程俊 周慧

摘要：IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)是數(shù)字信號(hào)處理的重要內(nèi)容，Maflab具有強(qiáng)大的信號(hào)處理功能。本文利用Matlab仿真了IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)中抽樣間隔的選擇和頻譜混疊問題的實(shí)例，通過分析頻譜圖形和衰減數(shù)據(jù)來幫助學(xué)生更好地理解IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)過程中的關(guān)鍵問題，從而達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：IIR數(shù)字濾波器;脈沖響應(yīng)不變法;頻譜混疊

中圖分類號(hào)：TP311.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2019）32-0243-02

本文以脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)im數(shù)字低通濾波器為教學(xué)實(shí)例，探討了Matlab在數(shù)字信號(hào)處理教學(xué)中的仿真應(yīng)用。脈沖響應(yīng)不變法具有頻率變換關(guān)系是線性的，數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)能完全模仿模擬濾波器單位沖激響應(yīng)的波形，時(shí)域特性逼近性好的優(yōu)點(diǎn)，適合設(shè)計(jì)低通、帶通濾波器。但是這種方法中如何根據(jù)給出指標(biāo)的不同選擇抽樣間隔T，以及如何解決頻譜混疊現(xiàn)象是該內(nèi)容的難點(diǎn)，課堂上通過Matlab仿真運(yùn)用頻譜圖形和衰減數(shù)據(jù)結(jié)果來講解，便于學(xué)生更好地理解IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)過程中的關(guān)鍵問題。

1抽樣間隔T的選擇問題

我們仿真研究T=ls和T=0.1s兩種情況，根據(jù)以上n（s）和H（z）表達(dá)式，T不同時(shí)，模擬濾波器表達(dá)式不一樣，而數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的表達(dá)式與T沒有關(guān)系。這時(shí)設(shè)計(jì)的模擬濾波器和數(shù)字濾波器幅頻特性如圖1（T=ls）和圖2（T=0.1 s）所示，虛線代表模擬濾波器，實(shí)線代表數(shù)字濾波器。比較發(fā)現(xiàn)模擬濾波器差別比較大，而數(shù)字濾波器的幅頻特性相同。這說明當(dāng)給定數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)時(shí)，抽樣間隔T的取值對(duì)頻譜混疊程度的影響沒有關(guān)系。所以為了計(jì)算簡便，一般取T=1s。以T=1s為例，通帶技術(shù)指標(biāo)滿足要求，但是阻帶截止頻率Ωs=0.5π時(shí)，模擬濾波器阻帶衰減Asa=13.77dB，滿足技術(shù)指標(biāo);而數(shù)字濾波器阻帶衰減Asd=11.96dB，不滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)，這是因?yàn)樵O(shè)計(jì)的模擬濾波器不是帶限的，脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器存在頻譜混疊，使得數(shù)字濾波器在折疊頻率π附近的衰減明顯小于模擬濾波器對(duì)應(yīng)頻率點(diǎn)的衰減。

圖3是模擬濾波器Hfs）的幅頻特性，圖4是T取不同值時(shí)數(shù)字濾波器的幅頻特性，兩幅仿真圖的橫坐標(biāo)都是對(duì)π歸一化的頻率，橫坐標(biāo)服從線性關(guān)系，既數(shù)字角頻率等于模擬角頻率乘以T。

圖3顯示模擬濾波器通帶很窄，阻帶衰減慢。圖4中，T=IS時(shí)，圖3中的ABE點(diǎn)對(duì)應(yīng)圖4中的abc點(diǎn)，模擬濾波器的C點(diǎn)頻率為3.14rad/s，衰減為25.45dB，而對(duì)應(yīng)的數(shù)字濾波器c點(diǎn)衰減幅度卻只有17.7dB，可見c點(diǎn)附近出現(xiàn)了嚴(yán)重的頻譜混疊現(xiàn)象。T=0.1S時(shí)，圖3中的H、I、J、K、L、M點(diǎn)對(duì)應(yīng)圖4中的h、i、j、k、l、m點(diǎn)，可以看出幅度特性很相似，只是在m點(diǎn)折疊頻率盯（模擬頻率為10π）時(shí)有很輕的混疊現(xiàn)象，模擬濾波器的M點(diǎn)頻率為31.4rad/s，衰減為65.88dB，而對(duì)應(yīng)的數(shù)字濾波器m點(diǎn)衰減為58.03dB。這個(gè)例子可知：給定了模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器時(shí)，可以通過減小抽樣間隔T，也就是增大抽樣頻率，減輕混疊現(xiàn)象。

2混疊問題的解決方案

前面分析可知：當(dāng)濾波器的指標(biāo)用數(shù)字域頻率給定時(shí)，利用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，不能通過減小T來減少頻譜混疊，那么如何有效地改善頻譜混疊現(xiàn)象呢？

①增大阻帶衰減。有效的方法是增加待設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的阻帶最小衰減As。例l中其他技術(shù)指標(biāo)不變，如果增加As為：As>14dB，則根據(jù)指標(biāo)計(jì)算可得N=3，數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)如下：

②采用雙線性變換法。雙線性變換法的基本思想是采用非線性頻率壓縮方法，先將整個(gè)模擬頻率軸壓縮到±π/T之間，再用z=e^ST轉(zhuǎn)換到z平面上。是一種能克服脈沖響應(yīng)不變法頻譜混疊的方法。例1的設(shè)計(jì)指標(biāo)用兩種方法實(shí)現(xiàn)，增益響應(yīng)如圖6所示，實(shí)線是脈沖響應(yīng)不變法，虛線代表雙線性變換法。阻帶衰減分別是Asl=11.96dB（不滿足指標(biāo)），As2=17.28dB（滿足指標(biāo)），折疊頻率π時(shí)，脈沖響應(yīng)不變法的衰減是17.81dB（嚴(yán)重的頻譜混疊），雙線性變換法的幅度降為0，完全沒有頻譜混疊。 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)是數(shù)字信號(hào)處理的重要內(nèi)容，在教學(xué)過程中運(yùn)用Matlab設(shè)計(jì)具體的仿真實(shí)例，使學(xué)生對(duì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過程、優(yōu)缺點(diǎn)分析以及關(guān)鍵問題的解決有了更深入的理解。