摘 "要：當(dāng)前對于數(shù)據(jù)預(yù)測的精度要求日益增高，這是因為預(yù)測數(shù)據(jù)能夠為未來的規(guī)劃與決策提供更有效的依據(jù)。數(shù)據(jù)的變化規(guī)律可以利用灰色系統(tǒng)進行捕捉，但傳統(tǒng)的灰色GM1，1模型已經(jīng)不能夠有效地預(yù)測出精度較高的數(shù)據(jù)。因而，文章通過引用馬爾可夫方法對正負(fù)殘差進行合理調(diào)整，利用馬爾可夫能夠處理數(shù)據(jù)的波動性特點，結(jié)合以上兩種方法從而提出精確度更高的正負(fù)殘差Markov灰色預(yù)測方法。以浙江省2000—2019年鐵路客運量作為原始數(shù)據(jù)序列進行模型的擬合，通過比較GM1，1和正負(fù)殘差Markov灰色GM1，1的誤差精度，發(fā)現(xiàn)改進后的GM1，1模型更加適用于未來數(shù)據(jù)的預(yù)測。

關(guān)鍵詞：灰色GM1，1；Markov；鐵路客運；殘差

"中圖分類號：F250 " "文獻標(biāo)志碼：A

DOI：10.13714/j.cnki.1002-3100.2023.07.002

Abstract： At present， the precision requirements for data prediction are growing increasingly. This is because forecasting data can provide more effective basis for future planning and decision-making. The changing law of the data can be captured by the gray system， but the original gray GM1，1 model can no longer effectively predict the data with higher accuracy. Therefore， this article uses the Markov method to reasonably adjust the positive and negative residuals， take advantage of the volatility characteristics of the data that Markov can handle， and combines the above two methods to propose a more accurate Markov gray prediction method for positive and negative residuals. In this paper， the railway passenger traffic volume from 2000 to 2019 in Zhejiang Province is used as the original data sequence to fit the model. As a result， the improved GM1，1 model is more suitable for forecasting future data by comparing the error accuracy of GM1，1 and positive and negative residual Markov gray GM1，1.

Key words： gray GM1，1; Markov; railway passenger transport; residual

0 "引 "言

"1982年鄧聚龍教授創(chuàng)立了灰色系統(tǒng)理論，通過對已有的實數(shù)數(shù)據(jù)作為不確定系統(tǒng)的研究對象，對已知準(zhǔn)確的信息進行提取，產(chǎn)生對系統(tǒng)運行行為、演化規(guī)律的正確描述，以此來獲取有效數(shù)據(jù)監(jiān)控與預(yù)測[1]。由于能夠從不確定系統(tǒng)中觀察數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，因而灰色系統(tǒng)理論在各個領(lǐng)域中得到充分的使用與發(fā)展。

"精準(zhǔn)預(yù)測相關(guān)鐵路客運量能夠提前規(guī)劃鐵路網(wǎng)絡(luò)以及提高鐵路資源的利用效率，基于各地區(qū)范圍內(nèi)的客運量需求為基礎(chǔ)，合理建設(shè)決策方案為目標(biāo)，這對于區(qū)域乃至全國鐵路路網(wǎng)合理高效地運作具有一定意義。近年來預(yù)測鐵路客運量的主要模型有GM1，1模型、Verhulst模型、SCGM模型、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等。由于鐵路客運量受到諸多社會經(jīng)濟等因素的影

響[2]，許多模型因其自身局限性很難適用于鐵路客運量的預(yù)測，但是灰色系統(tǒng)可以規(guī)避這類因素，通過小樣本已知的數(shù)據(jù)就能夠得到適用于背景的預(yù)測式，因而本文將通過灰色系統(tǒng)為基礎(chǔ)構(gòu)建預(yù)測模型。

"許多專家們將灰色理論與其他方法和思路進行結(jié)合。孫延浩利用粒子群算法對原始數(shù)據(jù)不斷更新，提高了模型預(yù)測精度形成一種基于PSO優(yōu)化灰色GM1，1預(yù)測模型[3]；胡中博提出了基于偶灰色模型的灰色預(yù)測進化算法，將進化算法的種群序列視為一個時間序列，并使用偶灰色模型作為再現(xiàn)算子來預(yù)測下一個種群[4]；盧陽在GM1，1模型的基礎(chǔ)上加入線性部分，通過灰色線性回歸組合模型提高了預(yù)測精度[5]；李葉通過馬爾可夫模型優(yōu)化IGNGM1，1模型的殘差序列，并通過遞歸迭代法求解其時間響應(yīng)函數(shù)[6]。

由此可以看出組合預(yù)測模型能夠更大程度提高預(yù)測的準(zhǔn)確性，彌補單一模型預(yù)測精度不足的問題，Markov的“無后效性”特點能夠利用之前狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率來反映系統(tǒng)內(nèi)存在的某種規(guī)律[7-8]，對于波動較大的數(shù)據(jù)可以很好的描述其未來的發(fā)展變化，因而本文借鑒灰色系統(tǒng)理論與Markov的相關(guān)模型共同構(gòu)建了基于正負(fù)殘差Markov灰色預(yù)測模型[9]，使人們對于系統(tǒng)發(fā)展趨勢有準(zhǔn)確的理論依據(jù)。通過灰色GM1，1與殘差GM1，1合理結(jié)合，利用Markov對預(yù)測模型的擬合值進行修正，使之將單一的預(yù)測結(jié)果修正為預(yù)測精度更高的正負(fù)殘差Markov灰色預(yù)測值。

1 "灰色殘差預(yù)測模型的建立

不確定性系統(tǒng)是人類認(rèn)知能力的局限性和經(jīng)濟技術(shù)等條件的制約而導(dǎo)致信息不完全、不準(zhǔn)確的表現(xiàn)，灰色系統(tǒng)理論可以在部分已知信息的基礎(chǔ)上，通過對模糊雜亂的小樣本數(shù)據(jù)進行處理，建立線性微分方程，運用最小二乘法找出原始序列存在的規(guī)律。

1.1 "構(gòu)建殘差灰色模型

" 設(shè)殘差數(shù)列為：

G=g2， g3， …， gn " " " " " " " " " " " " " " " " " "（1）

其中殘差值：

gk=xk-xk " "k=2，3，…，n

對公式（1）的殘差數(shù)列進行均值GM1，1模型預(yù)測，可得到殘差預(yù)測模型：

k= " "k=3，4，…，n " " " " " " " " " " " " " " （2）

通過將均值GM1，1預(yù)測模型與均值GM1，1殘差預(yù)測模型（2）進行合并得到殘差灰色模型：

k+1=1-ex1-e+mk+11-eg2-e " "k=2，3，…，n " " " " " " " "（3）

其中：

mk+1= " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（4）

此時，可以看出mk僅有兩個狀態(tài)，分別為，mk的狀態(tài)E由殘差數(shù)列決定，但殘差灰色預(yù)測模型不僅是為了提高精度，更是要在提高精度的基礎(chǔ)上預(yù)測未來的數(shù)據(jù)，目前狀態(tài)E的取值只能由已知的殘差數(shù)列得出，但對于未來數(shù)據(jù)卻不能夠判定其E狀態(tài)，此時需要引入馬爾科夫預(yù)測模型，最終形成完整殘差馬爾可夫灰色預(yù)測模型。

1.2 "模型精度檢驗

"由于在傳統(tǒng)GM1，1模型的基礎(chǔ)上進行改進，利用Markov修正殘差預(yù)測值，最終形成正負(fù)殘差馬爾可夫灰色預(yù)測模型，為了驗證改進模型的有效性，需要對GM1，1與改進GM1，1的結(jié)果進行精度檢驗，分別為平均相對殘差檢驗，均方差比值檢驗。

由公式（1）可以得到殘差序列，其中對序列中各個殘差值進行相對誤差計算，公式如下：

Ek=， k=2，3，…，n " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（5）

1.2.1 "平均相對殘差檢驗

ε=∑Ek " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（6）

公式（6）中ε為平均相對誤差，n為樣本容量。

1.2.2 "均方差比值檢驗

S= " " " " " " " " " " " " " " " " " "（7）

S= " " " " " " " " " " " " " " " " " （8）

其中：=x， k=1，2，…，n，=g， k=2，3，…，n。

"最后由公式（7）、公式（8）的商可計算出后驗差值比：

C= " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ⑼

其中：S為原始數(shù)據(jù)序列的標(biāo)準(zhǔn)差，S為殘差序列的標(biāo)準(zhǔn)差。

1.3 "馬爾可夫E狀態(tài)預(yù)測模型

" 在指定的狀態(tài)空間中從一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移至另一個狀態(tài)的過程稱為Markov鏈，Markov鏈在狀態(tài)空間中的取值稱為狀態(tài)，PX|X，…，X=PX|X中X被稱為Markov鏈，多個可數(shù)集被稱為狀態(tài)空間。

1.3.1 "狀態(tài)劃分

"根據(jù)殘差序列G對狀態(tài)空間進行狀態(tài)區(qū)間劃分，形成初始狀態(tài)區(qū)間E，由gk來判定狀態(tài)區(qū)間應(yīng)取的數(shù)值：。

1.3.2 "建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

T=n/N

通過對殘差數(shù)列的k-1個數(shù)據(jù)進行觀察，發(fā)現(xiàn)從狀態(tài)E到狀態(tài)E發(fā)生的次數(shù)為n；N為狀態(tài)E的總樣本；則S為狀態(tài)E到狀態(tài)E發(fā)生的概率。

則狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：

S=

由于本文對于狀態(tài)區(qū)間劃分只有1和-1兩種表示殘差數(shù)列的正負(fù)狀態(tài)，進一步將上述建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的方法進行簡化。

（1）根據(jù)原始數(shù)據(jù)與GM1，1預(yù)測模型的預(yù)測值殘差正負(fù)，也就是G確定E。

"（2）根據(jù)狀態(tài)區(qū)間E，計算出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣S=。

"（3）確定初始狀態(tài)ω0。由于Markov鏈?zhǔn)菚r間和狀態(tài)都離散的隨機過程，該過程具有無后效性，則可通過當(dāng)前狀態(tài)來確定初始狀態(tài)ω0，而與之前的狀態(tài)都無關(guān)。

"（4）計算時間狀態(tài)轉(zhuǎn)移公式ωt=ω0·S，預(yù)測未來時間t的狀態(tài)轉(zhuǎn)移結(jié)果。

2 "算例分析

"鐵路客運是人們重要的出行方式之一，2019年鐵路客運占總客運量21%，僅次于第一的公路客運量之后，為了使鐵路客運能夠制定長期穩(wěn)定的發(fā)展策略，合理規(guī)劃鐵路運營的決策，就需要更加精準(zhǔn)地預(yù)測數(shù)據(jù)來反映出未來鐵路客運市場的中長期變化趨勢。2000—2019年浙江省鐵路客運量如表1所示，通過傳統(tǒng)GM1，1模型與改進后的精確性進行對比，從而能夠驗證正負(fù)殘差馬爾可夫灰色預(yù)測模型的有效性與實用性。

2.1 "基于正負(fù)殘差馬爾可夫GM1，1預(yù)測

"根據(jù)表1中20個數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)，分別采用GM1，1模型與正負(fù)殘差馬爾可夫GM1，1進行擬合，詳細(xì)過程如下：

"由GM1，1模型可計算出，a=-0.177，μ=2 048.637，根據(jù)公式可得到k的預(yù)測公式：

k=

根據(jù)原始數(shù)據(jù)xk和預(yù)測數(shù)據(jù)k之間的殘差生成新序列：

G=g2， g3， …， gn=1 532，1 519，…，2 043

將殘差序列的絕對值Gk進行GM1，1模型計算得到a=-0.086，μ=237.035，根據(jù)公式（2）可得到k的預(yù)測公式：

k=

通過公式（3）將k和k進行合并可得到殘差灰色預(yù)測模型，最終預(yù)測公式如下：

=，k=2，3，…，n

根據(jù)以上GM1，1和殘差預(yù)測公式分別計算出浙江省2000—2019年鐵路客運量的預(yù)測值，根據(jù)公式計算出相對殘差值，其結(jié)果為2000—2019年GM1，1與組合模型的預(yù)測值及狀態(tài)分類如表1所示。

2.2 "GM1，1與殘差Markov GM1，1預(yù)測精度對比

通過相對殘差公式（5）可以計算出GM1，1與正負(fù)殘差Markov GM1，1模型各項數(shù)值的相對誤差率，如表1所示。由公式（6）計算出兩種模型的平均相對殘差，計算結(jié)果如下：

ε=Ek=0+37%+…+8%=13%

ε=Ek=0+0+25%+…+2%=7%

為了能夠更直觀地反應(yīng)出預(yù)測模型與實際值的擬合情況，繪制出預(yù)測模型擬合折線圖，如圖1所示。

通過公式（5）至公式（7）的均值方差檢驗公式進行計算：

（1）GM1，1模型

C==0.151 6

（2）殘差Markov GM1，1模型

C==0.074 8

將計算出的結(jié)果進行對比，得出：εgt;ε和Cgt;C。

"通過以上兩種精度檢驗方法分別對GM1，1模型和殘差Markov GM1，1的預(yù)測精度比對，觀察計算出的數(shù)據(jù)以及圖形，都可以看出殘差Markov GM1，1的預(yù)測精度得到了較大的提升。2000—2019年的相對誤差率來說，中間有幾年的預(yù)測精度GM1，1更為準(zhǔn)確，但是只占據(jù)數(shù)據(jù)的小部分，而殘差Markov GM1，1的預(yù)測數(shù)據(jù)更貼合最近幾年的實際數(shù)據(jù)，并且從圖1中可以看出變化趨勢較為相似，因而此方法更為適合。

2.3 "正負(fù)馬爾可夫殘差修正

"為了能夠預(yù)測未來五年江蘇省的鐵路客運量數(shù)值，需要通過馬爾可夫?qū)ξ磥須埐钪颠M行合理確定。由于馬爾可夫“無后效性”原則，根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)值可以得出ω0=1 0。

通過表1的殘差狀態(tài)E可計算出狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣如下所示：

P=

由時間狀態(tài)轉(zhuǎn)移公式可以得到第t年的狀態(tài)轉(zhuǎn)移結(jié)果：

ωt=ω0·S=1 0

t值表示2019年之后第t年的殘差修正符號，通過將t=1，2，3，4，5帶入上公式，計算出2020—2024年殘差狀態(tài)轉(zhuǎn)移向量。

"通過結(jié)合殘差灰色預(yù)測模型與馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移量預(yù)測出2020—2024年浙江省鐵路客運量預(yù)測數(shù)據(jù)以及狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，如表2所示：

通過表2可以看出未來五年的殘差狀態(tài)概率，殘差狀態(tài)E在未來五年中的概率最大，分別為91.7%，85.7%，81.4%，78.3%和76.1%，這說明未來五年的數(shù)據(jù)預(yù)測值大概率會通過狀態(tài)E進行誤差調(diào)整。

3 "結(jié)論與啟示

"灰色系統(tǒng)能夠通過對象、要素、環(huán)境三者之間的有機聯(lián)系發(fā)掘開發(fā)出蘊含在觀測數(shù)據(jù)中的重要信息，通過模擬出的數(shù)據(jù)變化規(guī)律能夠讓我們提前了解到未來現(xiàn)實變化發(fā)展規(guī)律，從而提前做出合理的計劃與決策，而單用灰色GM1，1預(yù)測精度波動較大，而具有“無后效性”特點的馬爾可夫就能夠適用于波動較大的動態(tài)過程。此模型通過結(jié)合兩種方法，改善傳統(tǒng)的灰色預(yù)測模型并提高其預(yù)測精度，使得改善后所預(yù)測出的數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)擬合程度更高。

"從算例分析中對浙江省鐵路客運進行計算與預(yù)測時可以看出，通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為基礎(chǔ)建立得到以時間為因變量的狀態(tài)轉(zhuǎn)移量計算公式，利用計算得到的狀態(tài)轉(zhuǎn)移量對殘差值進行修正，最后得到最終預(yù)測的結(jié)果。但Markov的“無后效性”特性雖然能夠方便改善預(yù)測結(jié)果，但其因缺少歷史數(shù)據(jù)影響的原因會導(dǎo)致預(yù)測未來過長時間的數(shù)據(jù)修正效果不佳，因而考慮到模型構(gòu)建的難度和發(fā)展階段的局限，為了更進一步改善其科學(xué)性與準(zhǔn)確性，未來的研究可以嘗試建立動態(tài)時間序列模型來提高馬爾可夫狀態(tài)概率的預(yù)測精度。

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