黃開啟 溫書誠

（江西理工大學 機電工程學院，贛州 341000）

主題詞：相平面 操縱穩(wěn)定性 模型預測控制 轉矩分配

1 前言

分布式驅動電動汽車以其傳動效率高、電機響應快及四輪轉矩獨立、可控等優(yōu)點，在車輛結構和操縱穩(wěn)定性控制等方面具有極大優(yōu)勢，引起了國內外眾多學者的重視[1-3]。近年來，汽車底盤控制系統(tǒng)發(fā)展迅速，如主動前輪轉向(Active Front Steering，AFS)系統(tǒng)和直接橫擺力矩控制(Direct Yaw-moment Control，DYC)系統(tǒng)，旨在提高駕駛員舒適度和車輛橫向穩(wěn)定性[4]。AFS系統(tǒng)能在不干預駕駛員轉向輸入的情況下，修正前輪轉角提高車輛操縱穩(wěn)定性。目前大多數研究通過自抗擾控制[5]、滑?？刂芠6]、魯棒控制[7]、模型預測控制(Model Predictive Control，MPC)[8]等控制策略設計AFS 系統(tǒng)。其中，李紹松等[9]通過考慮輪胎非線性特性，對線性時變模型預測控制進行改進，改善了AFS系統(tǒng)在極限工況下對車輛穩(wěn)定性的控制效果。然而當車輛處于極限轉向工況或低附著系數路面行駛時，輪胎側向力達到飽和，AFS 系統(tǒng)的控制效能會受到極大影響。

與AFS 系統(tǒng)不同，DYC 系統(tǒng)通過對輪胎縱向力進行控制，進而提高車輛的操縱穩(wěn)定性。Wang 等[10]基于線性二次調節(jié)器實現了車輛直接橫擺力矩控制，并通過在傳統(tǒng)線性二次型調節(jié)器的反饋中增加額外控制項，提出了增益調度魯棒線性二次調節(jié)器來保證控制器的魯棒性。Nahidi 等[11]基于線性時變模型預測控制設計了橫縱向車輛DYC 控制器，該方法在低速工況下表現良好，但高速工況下無法保證控制性能。

上述研究在設計單獨的控制系統(tǒng)時取得了成功，但是學者普遍認為集成AFS系統(tǒng)和DYC系統(tǒng)能夠更好地改善車輛的操縱穩(wěn)定性[12]。Song 等[13]提出了基于MPC的主動轉向系統(tǒng)與直接橫擺力矩系統(tǒng)的集成控制器，提高了車輛橫向穩(wěn)定性，但因該控制器只能輸出固定的主動轉角和附加橫擺力矩，在低附著系數路面的表現并不理想。基于此，本研究提出基于MPC 的AFS 系統(tǒng)與DYC 系統(tǒng)的集成控制器，引入質心側偏角相平面作為車輛穩(wěn)定性判據，對控制器輸出的主動轉角和附加橫擺力矩大小進行調整，同時根據車輛穩(wěn)定程度，設計綜合轉矩優(yōu)化分配算法對四輪轉矩進行分配，進而實現車輛操縱穩(wěn)定性控制。

2 車輛動力學模型

為了減少控制器計算量，提高算法實時性，對車輛動力學模型進行簡化。同時根據分布式驅動電動汽車的特點，考慮轉矩分配對縱向車速的影響，采用二自由度車輛模型，如圖1所示。

圖1 二自由度車輛模型

由牛頓定律建立車輛側向和橫擺運動的方程：

式中，Fyf為車輛前軸側向力；Fyr為車輛后軸側向力；m為車輛質量；vx、ω和β為車輛縱向速度、橫擺角速度和質心側偏角；a、b為車輛前、后軸至車輛質心的距離；Iz為車輛繞軸的轉動慣量；ΔMz為依賴車輪縱向力的附加橫擺力矩。

假設路面附著系數為μ，當車輛前輪轉角較小且質心處側向加速度小于0.5μg 時，可認為輪胎側向力與輪胎側偏角和輪胎側偏剛度之間存在如下所示的線性關系：

式中，k1和k2分別為前、后車輪的側偏剛度；α1和α2分別為前、后車輪的側偏角；δf為車輛前輪轉角。

將式（3）、式（4）帶入式（1）、（2）中整理可得：

3 基于質心側偏角相平面的穩(wěn)定性判斷模塊

質心側偏角-橫擺角速度相平面和質心側偏角-質心側偏角速度相平面通常用于分析和判斷車輛穩(wěn)定性。但在車輛失穩(wěn)的情況下，后者具有更高的判定精度。因此，本文采用質心側偏角-質心側偏角速度相平面對車輛穩(wěn)定性進行分析。

在相平面的穩(wěn)定區(qū)域內，從任意出發(fā)點出發(fā)的相軌跡都收斂于零點，使車輛能恢復到穩(wěn)定?？紤]車速和路面附著系數對質心側偏角相平面穩(wěn)定區(qū)域的影響，劉偉等[14]給出質心側偏角相平面穩(wěn)定性區(qū)域的確定方法，如公式（7）所示：

式中，E1、E2為穩(wěn)定區(qū)域邊界系數。

如圖2 所示，在相平面中，車輛失穩(wěn)情況通常發(fā)生在第一、三象限，因此在一、三象限內且處于穩(wěn)定邊界外的車輛狀態(tài)點，需要及時控制。

圖2 車輛狀態(tài)在質心側偏角相平面中的位置

根據公式，可以判斷車輛是否處于穩(wěn)定區(qū)域內，但仍需了解車輛的穩(wěn)定性程度并進行相應控制，因此，還需結合穩(wěn)定邊界隨車速和路面附著系數變化規(guī)律計算當前穩(wěn)定邊界范圍，即穩(wěn)定邊界到穩(wěn)定區(qū)域中心線的距離Rstb。根據車輛當前質心側偏角，計算當前狀態(tài)點在質心側偏角相平面中的位置，即從當前狀態(tài)點到穩(wěn)定區(qū)域中心線的距離Rc。然后根據式（8）計算車輛穩(wěn)定性程度。

4 改進MPC控制器設計

選取車輛質心側偏角β和橫擺角速度ω為狀態(tài)變量，車輛前輪轉角δf和附加橫擺力矩ΔMz為控制變量，質心側偏角β和橫擺角速度ω為輸出變量，結合二自由度車輛模型式（5）、式（6），將模型寫為狀態(tài)空間方程的形式：

其中，狀態(tài)向量x=[β ω]T，

模型預測控制算法需對連續(xù)系統(tǒng)方程離散化，使用歐拉方法對上述狀態(tài)空間方程進行離散化處理：

其中，A=I+AcTs，B=BcTs，Ts為仿真步長，Ts=0.01。

為保證車輛狀態(tài)變化平穩(wěn)，需要將控制變量轉變?yōu)榭刂圃隽?，可得?/p>

MPC 控制器通過迭代方程以預測系統(tǒng)未來的輸出（假設控制時域與預測時域相等為N）：

MPC 控制器目標函數的設計目的是在預測時域內使狀態(tài)量與期望值的誤差最小，同時最小化控制器的輸出。與傳統(tǒng)MPC 目標函數不同，本文將表示車輛穩(wěn)定性的質心側偏角相平面穩(wěn)定域公式加入目標函數設計當中，根據車輛實時穩(wěn)定程度計算該部分權重，考慮系統(tǒng)對目標函數的約束，得到如公式（14）所示的MPC 目標函數：

在目標函數(14)中，第一項表示控制器輸出實際質心側偏角和橫擺角速度與其理想值的誤差，保證控制精度；第二項表示控制增量大小，防止前輪轉角變化過大；第三項表示在質心側偏角相平面中，車輛當前狀態(tài)點離穩(wěn)定域中心的距離，防止車輛狀態(tài)偏離相平面穩(wěn)定域；第四項為松弛因子，保證該問題有解。

橫擺角速度的期望值如式（15）所示：

期望質心側偏角如式所示：

為保證車輛始終安全運行，對控制變量、控制增量和輸出變量進行約束，其理論表達式如下所示：

根據預測方程、目標函數以及上述約束可得MPC優(yōu)化問題。在Matlab中，采用Fmincon函數對MPC優(yōu)化問題進行求解。

5 綜合轉矩優(yōu)化分配算法

MPC控制器可以得到車輛穩(wěn)定性控制所需要的附加橫擺力矩，因此，需通過4 個車輪的轉矩進行分配以形成直接橫擺力矩。本文通過計算期望縱向速度vxdes與實際縱向速度vx的差值，采用比例積分微分控制（Proportional Integral Derivative，PID）方法計算得到車輛需要的總縱向力Fxd，表達式如式（20）所示：

式中，kp為比例系數；TI為積分時間常數；TD為微分時間常數；e(t)為vxdes與vx的差值。

將Fxd分配給4個車輪以產生所需橫擺力矩。因此，根據力平衡及力矩平衡等式約束，得到如下方程：

式中，Fxfl0、Fxfr0、Fxrl0及Fxrr0表示4個輪胎力沿x軸的合力；B表示輪距；Mz為期望直接橫擺力矩。

計算4個輪胎力沿車輛坐標系縱向合力：

式中，Fxfl、Fxfr、Fxrl及Fxrr表示各輪胎縱向力。

除了需要滿足上述等式約束，輪胎縱向力還需滿足路面附著條件的不等式約束：

縱向力的分配主要有2種分配原則：穩(wěn)定性分配和動力性分配。根據Mokhiamar等[15]提出的將輪胎利用率平方和作為優(yōu)化目標的方法進行穩(wěn)定性分配，其目標函數如下所示：

綜合式（21）～（24），采用拉格朗日乘子法求解輪胎縱向力分配優(yōu)化問題：

式中，H=(Fxd-2ΔMz/B)/2；S=(Fxd+2ΔMz/B)/2。

縱向力動力性分配需要考慮輪胎的滑移率，較小的滑移率有利于提高車輛行駛的動力性，因此，按照動力性分配原則的目標函數如下：

式中，λi為輪胎滑移率；λmax為輪胎穩(wěn)定狀態(tài)的滑移率最大值。

同樣通過拉格朗日乘子法，得到動力性分配優(yōu)化結果：

本文結合穩(wěn)定性分配和動力性分配2 種方法設計綜合轉矩優(yōu)化分配方法，并根據車輛在質心側偏角相平面中的穩(wěn)定程度確定二者在綜合優(yōu)化分配中的權重。若車輛穩(wěn)定程度高，則動力性分配權重高；若車輛穩(wěn)定程度低，則穩(wěn)定性分配權重高，分配方法如下所示：

其中r和(1-r)分別為穩(wěn)定性分配和動力性分配的權重系數，r可以由式（29）確定：

由式（25）～（29）得到綜合優(yōu)化分配結果：

因分布式驅動電動汽車施加給車輪的是轉矩，因此由式（31）將輪胎縱向力轉化為轉矩：

式中，Ti為電機轉矩；Reff為車輪有效半徑。

6 仿真分析

本文所設計的集成控制策略框架如圖3 所示。車輛模型將車輛縱向速度、質心側偏角等狀態(tài)量傳遞給相平面穩(wěn)定性判斷模塊、縱向力PID控制器和MPC穩(wěn)定性控制器。相平面穩(wěn)定性判斷模塊通過實時車輛狀態(tài)計算出車輛穩(wěn)定程度并發(fā)送給MPC穩(wěn)定性控制器及轉矩分配器。MPC控制器結合車輛狀態(tài)參數及相平面輸出的車輛穩(wěn)定程度參數計算出主動前輪轉角和期望附加橫擺力矩，并將轉角信號直接輸送給車輛模型，將力矩信號輸送給轉矩分配器。轉矩分配器接收力矩信號，結合PID控制器輸出的縱向力、車輛模型輸出的輪胎力以及相平面輸出的穩(wěn)定程度對力矩進行綜合優(yōu)化分配，將轉矩分配到4個車輪。

圖3 控制策略框架

搭建Carsim與Matlab/Simulink聯(lián)合仿真環(huán)境，采用車輛在實際運行中容易失穩(wěn)的低附雙移線工況，對基于相平面的AFS和DYC模型預測控制算法進行驗證。在Carsim中選擇C級車作為仿真車輛，車輛關鍵參數如表1所示。

表1 車輛關鍵參數

為了驗證本文提出的MPC控制器以及綜合轉矩分配算法的性能，設置2個對照組。將本文所設計的控制策略標記為控制器A，對照組一的上層控制器為不考慮相平面的傳統(tǒng)MPC 控制器，下層轉矩分配采用本文所設計的綜合轉矩優(yōu)化分配，標記為控制器B；對照組二的上層控制器同為不考慮相平面的傳統(tǒng)MPC 控制器，下層采用穩(wěn)定性分配與動力性分配權重固定相等的綜合轉矩分配，標記為控制器C。設定車輛以80 km/h 的速度在路面附著系數為0.5 的雙移線道路行駛，其中MPC 控制器的控制時域與預測時域均設置為10，仿真結果如圖4～圖11所示。

圖4 控制器A中Rc值變化

圖4 為控制器A 仿真時由質心側偏角相平面計算得到的Rc值的變化，該值越大，則代表車輛越不穩(wěn)定。圖5～圖7 給出了3 個控制器對理想質心側偏角和理想橫擺角速度的跟蹤效果以及質心側偏角相平面中相軌跡分布。對比控制器B 和控制器C，控制器B 對質心側偏角和橫擺角速度理想值的跟蹤均優(yōu)于控制器C，這是因為控制器C中穩(wěn)定性分配與動力性分配的權重固定，而控制器B 可對2 種分配方法的權重進行調整。但從圖7可知，雖控制器B的相軌跡分布略優(yōu)于控制器C，但二者均有超出相平面穩(wěn)定邊界的情況，車輛存在失穩(wěn)的可能性?？刂破鰽因采用了改進的MPC穩(wěn)定性控制器以及綜合轉矩優(yōu)化分配算法，其對理想質心側偏角以及理想橫擺角速度的跟蹤皆優(yōu)于控制器B和控制器C，且波動更小，其質心側偏角極值相較于控制器B 減小了25%，相較于控制器C減小了35%，相軌跡始終處于穩(wěn)定區(qū)域內，車輛穩(wěn)定性較好。從圖8 可以看出，當車輛處于轉向工況時，控制器A可以增大主動前輪轉角輸出以達到改善車輛操縱穩(wěn)定性的目的，而控制器B和控制器C因采用傳統(tǒng)MPC控制器，通過主動轉角改善操穩(wěn)性的能力有限。從圖9～圖11 可以看出，由于控制器C 受滑移率波動的影響，導致轉矩分配效果不佳。而控制器A綜合了穩(wěn)定性分配原則與動力性分配原則，削弱滑移率波動對轉矩分配影響的同時，提高了車輛穩(wěn)定性。

圖5 橫擺角速度響應

圖6 質心側偏角響應

圖7 質心側偏角相平面

圖8 主動前輪轉角

圖9 控制器A轉矩分配

圖10 控制器B轉矩分配

圖11 控制器C轉矩分配

7 結束語

本文針對分布式驅動電動汽車在低附著系數路面上的操縱穩(wěn)定性不佳的問題，提出了基于相平面的AFS和DYC 模型預測控制器與綜合轉矩優(yōu)化分配算法，聯(lián)合搭建Carsim與Matlab/Simulink模型進行仿真，得出以下結論：考慮了相平面車輛穩(wěn)定程度的改進MPC 控制器可以根據車輛穩(wěn)定程度調節(jié)主動前輪轉角與附加橫擺力矩的大小來改善車輛操縱穩(wěn)定性。當車輛穩(wěn)定程度較低時，及時增大主動前輪轉角及附加橫擺力矩輸出，使車輛迅速恢復穩(wěn)定。兼顧了穩(wěn)定性與動力性，并根據相平面車輛穩(wěn)定程度調節(jié)二者權重的綜合轉矩優(yōu)化分配算法可以削弱滑移率波動對轉矩分配的影響，同時進一步提高車輛穩(wěn)定性。