摘" 要：數(shù)學教學應該教到什么程度，學生才能高效地學好數(shù)學，這是困擾教師尤其是青年教師的一個現(xiàn)實問題. 結合實例，從內容安排要適度、教材處理要適度、例題選擇要適度、數(shù)學探究要適度，以及悟概念生成、悟技能形成、悟思想精髓、悟教材本意等方面，分別論述了教要適度、學貴領悟的要義和觀點，借此對當前數(shù)學教學落實“雙減”任務、提高教學效率給出思考和建議.

關鍵詞：數(shù)學教學；適度；領悟

數(shù)學教學既要傳授知識，更要開發(fā)思維. 傳授知識的主要依據(jù)是數(shù)學教材. 怎么用好教材，涉及怎么教的問題. 教的秘訣在于“度”，學的真諦在于“悟”. 其用意是要求廣大教師（特別是青年教師）在教學實踐中不斷總結教學經驗，針對學生數(shù)學學習過程中的思維多樣性和個體差異性，恰如其分地把握好教的“度”，千方百計地引導學生獨立思考，最終使學生在領悟中掌握知識. 一句話，教學的成效和關鍵在于“適度”與“領悟”.

一、教要適度

筆者認為，教學的適度性應從內容安排、教材處理、例題選擇、數(shù)學探究等方面來著眼和實施.

1. 內容安排要適度

數(shù)學教學中，教學內容的安排和取舍決定著一節(jié)課的成敗.

案例1：線段、射線、直線.

滬科版《義務教育教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“滬科版教材”）七年級上冊“4.2 線段、射線、直線”一節(jié)是這樣展開的：首先觀察長方體的棱可以看作是什么圖形，由數(shù)學課本封面抽象出來的長方形的邊是什么圖形，從而得出這些棱和邊是線段. 接著命名線段的端點和線段的表示；將線段向一個方向延長得出射線的概念和射線的表示；將線段向兩個方向無限延長得出直線的概念和直線的表示；然后介紹直線的基本事實——經過兩點有一條直線并且只有一條直線，在此基礎上得到直線的基本性質——兩條直線相交只有一個交點.

對于該節(jié)內容，教師A在一節(jié)課中僅安排了學習線段、射線、直線3個概念；教師B按教材安排講授到直線的基本性質.

教師A安排的教學內容過于單薄，不能突出本節(jié)課的重點. 學生在小學階段已經學習過線段、射線、直線的相關內容，對于本節(jié)內容，教師只需要引導學生采用由特殊到一般的思想，由線段得到射線、直線的概念，然后學習線段、射線、直線的表示及直線的基本事實和性質. 從學生的認知結構來看，在一節(jié)課中全部學完這些內容，學生是可以接受的，所以教師B對本節(jié)教學內容的安排是適度的.

所以說，一節(jié)課的成敗，教學內容的安排是決定課堂授課是否成功的重要因素.

2. 教材處理要適度

數(shù)學教材是教學的主要依據(jù). 教材的編寫考慮到篇幅的限制，可能對一些內容的編排點到為止，需要教師在教學中對教材內容進行適當處理，使教材內容更符合學生的認知特點.

案例2：代數(shù)式的值.

滬科版教材七年級上冊“2.1.3 代數(shù)式的值”的編寫如下.

算一算，你每天需要多少睡眠時間？

像這樣，用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式中的運算關系計算得出的結果叫做代數(shù)式的值（value of algebraic expression）.”

接著教材安排了如下的例題.

例" 某堤壩（如圖1）的橫截面是梯形（如圖2），測得梯形上底[a=18 m]，下底[b=36 m]，高[h=20 m]，求這個截面的面積.

本節(jié)課的情境中采用的“睡眠時間”這個詞是學生熟悉的，符合學生的認知基礎，讓學生計算自己的睡眠時間可以對學生進行科學素養(yǎng)的滲透. 但計算堤壩截面的面積是三個字母的代數(shù)式求值，而前面僅介紹了代數(shù)式的值的概念和求法，直接讓學生計算含三個字母的代數(shù)式的值，思維跨度較大.

一位教師教學時對教材進行了適度處理，即在講解上述例題前，先讓學生求解如下內容：當[x=2]時，求[2x2+1]的值.

該教師增加的這道例題不僅讓學生進一步理解了字母與數(shù)連接可以省略運算符號，而且讓學生理解了數(shù)與數(shù)連接時運算符號不能省略.

筆者認為，該教師增加的內容是對教材的適度處理，使得教材內容梯度更合理，更符合學生的思維層次和節(jié)奏.

3. 例題選擇要適度

例題教學是鞏固數(shù)學知識并讓學生運用數(shù)學知識解決數(shù)學問題的示范. 例題教學既要考慮當前所教授的內容，更要考慮學生的可接受程度.

案例3：鏈接中考.

中考復習既要注意所在地區(qū)的初中學業(yè)水平考試情況，也要注意學生的學情. 一位教師在九年級中考綜合復習階段給學生選擇了以下一道題目.

題目" 如圖3，在[Rt△ABC]中，[∠C=90°]，[AC=6]，[∠BAC=60°]，[AD]平分[∠BAC]交[BC]于點[D]，過點[D]作[DE]∥[AC]交AB于點[E]，點[M]是線段[AD]上的動點，連接[BM]并延長交[DE]，[AC]于點[F]，[G].

（1）求[CD]的長.

（3）試問當[DM]的長滿足什么條件時，在線段[DE]上恰好只有一個點[P]，使得[∠CPG=60°]？

（3）先過[C]，[P]，[G]三點作外接圓，圓心為點[Q]，則[△CQG]是頂角為[120°]的等腰三角形，再分類討論.

該道中考試題的解答涉及角的平分線、銳角三角函數(shù)、全等三角形、四點共圓、相似三角形的性質與判定等知識，以及分類討論和轉化與化歸思想等思想方法，知識點過于集中，綜合性過強. 在這樣的復習課中，例題的選擇對于“以學業(yè)水平考試為主，兼顧選拔功能”省份的學生來說，顯得要求過高.

4. 數(shù)學探究要適度

引導學生經歷探究過程自主獲取知識與發(fā)現(xiàn)解題思路，是讓學生感悟數(shù)學思想、積累數(shù)學活動經驗的最好方式. 但是，過度的探究會掩蓋思想感悟和經驗積累，破壞學生掌握知識和方法的重、難點.

案例4：多邊形內角和.

在滬科版教材八年級下冊“19.1 多邊形內角和”一節(jié)課中，在探究多邊形的內角和定理——[n]邊形的內角和等于[n-2 ?180°]（[n]為不小于3的整數(shù)）時，有的教師引導學生采用兩種方法探究. 一種是連接對角線，另一種是在四邊形內部任取一點，得到四邊形的內角和為[360°]，即[4-2×180°]，再運用從特殊到一般的思想拓展到[n]邊形的內角和等于[n-2 ?180°]（[n]為不小于3的整數(shù)）. 而有的教師卻對四邊形從多種分割方式（如圖7）出發(fā)來獲得結論. 筆者認為，探究方法以2～3種為宜，沒有必要過度探究，因為讓學生沉浸在這種重復的探究中，既浪費了寶貴的教學時間，又掩蓋了數(shù)學探究的真實意義.

二、學貴領悟

數(shù)學學習的對象是人類社會的已知世界，而且是經過精中求簡、削枝強干、返璞歸真、妥加組織而呈現(xiàn)出來的數(shù)學知識. 這些數(shù)學知識已經脫離了原來的面目，給學生理解這些知識帶來了一定的困難. 因此，在數(shù)學教學過程中，教師要給學生留有時間和空間，并幫助學生內化、思考、領悟這些數(shù)學知識. 其中，學生領悟應從悟概念的生成、悟技能的形成、悟思想的精髓、悟教材的本意等方面入手.

1. 悟概念生成

概念是思維的基本單位. 數(shù)學概念是數(shù)學大廈的基石. 數(shù)學概念隨著學段的提高逐步趨于嚴謹. 小學階段基本上不對概念下定義，初中階段的代數(shù)學習中也有不少是用“像……，稱為……”的形式來給出數(shù)學定義的. 初中階段的幾何概念一般采用比較嚴格的定義. 例如，平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形. 但無論是描述性的定義還是抽象性的定義，都要使學生在概念的生成中真正領悟和理解概念.

案例5：平面內點的坐標.

在教學滬科版教材八年級上冊“11.1 平面內點的坐標”時，教師可以采用下面的步驟使學生更好地理解平面直角坐標系的概念.

步驟1：我們在七年級上冊、七年級下冊分別學習了有理數(shù)、實數(shù)的概念，知道數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應，如圖8所示.

步驟2：圖9是邊長為1的小正方形構成的網(wǎng)格平面，可以將平面上的點用一個有序數(shù)對來表示.

步驟2是讓學生在迫切期望下進行學習，為了突破這個難點，安排了步驟3，主要是引導學生回憶小學學習的“位置”帶給我們什么啟示.

步驟3：人教版《義務教育教科書·數(shù)學》五年級上冊“位置”一課中給出了如圖10所示的某教室學生座位的平面圖，回答下列問題.

（1）王艷同學的位置用數(shù)對表示是（" " ，" " ），趙雪同學的位置用數(shù)對表示是（" " ，" " ），看一看有什么不同？

（2）若數(shù)對（6，4）表示王樂同學的位置，試指出王樂同學所在的位置.

通過以上三個步驟使學生體會到：一個數(shù)用一條數(shù)軸上的一個點來表示，平面內的點需要用一個有序數(shù)對來表示，數(shù)對中的每個數(shù)都需要用到一條數(shù)軸. 進而得到平面直角坐標系的定義：在平面內畫兩條互相垂直并且原點重合的數(shù)軸，水平的數(shù)軸叫做[x]軸或橫軸，取向右為正方向；垂直的數(shù)軸叫做[y]軸或縱軸，取向上為正方向；兩軸交點[O]為原點. 這樣就建立了平面直角坐標系.

2. 悟技能形成

數(shù)學技能包含運算、作圖、推理等，其對數(shù)學學習有著重要的影響. 學生獲得熟練的基本技能需要經過認知階段、聯(lián)系階段、自動化階段. 如何使數(shù)學技能從認知、聯(lián)系階段上升到自動化階段，筆者認為，在進行數(shù)學技能訓練時，教師對學生進行恰當?shù)囊龑е陵P重要.

案例6：解方程中的整體思想.

對于滬科版教材七年級上冊習題3.1中的第4題第（3）小題“解一元一次方程[5x+x+1=19]”，按照“去括號，合并同類項，移項，系數(shù)化為1”這一常規(guī)方法來解題固然重要，但學生會失去一次能力升華的機會. 教師在學生用常規(guī)方法解題后，可以按照如下解法來啟發(fā)引導學生：若在等式的兩邊同時加上5，得到[5x+5+x+1=19+5]，利用乘法的分配律得[5x+1+][x+1=24]，合并同類項得[6x+1=24]，系數(shù)化為1得[x+1=4]，移項得[x=3].

這樣的教學不僅使學生鞏固了解一元一次方程的步驟，更向學生滲透了整體思想，把純粹的運算上升到思維訓練的高度. 長此以往，就會使學生將單純的技能訓練發(fā)展為數(shù)學能力的形成.

3. 悟思想精髓

數(shù)學思想方法是數(shù)學的精髓，是一種隱性的知識. 在數(shù)學教學中，教師要讓學生自己感悟出知識形成過程中所蘊含的數(shù)學思想方法，而不是由教師在課堂小結時自顧自地說出本節(jié)課內容涉及了哪些數(shù)學思想方法.

案例7：弧長與扇形的面積.

滬科版教材九年級下冊“24.7 弧長與扇形面積”一課中，教師在引導學生回顧弧長、優(yōu)弧、劣弧、圓心角的定義的基礎上，給出了扇形的定義. 然后教師給出思考：如何得到弧長的計算公式呢？

在這一系列公式推導和問題解決的過程中，讓學生感受到了從一般到特殊，再從特殊到一般，以及類比、轉化等數(shù)學思想方法的威力，促進了學生領悟這些思想方法的精髓.

4. 悟教材本意

數(shù)學學習離不開讀教材. 讀教材時要準確地領悟編者的編寫意圖.

案例8：命題與證明.

滬科版教材八年級上冊“13.2 命題與證明”一節(jié)對于如何證明三角形內角和定理——三角形的內角和等于180°，給出了如下的已知和求證.（三角形內角和定理具體證明過程見教材，此處略.）

已知：△ABC，如圖11所示.

求證：∠A + ∠B + ∠C = 180°.

有的學生可能更在乎證明三角形內角和定理的方法，甚至有的學生搜集了如翻折、剪拼、過頂點作底邊的平行線，過三角形內部一點作平行線，過三角形外一點作平行線等10多種證明方法. 實質上，在學習過命題與證明后，此處安排證明三角形內角和定理，目的是讓學生明白“在證明命題時，要分清命題的條件和結論，如果問題與圖形有關，首先根據(jù)條件畫出圖形，并在圖形上標出有關字母與符號；再結合圖形，寫出已知、求證；然后，分析因果關系，找出證明途徑；最后有條理地寫出證明過程”. 所以有條理地寫出證明過程就是悟出的教材安排證明三角形內角和定理的本意，然后才是探究證明的方法. 當然這對于學生來說難以做到，需要教師引導學生多閱讀、多反思、多領悟.

三、結束語

教之道在于度，學之道在于悟. 高效的課堂教學，必須充分調動教師與學生兩個方面的主觀能動性，充分發(fā)揮教師的主導、點撥和學生的主體、主動作用，而不是教師包辦代替、越俎代庖，以及學生被動接受、無所適從. 只要我們能夠切實把握教師教的“度”和學生學的“悟”，課堂教學效益一定會穩(wěn)步提升，走向高效.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022．

［2］曹才翰，章建躍. 數(shù)學教育心理學［M］. 北京：北京師范大學出版社，2021.