關(guān)鍵詞： 機(jī)械波 平面運(yùn)動(dòng) 多普勒效應(yīng) 測(cè)速

多普勒效應(yīng)是指波源在與觀測(cè)者發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀測(cè)者接收到的波的頻率發(fā)生變化的現(xiàn)象，最先由奧地利物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家多普勒提出。該效應(yīng)自被發(fā)現(xiàn)起就在人類基礎(chǔ)學(xué)科的研究、基礎(chǔ)理論的證明以及物理量的測(cè)量等研究領(lǐng)域起到了重大的作用[1]。在現(xiàn)代生活和理論研究中，多普勒效應(yīng)發(fā)明出的許多測(cè)量設(shè)備，如汽車測(cè)速儀、血流測(cè)速儀等對(duì)于當(dāng)代科技的發(fā)展和人民生活水平的提高起著舉足輕重的作用[2-4]。文章根據(jù)已有關(guān)于機(jī)械波的相關(guān)知識(shí)推導(dǎo)出機(jī)械波的多普勒效應(yīng)公式，進(jìn)而闡明在生活中基礎(chǔ)應(yīng)用的原理。

1 機(jī)械波多普勒效應(yīng)的公式

1.1 一維坐標(biāo)下公式的推導(dǎo)

通常多普勒效應(yīng)公式只能描述一維坐標(biāo)系下的情況，即波源和觀測(cè)者是在同一條直線上進(jìn)行相對(duì)運(yùn)動(dòng)。而這種情況并不能應(yīng)用實(shí)際生活，故推導(dǎo)出一維坐標(biāo)下的公式后，會(huì)將此公式推廣到二維平面中的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。

首先進(jìn)行一維坐標(biāo)下的多普勒效應(yīng)公式的推導(dǎo)。該物理過程研究的波源為發(fā)射機(jī)械波的波源，由多普勒效應(yīng)可知，在波源與觀測(cè)者發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)后，觀測(cè)者觀測(cè)到的波的頻率會(huì)發(fā)生改變。

圖1 是該物理過程圖，其中，波源與觀測(cè)者（人）相向運(yùn)動(dòng)，最大的圓形表示波源發(fā)出的波前在此刻的位置；假定該波在該介質(zhì)中的傳播速度為v，波長(zhǎng)為λ，原來的頻率為f，波源相對(duì)于地面參考系的運(yùn)動(dòng)速度為vs，觀測(cè)者相對(duì)于地面參考系的運(yùn)動(dòng)速度為vr。

為了簡(jiǎn)化分析該問題，設(shè)定當(dāng)前情形為：波源發(fā)出的波不是連續(xù)的（不影響分析），且當(dāng)波源發(fā)出的第一列波被觀測(cè)者接收的同時(shí)，第二列波恰好被該波源發(fā)出。在此時(shí)刻下，波源的位移為xs，第一列波波面的位移為xw；所以第一列波在空間中傳播的時(shí)間即為從第一列波發(fā)出到第二列波發(fā)出之間經(jīng)過的時(shí)間，即為該波的周期T；故可得出xw = λ，即第一列波的位移就是該波原始的波長(zhǎng)。

由此可知，從波源和人相對(duì)運(yùn)動(dòng)到此狀態(tài)，系統(tǒng)剛好經(jīng)過了該波的一個(gè)周期。并且由于波源相對(duì)于觀測(cè)者發(fā)生了位移，對(duì)于觀測(cè)者而言，其處于波源相對(duì)運(yùn)動(dòng)的前方，由伽利略變換和波長(zhǎng)的定義可知，其觀測(cè)到的實(shí)際波長(zhǎng)應(yīng)該為

由于觀測(cè)者和波源相向運(yùn)動(dòng)，將觀測(cè)者此時(shí)所能夠觀測(cè)到的實(shí)際波速設(shè)為v'，則由相對(duì)運(yùn)動(dòng)可知：v' =v + vr。故由波速、波長(zhǎng)和頻率的關(guān)系，將觀測(cè)者此時(shí)能夠測(cè)到的實(shí)際頻率設(shè)為f'，則有

式（4）即為一維坐標(biāo)系下的多普勒效應(yīng)表達(dá)式的一種特殊情況。

從表達(dá)式中發(fā)現(xiàn)，在波源與觀測(cè)者發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀測(cè)者此時(shí)所能觀測(cè)到的波長(zhǎng)λ'完全由波源及其相對(duì)運(yùn)動(dòng)性質(zhì)決定。此外，觀測(cè)者所能觀測(cè)到的實(shí)際波速v'僅部分與觀測(cè)者的相對(duì)運(yùn)動(dòng)性質(zhì)有關(guān)，另一部分與該波在該介質(zhì)中的性質(zhì)相關(guān)?？梢哉f明，多普勒效應(yīng)是相對(duì)運(yùn)動(dòng)下產(chǎn)生的結(jié)果，且大部分參數(shù)由波源決定，這對(duì)于深入了解多普勒效應(yīng)的本質(zhì)是有幫助的。

1.2 二維平面中公式的推導(dǎo)

根據(jù)已經(jīng)得出的一維坐標(biāo)系下多普勒效應(yīng)公式，現(xiàn)推導(dǎo)在二維平面中多普勒效應(yīng)的表達(dá)形式。將波源與觀測(cè)者的運(yùn)動(dòng)放在二維平面中，如圖2 所示。

由于此時(shí)兩物體的速度方向不在一條直線上，為了便于分析和計(jì)算，可將速度分解在兩物體的連線上。由圖2可知：波源相對(duì)于地面參考系的運(yùn)動(dòng)速度為vs，分解后在連線上的速度為vscosθ1；觀測(cè)者相對(duì)于地面參考系vr，分解后在連線上的速度為vrcosθ2。此時(shí)，垂直于二者連線方向的速度分量不會(huì)產(chǎn)生多普勒效應(yīng)。

根據(jù)之前推導(dǎo)的公式，在二者的連線上會(huì)產(chǎn)生多普勒效應(yīng)，其一般表達(dá)式為

式（5）即為二維平面中機(jī)械波多普勒效應(yīng)更加一般的表達(dá)式[2]。相較于一維坐標(biāo)下的公式，該式多考慮了二者連線上的速度分量，即可計(jì)算更加一般平面運(yùn)動(dòng)的多普勒效應(yīng)產(chǎn)生的影響，這對(duì)于分析一般平面運(yùn)動(dòng)的多普勒效應(yīng)具有重要的意義[5]。

2 汽車測(cè)速的應(yīng)用原理與分析

實(shí)際生活中，常?？梢钥吹皆诙嘬嚨拦返臏y(cè)速點(diǎn)上方安裝有一個(gè)測(cè)速雷達(dá)，文章對(duì)其中的一種工作原理，即超聲波多普勒效應(yīng)測(cè)速雷達(dá)進(jìn)行分析和建模。圖3 為一個(gè)普通機(jī)動(dòng)車道超聲波測(cè)速雷達(dá)在其工作環(huán)境下的模型。

假定所有車道規(guī)定的行車方向都相同，即該向可通行的車道有4 個(gè)。測(cè)速雷達(dá)的波源可以建模為一個(gè)受控的、有一定方向性的點(diǎn)波源。點(diǎn)波源發(fā)出的波在空間中傳播時(shí)，波面為一個(gè)球面。對(duì)于該情境，在一定的控制手段下，該測(cè)速雷達(dá)所發(fā)出的超聲波與路面的交線大致可看作一個(gè)扇形，在考慮一定的損耗和儀器的靈敏度后，可以確定一個(gè)車輛回波的有效范圍（如圖3 所示）。可以認(rèn)為，當(dāng)車輛行駛至有效探測(cè)范圍的邊界或以內(nèi)時(shí)，車輛對(duì)波源發(fā)出波的反射波能被儀器探測(cè)到，符合一般的情況[6]。

超聲波雷達(dá)會(huì)在工作期間以一定的時(shí)間間隔不斷地向探測(cè)方向發(fā)射頻率為f 的超聲波。假設(shè)該單向車道的規(guī)定行駛方向見圖4，并且將與車道平行的方向設(shè)為參考方向。已知超聲波在空氣中的傳播速度為v。當(dāng)某時(shí)刻有一輛來車在如圖所示的位置時(shí)，車速為vr。圖中向上箭頭表示波源發(fā)出的波照射到車輛時(shí)的方向。由儀器接收的反射回波的強(qiáng)度等信息，可測(cè)得當(dāng)前被反射回來的波的方向與參考方向的夾角θ。

綜合上述條件，先將車速vr 分解在車與波源兩點(diǎn)的連線上，則連線上的速度分量為vrcosθ，根據(jù)多普勒效應(yīng)公式和波反射的性質(zhì)，可算得反射回波的頻率f '為

將當(dāng)前車輛的車速vr 與當(dāng)前路段的最高限速進(jìn)行比較，即可判斷出當(dāng)前車輛是否超速。在實(shí)際生活中能夠直接測(cè)到的物理量是車輛反射回波的頻率，故對(duì)于多車同時(shí)通過該四車道測(cè)速范圍的情況，只需通過判斷各方向車輛反射的回波頻率是否超出特定頻率來衡量。

對(duì)上述情況加以計(jì)算。首先根據(jù)當(dāng)前道路規(guī)定，可以查得車輛的最高限速為vr0，可以得出最高限速對(duì)應(yīng)的回波頻率值f '0為

式（8）得出的結(jié)果更加適用于普遍的情況，對(duì)于車流量很大的車道而言，上方的儀器可以根據(jù)測(cè)速范圍內(nèi)各方向反射的回波頻率來檢測(cè)是否有車輛超速，如果某方向的回波頻率f 'x gt; f '0，則可以檢測(cè)出該方向有車輛超速。與參考方向的夾角（以下簡(jiǎn)稱方位角）θx 可以通過回波的強(qiáng)度等性質(zhì)測(cè)得，車輛距離波源的距離也可根據(jù)超聲波在空氣中的損耗測(cè)得。在該測(cè)速扇形區(qū)域內(nèi)，以波源為中心建立極坐標(biāo)系，根據(jù)測(cè)得的方位角以及超速車輛與波源之間距離，即可精準(zhǔn)定位超速車輛在該坐標(biāo)系下的具體位置[7-11]。如果將測(cè)速系統(tǒng)配合電子抓拍系統(tǒng)，該超速車輛的車牌號(hào)、車內(nèi)人員數(shù)量和狀態(tài)等信息便一覽無余，為監(jiān)控超速違法行為提供了有力的支持。

3 結(jié)語

縱觀近代科學(xué)的發(fā)展史，多普勒效應(yīng)對(duì)人類各項(xiàng)基礎(chǔ)研究與生產(chǎn)生活的方方面面都有著很大的貢獻(xiàn)。人類利用多普勒效應(yīng)，發(fā)明出了許多能夠改變生活和推動(dòng)科技發(fā)展的成果，如彩色多普勒超聲儀、測(cè)速儀、海底聲吶探測(cè)器等。在愛因斯坦提出相對(duì)論后，電磁波多普勒效應(yīng)的研究將人類的視野拓展到了宇宙空間，根據(jù)電磁波的多普勒效應(yīng)提出并觀測(cè)到的紅移現(xiàn)象也更好地證實(shí)了所處的宇宙空間是在不斷膨脹的；由電磁波多普勒效應(yīng)發(fā)明的氣象雷達(dá)也為人類提前預(yù)知天氣災(zāi)害的發(fā)生提供了強(qiáng)有力的工具?？梢哉f，多普勒效應(yīng)是人類科技史中一個(gè)重要的理論，它將在推進(jìn)社會(huì)發(fā)展的道路上繼續(xù)“發(fā)光發(fā)熱”。