袁韋欣 鎮(zhèn)斌? 徐鑒

(1.上海理工大學環(huán)境與建筑學院,上海 200093)(2.同濟大學航空航天與力學學院,上海 200092)

引言

耦合神經(jīng)元之間的同步現(xiàn)象一直是腦科學、醫(yī)學、人工智能等領域學者持續(xù)關注的熱點.單個神經(jīng)元細胞并不具有智能表現(xiàn),神經(jīng)元之間的同步則與大腦的認知和行為具有相關性[1-4],而進一步通過研究神經(jīng)元之間的同步來理解大腦中的信息處理也被證實是可行的[5-9].Hodgkin-Huxley(HH)方程[10]以及它的簡化版:FitzHugh-Nagumo(FHN)模型[11],Hindmarsh-Rose(HR)模型[12]常用于從神經(jīng)動力學研究的層面上構建神經(jīng)網(wǎng)絡.尤其是FHN模型,其方程形式簡單,更適于從非線性動力學的角度研究神經(jīng)元之間的同步行為.需要注意的是,神經(jīng)元之間的信息傳遞并非瞬時完成,通過突觸傳遞的神經(jīng)信號都會存在不同程度的滯后現(xiàn)象,在某些情況下這種滯后量甚至可以達到系統(tǒng)發(fā)放周期的量級[13].因此,在討論耦合神經(jīng)元同步行為時,信號傳遞的時滯因素影響不能輕易忽視.

一般而言,當一個神經(jīng)元向另一個神經(jīng)元發(fā)送信號時,兩個神經(jīng)元如果在某些特定條件下保持一致就意味著這兩個神經(jīng)元處于同步狀態(tài).目前已經(jīng)發(fā)現(xiàn)神經(jīng)元之間可以存在多種同步狀態(tài),如完全同步(complete synchronization)、滯后同步(lag synchronization),廣義同步(generalized synchronization)等[14,15].在以往的FHN神經(jīng)元系統(tǒng)同步研究中,上述幾種同步通常被單獨加以討論.對于完全同步和滯后同步,通常采用Lyapunov函數(shù)方法[16-18]來獲取神經(jīng)元的同步發(fā)生條件.而對于廣義同步,則常采用構造輔助系統(tǒng)[19]方法來尋找同步條件.事實上,廣義同步更具有一般性,完全同步和滯后同步都可以看作是一種特殊的廣義同步.將滯后同步視為廣義同步加以研究可能是一種新的研究思路.

本文討論單向耦合的FHN神經(jīng)元之間的滯后同步.不同于以往研究,本文將滯后同步視為一種特殊的廣義同步,采用構造輔助系統(tǒng)的方法來討論耦合神經(jīng)元滯后同步的發(fā)生條件.首先,基于拉普拉斯變換,將輔助系統(tǒng)和響應系統(tǒng)之間的誤差系統(tǒng)轉化為Volterra積分方程.再根據(jù)Volterra積分方程理論中的逐次逼近方法(successive approximation method)[20]解析地得到了兩個單向耦合FHN神經(jīng)元的滯后同步發(fā)生條件.最后,通過數(shù)值模擬驗證了本文解析判據(jù)的有效性.

1 FHN神經(jīng)元模型

本文采用的FHN神經(jīng)元模型如下[11]:

(1)

其中w分別表示膜電位和恢復量.a>0,0

(2)

α1[u3-u1(t-τ)]

(3)

其中α1、2是耦合強度,τ>0表示從u1(u2)到u3(u4)的信號傳輸延遲.如果在系統(tǒng)(3)中滿足

(4)

則兩個FHN神經(jīng)元之間存在滯后同步.

2 廣義同步觀點下的滯后同步

F1(t,τ)=u1(t-τ)

F2(t,τ)=u2(t-τ)

(5)

F1,2可以由系統(tǒng)(3)確定.任何函數(shù)都可以在有限區(qū)間上表示為疊加在直線上的傅里葉正弦級數(shù),如圖1所示[21].所以函數(shù)可以近似表示為:

F1(t,τ)=p0(t)+p1(t)τ+

F2(t,τ)=q0(t)+q1(t)τ+

(6)

圖1 在有限區(qū)間上,任意函數(shù)=線性函數(shù)+傅里葉正弦級數(shù)Fig.1 On a finite interval, an arbitrary function=a linear function + a Fourier sine series

其中N根據(jù)精度需要確定.顯然,

u1≡F1(t,0)=p0(t)

u2≡F2(t,0)=q0(t)

(7)

因此,系統(tǒng)(3)中的滯后同步可以被視為一種特殊的廣義同步,即:

(8)

3 基于輔助系統(tǒng)方法的同步條件研究

基于輔助系統(tǒng)方法[19],系統(tǒng)(3)的輔助系統(tǒng)定義如下:

α1[u5-u1(t-τ)]

(9)

廣義同步關系(8)可以在系統(tǒng)(3)中實現(xiàn),只要如下關系成立:

(10)

令

根據(jù)系統(tǒng)(3)和(9),e1,2,3,4的控制方程可以寫成:

(11)

其中

條件(10)等效為

(12)

考慮如下拉普拉斯變換:

(13)

對系統(tǒng)(11)中等式兩邊取拉普拉斯變換,有

(14)

其中,ei0,i=1,2,3,4是系統(tǒng)(11)中給定的初值.另外

求解系統(tǒng)(14)中的前兩個方程,有

(15)

其中

ξ1=bγ-d-α1-α2

ξ2=[1-b(d+α1)]γ+α2(d+α1)

ξ3=bγ-α2

ξ4=-d-α1

對(15)中的等式兩端取拉普拉斯逆變換,利用卷積定理,有

(16)

其中

s1,s2是方程s2+ξ1s+ξ2=0的兩個根.顯然,η1,2,3→0是條件(12)成立的必要條件.根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù),要保證η1,2,3→0成立應滿足:

ξ1>0,ξ2>0

(17)

在上述條件下,當公式(16)變?yōu)?/p>

(18)

方程(18)是一個Volterra積分方程,可使用逐次逼近法[20]求解.根據(jù)該方法,e1,2=0分別是(18)中兩個方程的唯一解.這意味著當條件(17)滿足的時候滯后同步會在系統(tǒng)(3)中發(fā)生.

4 數(shù)值驗證

對系統(tǒng)(3)和(9)進行數(shù)值模擬驗證條件(17)的有效性.取a=0.6,b=0.7,γ=0.03,Iext=0.6和α1=-0.8.根據(jù)條件(17),系統(tǒng)(3)中會出現(xiàn)滯后同步,只要下列關系成立

α2

α2<[b(d+α1)-1]γ/(d+α1)=0.6004

注意到條件(17)不包含τ,這意味著對任意時滯量同步條件α2<0.0728都有效.在系統(tǒng)(3)和(9)中取初始條件,u1(t)=0.1,u2(t)=0.2,t∈(-τ,0],(u3(0),u4(0))=(0.12,0.21),(u5(0),u6(0))=(0.15,0.22).圖2中給出了不同α2和τ值時響應系統(tǒng)和輔助系統(tǒng)之間的同步誤差e1=u3-u5,e2=u2-u4的變化趨勢,以及u1,3和u2,4的時程圖.

圖2 系統(tǒng)(3)和(9)中不同α2和τ值時同步誤差e1,e2的趨勢變化圖,及u1,3和u2,4的時程圖,其中(a)α2=0.08,τ=0(b) α2=0.02,τ=0 (c) α2=0.02,τ=5 (d) α2=0.02,τ=20Fig.2 Synchronization errors e1,e2 and functional relations between u1 and u3, and between u2 and u4 in systems (3) and (9) with (a)α2=0.08,τ=0(b)α2=0.02,τ=0(c)α2=0.02,τ=5(d)α2=0.02,τ=20

由圖2可知,條件(17)與數(shù)值結果非常吻合,由此證明了條件(17)的有效性.

5 結論

本文研究了兩個單向耦合FHN神經(jīng)元的滯后同步問題.與以往采用的方法不同,本文將神經(jīng)元之間的滯后同步視為一種特殊的廣義同步,令構造出的輔助系統(tǒng)與響應系統(tǒng)完全同步來獲得原系統(tǒng)的滯后同步條件.通過拉普拉斯變換方法可以將輔助系統(tǒng)與響應系統(tǒng)之間的誤差系統(tǒng)由微分方程表示轉化為Volterra積分方程表示,再利用積分方程理論中的逐次逼近方法得到誤差系統(tǒng)原點穩(wěn)定的解析條件.該解析條件與滯后同步中的滯后量大小無關,直接數(shù)值模擬驗證了本文同步判據(jù)的有效性.本文為研究神經(jīng)元的滯后同步提供了一種新的思路.