摘" 要：幾何解題離不開挖掘基本圖形，要關(guān)注基本圖形的自然聯(lián)想. 中考試題內(nèi)涵豐富，為教學提供了新的視角. 以2021年中考北京卷第27題為例，分解和重組試題的條件，尋找不同視角下的基本圖形，引領(lǐng)學生學會思考、學會拓展、學會歸一，最終學會知識間的自然聯(lián)想，建構(gòu)數(shù)學知識結(jié)構(gòu)，形成數(shù)學整體性的觀念.

關(guān)鍵詞：基本圖形；自然聯(lián)想；教學感悟

基本圖形既是幾何結(jié)構(gòu)的內(nèi)在組成部分，也是基本概念的外在表現(xiàn)形式. 通過對中考試題的研究，挖掘和提煉基本圖形，有助于學生認識幾何圖形的結(jié)構(gòu)，揭示數(shù)學問題的本質(zhì)和內(nèi)在邏輯聯(lián)系，從整體性的視角認識數(shù)學問題. 下面以2021年中考北京卷第27題為例進行闡述.

題目" 如圖1，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = α，M為BC的中點，點D在MC上，以點A為中心，將線段AD順時針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE，連接BE，DE.

（1）比較∠BAE與∠CAD的大??；用等式表示線段BE，BM，MD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

（2）過點M作AB的垂線，交DE于點N，用等式表示線段NE與ND的數(shù)量關(guān)系，并證明.

一、解法分析

下面僅對第（2）小題進行研究. 按要求作圖，得圖2.

1. 構(gòu)造中位線

由已知可得∠ABE = ∠ABC，AE = AD，AB = AB，因此△ABE和△ABD滿足“SSA”的條件. 從對稱視角來看，作其中一個三角形關(guān)于AB對稱的三角形，基于角平分線的對稱性，我們可以得到如圖3和圖4所示的構(gòu)圖，利用平行線和中點來證明N為線段ED的中點，從而得到思路1和思路2.

思路1：如圖5，連接AM，過點E作EQ∥MF. 由已知可得△ABE ≌ △ACD，∠ABE = ∠ABC. 根據(jù)MF⊥AB，可知EQ⊥AB. 進一步得到BE = DC = BQ. 從而得到M是QD中點，所以NE = ND.

思路2：如圖6，連接AM，延長BE，MF，交于點G，連接AG；延長EG至點Q，使得GQ = GE，連接QD，AQ. 由已知，可得AM⊥BC. 由∠ABE = ∠ABC，可得BG = BM = MC. 因為BE = CD，所以MD = GE = GQ. 所以MG∥DQ. 根據(jù)GQ = GE，由△ENG ∽ △EDQ，得NE = ND.

【評析】由角平分線的條件產(chǎn)生兩個不全等的三角形，基于學生的最近發(fā)展區(qū)，構(gòu)造兩個全等的三角形是解題的關(guān)鍵. 思路1和思路2本質(zhì)相同，采用“截長補短”的策略構(gòu)造平行線和中點，進一步證明“N為線段ED的中點”. 從圖形的角度來看，出現(xiàn)了學生熟悉的“A字形”相似，在解題過程中要提升學生對基本圖形的識圖能力，注重積累構(gòu)圖經(jīng)驗. 同時，利用BA平分∠EBC和MN⊥AB，構(gòu)造等腰三角形，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)產(chǎn)生平行線和中點，也可以得到“N為線段ED的中點”，這是學生熟悉的基本圖形和常見的構(gòu)造方法. 對于基本圖形的自然聯(lián)想、基本活動經(jīng)驗的積累、基本思想方法的提煉，學生需要在學習過程中不斷去嘗試、體驗和實踐，將熟悉問題的解題經(jīng)驗轉(zhuǎn)化成未知問題的解決策略，從而提高解決問題的能力.

2. 構(gòu)造“8字形”全等

根據(jù)圖形直觀，猜想“N為線段ED的中點”. 如圖7，構(gòu)造點M關(guān)于AB的對稱點Q，可得△QEN和△MDN滿足“SSA”的條件. 在此基礎(chǔ)上構(gòu)造兩個三角形全等（如圖8 ～ 10），再根據(jù)全等三角形的對應邊相等得到“N為線段ED的中點”. 實際上是將問題轉(zhuǎn)化成全等三角形的對應邊相等，而構(gòu)造平行線可以實現(xiàn)兩個三角形全等的證明.

思路3：如圖11，過點E作EG∥BC，交FM于點G. 延長BE，MF交于點Q. 由已知，得EQ = MD. 由EG∥BC，可得EG = MD. 從而可證△EGN ≌ △DMN. 所以NE = ND.

思路4：如圖12，過點D作DG∥BE，交FM的延長線于點G，延長BE，MF交于點Q. 由DG∥BE，可得DG = MD. 因為EQ = MD，所以EQ = DG. 所以△EQN ≌ △DGN. 所以NE = ND.

思路5：如圖13，過點D作DG⊥FM，交FM的延長線于點G，過點E作EP⊥MF，垂足為點P，延長BE，MF交于點Q. 由EQ = MD，得△EQP ≌ △DMG. 所以EP = DG. 從而可以證得△EPN ≌ △DGN. 所以NE = ND.

【評析】要證NE = ND，可以證明含有NE和ND的兩個三角形全等. 從構(gòu)圖的角度來看，思路3 至思路5主要是從不同角度構(gòu)造“8字形”全等. 其中，思路5是學生最為熟悉的特殊方法. 從構(gòu)造平行線到三角形全等，以上思路雖然構(gòu)圖的方式不同，但體現(xiàn)的都是轉(zhuǎn)化思想. 因此，直觀想象能力對于問題的解決起到了關(guān)鍵性作用，對于基本圖形的深入研究是教學的生長點.

3. 共圓相似

如圖14，從運動變換的視角來看，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α，再進行位似變換得到△AED；由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可以得到∠AMB = 90°；再根據(jù)MF⊥AB，可得△ABM的“母子三角形”相似模型，進一步可以得到∠AMN = ∠ADN，因此A，N，M，D四點共圓，故∠AND = 90°，從而證得“N為線段ED的中點”. 圖形中呈現(xiàn)的“旋轉(zhuǎn)相似”“三線合一”“母子三角形”“四點共圓”都是學生熟悉的幾何模型，教師要引導學生從不同的角度對圖形進行分析，從圖形中提煉基本模型，嘗試對基本模型進行突破，提煉通性通法，讓解題有抓手、破題有方法．

【評析】證明過程中，我們利用三角形相似得到線段之間的比例關(guān)系，回避四點共圓. 但四點共圓為我們厘清思路，發(fā)現(xiàn)解法，起到簡便之用. 教學中力求做到深入淺出，同時在解題過程中提醒學生將關(guān)鍵條件標注在圖形上，便于對條件進行分解與重組，從“旋轉(zhuǎn)相似”發(fā)出，循循善誘，尋找解題思路.

4. 反證法

從圖形的直觀容易猜測“N為線段ED的中點”. 從證明的策略來看，反證法或同一法是相對小眾的方法，但試題中由等腰三角形的條件容易入手，關(guān)于中點可以得到豐富的結(jié)論，因此不妨嘗試. 若點N不是線段ED的中點，則可以取線段ED的中點，根據(jù)△AED是等腰三角形，利用等腰三角形“三線合一”的相關(guān)性質(zhì)進行證明，從而突破難點.

思路7：如圖15，假設(shè)N不是線段ED的中點，取線段ED的中點Q，連接AQ，取AD的中點H，以點H為圓心、AH為半徑作⊙H. 因為∠AQD = 90°，所以A，Q，M，D四點在以點H為圓心、AH為半徑的圓上. 所以∠AMQ = ∠ADQ. 因為∠AMN = ∠ABC = ∠ADQ，所以∠AMQ = ∠AMN. 所以點Q與點N重合. 這與已知條件矛盾，故NE = ND.

【評析】思路7的關(guān)鍵是證明A，Q，M，D四點在以點H為圓心的圓上，這樣就可以把∠AMQ轉(zhuǎn)化為∠ADQ和∠C，使得∠AMQ與∠AMN產(chǎn)生聯(lián)系，這樣處理的原因是由△AED是等腰三角形，以及ED的中點Q來倒逼MQ⊥AB. 由于逆向的思考方式對于學生來說相對新穎，并且平時教學中較少涉及反證法，因此學生不易想到. 但是不同的證明思路對于學生厘清試題內(nèi)在的邏輯性有較大幫助，同時換個視角看問題，有利于培養(yǎng)學生多角度思考問題的意識，發(fā)展學生的理性思維. 因此，對條件的挖掘、對基本圖形的認知、對數(shù)學的理解程度，決定了學生思維的高度. 理解數(shù)學永遠是教師和學生的追求.

二、拓展研究

1. 試題拓展

拓展1：如圖16，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = α，M為BC的中點，點D在BM上. 以點A為中心，將線段AD順時針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE，連接BE，DE. 過點M作AB的垂線，垂足為點F，MF的延長線交DE于點N. 求證：NE = ND.

拓展2：如圖17，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = α，M為BC的中點，點D在BC的延長線上. 以點A為中心，將線段AD順時針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE，連接BE，DE. 過點M作AB的垂線，垂足為點F，F(xiàn)M的延長線交DE于點N. 求證：NE = ND.

拓展3：如圖18，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = α，M為BC的中點，點D在CB的延長線上. 以點A為中心，將線段AD順時針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE，連接BE，DE. 過點M作AB的垂線，垂足為點F，MF的延長線交DE于點N. 求證：NE = ND.

2. 鏈接中考

（2017年江蘇·無錫卷）如圖19，△ABC中，∠BAC = 90°，AB = 3，AC = 4，點D是BC的中點，將△ABD沿AD翻折得到△AED，連CE，則線段CE的長等于（" " ）.

此題是直角三角形背景下的翻折問題，從圖形的角度來分析，圖19的框架就是圖1的一部分；從解題策略的角度來看，前述思路1和思路2對于此題的求解同樣適用. 不同的試題，同樣的模型，熟悉的構(gòu)圖，不同的呈現(xiàn)，一致的思想. 如何將這些不同的試題轉(zhuǎn)化成為“同一類”？理解數(shù)學是關(guān)鍵. 對于基本圖形的分析、識別、提煉、轉(zhuǎn)化和歸一是幾何教學的立足點和生長點.

三、教學感悟

1. 基本圖形助思考

數(shù)學學習離不開對數(shù)學模型的抽象和歸納，而對基本圖形的提煉與應用有助于數(shù)學模型的建立，從而更好地發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng). 關(guān)注局部，從條件出發(fā)，有等腰三角形的聯(lián)想、中點的聯(lián)想、旋轉(zhuǎn)相似的相關(guān)結(jié)論等；從結(jié)論出發(fā)，思考由線段相等能想到什么. 例如，全等三角形、等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)、線段中點、斜邊中線等. 關(guān)注整體，雖然兩個三角形“不同型”，但它們具備一些相同條件，可以運用割補思想構(gòu)建“同型”三角形，而在割補的過程中構(gòu)造平行線也有利于出現(xiàn)“8字形”相似，為解決問題提供便利；要善于發(fā)現(xiàn)圖形中隱含的條件，如構(gòu)造母子三角形相似能提供等角和線段之間的比例關(guān)系，可以優(yōu)化解題思路；若在一條直線的同側(cè)有兩個等角，則可以嘗試構(gòu)造“一線三等角”模型，解題會豁然開朗；一條邊的同側(cè)有兩個等角，如圖14中的∠AMN = ∠ADN的共圓模型可以讓解題更快捷. 基于整體和局部的思考，體現(xiàn)了對基本圖形的識別和應用. 教師要鼓勵學生在解題中不斷嘗試和反思，不斷加深對數(shù)學模型的理解. 反證法雖然不常見，但是“正難則反”的逆向思考方式猶如一把利劍，簡約大氣. 無論哪種解法，其實都是平時學習經(jīng)驗的積累，通過實踐、思考、探索、交流等，學生將各種數(shù)學模型了然于心，通過對問題條件的分解與重組，積極展示思維過程，提煉基本圖形，形成基本的解題經(jīng)驗，有助于數(shù)學思考. 同時，教師要引導學生厘清題目的條件，不斷嘗試解決問題的策略，最終確立最優(yōu)或最自然的解法．

2. 自然聯(lián)想助歸一

對于基本圖形、基本概念的自然聯(lián)想，可以回憶、喚醒和再認知數(shù)學結(jié)構(gòu)，加深對數(shù)學本質(zhì)的理解，生成自然的解題方法，積累學習經(jīng)驗，提升理解數(shù)學的能力，從而形成數(shù)學的整體建構(gòu)觀.

（1）幾何的聯(lián)想.

在平面幾何的學習中，我們有很多類似的經(jīng)歷. 例如，三角形的內(nèi)角和等于180°，由180°可以聯(lián)想平角，因此將三角形的三個內(nèi)角拼在一起是關(guān)鍵，利用平行線兩次“轉(zhuǎn)移角”可以實現(xiàn)這個想法；由180°也會聯(lián)想到“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”，同樣構(gòu)造平行線，但只要一次“轉(zhuǎn)移角”即可完成；等等. 無論怎樣聯(lián)想，由兩直線平行可以產(chǎn)生同位角、內(nèi)錯角的相等和同旁內(nèi)角的互補，從而發(fā)現(xiàn)平行線是實現(xiàn)“轉(zhuǎn)移角”的工具，因此幾何學習中構(gòu)造平行線是常見策略之一. 又如，幾何對象的一般研究路徑為“定義—性質(zhì)—判定—應用”，用要素刻畫幾何對象的定義，用要素和相關(guān)要素之間的不變性作為幾何對象的性質(zhì)，判定一般源于性質(zhì)的逆命題或要素特征的重組，利用幾何對象的性質(zhì)和判定進行數(shù)學應用或?qū)嶋H應用. 從數(shù)學的內(nèi)部發(fā)展來看，“三角形—等腰三角形—等邊三角形”的研究遵循此路徑；從數(shù)學的外部聯(lián)系看，“三角形—四邊形—圓”的研究也遵循這個路徑（如圖20）. 通過對多個數(shù)學對象的研究，使學生切實體驗到“研究對象在變，思想方法不變，研究套路不變”. 幾何概念或模型的自然聯(lián)想可以幫助學生更好地理解幾何結(jié)構(gòu)，整體把握和建構(gòu)數(shù)學知識結(jié)構(gòu).

（2）代數(shù)的聯(lián)想.

在代數(shù)的學習中，我們也可以進行自然聯(lián)想，從而形成整體性觀念. 例如，在一元一次方程、不等式與函數(shù)的學習中，以一次函數(shù)為主線可以把三者“編織”成一個整體，把方程、不等式看成函數(shù)的某種（類）特定狀態(tài)下的特性. 從數(shù)的角度，利用其性質(zhì)進行運算研究，也可以用函數(shù)思想解方程和不等式，這是數(shù)學的基本思想方法. 從函數(shù)觀點看一元一次方程和不等式，通過梳理初中數(shù)學的相關(guān)內(nèi)容，理解函數(shù)、方程和不等式之間的聯(lián)系，體現(xiàn)了它們具有內(nèi)在聯(lián)系的不同的內(nèi)容所體現(xiàn)的數(shù)學整體性. 類似地，類比“一次”研究“二次”，這樣數(shù)學知識之間也形成了整體性. 再如，函數(shù)研究的一般路徑為“概念—圖象—性質(zhì)—應用”，一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的學習都遵循這個思路（如圖21）. 教師要注重引導學生從關(guān)注變量之間的依賴和對應關(guān)系及感受圖象的幾何直觀等角度整體認識函數(shù)；通過梳理函數(shù)的增減性、對稱性、最值等，認識函數(shù)的性質(zhì)；經(jīng)歷運用函數(shù)解釋實際問題的全過程. 高中階段研究抽象函數(shù)[y=fx]的路徑應該與此一致，也要注重從“數(shù)”和“形”兩個角度來研究，更多地利用函數(shù)單調(diào)性或者導數(shù)知識來刻畫，以體現(xiàn)初高中函數(shù)學習的一致性和整體性，同時體現(xiàn)高中階段利用單調(diào)性對函數(shù)進行研究的精準性.

初中階段的代數(shù)學習主要是建立代數(shù)結(jié)構(gòu)，形成研究問題的套路，感受知識的生長性和統(tǒng)領(lǐng)性，領(lǐng)悟基本數(shù)學思想，積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

四、結(jié)束語

教師要讓研究成為一種常態(tài)，讓反思成為一種習慣，鼓勵學生善于思考和交流，讓更多的學生喜歡數(shù)學，為落實發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)而努力.

參考文獻：

［1］章建躍. 基于數(shù)學整體性的單元教學設(shè)計（之一）［J］. 中小學數(shù)學（高中版），2020（1 / 2）：130.

［2］章建躍. 基于數(shù)學整體性的單元教學設(shè)計（之二）［J］. 中小學數(shù)學（高中版），2020（3）：封四.