摘 "要：針對易腐品庫存模型與庫存管理的問題，研究分析并梳理了國外相關(guān)文獻，試圖從易腐庫存模型的需求類型、腐敗率類型、供應(yīng)鏈環(huán)境因素以及易腐品庫存監(jiān)督等各個角度對易腐品庫存模型和管理進行了回顧和分析。學界對于不同需求類型以及不同腐敗率類型的研究較多，且研究范圍相當廣泛；在對供應(yīng)鏈環(huán)境因素的研究中，針對存在交易信用、通貨膨脹等因素的文獻眾多，但由于分析較復(fù)雜或者計算較困難等因素，對于信息共享、多物品庫存以及第三方監(jiān)督等因素的研究學界鮮有涉及，故據(jù)此提供未來的研究方向，以期對學界和易腐品企業(yè)未來的庫存管理研究提供有效的參考與借鑒。

"關(guān)鍵詞：易腐品；庫存模型；庫存管理；國外研究

"中圖分類號：F253 " "文獻標志碼：A

DOI：10.13714/j.cnki.1002-3100.2023.07.035

Abstract： In view of the problem of the perishable inventory model and inventory management， the relevant literature abroad is studied and analyzed， and tries to review and analyze the perishable inventory model and inventory management from various perspectives such as demand type， deterioration rate type， supply chain environmental factors and perishable inventory supervision. There are many researches on different demand types and different deterioration rate types in the academic circle， and the research scope is quite extensive. In the study of environmental factors in the supply chain， there are also a large number of papers for the factors like trade credit and inflation， but due to reasons such as analysis is more complex or calculation is more difficult， for the factors such as information sharing， multi-level inventory， and the third party supervision are few involved in the research community. Therefore， some future research directions are provided in order to provide effective reference to the academic circle and perishable products enterprises for future inventory management research.

Key words： perishable products; inventory model; inventory management; study abroad

0 "引 "言

"隨著一個生產(chǎn)型企業(yè)的發(fā)展與成熟，要想在市場獲得更多的利潤，如何管理好庫存，讓庫存成為企業(yè)的“第三利潤源”就成為了關(guān)鍵。特別是對于一個生產(chǎn)易腐品的企業(yè)來說，易腐品的庫存管理顯得更為重要。例如，對于生鮮產(chǎn)品來說，我國每年生鮮產(chǎn)品的庫存損耗率高達庫存總量的25%～30%，損失量達到上億噸，轉(zhuǎn)換為經(jīng)濟損失高達1 000億元以上，然而在發(fā)達國家中，生鮮產(chǎn)品庫存損耗率僅為5%左右，故對于如何有效管理易腐品庫存，降低庫存損耗，各企業(yè)還有很長一段路要走[1]。

"那什么是易腐品呢？隨著時間的推移失去價值的產(chǎn)品都被認為是易腐的。例如蔬果、藥品、放射性化學材料、高級時裝和高科技產(chǎn)品（如電腦和手機）在本質(zhì)上都是易腐的。在當下的全球化經(jīng)濟中，由于顧客期望的變化、競爭水平的提升、技術(shù)進步的節(jié)奏加快等原因，電子產(chǎn)品的更新?lián)Q代速度越來越快，變得越來越容易“變質(zhì)”。因此，為提高企業(yè)的服務(wù)響應(yīng)速度和客戶的滿意度，在市場上獲得更好的口碑和聲譽，管理者、學者和研究人員正在努力理解和解決易腐品的庫存問題，以達到企業(yè)的最佳狀態(tài)。

"本文對國外易腐品庫存模型及庫存管理相關(guān)文獻進行了分類和梳理，為今后的研究提供理論基礎(chǔ)和參考依據(jù)，以期進一步豐富易腐品庫存領(lǐng)域的研究成果。

1 "研究綜述

1.1 "需求類型。消費者的需求不僅是易腐品企業(yè)收入的來源，也是易腐品企業(yè)按需生產(chǎn)以減少變質(zhì)及相關(guān)成本的重要依據(jù)。若在模型建立中考慮易腐品企業(yè)庫存系統(tǒng)中所存在的不確定性，則可將需求可分為以下五類：固定需求、時間依賴型需求、庫存依賴型需求、價格依賴型需求以及隨機需求分布。

1.1.1 "固定需求。Raafa于1991年第一個提出有限補充率和恒定需求率函數(shù)相結(jié)合的聯(lián)合易腐品模型。Papachristo和Konstantaras在需求為常數(shù)且產(chǎn)品質(zhì)量有缺陷的情況下得到了最優(yōu)EOQ解[2]。Setiawan等人通過假設(shè)確定性需求，建立了一個有回報的易腐品庫存數(shù)學模型[3]。Zanoni和Zavanella認為，即使在降價的情況下，產(chǎn)品的需求也會隨著時間的推移以恒定的速度不斷減少[4]。這種假設(shè)是非?，F(xiàn)實的，在本質(zhì)上是易腐品的高科技產(chǎn)品上就可以得到體現(xiàn)。雖然需求常數(shù)假設(shè)有助于簡化問題，但它與需求總是變化的實際情況相去甚遠。為了使研究更加實際，許多研究人員研究了其他形式的需求。其中，時間依賴型需求引起了學者們的廣泛關(guān)注。

1.1.2 "時間依賴型需求。在產(chǎn)品生命周期中，產(chǎn)品的需求可能會上升，但由于替代產(chǎn)品的引入和顧客偏好的改變，需求也有可能會下降。產(chǎn)品的庫存年限對客戶需求也有負面影響，因為消費者會對商品的質(zhì)量失去信心。以上等情況都要求易腐品庫存模型中的需求遵循時變的發(fā)展機制。Chung和Ting首先提出了需求是時間的線性函數(shù)且不受將來規(guī)劃影響的庫存模型[5]。Chun和Shu將時間依賴型需求和有限補貨率聯(lián)系起來，開發(fā)了具有時間依賴型需求的易腐品的兩倉庫庫存模型[6]。Pervin等人利用線性需求函數(shù)，得到了允許短缺且持有成本也隨時間變化的庫存模型最優(yōu)解[7]。

1.1.3 "庫存依賴型需求。大量的存貨能夠吸引更多的顧客，故有時產(chǎn)品的需求與庫存數(shù)量有關(guān)，在這種情況下，一個需要權(quán)衡的問題就是資源配置，因為增加庫存空間需要投資。而如果產(chǎn)品在本質(zhì)上是易腐的，問題就更嚴重了，因為還要考慮到隨著庫存量增大而可能增加的腐敗成本。Padmanabhan和Vrat首先提出了銷售率是當前庫存水平的函數(shù)且變質(zhì)率是常數(shù)的易腐物品庫存模型[8]。Giri和Chaudhuri提出了一個擴展的易腐品EOQ庫存模型，其中需求率是庫存的函數(shù)，其他傳統(tǒng)參數(shù)不變，但其持有成本被視為產(chǎn)品庫存中所存放時間長度的非線性函數(shù)[9]。Chang修正了Giri和Chaudhuri的易腐品庫存模型，他們將目標改變?yōu)槔麧欁畲蠡艑捔肆闫谀齑娴南拗?。?shù)值結(jié)果表明，他們提出的模型所獲得的訂貨量和利潤都明顯大于Giri和Chaudhuri以成本最小為目標的模型[10]。Ghiami等人在零售商的需求率依賴于庫存、允許短缺且部分需求得不到滿足的情況下，研究了零售商倉庫容量有限的易腐品兩級庫存供應(yīng)鏈模型[11]。

1.1.4 "價格依賴型需求。在現(xiàn)實生活中，產(chǎn)品的需求取決于庫存水平，同時也取決于價格。這個問題已經(jīng)被許多研究者所研究，如Kim等人在允許延期付款的條件下，開發(fā)了易腐品需求依賴于價格模型[12]。Mukhopadhyay等人在腐敗率服從雙參數(shù)威布爾分布的條件下，開發(fā)了一種價格依賴型需求的易腐品模型[13]。Giri和Bardhan在假設(shè)市場需求依賴于現(xiàn)有的庫存和產(chǎn)品價格的條件下，提出了一個集成的單一制造商——單一零售商的供應(yīng)鏈模型，并在該模型中提出收益共享契約以協(xié)調(diào)該二級供應(yīng)鏈[14]。

1.1.5 "隨機需求分布。在當今的市場中，需求函數(shù)取決于各種外部因素，如市場趨勢、技術(shù)等以及各種內(nèi)部因素，如定價、營銷策略等。因此有學者認為需求應(yīng)該被認為是具有某種概率分布的、是隨機的。Shen等人在提出的庫存模型中假設(shè)需求遵循一種特定類型的概率分布，這種分布在本質(zhì)上可以是正態(tài)分布、指數(shù)分布等，并具有標準差[15]。Pang認為不同時期的需求函數(shù)對銷售價格是敏感的，是隨機且相互獨立的[16]。一些學者也提出了在考慮和設(shè)置易腐品需求時，預(yù)期的等待時間和隊列長度也需要考慮，這對實現(xiàn)庫存控制策略很有成效[17-18]。 事實上，隨著現(xiàn)代商業(yè)環(huán)境中不確定性的增加，確定性需求的假設(shè)已經(jīng)遠遠不成立，因此隨機需求越來越受到關(guān)注。在處理隨機需求時，很多研究者通常假設(shè)需求是泊松分布、三參數(shù)威布爾分布等。

1.2 "腐敗率類型。產(chǎn)品的腐敗是指產(chǎn)品的品質(zhì)逐漸變差或已超過它的最大壽命。產(chǎn)品的腐敗率也是易腐品庫存模型中非常重要的一個環(huán)節(jié)，它在一定程度上影響了企業(yè)的補貨策略。故本文將研究中易腐品的腐敗率分為三類：固定壽命、隨機壽命以及時間依賴型腐敗率。

1.2.1 "固定壽命產(chǎn)品。擁有固定壽命的產(chǎn)品會過時，應(yīng)在使用期限內(nèi)棄置。這些產(chǎn)品通常遵循先進先出或后進先出的發(fā)放政策。具有壽命的易腐品庫存模型是由Nandakumar和Morton1993年以及Liu和Lian1999年創(chuàng)立的。Chun在產(chǎn)品具有固定使用壽命的基礎(chǔ)上，首先對Pakkala和Achary的雙倉庫后進先出模型進行了修正，并提出了一種基于FIFO調(diào)度的易腐品兩倉庫模

型[19]。Parlar等人提出了一個易腐品庫存系統(tǒng)，在該系統(tǒng)中，待存儲物品的到貨時間和需求的到達時間形成獨立的泊松過程，并分別對FIFO（先進先出）和LIFO（后進先出）政策下的最優(yōu)補貨速率和最大預(yù)期平均利潤進行了確定和比較[20]。

1.2.2 "隨機壽命產(chǎn)品。隨機壽命產(chǎn)品是指在庫存中沒有預(yù)先確定其確切壽命的產(chǎn)品。例如，新鮮水果和蔬菜的腐爛率是不確定的，因此壽命被假設(shè)為隨機變量。Kalpakam和Arivarignan以及Liu在產(chǎn)品具有隨機壽命的易腐品庫存系統(tǒng)中研究了馬爾可夫更新[21-22]。Jain和Silver在產(chǎn)品壽命服從任意概率分布的條件下，建立了隨機動態(tài)規(guī)劃模型，并確定了具有隨機壽命的產(chǎn)品的最優(yōu)訂貨策略[23]。Halim等人通過考慮隨機需求、需求部分積壓以及模糊腐敗率，開發(fā)并研究了一個模糊意義上的EOQ模型[24]。

1.2.3 "時間依賴型腐敗率。隨著時間的推移，變質(zhì)可以被認為是時間的函數(shù)，在這種情況下，物品腐爛的速度會隨著時間的推移而加快。Jalan等人提出了具有瞬時供應(yīng)、需求線性增長和庫存短缺的易腐品庫存模型，并用雙參數(shù)威布爾分布表示腐敗率與時間的函數(shù)，得到了EOQ問題的最優(yōu)解[25]。Qin等人在需求率依賴于產(chǎn)品的質(zhì)量，腐敗率函數(shù)遵循雙參數(shù)威布爾分布的條件下，考慮了質(zhì)量和產(chǎn)品數(shù)量同時惡化的產(chǎn)品定價和批量訂貨問題[26]。Tai等人在假設(shè)產(chǎn)品的最大壽命在一段時間內(nèi)是隨機的，且腐敗率是時變的條件下，研究了兩種補貨策略：基于數(shù)量的策略和基于時間的策略[27]。

1.3 "供應(yīng)鏈環(huán)境因素。隨著供應(yīng)鏈的不斷發(fā)展與成熟，供應(yīng)鏈的上下游聯(lián)系愈發(fā)密切，信息交流、信息共享才符合當代供應(yīng)鏈的發(fā)展趨勢。面對這種現(xiàn)實情況，易腐品企業(yè)不得不考慮社會經(jīng)濟環(huán)境以及供應(yīng)鏈上下游等環(huán)境因素給自身發(fā)展帶來的影響。

1.3.1 "存在交易信用。在當今競爭激烈的商業(yè)交易中，供應(yīng)商可能會允許他的零售商延遲付款，以鼓勵零售商購買更多的商品。Chang等人在考慮有限計劃時段、允許短缺和延遲付款的條件下推導(dǎo)了易腐品的最優(yōu)EOQ補貨策略[28]。Bhunia等人提出了考慮貿(mào)易信貸融資的兩倉庫易腐品庫存模型，并利用實際案例和數(shù)值算例對模型加以檢驗，以證明模型的實踐性和有效性[29]。Chang等人在允許延遲付款的情況下，分析并對比了供應(yīng)商向零售商提供與訂單數(shù)量相關(guān)的各種交易信用的非瞬時腐敗物品的庫存模型[30]。

"同樣，為了獲得競爭優(yōu)勢，如果訂單數(shù)量大于或等于預(yù)定數(shù)量，供應(yīng)商通常會向購買者提供較長的延期付款期限或價格折扣。Liao在零售商收到供應(yīng)商貿(mào)易信貸，同時也向客戶提供貿(mào)易信貸的條件下，分析了貿(mào)易信貸政策對易腐品古典經(jīng)濟生產(chǎn)數(shù)量（EPQ）的影響[31]。2012年，Liao等人也推導(dǎo)出了在貿(mào)易信用與訂單數(shù)量掛鉤的條件下，具有兩種存儲設(shè)施（一種是自有倉庫，另一種是租用倉庫）的易腐品的經(jīng)濟訂單數(shù)量[32]。

1.3.2 "存在通貨膨脹。Hou等人在考慮了通貨膨脹、貨幣的時間價值以及銷售率依賴于價格和庫存的條件下，推導(dǎo)出了易腐品庫存的EOQ數(shù)量[33]。Das等人提出了在隨機規(guī)劃時段范圍內(nèi)考慮通貨膨脹的易腐物品兩倉庫生產(chǎn)—庫存模型[34]。Jana等人提出了考慮通貨膨脹和允許短缺條件下的易腐物品庫存模型，并在兩種不同的環(huán)境下對該模型進行了描述：隨機環(huán)境和模糊隨機環(huán)境[35]。

1.3.3 "供應(yīng)鏈中的易腐品庫存研究。Zanoni和Zavanella研究了將一系列易腐品從一個原點（供應(yīng)商）運輸?shù)揭粋€共同的目標（買方）的問題，其目標就是最小化庫存以及在運輸頻率給定的情況下最小化運輸成本之和[36]。Tat等人在由單一供應(yīng)商和單一零售商組成的且具有單一非瞬時腐敗物品的兩級供應(yīng)鏈條件下，建立了經(jīng)濟訂單數(shù)量模型，以檢查供應(yīng)商管理庫存（VMI）系統(tǒng)的性能[37]。Zhang等人研究了在有限生產(chǎn)率和確定性需求下，具有數(shù)量折扣的固定壽命產(chǎn)品的買方-賣方的生產(chǎn)—庫存集成系統(tǒng)的協(xié)調(diào)問題[38]。

1.4 "易腐品庫存監(jiān)督。大多數(shù)變質(zhì)物品都有其最大的使用壽命，這意味著它們可能在預(yù)先確定的日期之前變質(zhì)，且在預(yù)先確定的日期之后就必須不能再使用，這些變質(zhì)的物品必須報廢，必須被挑選出來，否則會與好產(chǎn)品一起賣給客戶，影響到企業(yè)的聲譽和企業(yè)產(chǎn)品的銷售。

"Wee提出了一個綜合考慮定價策略、不完全生產(chǎn)、檢查計劃、質(zhì)保期和庫存依賴型需求的易腐品生產(chǎn)—庫存模型[39]。典型的庫存模型通常側(cè)重于篩選出變質(zhì)的物品，而沒有過多關(guān)注在一個補充周期中，一部分變質(zhì)物品與可使用物品一起出售給消費者的情況。Tai等人首先提出了一個模型來描述這種混合銷售的過程，并進一步研究了檢驗策略對易腐品庫存系統(tǒng)最優(yōu)決策的影響[40]。2019年，Tai等人提出了一種在具有隨機最大壽命的變質(zhì)物品條件下的易腐庫存系統(tǒng)的檢驗策略[27]。2021年，Xie等人考慮了在混合銷售情況下具有最大使用壽命的易腐品庫存控制問題，其需求和變質(zhì)率都是時變的。本文考慮了兩種不同的檢驗策略：周期內(nèi)的一次檢查和周期內(nèi)的持續(xù)監(jiān)測[41]。Taleizadeh等人提出了在混合銷售和混合支付方案下的易腐品庫存模型，并研究了在混合支付模式下檢驗策略對產(chǎn)品混合銷售的影響[42]。

2 "總 "結(jié)

通過學習和梳理，發(fā)現(xiàn)每一個易腐品庫存研究都有自己的研究范圍和研究目標，都可以得出不同且有利于實踐的結(jié)論。對此，為使模型更符合實際，故在上述文獻的基礎(chǔ)上為易腐品庫存研究提供以下幾個研究方向：

（1）為減少市場中的信息失真，減弱牛鞭效應(yīng)，故決策集中、信息共享的多級庫存變得越來越重要，卻只有少數(shù)作者討論了信息在供應(yīng)鏈上的流動、共享以及合同簽訂等模型，因此企業(yè)若想獲得更為準確的生產(chǎn)和銷售信息，以降低企業(yè)易腐產(chǎn)品的腐敗成本，信息共享的多級庫存模型值得深入研究。

"（2）價格折扣在現(xiàn)實生活中也非常常見，例如對于臨近最大壽命期限的易腐產(chǎn)品，企業(yè)會以低于一般售價的價格售出；或因訂貨數(shù)量較大，供應(yīng)商會給予零售商一定的價格折扣或回扣等，但也只有少數(shù)作者考慮了價格折扣模型。價格折扣的模型可以為企業(yè)提供更符合現(xiàn)實的發(fā)展建議，故可以進一步探討。

"（3）易腐品企業(yè)售賣的產(chǎn)品數(shù)量和種類繁多，庫存管理并不能只考慮單一產(chǎn)品，故在模型建立中考慮多物品庫存更具有實際意義。但因為多物品庫存模型復(fù)雜且計算繁瑣，涉及到該領(lǐng)域的文章很少在文獻中出現(xiàn)。

"（4）在庫存監(jiān)督這一領(lǐng)域，只有少數(shù)作者對該問題進行了思考，且也僅僅考慮了單一主體的監(jiān)督，并沒有涉及到零售商檢驗供應(yīng)商所提供的貨物或是聘請第三方監(jiān)督并向供應(yīng)鏈下游公布監(jiān)督結(jié)果等環(huán)節(jié)。故將易腐品庫存監(jiān)督與第三方結(jié)合起來，能在一定程度上彌補該研究領(lǐng)域的空白。

參考文獻：

[1] 張芳，陳見標. 生鮮農(nóng)產(chǎn)品庫存控制研究[J]. 中國儲運，2020（6）：126-127.

[2] "PAPACHRISTO S， KONSTANTARAS I. Economic ordering quantity models for items with imperfect quality[J]. International Journal of Production Economics， 2006，100（1）：148-154.

[3] "SETIAWAN S W， LESMONO D， LIMANSYAH T. A perishable inventory model with return[J]. Materials Science and Engineering， 2018，335（1）：012049.

[4] "ZANONI S， ZAVANELLA L. Single-vendor single-buyer with integrated transport-inventory system： Models and heuristics in the case of perishable goods[J]. Computers and Industrial Engineering， 2007，52（1）：107-123.

[5] "CHUNG K J， TING P S. A heuristic for replenishment of deteriorating items with a linear trend in demand[J]. Journal of the Operational Research Society， 1993，44（12）：1235-1241.

[6] "CHUN CHEN LEE， SHU LU HSU. A two-warehouse production model for deteriorating inventory items with time-dependent demands[J]. European Journal of Operational Research， 2009，194：700-710.

[7] "PERVIN M， ROY S K， WEBER G W. Analysis of inventory control model with shortage under time-dependent demand and time-varying holding cost including stochastic deterioration[J]. Annual of Operation Research， 2018，260（1-2）：437-460.

[8] "PADMANABHAN G， VRAT P. EOQ models for perishable items under stock dependent selling rate[J]. European Journal of Operational Research， 1995，86（2）：281-292.

[9] "GIRI B C， CHAUDHURI K S. Deterministic models of perishable inventory with stock-dependent demand rate and nonlinear holding cost[J]. European Journal of Operational Research， 1998，105（3）：467-474.

[10] "CHANG C T. Inventory models with stock-dependent demand and nonlinear holding costs for deteriorating items[J]. Asia

-Pacific Journal of Operational Research， 2004，21（4）：435-446.

[11] "GHIAMI Y， WILLIAMS T， WU Y. A two-echelon inventory model for a deteriorating item with stock-dependent demand， partial backlogging and capacity constraints[J]. European Journal of Operational Research， 2013，231（3）：587-597.

[12] "KIM J， HWANG H， SHINN S. An optimal credit policy to increase supplier's profits with price-dependent demand functions[J]. Production Planning and Control， 1995，6（1）：45-50.

[13] "MUKHOPADHYAY S， MUKHERJEE R N， CHAUDHURI K S. An EOQ model with two-parameter weibull distribution deterioration and price-dependent demand[J]. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology， 2005，36（1）：25-33.

[14] "GIRI B C， BARDHAN S. Supply chain coordination for a deteriorating item with stock and price-dependent demand under revenue sharing contract[J]. International Transactions in Operational Research， 2012，19（5）：753-768.

[15] "SHEN D， LAI K K， LEUNG S C， et al. Modelling and analysis of inventory replenishment for perishable agricultural products with buyer-seller collaboration[J]. International Journal of Systems Science， 2011，42（7）：1207-1217.

[16] "PANG Z. Optimal dynamic pricing and inventory control with stock deterioration and partial backordering[J]. Operations Research Letters， 2011，39（5）：375-379.

[17] "CAI X， CHEN J， XIAO Y， et al. Optimization and coordination of fresh product supply chains with freshness-keeping effort[J]. Production and Operations Management， 2010，19（3）：261-278.

[18] "YADAVALLI V S S， SIVAKUMAR B， ARIVARIGNAN G， et al. A multi-server perishable inventory system with negative customer[J]. Computers and Industrial Engineering， 2011，61（2）：254-273.

[19] "CHUN CHEN LEE. Two-warehouse inventory model with deterioration under FIFO dispatching policy[J]. European Journal of Operational Research， 2006，174：861-873.

[20] "PARLAR M， PERRY D， STADJE W. FIFO versus LIFO issuing policies for stochastic perishable inventory systems[J]. Methodol Comput Appl Probab， 2011，13：405-417.

[21] "KALPAKAM S， ARIVARIGNAN G. A continuous review perishable inventory model[J]. Statistics， 1988，19（3）：389-398.

[22] "LIU L. s，S continuous review models for inventory with random lifetimes[J]. Operations Research Letters， 1990，9（3）：161

-167.

[23] "JAIN K， SILVER E A. Lot sizing for a product subject to obsolescence or perishability[J]. European Journal of Operational Research， 1994，75（2）：287-295.

[24] "HALIM K A， GIRI B C， CHAUDHURI K S. Fuzzy economic order quantity model for perishable items with stochastic demand， partial backlogging and fuzzy deterioration rate[J]. International Journal of Operational Research， 2008，3（1/2）：77-96.

[25] "JALAN A K， GIRI R R， CHAUDHURI K S. EOQ model for items with weibull distribution deterioration， shortages and trended demand[J]. International Journal of Systems Science， 1996，27（9）：851-855.

[26] "QIN YIYAN， WANG JIANJUN， WEI CAIMIN. Joint pricing and inventory control for fresh produce and foods with quality and physical quantity deteriorating simultaneously[J]. International Journal of Production Economics， 2014，152：42-48.

[27] "TAI ALLEN H， XIE YUE， HE WANHUA， et al. Joint inspection and inventory control for deteriorating items with random maximum lifetime[J]. International Journal of Production Economics， 2019，207：144-162.

[28] "CHANG HORNG-JINH， HUNG CHENG-HSING， DYE CHUNG-YUAN. A finite time horizon inventory model with deterioration and time-value of money under the conditions of permissible delay in payments[J]. International Journal of Systems Science， 2002，33（2）：141-151.

[29] "BHUNIA A K， JAGGI C K， SHARMA A， et al. A two-warehouse inventory model for deteriorating items under permissible delay in payment with partial backlogging[J]. Applied Mathematics and Computation， 2014，232：1125-1137.

[30] "CHANG CHUN-TAO， CHENG MEI-CHUAN， OUYANG LIANG-YUH. Optimal pricing and ordering policies for non-instantaneously deteriorating items under order-size-dependent delay in payments[J]. Applied Mathematical Modelling， 2015，39（2）：747-763.

[31] "LIAO JUI-JUNG. An EOQ model with non-instantaneous receipt and exponentially deteriorating items under""two-level trade credit[J]. International Journal of Production Economics， 2008，113（2）：852-861.

[32] "LIAO JUI-JUNG， HUANG KUO-NAN， CHUNG KUN-JEN. Lot-sizing decisions for deteriorating items with two warehouses under an order-size-dependent trade credit[J]. International Journal of Production Economics， 2012，137（1）：102-115.

[33] "HOU K L， LIN L C. An EOQ model for deteriorating items with price-and stock-dependent selling rates under inflation and time value of money[J]. International Journal of Systems Science， 2006，37（15）：1131-1139.

[34] nbsp;DEBASIS DAS， MOHUYA B KAR， ARINDAM ROY， et al. Two-warehouse production model for deteriorating inventory items with stock-dependent demand under inflation over a random planning horizon[J]. Central European Journal of Operations Research， 2012，20（2）：251-280.

[35] "DIPAK KUMAR JANA， BARUN DAS， TAPAN KUMAR Roy. A partial backlogging inventory model for deteriorating item under fuzzy inflation and discounting over random planning horizon： A fuzzy genetic algorithm approach[J]. Advances in Operations Research. 2013（1）：1-13.

[36] "ROYA TAT， ATA ALLAH TALEIZADEH， MARYAM ESMAEILI. Developing economic order quantity model for non-instantaneous deteriorating items in Vendor-Managed Inventory （VMI） system[J]. International Journal of Systems Science， 2015，46（7）：1257-1268.

[37] "ZHANG QINGHONG， LUO JIANWEN， DUAN YONGRUI. Buyer-vendor coordination for fixed lifetime product with quantity discount under finite production rate[J]. International Journal of Systems Science， 2016，47（4）：821-834.

[38] "CHUNG C J， WEE H M. An integrated production-inventory deteriorating model for pricing policy considering imperfect production， inspection planning and warranty-period and stock-level-dependent demand[J]. International Journal of Systems Science， 2008，39（8）：823-837.

[39] "TAI ALLEN H， XIE YUE， CHING WAI-KI. Inspection policy for inventory system with deteriorating products[J]. International Journal of Production Economics， 2016，173：22-29.

[40] "XIE YUE， TAI ALLEN H， CHING WAI-KI， et al. Joint inspection and inventory control for deteriorating items with time-dependent demand and deteriorating rate[J]. Annals of Operations Research， 2021，300：225-265.

[41] "ATA ALLAH TALEIZADEH， SARA TAVASSOLI， ARIJIT BHATTACHARYA. Inventory ordering policies for mixed sale of products under inspection policy， multiple prepayment， partial trade credit， payments linked to order quantity and full backordering[J]. Annals of Operations Research， 2020，287（1）：403-437.