摘" 要：以一道中考幾何壓軸題為例，深入分析了一種初中常見的幾何模型——“手拉手”模型. 通過一題多思、一題多變，突出體現(xiàn)分析問題和解題突破時(shí)應(yīng)該注重模型的呈現(xiàn)、聯(lián)想、構(gòu)造、應(yīng)用等過程，鍛煉學(xué)生的思維，提升學(xué)生的應(yīng)變能力.

關(guān)鍵詞：一題多變；幾何模型；思想方法

幾何模型是中學(xué)階段幾何學(xué)習(xí)不可或缺的一部分. 不難發(fā)現(xiàn)，初中幾何所涉及的經(jīng)典模型往往都有自己的特點(diǎn)和獨(dú)特的解法. 其中有一類幾何問題滿足如下條件：① 有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)等腰三角形；② 頂角相等. 像這樣的模型通常被稱為“手拉手”模型. 此類模型具有什么特點(diǎn)和解法呢？2021年中考湖北武漢卷第23題就考查了“手拉手”模型，試題的難度相對(duì)以往不算大，但對(duì)于中等生來說還是有一定的難度. 此題的難點(diǎn)在于分析出問題的本質(zhì)，將平時(shí)學(xué)過的相關(guān)模型運(yùn)用到解題過程中. 學(xué)生往往是容易找到解題的切入點(diǎn)，但又不能完全解決問題. 下文將結(jié)合2021年中考湖北武漢卷第23題和大家一起討論解決此類問題的關(guān)鍵與本質(zhì)，以期對(duì)教學(xué)有所幫助.

一、原題呈現(xiàn)

題目" 問題提出：如圖1，在[△ABC]和[△DEC]中，[∠ACB=∠DCE=90°]，[BC=AC]，[EC=DC]，點(diǎn)[E]在[△ABC]內(nèi)部，直線[AD]與[BE]交于點(diǎn)[F]. 線段AF，BF，CF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？

問題探究：（1）先將問題特殊化. 如圖2，當(dāng)點(diǎn)D，F(xiàn)重合時(shí)，直接寫出一個(gè)等式，表示線段AF，BF，CF之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）再探究一般情形. 如圖1，當(dāng)點(diǎn)D，F(xiàn)不重合時(shí)，證明（1）中的結(jié)論仍然成立.

問題拓展：如圖3，在[△ABC]和[△DEC]中，[∠ACB=][∠DCE=90°]，[BC=kAC]，[EC=kDC]（[k]是常數(shù)），點(diǎn)[E]在△ABC內(nèi)部，直線[AD]與[BE]交于點(diǎn)[F]. 直接寫出一個(gè)等式，表示線段AF，BF，CF之間的數(shù)量關(guān)系.

二、解法研究

第（1）小題要求直接寫出結(jié)論，由已知條件很容易得到[△BEC≌ △ADC]，轉(zhuǎn)化線段就可以得出三邊關(guān)系. 第（2）小題中，當(dāng)點(diǎn)E在其他位置，點(diǎn)D，F(xiàn)不重合時(shí)，實(shí)際上是對(duì)第（1）小題考查的知識(shí)進(jìn)行遷移，可以通過構(gòu)造新的“手拉手”模型，利用三角形全等得到三條線段的數(shù)量關(guān)系. “問題拓展”將已知條件中的線段相等變成了成比例問題，于是猜想：是否可以將問題中的全等問題變?yōu)橄嗨茊栴}？于是順著這個(gè)思路，想到了構(gòu)造類似的“手拉手”模型來解決問題.

下面針對(duì)此題給出一種具體的解答過程.

（2）證明：如圖4，過點(diǎn)[C]作[CG⊥CF]交[BE]于點(diǎn)[G]，

則[∠FCG=∠ACB=90°].

所以[∠BCG=∠ACF].

因?yàn)閇∠ACB=∠DCE=90°]，

所以[∠BCE=∠ACD].

因?yàn)閇AC=BC，DC=EC]，

所以[△ACD≌△BCE].

所以[∠CAF=∠CBG].

進(jìn)而得[△ACF≌△BCG].

所以[AF=BG，CF=CG].

問題拓展：如圖5，在BF上取點(diǎn)G，使得[BG=kAF].

因?yàn)閇BC=kAC]，[EC=kDC]，

因?yàn)閇∠ACB=∠DCE=90°]，

可證得[△BCE]∽[△ACD].

可得[∠CBG=∠DAC].

因?yàn)閇BG=kAF]，

三、模型歸納與解題反思

1. 模型歸納

回顧此題中的圖2，可以發(fā)現(xiàn)[△ABC]和[△DEC]是有一個(gè)公共頂點(diǎn)[C]的兩個(gè)等腰直角三角形，且頂角都為[90°]，因而其本質(zhì)是以點(diǎn)[C]為公共頂點(diǎn)的兩個(gè)等腰直角三角形的“手拉手”模型. 要弄清楚圖2中的三條線段AF，BF，CF之間的關(guān)系，關(guān)鍵是要得到[AF=][BE]，可以通過證明兩個(gè)三角形全等得到. 也可以將問題理解為：將[△BCE]繞點(diǎn)[C]順時(shí)針旋轉(zhuǎn)[90°]得到[△ACD]，也就是旋轉(zhuǎn)全等.

綜觀整道試題，其實(shí)質(zhì)是三角形旋轉(zhuǎn)全等、旋轉(zhuǎn)相似的典型例子.“問題探究”中的兩個(gè)問題實(shí)質(zhì)是旋轉(zhuǎn)全等，第（1）小題是完整的旋轉(zhuǎn)全等圖，第（2）小題需要添加輔助線變?yōu)樾D(zhuǎn)全等圖. 常遇到的圖形是將三角形旋轉(zhuǎn)90°和60°，基本圖形分別如圖6和圖7所示.

“問題拓展”的實(shí)質(zhì)是旋轉(zhuǎn)相似問題，從條件中可知[△BCA]與[△ECD]相似，而旋轉(zhuǎn)相似必成對(duì)，可以得到[△BCE]與[△ACD]也相似. 類比“問題探究”的解題方法，根據(jù)解題思想的一致性，可以考慮將線段[FC]旋轉(zhuǎn)[90°]構(gòu)造類似的相似，這里是構(gòu)造了[BG=kAF]，可以證得[△BCG]與[△ACF]相似. 此類問題是常見的旋轉(zhuǎn)相似，基本圖形如圖8所示.

2. 解題反思

通過對(duì)近幾年中考數(shù)學(xué)試卷的分析，發(fā)現(xiàn)很多地區(qū)的中考試卷中都存在基本圖形或者類似此類問題命題的方式. 試題中常常包含三個(gè)部分：第一個(gè)部分一般直接告訴相關(guān)模型基本圖形或基本方法，第二個(gè)部分是在第一個(gè)部分的基礎(chǔ)上進(jìn)行適當(dāng)變形，第三個(gè)部分是對(duì)整個(gè)問題的拓展研究，需要準(zhǔn)確把握模型的動(dòng)向，發(fā)散思維. 每個(gè)問題貌似相互獨(dú)立，實(shí)則聯(lián)系緊密，層層遞進(jìn). 在對(duì)基本圖形進(jìn)行分析時(shí)，我們要善于找到基本圖形中的隱線，順藤摸瓜，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì). 學(xué)生只有追根溯源，找到模型的共通點(diǎn)，找準(zhǔn)基本模型的核心要素，才能提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

四、拓展研究

回顧對(duì)題目的分析，仍然有許多思考. 在這一系列的問題中，題目中分別限定了點(diǎn)E的位置，固定了角度，以及三角形的兩條邊相等三個(gè)條件. 于是猜想：當(dāng)改變這幾個(gè)條件中的部分限制條件時(shí)，結(jié)論會(huì)發(fā)生怎樣的改變？解題方法是否還能延續(xù)？于是有了下面的想法.

（1）位置變化.

當(dāng)點(diǎn)E的位置發(fā)生改變，上述其他條件不改變時(shí)，“問題探究”第（2）小題中的結(jié)論是否仍然成立？

（2）角度變化.

當(dāng)問題中的角度發(fā)生變化，其他條件不變時(shí)，上述結(jié)論會(huì)發(fā)生怎樣的改變？

下面分別從兩種情況來討論. 情況1：當(dāng)[∠ACB=]

[∠ECD=60°]時(shí)；情況2：當(dāng)[∠ACB=∠ECD=α]，即為任意角時(shí).

情況1：如圖11，過點(diǎn)[C]作[∠FCG=][60°]交[BE]于點(diǎn)[G]，由已知可得[△ACD≌△BCE]，再證[△ACF≌][△BCG]，易得[△CGF]是等邊三角形. 所以[BF-AF=][BF-BG=GF=CF].

（3）當(dāng)角度和比值都變化時(shí).

當(dāng)角度和比值都發(fā)生改變時(shí)，也討論兩種情況：∠ACB = ∠ECD = 60°且邊的比值為[k]的情況與角為任意角，邊的比值為[k]的情況.

① 如圖13，在[△ABC]和[△DEC]中，[∠ACB=∠DCE=]

[60°]，[BC=kAC]，[EC=kDC]（[k]是常數(shù)），點(diǎn)[E]在[△ABC]內(nèi)部，直線[AD]與[BE]交于點(diǎn)[F]. 則線段AF，BF，CF之間的數(shù)量關(guān)系是什么？

② 如圖14，在[△ABC]和[△DEC]中，[∠ACB=∠DCE=][α，] [BC=kAC]，[EC=kDC]（[k]是常數(shù)），點(diǎn)[E]在[△ABC]內(nèi)部，直線[AD]與[BE]交于點(diǎn)[F]. 則線段AF，BF，CF之間的數(shù)量關(guān)系是什么？

基本思想：在BF上取點(diǎn)G，使得[BG=kAF]，同理得[∠GCF=∠BCA=α]. 對(duì)于[△GCF]，有[∠GCF=α]，可

五、回顧總結(jié)

“手拉手”模型是幾何基本圖形中的一種常見模型，在三角形全等、相似，等邊三角形、等腰三角形的判定，截長補(bǔ)短，角平分線性質(zhì)，四點(diǎn)共圓的性質(zhì)與判定等幾何問題中應(yīng)用廣泛，也常常用來求最值. 教師應(yīng)該多思考如何啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)基本圖形. 在教學(xué)幾何解題的過程中，要注重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)基本幾何知識(shí)掌握的熟練程度，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)識(shí)別、提煉基本圖形. 同時(shí)，要積極引導(dǎo)學(xué)生的思維順著基本圖形的隱線前進(jìn)，有效促進(jìn)學(xué)生的思維正向遷移，將發(fā)散思維的訓(xùn)練滲透在每一節(jié)課的教學(xué)中. 在平時(shí)的教學(xué)中，在進(jìn)行模型滲透時(shí)，要多關(guān)注解題思路的分析和解法的自然生成，加強(qiáng)對(duì)試題內(nèi)涵的解讀，注重提煉思想方法，整個(gè)過程的關(guān)鍵在于題型設(shè)計(jì)和思維的擴(kuò)散，讓學(xué)生內(nèi)化思想、形成己見. 這既是數(shù)學(xué)的魅力，也是數(shù)學(xué)的藝術(shù). 要想學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)扎實(shí)推進(jìn)，教師一定要注重教學(xué)的預(yù)見性和針對(duì)性，讓教學(xué)更接地氣.

參考文獻(xiàn)：

［1］顧穎，程軍. 旋轉(zhuǎn)相似巧構(gòu)圖" 導(dǎo)角導(dǎo)邊妙突破：由2020武漢中考數(shù)學(xué)第23題引發(fā)的反思［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2021（2）：61-63.

［2］袁媛. 模型解讀，視角拓展，實(shí)例探討：以一種等腰直角三角形模型為例［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（11）：85-86.

［3］陳耀忠. 基于核心素養(yǎng)的試題研究：以雙等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)圖形為例［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2017（7 / 8）：21-25.