了隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論. Adomian 等人發(fā)展了求解非線性隨機(jī)時(shí)滯微分方程的近似方法[110]. Steve Guillouzic 等人首次推導(dǎo)出了隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)的FPK 方程,但是方程本身不具有閉合性,根本無(wú)法解析的求解,甚至數(shù)值求解也非常困難[111]. Frank 基于Mohammed 理論提出了廣義隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)的FPK 方程[112]. Kim 等人研究了含時(shí)滯的耦合振子的隨機(jī)共振問(wèn)題[113]. Ivanov 等人對(duì)隨機(jī)時(shí)滯微分方程穩(wěn)定性理論及其應(yīng)用進(jìn)行了綜述[114]. 我國(guó)學(xué)者毛學(xué)榮提出了隨機(jī)Razumikhin方法和隨機(jī)LaSalle 原理, 在隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析領(lǐng)域做出了很多開(kāi)創(chuàng)性的貢獻(xiàn)[115-117]. 廖曉昕等人也在隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)解的穩(wěn)定性方面做出了優(yōu)秀的工作[118,119]. Yu 等人研究了一類時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的隨機(jī)同步問(wèn)題[120]. 作者對(duì)隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)中的隨機(jī)共振、隨機(jī)分岔、混沌運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象進(jìn)行了深入研究,發(fā)現(xiàn)了時(shí)滯誘導(dǎo)的豐富的分岔現(xiàn)象,發(fā)展了適用于隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)的多尺度方法和廣義Melnikov 理論,提出了利用白噪聲來(lái)實(shí)現(xiàn)或增強(qiáng)非線性系統(tǒng)滯后同步的同步控制策略[121-123]. 此外,對(duì)隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)數(shù)值求解方面的研究可參看文獻(xiàn)[124,125].

4 時(shí)滯網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究

近年來(lái),網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)逐漸成為包括力學(xué)、物理學(xué)、腦科學(xué)在內(nèi)的諸多領(lǐng)域關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題. 特別地,時(shí)滯耦合作用下網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中很多有趣的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象吸引的大量學(xué)者的關(guān)注. 在時(shí)滯耦合網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中,同步和振動(dòng)抑制現(xiàn)象是兩類最常見(jiàn)動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象. 對(duì)時(shí)滯耦合網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中同步和振動(dòng)抑制現(xiàn)象的研究對(duì)進(jìn)一步發(fā)展時(shí)滯網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)、促進(jìn)其在相關(guān)學(xué)科領(lǐng)域的實(shí)際應(yīng)用都有非常重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義.

4.1 時(shí)滯網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中的同步

同步在自然界、生物系統(tǒng)、社會(huì)生活、工程技術(shù)等領(lǐng)域是普遍存在的. 例如,螢火蟲(chóng)同步地閃動(dòng)熒光、魚(yú)群保持同方向地迅速游動(dòng)、鳥(niǎo)群的集體遷徙、帕金森氏病和原發(fā)性震顫、蝗蟲(chóng)的同步爆發(fā)等. 因而研究時(shí)滯耦合網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中同步現(xiàn)象及其內(nèi)在機(jī)理有著非常明確和重要的現(xiàn)實(shí)意義. 同步是指網(wǎng)絡(luò)中多個(gè)振子在耦合作用下,其狀態(tài)變量保持一定相對(duì)關(guān)系的動(dòng)力學(xué)行為. 廣義上說(shuō),同步包括完全同步、相同步、滯后同步、超前同步等. 研究同步問(wèn)題的理論和方法比較單一,基本上都是采用Krasovskii-Lyapunov 方法求解平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和同步的充要條件,再輔以數(shù)值分析驗(yàn)證.

Dhamala 等人在含時(shí)滯的Hindmarsh-Rose 神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)中發(fā)現(xiàn)了時(shí)滯增強(qiáng)神經(jīng)同步的現(xiàn)象,在無(wú)時(shí)滯的條件下,這種同步只有通過(guò)更高的耦合強(qiáng)度才能實(shí)現(xiàn)[126]. 王青云和陳關(guān)榮研究了具有化學(xué)突觸和信息傳輸時(shí)滯的無(wú)標(biāo)度Rulkov 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),發(fā)現(xiàn)在不同的抑制突出概率下時(shí)滯可以促進(jìn)或抑制神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的同步[127]. Rossoni 等人研究了Hodgkin-Huxley 神經(jīng)元系統(tǒng)同步的穩(wěn)定性. 通過(guò)計(jì)算最大李雅普諾夫指數(shù)發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)神經(jīng)元Hodgkin-Huxley 在含時(shí)滯的擴(kuò)散耦合和脈沖耦合下的同步與去同步行為[128]. Selivanov 等研究了時(shí)滯耦合下Stuart-Landau 振子網(wǎng)絡(luò)的同步及其控制策略,將時(shí)滯耦合與控制理論中的速度梯度法相結(jié)合,提出了一種新的同步控制的自適應(yīng)方法[129]. Sch?ll及其合作者在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域開(kāi)展了大量關(guān)于時(shí)滯誘導(dǎo)或增強(qiáng)振子的同步運(yùn)動(dòng)、振幅奇異態(tài)以及復(fù)雜動(dòng)力學(xué)等方面的研究工作,取得了許多有價(jià)值的研究進(jìn)展[130-132]. 楊曉麗等人研究了模神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)中時(shí)滯對(duì)抑制突發(fā)同步的差分反饋控制的顯著影響,發(fā)現(xiàn)了在小世界網(wǎng)絡(luò)和無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中部分時(shí)滯耦合誘導(dǎo)的時(shí)空有序現(xiàn)象[133,134]. 國(guó)內(nèi)的王青云團(tuán)隊(duì)長(zhǎng)期從事生物神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究,針對(duì)時(shí)滯誘導(dǎo)的同步轉(zhuǎn)遷行為開(kāi)展了大量研究工作,取得了一系列有意義的研究成果[135-137]. 馬軍團(tuán)隊(duì)在時(shí)滯耦合神經(jīng)元系統(tǒng)的群體動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域做出了出色的工作[138-139]. 茅曉晨等人在時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定性切換、分岔、同步等方面的研究也取得了豐富的成果[140,141]. 此外,關(guān)于含時(shí)滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中各類穩(wěn)定性、控制與同步問(wèn)題的研究,還可參閱文獻(xiàn)[142-144].

4.2 時(shí)滯網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中的振動(dòng)控制

時(shí)滯網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中另一個(gè)典型現(xiàn)象是振動(dòng)抑制,指多個(gè)處于振蕩態(tài)的振子在相互作用下,穩(wěn)定到不動(dòng)點(diǎn)解的動(dòng)力學(xué)行為. 1998 年,Reddy 等人考慮到振子之間的相互作用存在時(shí)間延遲,在兩個(gè)全同的極限環(huán)振子中引入了時(shí)滯耦合,首次發(fā)現(xiàn)了在全同振子中的振幅死亡現(xiàn)象[145]并從實(shí)驗(yàn)的角度證實(shí)了時(shí)間延遲能使耦合系統(tǒng)產(chǎn)生振幅死亡現(xiàn)象[146]. 隨后,Strogatz 教授在Nature 雜志上指出Reddy 等人關(guān)于時(shí)延誘導(dǎo)的振幅死亡的研究具有重要的科學(xué)意義[147]. 鄒為等人研究發(fā)現(xiàn)部分時(shí)滯耦合能擴(kuò)大系統(tǒng)發(fā)生振幅死亡態(tài)的參數(shù)區(qū)域,揭示了振幅死亡區(qū)域和比例因子存在近似的函數(shù)關(guān)系[148]. Teki 等人研究了兩個(gè)一維復(fù)雜的Ginzburg-Landau 系統(tǒng),發(fā)現(xiàn)全同耦合系統(tǒng)引入時(shí)滯后才能出現(xiàn)振幅死亡態(tài)[149]. 作者研究了全局時(shí)滯耦合的分?jǐn)?shù)階振子系統(tǒng)的振幅死亡. 利用分?jǐn)?shù)階時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論,推導(dǎo)了死亡島的邊界解析條件和死亡島個(gè)數(shù)的理論表達(dá)式,發(fā)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和時(shí)滯共同誘導(dǎo)的死亡島涌現(xiàn)現(xiàn)象[150,151].

近年來(lái),對(duì)于不同形式的時(shí)滯誘導(dǎo)的振動(dòng)抑制行為的研究也吸引了很多學(xué)者的關(guān)注,取得了豐富的成果. Atay 研究了兩個(gè)帶有分布式時(shí)滯的耦合振子,發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)滯分布在一個(gè)區(qū)間而不是集中在一點(diǎn)時(shí),能擴(kuò)大振幅死亡區(qū)域[152]. 隨后,Kyrychko 等人將分布式時(shí)滯引入非全同的耦合振子系統(tǒng),研究發(fā)現(xiàn)在弱時(shí)滯分布下,振子的頻率失諧越高,系統(tǒng)的振幅死亡區(qū)域越大;強(qiáng)時(shí)滯分布下,頻率失諧越高,系統(tǒng)的振幅死亡區(qū)域越小[153]. Konishi 等人研究了具有不同的耦合時(shí)滯笛卡爾網(wǎng)絡(luò),發(fā)現(xiàn)了子網(wǎng)中的耦合時(shí)滯存在差異情況下誘導(dǎo)的振幅死亡行為[154]. Saxena 等人研究了一個(gè)具有積分時(shí)滯耦合的動(dòng)力系統(tǒng),發(fā)現(xiàn)積分時(shí)滯耦合下系統(tǒng)的振動(dòng)抑制行為會(huì)更加穩(wěn)健[155].

5 展望

本文以時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)為主題,對(duì)非線性時(shí)滯系統(tǒng)中我們所關(guān)心的問(wèn)題進(jìn)行了四個(gè)方面的綜述,介紹了近期取得的一些研究進(jìn)展和成果. 通過(guò)以上綜述可以看出,時(shí)滯系統(tǒng)是對(duì)事物規(guī)律更本質(zhì)的刻畫(huà),已經(jīng)成為包括數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、生命科學(xué)、信息科學(xué)在內(nèi)的諸多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)的熱點(diǎn)研究課題. 海內(nèi)外諸多學(xué)者開(kāi)展了大量研究工作,取得了一系列有意義的研究成果. 隨著非線性科學(xué)的飛速發(fā)展,時(shí)滯系統(tǒng)在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用前景廣闊,必將是今后一個(gè)時(shí)期里非線性科學(xué)領(lǐng)域重點(diǎn)關(guān)注的課題之一.

下面就本文涉及的研究?jī)?nèi)容,對(duì)一些值得關(guān)注的問(wèn)題和發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行研究展望:

(1)時(shí)滯系統(tǒng)的理論性研究

目前,研究時(shí)滯系統(tǒng)的理論方法仍然十分有限,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)薄弱. 時(shí)滯系統(tǒng)的特征方程有無(wú)窮多個(gè)根,其解空間是無(wú)窮維Banach空間. 這給對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)的研究帶來(lái)了巨大困難和挑戰(zhàn). 尤其是對(duì)高維時(shí)滯系統(tǒng)和隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的研究在深度和廣度上都存在很大的不足.

(2)時(shí)滯系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)復(fù)雜性研究

在以往海量的關(guān)于時(shí)滯系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究中,學(xué)者們發(fā)現(xiàn)了包括隨機(jī)共振、隨機(jī)分岔、混沌及其同步、振幅死亡在內(nèi)的諸多復(fù)雜動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象. 但對(duì)這些復(fù)雜動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象的內(nèi)在機(jī)制的研究相對(duì)較少且極具挑戰(zhàn)性. 特別地,對(duì)于時(shí)滯誘導(dǎo)的特有的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象背后機(jī)理的研究在理論上存在明顯短板. 因此,時(shí)滯系統(tǒng)復(fù)雜動(dòng)力學(xué)及動(dòng)力學(xué)復(fù)雜性的研究仍然是國(guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的重要課題[156].

(3)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的時(shí)滯系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究

大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來(lái),通過(guò)計(jì)算對(duì)大數(shù)據(jù)進(jìn)行加工處理和從中萃取有用信息的人工智能技術(shù)得到了長(zhǎng)足發(fā)展. 此類數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的技術(shù)已廣泛應(yīng)用于包括科學(xué)、社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、管理在內(nèi)的諸多領(lǐng)域, 逐漸成為促進(jìn)社會(huì)創(chuàng)新發(fā)展的核心驅(qū)動(dòng)力之一[157]. 機(jī)器學(xué)習(xí)作為數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)技術(shù)中最具智能特征,最前沿的研究領(lǐng)域之一,研究其在時(shí)滯系統(tǒng)中的應(yīng)用,并以此為工具進(jìn)一步探究時(shí)滯系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)無(wú)疑是一個(gè)具有廣闊前景的研究方向. 例如,作者基于機(jī)器學(xué)習(xí)方法開(kāi)發(fā)了“參數(shù)感知”的儲(chǔ)層計(jì)算方案,成功預(yù)測(cè)了時(shí)滯耦合振子中的振幅死亡現(xiàn)象[158].

(4)含時(shí)滯的機(jī)器人動(dòng)力學(xué)及控制研究

近年來(lái),隨著制造業(yè)自動(dòng)化程度的不斷提升,以機(jī)器人為代表的智能制造行業(yè)蓬勃發(fā)展. 在《中國(guó)制造2025》規(guī)劃中明確將機(jī)器人列為全面推進(jìn)實(shí)施制造強(qiáng)國(guó)戰(zhàn)略的十大重點(diǎn)領(lǐng)域之一. 由于各種濾波器和數(shù)字控制器的大量使用,機(jī)器人模型中的時(shí)滯是不可避免的且對(duì)系統(tǒng)有著不可忽略的重要影響[159]. 對(duì)含時(shí)滯的機(jī)器人動(dòng)力學(xué)及控制問(wèn)題的研究既豐富了機(jī)器人動(dòng)力學(xué)又契合了國(guó)家重大戰(zhàn)略需求,是一個(gè)具有重大理論和現(xiàn)實(shí)意義的問(wèn)題.