摘" 要：尺規(guī)作圖具有“考查數(shù)學(xué)能力，凸顯數(shù)學(xué)思考；聚焦核心知識(shí)，突出知識(shí)整合；立足核心素養(yǎng)，關(guān)注方法探究”的作用. 文章借助波利亞的四步解題法，從“定”的位置關(guān)系和“定”的數(shù)量關(guān)系出發(fā)，剖析了不同的解題路徑，自然生成了不同的解法. 通過(guò)深入分析，獲得了“重尋徑，輕模仿；重明理，輕操練；重回顧，輕結(jié)果”的教學(xué)啟示.

關(guān)鍵詞：尺規(guī)作圖；作圖路徑；作圖原理

近年來(lái)，尺規(guī)作圖作為江蘇省南京市中考命題的熱點(diǎn)，不僅考查學(xué)生的作圖操作和知法明理，同時(shí)注重考查學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新意識(shí). 本文以2021年中考江蘇南京卷第25題為例，剖析了尺規(guī)作圖題的一些自然解法及對(duì)教學(xué)的啟示.

一、試題呈現(xiàn)

題目" 如圖1，已知P是⊙O外一點(diǎn). 用兩種不同的方法過(guò)點(diǎn)P作⊙O的一條切線. 要求：（1）用直尺和圓規(guī)作圖；（2）保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說(shuō)明.

二、試題解法探析

尺規(guī)作圖考查的不僅是作圖，也包括作圖前的精準(zhǔn)分析和作圖后的嚴(yán)謹(jǐn)證明. 對(duì)于此題，學(xué)生在作圖前需思考如何作圓的切線. 解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出草圖，根據(jù)草圖進(jìn)行建模構(gòu)圖，再分解成基本作圖，逐步操作. 由分析得出作圓的切線即作直角，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何作出直角，這是解決此題的難點(diǎn)，需要學(xué)生深入探究. 可聯(lián)想到產(chǎn)生直角的路徑有以下幾種：（1）直角三角形；（2）直徑所對(duì)的圓周角是直角；（3）勾股定理的逆定理；（4）等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)；（5）直角三角形斜邊中線定理的逆定理；（6）全等三角形；（7）相似三角形.

基于以上分析，從題目中的已知條件和未知條件及“定”的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系出發(fā)，剖析不同的解題思路.

1. 抓住“定”的位置關(guān)系

由PO的位置是確定的，可以聯(lián)想到以PO為直徑作圓，也可以過(guò)PO上某一點(diǎn)作垂線.

思路1：構(gòu)造以PO為直徑的圓.

分析：作切線即構(gòu)造直角，可以將直角置于圓中，利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，則直角頂點(diǎn)在以PO為直徑的圓上. 因?yàn)橹苯琼旤c(diǎn)同時(shí)在⊙O上，所以直角頂點(diǎn)為兩圓的交點(diǎn). 此種構(gòu)圖方式考查了學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng).

方法1：如圖2，連接OP，作線段OP的垂直平分線，得到線段OP的中點(diǎn)G；以點(diǎn)G為圓心、OG長(zhǎng)為半徑作圓，⊙G交⊙O于點(diǎn)M，連接PM. 則直線PM即為所求.

【評(píng)析】作切線即構(gòu)造直角，利用“直徑所對(duì)的圓周角是直角”解決問(wèn)題，是容易聯(lián)想的方法.

思路2：作PO的垂線，借助三角形全等將直角復(fù)制到所求位置.

分析：要產(chǎn)生直角，可以先間接構(gòu)造出直角，再將直角復(fù)制到所求位置. 題目中PO的位置是確定的，即在由點(diǎn)P，O和要求的切線的切點(diǎn)所構(gòu)成的直角三角形中，斜邊PO的長(zhǎng)和一條直角邊的長(zhǎng)是確定的. 由此聯(lián)想到構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，恰能實(shí)現(xiàn)復(fù)制功能.

方法2：如圖3，連接OP，設(shè)OP與⊙O的交點(diǎn)為點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作OP的垂線MN；以點(diǎn)O為圓心、OP長(zhǎng)為半徑作弧，交直線MN為點(diǎn)H，連接OH，交⊙O于點(diǎn)R，連接PR，則直線PR即為所求.

方法3：如圖4，連接PO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作PE的垂線EF；以點(diǎn)O為圓心、OP長(zhǎng)為半徑作弧，交直線EF于點(diǎn)G，連接OG；以點(diǎn)P為圓心、GE長(zhǎng)為半徑作弧，交⊙O為點(diǎn)S，連接PS，則直線PS即為所求.

【評(píng)析】方法2是利用“SAS”構(gòu)造全等三角形，方法3是利用“SSS”構(gòu)造全等三角形. 這兩種方法均由兩個(gè)三角形全等得對(duì)應(yīng)角相等，將直角復(fù)制到所求位置，進(jìn)而求得切線，方法巧妙.

思路3：作以PO為斜邊的直角三角形，借助同弧所對(duì)的圓周角相等，將直角轉(zhuǎn)移到所求位置.

分析：要作直角，聯(lián)想到作直角三角形，再利用同弧所對(duì)的圓周角相等，將直角轉(zhuǎn)移到圓上. 對(duì)于作直角三角形，則聯(lián)想到過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線和勾股定理的逆定理. 其中，借助勾股定理的逆定理的構(gòu)圖方法對(duì)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)要求較高.

方法4：如圖5，連接OP，作射線PE，過(guò)點(diǎn)O作射線PE的垂線，交PE為點(diǎn)F；作PF的垂直平分線，交PO為點(diǎn)Q；以點(diǎn)Q為圓心、OQ長(zhǎng)為半徑作圓，交⊙O為點(diǎn)K，連接PK，則直線PK即為所求.

方法5：如圖6，連接OP，作射線OQ，以點(diǎn)O為圓心、任意長(zhǎng)為半徑作弧，交射線OQ于點(diǎn)A；以點(diǎn)A為圓心、OA長(zhǎng)為半徑作弧，交射線OQ為點(diǎn)B；以點(diǎn)B為圓心、OA長(zhǎng)為半徑作弧，交射線OQ于點(diǎn)C；以點(diǎn)C為圓心、OA長(zhǎng)為半徑作弧，交射線OQ于點(diǎn)D；以點(diǎn)D為圓心、OA長(zhǎng)為半徑作弧，交射線OQ于點(diǎn)E，連接PE；分別作∠FDO = ∠GCO = ∠HBO = ∠IAO = ∠PEO，依次交PO為點(diǎn)F，G，H，I；以點(diǎn)P為圓心、PI長(zhǎng)為半徑作?。灰渣c(diǎn)O為圓心，OG長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)K，連接PK，OK；作PK的垂直平分線ST交PO為點(diǎn)J，以點(diǎn)J為圓心、OJ長(zhǎng)為半徑作⊙J，交⊙O于點(diǎn)V，連接PV，則直線PV即為所求.

【評(píng)析】方法4由直角聯(lián)想到作直角三角形，也符合學(xué)生的思維路徑. 方法5運(yùn)用勾股定理的逆定理構(gòu)造直角，但是此題中只知道直角三角形的斜邊，因此需要將斜邊PO五等分. 設(shè)PO的長(zhǎng)度為5，可得PI的長(zhǎng)度為4，OG的長(zhǎng)度為3，進(jìn)而可以依據(jù)勾股定理的逆定理作出直角三角形. 但是最后仍然需回到方法4. 方法5的操作過(guò)程煩瑣，耗時(shí)較長(zhǎng)，不是優(yōu)解.

尺規(guī)作圖是一種不需要寫證明過(guò)程的證明題. 此題抓住“定”的位置關(guān)系分析、作圖，即根據(jù)題目中給出的已知條件，通過(guò)作圖，逐步靠近目標(biāo)，最終獲得結(jié)論. 也可以從結(jié)論出發(fā)逐步尋求使其成立的條件，直到所需要的條件均為已知，即先假設(shè)結(jié)論成立，再逆推得出使結(jié)論成立的已知條件. 下面抓住“定”的數(shù)量關(guān)系，得出尺規(guī)作圖的解題步驟．

2. 抓住“定”的數(shù)量關(guān)系

分析：要作切線，只需要構(gòu)造直角，要產(chǎn)生直

【評(píng)析】方法1中線段PO的中點(diǎn)G是通過(guò)作PO的垂直平分線得到的. 除此之外，容易聯(lián)想到由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到線段PO的中點(diǎn). 再運(yùn)用直角三角形斜邊中線定理的逆定理——如果一個(gè)三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形（此結(jié)論的圖形語(yǔ)言是一種基本圖形，可作為解題經(jīng)驗(yàn)），也可以得到直角.

思路5：作2PO和2r長(zhǎng)度的線段，借助“A字形”相似轉(zhuǎn)移直角.

方法7：如圖9，作射線PO，以點(diǎn)O為圓心、OP長(zhǎng)為半徑作弧，交射線PO于點(diǎn)P′；設(shè)PP′與小⊙O交于點(diǎn)A，B，以點(diǎn)P′為圓心、AB長(zhǎng)為半徑作圓，交大⊙O于點(diǎn)Q，連接PQ，QP′，過(guò)點(diǎn)O作線段PQ的垂線OH，交PQ于點(diǎn)D，則PD所在直線即為所求切線.

【評(píng)析】該方法利用相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等轉(zhuǎn)移直角，作圖方法簡(jiǎn)潔，考查了學(xué)生的幾何直觀和推理能力.

思路6：作2r，借助等腰三角形“三線合一”構(gòu)造直角.

分析：由切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑，聯(lián)想到利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)構(gòu)造直角. 由于2r和PO的長(zhǎng)度是確定的，容易聯(lián)想到構(gòu)造腰為PO、底邊為2r的等腰三角形. 如圖10，假設(shè)PG為⊙O的切線，則∠PGO = 90°，又因?yàn)镻H = PO，利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得OH = 2OG，所以需要將OG倍長(zhǎng)，確定點(diǎn)H，即可作圖.

方法8：如圖11，連接PO并延長(zhǎng)PO，交⊙O依次為點(diǎn)J，K，以點(diǎn)P為圓心、OP長(zhǎng)為半徑作弧，以點(diǎn)O為圓心、JK長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧的交點(diǎn)為點(diǎn)H，連接PH，OH，OH交⊙O于點(diǎn)G，連接PG，則PG所在直線即為所求切線.

【評(píng)析】構(gòu)造腰為PO、底邊長(zhǎng)為⊙O直徑長(zhǎng)度的等腰三角形，恰使底邊的中點(diǎn)落在⊙O上，利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可以得到直角. 該方法作圖簡(jiǎn)潔，易于聯(lián)想，是一種優(yōu)解．

思路7：借助三角形相似，作與切線長(zhǎng)相等的線段，轉(zhuǎn)換線段為切線長(zhǎng).

分析：切線的長(zhǎng)度是確定的，切點(diǎn)是待定的，確定切點(diǎn)是作圖的關(guān)鍵環(huán)節(jié). 由于圓外一點(diǎn)P到圓的最近距離和最遠(yuǎn)距離是確定的，它們的乘積也是確定的，故聯(lián)想到利用射影定理和切割線定理確定切點(diǎn)的位置. 構(gòu)造兩次三角形相似，即先作與切線長(zhǎng)相等的線段，再將此線段轉(zhuǎn)換為切線長(zhǎng)，這種方法的本質(zhì)是將邊的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為形的位置關(guān)系.

如圖12，假設(shè)PD為⊙O的切線，切點(diǎn)為點(diǎn)D，連接DM，DN，DO，可得[∠PDO=90°，] 即[∠PDM+∠ODM=][90°.]因?yàn)镸N為⊙O的直徑，所以[∠NDM=90°.] 可得[∠PDM=]∠ODN. 又因?yàn)椤螼DN = ∠OND，所以∠PDM = ∠OND. 從而可以證得[△PDM∽△PND.] 得PD2 = PM·PN. 作以PN為直徑的圓，過(guò)點(diǎn)M作PN的垂線，交圓于點(diǎn)G，所以[∠PGN=90°，∠PMG=90°.] 由此可以證得[△PMG∽△PGN.] 得PG2 = PM·PN. 所以[PG=PD. ]所以先作出PG，再作出與PG等長(zhǎng)的線段PD與⊙O相交于點(diǎn)D，即可完成作圖.

方法9：如圖13，連接OP，設(shè)OP與⊙O交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)PO交⊙O于點(diǎn)N，作PN的垂直平分線EF，交PN于點(diǎn)H；以點(diǎn)H為圓心、PH長(zhǎng)為半徑作⊙H；過(guò)點(diǎn)M作PN的垂線交⊙H于點(diǎn)G，連接PG，GN，以點(diǎn)P為圓心、PG長(zhǎng)為半徑作弧交⊙O于點(diǎn)D，連接PD，則PD所在直線即為所求切線.

【評(píng)析】這種方法要求學(xué)生對(duì)三角形相似、射影定理、切割線定理掌握得非常熟練，對(duì)學(xué)生的知識(shí)整合能力也提出了更高的要求.

3. 試題拓展

拓展1：題干同題目，若點(diǎn)P在⊙O上，用兩種不同方法過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線.

拓展2：在圖1的⊙O上求作一點(diǎn)Q，使得∠OQP = 60°.（要求：用兩種不同的方法.）

三、教學(xué)啟示

1. 重尋徑，輕模仿

對(duì)于綜合性的尺規(guī)作圖題，要引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)試題給出的條件畫出草圖，根據(jù)草圖分析哪些元素是確定的，哪些元素是不確定的，并結(jié)合結(jié)論思考對(duì)于不確定的元素需要滿足什么條件，從而選擇適合的作圖方式. 例如，此題中要求作切線，即作直角，教師在教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考有哪些途徑可以產(chǎn)生直角，讓學(xué)生聯(lián)想產(chǎn)生直角的路徑（如圖14），鎖定其中某種路徑后，再對(duì)選定路徑的具體步驟進(jìn)行推敲，思考每一步需要哪些基本作圖. 因此，尺規(guī)作圖前的尋“徑”，能夠體現(xiàn)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)新性.

2. 重明理，輕操練

教師在日常的教學(xué)中注重作圖技能傳授的基礎(chǔ)上，更應(yīng)該注重教學(xué)生理解作圖方法中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì). 也就是說(shuō)，教師要引導(dǎo)學(xué)生把尺規(guī)作圖題當(dāng)作幾何證明題，實(shí)現(xiàn)圖形、文字、符號(hào)語(yǔ)言之間的相互轉(zhuǎn)化，使學(xué)生對(duì)每一步的作圖要能“知其然，知其所以然”. 明理既能培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰Γ帜艽偈箤W(xué)生鞏固相關(guān)知識(shí)并完成知識(shí)網(wǎng)的建構(gòu). 在尺規(guī)作圖教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)有的學(xué)生僅僅會(huì)作圖，但是不會(huì)用文字說(shuō)明，更不知作圖的原理. 教師在教學(xué)中要讓學(xué)生多動(dòng)手畫、多動(dòng)口說(shuō)、多動(dòng)筆證，注重讓學(xué)生理解知識(shí)的生成過(guò)程，促使學(xué)生抓住問(wèn)題的本質(zhì)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生深刻體會(huì)作圖原理，準(zhǔn)確提取作圖依據(jù)，并在此基礎(chǔ)上規(guī)范學(xué)生作圖語(yǔ)言的表達(dá). 因此，只有明白作圖中蘊(yùn)含的道理，方能理解尺規(guī)作圖的本質(zhì)，從而將已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)遷移、內(nèi)化.

3. 重回顧，輕結(jié)果

綜合作圖題本質(zhì)上考查的是五種基本作圖、基本圖形及核心知識(shí)的融合，需要學(xué)生多維度、全方位、深層次地思考如何建構(gòu)符合題意的圖形. 尺規(guī)作圖教學(xué)中，教師應(yīng)該注重引導(dǎo)學(xué)生歸納作圖思路. 由探究發(fā)現(xiàn)，尺規(guī)作圖題的解題過(guò)程類似于波利亞的解題四步法，概括如下：（1）理解題意——畫出草圖（分析已知點(diǎn)和未知點(diǎn)）；（2）擬訂方案——建模構(gòu)圖（根據(jù)未知點(diǎn)滿足的條件建模）；（3）執(zhí)行方案——尺規(guī)作圖（作出滿足條件的未知點(diǎn)）；（4）回顧反思——推理論證（論證所作圖即為所求）. 在這四個(gè)步驟中，擬訂方案是關(guān)鍵，即如何建模構(gòu)圖，同時(shí)強(qiáng)調(diào)回顧反思時(shí)的推理論證是不可缺少的環(huán)節(jié). 回顧反思時(shí)，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生思考是否還有其他作圖方法，并對(duì)不同作圖方法進(jìn)行比較、分析，做到多解歸一. 在此基礎(chǔ)上，教師還可以對(duì)所探究的尺規(guī)作圖題進(jìn)行變式，促進(jìn)學(xué)生思維的縱深發(fā)展.

因此，對(duì)于綜合作圖題的教學(xué)，教師要讓學(xué)生經(jīng)歷幾個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)：畫出草圖—分析作圖條件—探究作圖路徑—選擇作圖方法—明晰作圖原理—?dú)w納作圖思路—變式拓展—回顧反思. 同時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生思考“作什么？怎么作？為什么這么作？會(huì)有不同作法嗎？”等問(wèn)題，使學(xué)生不僅會(huì)作、會(huì)說(shuō)、會(huì)證，還要會(huì)用不同方法作圖，在探究不同作圖方法的過(guò)程中彰顯創(chuàng)新思維，在明理的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)圖形中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)，在回顧反思的過(guò)程中促進(jìn)思維能力的提升.

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