《“有理數的混合運算”教學設計》（以下統(tǒng)稱“文章”）一文發(fā)表在《中國數學教育》（初中版）2020年第4期，被中國人民大學《復印報刊資料（初中數學教與學）》2020年第6期全文轉載. 文章以浙教版《義務教育教科書·數學》七年級上冊“有理數的混合運算”一課為例，介紹了教師的備課理念、內容設計和教學反思. 文章具體說明了在數學教學活動中教師如何根據《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）的要求、教材內容和學生的學情進行教學設計，通過激發(fā)學生的興趣，架設思維階梯，讓學生掌握有理數混合運算的法則，理解運算的合理性，優(yōu)化算法，提升學生的運算能力.

一、文章的寫作背景

運算是義務教育階段數學課程的重要內容，它不僅是學習“數與代數”領域的基礎，也是“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”領域中不可或缺的部分. 對于學生來說，運算是必須具備的一種最基本、最重要的技能，是解決諸多數學問題的必要工具.《標準》在課程總目標的“數學思考”中提出了運算能力，說明運算能力是數學思考的重要內涵. 換言之，運算能力這一核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，不僅要關注運算技能的提升，更要注重運算思維的培養(yǎng)，在技能與思維的有機結合中提升運算能力.

近幾年的初中數學學業(yè)水平考試對學生運算能力的要求不斷提高. 在閱卷的過程中，發(fā)現有相當一部分學生因對運算對象和運算法則不清晰、運算不合理等問題導致運算過程失分. 在運算教學的實施過程中，教師僅僅關注學生運算的準確性，并以題海戰(zhàn)術讓學生熟練掌握運算操作的情況屢見不鮮. 可以說，學生對運算課的印象普遍是形式單一、內容枯燥，難以產生學習興趣.

基于以上問題，文章作者從核心素養(yǎng)的立意出發(fā)，對“有理數的混合運算”一課進行了教學設計和實踐，并在第十一屆初中青年數學教師優(yōu)秀課展示與培訓活動中進行了展示，獲得了一致好評. 文章是對這一節(jié)課的備課理念、內容設計及教學反思的整理和總結.

二、文章旨在說明的問題

如何在運算課中發(fā)展學生的運算能力，教師在教學設計時需從學生的需求和發(fā)展這兩個方面來考慮.

1. 創(chuàng)設兩類情境，激發(fā)學生的運算興趣

《標準》指出，無論是設計、實施課堂教學方案，還是組織各類教學活動，不僅要重視讓學生獲得知識技能，而且要激發(fā)學生的學習興趣. 在運算課的教學中，培養(yǎng)學生的學習興趣能促使學生積極分析運算條件，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，逐步提升運算能力. 如何激發(fā)學生的運算興趣？教師除了要設計具有趣味性的教學活動，還應關注學生的學習需求和學習期待，創(chuàng)設體現知識生長和知識價值的問題情境，啟發(fā)學生主動思考“為什么要學這種運算”“學了這種運算有什么作用”“接下來還有哪些運算”等問題，讓學生在情境中體會學習運算的必要性和價值.

學習需求即學習知識技能的需要. 對于學生來說，因所學知識技能的局限性導致問題無法解決，便會產生學習需求. 所以在教學設計時，教師要把即將學的運算知識置于整體的運算知識體系中，了解學生的最近發(fā)展區(qū)，創(chuàng)設體現知識生長的問題情境. 以設置懸念、產生認知沖突等方式激發(fā)學生的好奇心，促進學生主動思考“之前學了什么”“現在要學什么”“為什么要學”，使學生理解知識的來龍去脈，深刻體會學習運算知識的必要性，真正觸發(fā)學生學習的需求. 文章中的教學設計設置了“普通版24點”和“升級版24點”這兩個游戲. 學生在進行升級版游戲時，既可以利用小學四則混合運算的經驗去嘗試，也需要利用有理數混合運算的法則來支撐，由此體會到學習有理數混合運算的必要性. 通過這一方式激發(fā)學生的學習需求.

學習期待是個體對學習活動所要達到目標的主觀意向. 對于學生來說，知識的應用、問題的解決是讓他們對學習產生期待的有效途徑. 因此，在教學設計時，教師可以創(chuàng)設體現知識價值的應用情境，讓學生能利用所學知識解決問題，從而感受到成功的喜悅，體會數學學習的樂趣和價值. 在這類情境的創(chuàng)設中，教師既可以創(chuàng)設純運算的數學問題，也可以創(chuàng)設用運算解決的實際問題，還可以在學生已有經驗的基礎上創(chuàng)設具有挑戰(zhàn)性的運算問題，讓學生的學習期待具有持續(xù)性. 文章所給的教學設計中設置了一個實際問題情境，讓學生在解決的過程中體會有理數混合運算的實際價值，激發(fā)了學生對后續(xù)相關知識的學習期待.

2. 架設思維階梯，發(fā)展學生的運算能力

能夠按照一定的程序與步驟進行運算，稱為運算技能. 不僅會根據法則、公式等正確地進行運算，而且理解運算的算理，能夠根據條件尋求正確的、最優(yōu)的運算途徑，稱為運算能力. 可見，運算能力不僅僅是一種操作層面的運算技能，更是一種思維層面的能力. 也就是說，從運算技能發(fā)展到運算能力，需要經歷圖1中的三個階段. 嚴格遵循運算法則，追求運算正確，熟練掌握運算技能，只是停留在低階思維. 既能理解運算的合理性，又能通過分析、比較，使運算變得靈活和簡潔，這便是高階思維的體現. 如何讓學生的運算思維在學習中拾級而上？需要教師在教學設計中架設合理的思維階梯.

由于學生對運算的普遍認識是“算對即可”，所以從運算法則到運算算理的進階是有一定難度的. 在教學設計時，教師需要引導學生去思考“怎樣算”“為什么要這樣算”等一系列問題，讓學生理解運算的合理性，即使運算符號增加、數系擴充，學生也能根據法則進行正確地運算. 教師可以從外力和內驅兩個維度為學生架設思維的階梯. 外力維度的架設，即在學生運用法則進行運算后，教師不僅要評價運算的正確性，更要對運算的合理性進行追問，引導學生回顧法則的產生過程和原理，幫助學生理解算理，厘清運算途徑，提升運算思維能力；內驅維度的架設，則更注重激發(fā)學生主動思考運算合理性的需要. 在教學設計時，教師需要考慮在學生按照法則運算正確的情況下，如何引發(fā)學生主動思考“為什么要這樣算”. 首先，教師要了解學生在運算中出現的常見錯解，然后將它們有機整合，呈現在學生的學習過程中. 在分析錯解產生的原因時，學生的運算思維將主動從法則走向算理，在追求運算合理性的過程中自主提升. 文章中的教學設計中設置了“練習2”這個環(huán)節(jié)，結合學生在解決“練習1”時出現的錯解，讓學生以“先獨立，后合作”的形式進行糾錯，有效利用預設、生成的錯解資源激發(fā)學生思考運算的合理性，讓學生的運算思維主動走向算理.

當學生能在理解算理的前提下按照法則進行運算時，教師還應注重學生運算能力的發(fā)展. 從運算能力的特征來看，教師應著重圍繞運算的靈活和簡潔來為學生架設思維的階梯. 在實施混合運算的過程中，由于某些算式結構的特殊性，一題多解的情況是十分普遍的，且一題多解恰恰體現了運算的靈活性. 教師在設計混合運算的教學時，可以在例題和練習題中設計一些結構較特殊的算式，使學生不僅可以按照混合運算的順序法則進行運算，又可以利用運算律、通分和約分等進行簡便運算. 這樣的一題多解既使學生鞏固了運算的法則、混合運算的順序法則，又培養(yǎng)了學生運算思維的靈活性. 此外，教師還應注重培養(yǎng)學生追求運算簡潔的主觀意識，在學生能靈活選擇多種方法進行運算時，教師可以從運算難度、時間、步驟等角度創(chuàng)設對比情境，讓學生在對比的過程中去繁求簡、自覺擇優(yōu)，在分析、綜合、評價的過程發(fā)展高階思維，提升運算能力. 文章中的教學設計在例題和練習環(huán)節(jié)都設計了一定數量的具有特殊結構的算式，且逐步弱化結構的特殊性，在引導學生多途徑運算并對比擇優(yōu)時，也注重培養(yǎng)學生分析運算條件的主觀意識.

三、結束語

總之，運算課的教學要以發(fā)展學生的運算能力這一核心素養(yǎng)為導向，教師在教學設計中要根據學生的認知水平、學習需求和學習期望激發(fā)學生學習運算的興趣，在學生能根據法則進行正確運算時，架設思維階梯，引導學生進一步理解算理、優(yōu)化運算、追求簡潔，逐步優(yōu)化運算思維，發(fā)展運算能力.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2011年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2012.

［2］沈瑩琪.“有理數的混合運算”教學設計［J］. 中國數學教育（初中版），2020（4）：21-24.