數(shù)學(xué)是極富思維的一門學(xué)科，衡量學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的指標(biāo)之一是解題能力。那么，如何展開小學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)？如何啟發(fā)學(xué)生？我們可以從波利亞探索法中蘊(yùn)含的化歸思想得到啟發(fā)。

一、題目呈現(xiàn)

題目一：

（1）媽媽買了體積是11200 cm3的假山、水草等飾物，放進(jìn)長80 cm、寬50 cm的玻璃魚缸，完全浸入水中，水面升高了多少？

（2）有一個長方體魚缸，從里面量得長是8 dm，寬是6 dm，水深是6 dm，放進(jìn)去一塊珊瑚石，水面升高了5 cm，這塊珊瑚石的體積是多少？

（3）一個長方體玻璃缸，從里面量長是15 cm，寬是10 cm，把一個體積是300 cm3的西紅柿浸入水中后，水面上升到12 cm，原來的水深是多少厘米？

（4）任選一個不規(guī)則物體（如蘋果、桃子、土豆等），想辦法計(jì)算出它的體積。把活動過程記錄下來，并寫成一篇數(shù)學(xué)日記。

題目二：一個酸奶瓶（如圖1），它的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），容積是32.4 cm3，當(dāng)瓶子正放時，瓶內(nèi)酸奶高為8 cm，瓶子倒放時，空余部分高為2 cm（如圖2），則瓶內(nèi)酸奶體積是多少？

題目三：

兩個相同的分?jǐn)?shù)應(yīng)用類型的數(shù)學(xué)題目：

（1）六年級原有女生人數(shù)是男生人數(shù)的80%，后來轉(zhuǎn)來女生3人，現(xiàn)在女生人數(shù)是男生人數(shù)的5/6，請問原來六年級有多少人？

（2）小芳在看一本文學(xué)著作，晚飯前，已看的頁數(shù)是未看的3/7，晚飯后，她又看了17頁，這時已看的頁數(shù)是未看的5/6，這本文學(xué)著作有多少頁？

二、題目解法與分析

（一）題目解法

對于題目一：

（1）問：

已知假山、水草等飾物體積為11200 cm3，玻璃魚缸的長為80 cm，寬為50 cm。魚缸的形狀為長方體。所以，完全浸沒飾物后水面上升的高度為：50×80=4000，11200÷4000=2.8（cm），所以浸沒飾物后水面上升了2.8 cm。

（2）問：

已知長方體魚缸的長為8 dm，寬為6 dm。投入珊瑚石后水面上升了5 cm，5 cm=0.5 dm，8×6×0.5=24。所以，珊瑚石的體積為24 dm3。

（3）問：

已知長方體玻璃缸的長為15 cm，寬為10 cm，西紅柿體積為300 cm3，所以，在水中浸沒后水面上升的高度為：300÷（15×10）=2（cm），因此，原來的水深為：12-2=10（cm）。

（4）問：

要測量如蘋果、桃子、土豆等的體積，根據(jù)前面三個問題的解決思路：首先，找到一個體積易求的規(guī)則容器，測量其長、寬和高；其次，在容器中加入能夠淹沒所求物體的水，然后觀察并記錄物體淹沒前后水面高度的變化；最后，用變化的高度同容器的長和寬相乘，不規(guī)則物體的體積即求解完成。

對于題目二：已知38bc0597c8599832b3fb00ac0cf5455b左右兩個酸奶瓶形狀和大小一致，體積相等，但左邊是正放，右邊是倒放，設(shè)瓶子的體積為V，正放時酸奶體積為V1，倒放時的酸奶體積為V2，分析題目能判斷酸奶的體積前后相等，所以V1=V2，因此V-V1=V-V2，結(jié)合圖像觀察得知，左右空余部分的體積相等。不妨將左邊不規(guī)則的空余部分替換為右邊空余部分圖形，此時的圖形如圖3所示：

已知酸奶瓶的容積為32.4 cm3，圖3得到的組合圖形是高為10 cm的圓柱形酸奶瓶的正視圖。因此，該酸奶瓶的底面積是：32.4÷10=3.24（cm2），圖3中酸奶的高為8 cm，所以，酸奶體積為：3.24×8=25.92（cm3）。

對于題目三：

（1）女生人數(shù)的變化使前后男女學(xué)生的人數(shù)比發(fā)生改變，分析題目中的已知條件：

①全校女生增加3人，全校男生人數(shù)不變

②（原有）女生∶男生=80∶100=4∶5=24∶30

③（現(xiàn)在）女生∶男生=5∶6=25∶30

保證男生在人數(shù)比中所占份額保持前后不變，則表明全校男生的人數(shù)不變。因此，前后女生人數(shù)比中份額的變動為25（份）-24（份）=1（份），根據(jù)已知條件①得出1（份）=3（人），所以原來的女生人數(shù)與男生人數(shù)比為24∶30，則女生人數(shù)為：24×3=72（人），男生人數(shù)為30×3=90（人），原來六年級人數(shù)為：72+90=162（人）。

（2）分析題目中的已知條件：

①小芳晚飯后看書17頁

②晚飯前，已看頁數(shù)∶未看頁數(shù)=3∶7

③晚飯后，已看頁數(shù)∶未看頁數(shù)=5∶6

因此，晚飯前的總頁數(shù)份數(shù)應(yīng)該為：3+7=10（份），晚飯后的總頁數(shù)應(yīng)該為：5+6=11（份），由于該書的總頁數(shù)保持不變，所以尋找前后的總頁數(shù)份數(shù)的最小公倍數(shù)：10×11=110。那么，晚飯前，已看頁數(shù)∶未看頁數(shù)=33∶77，晚飯后，已看頁數(shù)∶未看頁數(shù)=50∶60，小芳晚飯前后讀書的份數(shù)變化為：50-33=17（份），因此1份=1頁，總頁數(shù)=110×1=110（頁）。

（二）題目分析

題目一中的前三個問題：第一問是已知不規(guī)則物體體積，求解水面上升的高度；第二問是已知水面上升的高度，求解不規(guī)則物體的體積；第三問是已知不規(guī)則物體體積和水上升后的水面高度，求放入物體前原來水面高度?？梢园l(fā)現(xiàn)（1）問和（2）問中的已知條件和所求結(jié)果是相互轉(zhuǎn)化而得到的，其已知條件和問題都有相似之處，考查學(xué)生能否將不規(guī)則物體轉(zhuǎn)化為熟悉的規(guī)則物體，從而求其體積。（3）問是對前兩問的變形。對（3）問的求解首先要求解出不規(guī)則物體后水面下降的高度，從而高度做差方得原來水深，這一問進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。三個變式問題求解后學(xué)生對“變化”會有更深的理解，理解變化有從小到大的上升趨勢，也有從大到小的下降趨勢，培養(yǎng)了學(xué)生思維的廣闊性。題目一的（4）問讓學(xué)生對前三個問題的理解進(jìn)行升級。獨(dú)立解決相類似的物體體積，學(xué)生會對前問進(jìn)行分析，懂得從問題出發(fā)直接測量長、寬、高不易，需要借助其他規(guī)則物體來計(jì)算，其中自然理解必要的已知條件和數(shù)據(jù)是什么，從而測量規(guī)則物體的長、寬、高和水面的變化高度。根據(jù)（3）問的啟示，學(xué)生進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)可以通過觀察水面下降或者上升的高度兩種測量方法來求解。

對比得知，題目二是對題目一的進(jìn)一步變式，其同樣是求解不規(guī)則物體體積，與題目一對比可知，瓶子放置方向的改變表明作為學(xué)生所需思維支架的規(guī)則物體變成了會同樣發(fā)生變化的不規(guī)則物體，此時學(xué)生的思維受到阻抑。而波利亞的解題理論可以啟發(fā)學(xué)生重新審視條件和問題，首先，需要學(xué)生思考已知條件是否能夠充分確定未知量。其次，回憶曾經(jīng)是否有一道與它有關(guān)并且解過的題目。為了有可能應(yīng)用它，思考是否需要引入某個輔助元素將其轉(zhuǎn)化成熟悉的問題。從這個分析路徑出發(fā)，學(xué)生會思考需要把作為思維支架的物體即整個酸奶瓶轉(zhuǎn)換成容易測量其體積的規(guī)則物體，這一過程需引入輔助元素，即圖形的整合，將酸奶瓶替換為圓柱形的規(guī)則物體。此時，學(xué)生的思維由困惑轉(zhuǎn)為通暢，根據(jù)題目一的求解思路自然而然地就能得出所需結(jié)果。

題目三看似與題目一和題目二不屬于同一種類型，其側(cè)重尋求在現(xiàn)實(shí)生活中存在的數(shù)量關(guān)系基礎(chǔ)上建立起來的份數(shù)占比問題，考查因數(shù)量變動而導(dǎo)致分?jǐn)?shù)比的變動問題。解決這類問題和解決題目一和題目二有其基本的通性通法，即尋求數(shù)量變動中的不變關(guān)系和不變量，最終通過用變化的分?jǐn)?shù)占比來表達(dá)不變量，即通過已知條件的細(xì)分與改變轉(zhuǎn)換成學(xué)生能夠自主加以分析和解決c+8sNzpzFqKpw9fQ0MsjxlMozSmtN/DqS1QePP5oniE=的新的、數(shù)學(xué)的已知條件。題目三引導(dǎo)學(xué)生從生活實(shí)際出發(fā)來思考該題中存在的不變量。學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)校生中男生人數(shù)和閱讀書籍的總頁數(shù)都是未改變的量。根據(jù)波利亞的解題表，當(dāng)教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注到不變量是兩個問題中均蘊(yùn)含的特征后，下一步就應(yīng)該執(zhí)行波利亞解題中倡導(dǎo)的“你能找出已知數(shù)據(jù)與未知量之間的聯(lián)系嗎”。學(xué)生由此思考如何從分?jǐn)?shù)比這一條件與新的條件“不變量的存在”同未知量建立關(guān)系，從而思考可以將分?jǐn)?shù)比轉(zhuǎn)化為分母或分子相同的新分?jǐn)?shù)比。這樣原有問題中的已知條件得到學(xué)生的重新敘述，學(xué)生的思維從分散、困惑轉(zhuǎn)為明朗，此時可推出第三個問題“今年小亮的年齡是小英的2倍，10年前小亮的年齡是小英的7倍，小亮和小英今年各多少歲”讓學(xué)生思考。這時學(xué)生自然會去觀察其已知條件與之前的題目已知條件的類似之處，即兩人之間的年齡差也同樣是不變量，繼續(xù)執(zhí)行波利亞解題表中的步驟：“這里有一道和你曾經(jīng)解過的題目有關(guān)，你能利用它嗎？”此時的利用顯然已經(jīng)體現(xiàn)出解題思路層次上的化歸思想，將不熟悉的問題情景和數(shù)學(xué)問題盡可能通過改變已知條件、未知量來轉(zhuǎn)化成自己熟悉的數(shù)學(xué)問題。依循這樣的解題思路，學(xué)生自然不會認(rèn)為數(shù)學(xué)過于靈活而不存在“通性通法”一說。

三、解題反思與啟示

（一）通過“一題多解”貫通學(xué)生知識，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)

數(shù)學(xué)知識是顯性的，但是數(shù)學(xué)思考方式和思維是隱性的。題目一的求解過程并不煩瑣，但是造成解題困惑的主要原因在于數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法的結(jié)合度不夠，需要學(xué)生用數(shù)學(xué)方法把數(shù)學(xué)知識有機(jī)融合，而一題多解可以將學(xué)生分散的數(shù)學(xué)知識整合成有條理的整體。題目一的（4）問中從上升和下降兩個方向求出不規(guī)則物體的體積已經(jīng)初步體現(xiàn)出一題多解的解題思維。在解題過程中訓(xùn)練學(xué)生一題多解的解題思維能夠提升學(xué)生思維的靈活性，從而逐漸形成“少算多思”的解題意識，為以后遇到相似的問題情境在尋求結(jié)果時，更追求簡便且自然的解題方案。同樣，題目三中的兩個問題情境完全不同，但是其分析思路是相似而又不同的，學(xué)生在尋求數(shù)量關(guān)系中體會到不變量是解題的重要特征，從而發(fā)展思維的深刻性。

（二）通過滲透化歸思想強(qiáng)化核心知識，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性

小學(xué)圖形與幾何知識領(lǐng)域中對長方體、正方體、圓柱與圓錐的體積進(jìn)行了研究，學(xué)生對規(guī)則圖形的體積的運(yùn)算過程有了研究范式?，F(xiàn)實(shí)生活中不規(guī)則圖形大量存在，同時兩類圖形在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化，如何根據(jù)已有知識在解題中研究不規(guī)則圖形的體積是提升學(xué)生思維品質(zhì)的富有意義的問題。題目一和題目二之間有自然且有意義的關(guān)聯(lián)，題目二的解題方案不是憑空產(chǎn)生的，其中的步驟需要借助以往的解題思路才能順利完成。如果沒有求解過類似題目一中的問題，那么學(xué)生在理解將酸奶瓶代表的不規(guī)則物體通過拼補(bǔ)組合的方式轉(zhuǎn)化成熟悉易解的規(guī)則物體這一步驟的過程就會產(chǎn)生困惑，因此，教師需要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)一類相似問題的通性通法，對比其已知條件和所求結(jié)果之間的關(guān)系，從而讓學(xué)生在看似多變的題目中把握其不變的特性，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性。題目三不再是與圖形緊密結(jié)合的題目，但是對培養(yǎng)學(xué)生厘清數(shù)量關(guān)系、轉(zhuǎn)換數(shù)量關(guān)系的意識和能力是有益的。

通過以上分析可以看出，教學(xué)中最關(guān)鍵的問題不在于通過教學(xué)能使學(xué)生會做多少題目，針對每一個題目會多少種解法，而在于面對一個問題時，教師該如何引導(dǎo)學(xué)生正確思維，引導(dǎo)學(xué)生在掌握知識、技能、技巧、方法的同時，逐步理解數(shù)學(xué)的思想和方法，教會學(xué)生數(shù)學(xué)思考的方法，從而有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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（作者單位：1.萬榮縣王顯鄉(xiāng)聯(lián)合學(xué)區(qū)范家學(xué)校；2.太原師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院）

編輯：常超波