甘肅省蘭州市第六中學(730060)焦永垚

一、提出問題

例1(2023 年全國高中數(shù)學聯(lián)賽內蒙古預賽第9 題)設A,B為橢圓上不同的兩點, 直線AB分別與x軸、y軸交于.若M是直線上任意一點, 且直線MA,MQ,MB的斜率存在且都不等于0.試問: 直線MA,MQ,MB斜率的倒數(shù)能否排成等差數(shù)列? 若能,請給出證明;若不能,請說明理由.

可以證明,直線MA,MQ,MB斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列.由極點與極線的理論可知,點Q(0,n)與直線恰好為橢圓的一對極點與極線,那么試題中的結論在一般的橢圓中是否成立? 若成立,能否將其推廣到雙曲線和拋物線中?

二、拓展探究

經(jīng)探究發(fā)現(xiàn),題目的結論在一般的橢圓中也成立,于是有如下結論:

結論1直線AB過點Q(0,n)(n±b,n0)且與橢圓交于不同的兩點A,B, 點M是直線上的任意一點,且直線MA,MQ,MB的斜率存在且都不等于0,則直線MA,MQ,MB斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列.

證明當直線AB的斜率存在時, 設直線AB的方程為y=kx+n, 代入橢圓E的方程可得(b2+a2k2)x2+2a2knx+a2(n2-b2)=0.由?>0 可得a2k2+b2-n2>0.設A(x1,y1),B(x2,y2), 則, 可得.設,則

當直線AB的斜率不存在時, 易驗證也有成立,所以直線MA,MQ,MB斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列.

同樣,在雙曲線和拋物線中也有類似的結論:

結論2直線AB過點Q(0,n)(n0) 且與雙曲線交于不同的兩點A,B,點M是直線上的任意一點, 且直線MA,MQ,MB的斜率存在且都不等于0,則直線MA,MQ,MB斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列.

證明過程與結論1 類似,略.

結論3直線AB過點Q(0,n)(n0) 且與拋物線E:y2= 2px(p>0) 交于不同的兩點A,B, 直線QC與拋物線E相切于點C, 直線AB交直線OC(O為坐標原點) 于點D, 過點D作x軸的平行線l,點M是直線l上的任意一點,且直線MA,MQ,MB的斜率存在且都不等于0, 則直線MA,MQ,MB斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列.

圖1

證明設直線AB的方程為y=kx+n(k0), 與E的方程聯(lián)立得k2x2+2(kn-p)x+n2=0,由?>0 可得2kn-p<0 且k0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則

設切線QC的方程為y=k′x+n(k′0),與E的方程聯(lián)立得k′2x2+2(k′n-p)x+n2=0,由?=0 得,則,于是直線OC的方程為,與直線AB的方程y=kx+n聯(lián)立可得.設,則

所以直線MA,MQ,MB斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列.

三、探究延伸

由極點與極線的理論可知,結論1 中的點Q(0,n)與直線、結論2 中的點Q(0,n)與直線、結論3中的點Q(0,n)與直線OC都為所對應的圓錐曲線的一對極點和極線,那么,以上命題對一般的極點極線還成立嗎? 為了探明這一問題,我們先介紹幾個關于調和點列與調和線束的定義和性質.

定義1[1]若A,B,C,D四點共線,則這四點A,B,C,D的交比(AB,CD)定義為四條有向線段的比:(其中表示有向線段的數(shù)量).若(AB,CD) = -1,則稱點C,D調和分割點A,B,或稱點A,B與點C,D調和共軛,A,B,C,D為調和點列.

定義2[1]若a,b,c,d是共點的四條直線,則叫做a,b,c,d的交比.若四直線a,b,c,d滿足(ab,cd)=-1,則稱a,b,c,d調和共軛.

定義3[2]設兩點C,D的連線與圓錐曲線Γ 相交于A,B,若線段AB被C,D調和分割,則稱C,D是關于圓錐曲線Γ 的一對調和共軛點.

定義4[2]一點P關于圓錐曲線Γ 的所有調和共軛點的軌跡為一條直線p,稱p為點P(關于Γ)的極線,點P稱為直線p(關于Γ)的極點.

如圖2, 過一點Q作圓錐曲線Γ 的割線與曲線Γ 及Q點的極線分別交于點A,B及D, 則根據(jù)上述定義可知,A,B,Q,D為調和點列.

圖2

定義5[2]若A,B,C,D是調和點列,過此點列所在直線外任一點P作射線PA,PB,PC,PD,則稱這四條射線為調和線束.反過來,任一直線與調和線束相交所截的四個點構成調和點列.

性質1[1]如果任意一條直線s截a,b,c,d四條直線于點A,B,C,D,則有(ab,cd)=(AB,CD).

性質2[1]若共點四條直線a,b,c,d的斜率分別為k1,k2,k3,k4,則.

有了以上這五個定義和兩個性質,我們就可以把例1 的結論推廣到更一般的情形,得到圓錐曲線的一個統(tǒng)一性質:

結論4已知點Q(點Q不在圓錐曲線Γ 上且異于原點)關于圓錐曲線Γ 的極線為l,過點Q的直線AB與曲線Γ 及直線l分別交于點A,B及D,點M為不在直線AB上的一點,分別記直線MA,MQ,MB,MD的斜率為k1,k2,k3,k4,則.

證明由定義可知A,B,Q,D為調和點列, 則MA,MB,MQ,MD是調和線束,則(lMAlMB,lMQlMD)=(AB,QD) = -1,于是由性質2 可得,整理得.

幾種特別情況:

(1) 當k4→+∞, 即MD⊥x軸時,, 即k1+k3=2k2.

(2) 當k2→+∞, 即MQ⊥x軸時,, 即k1+k3=2k4.

(3)當k2→+∞,k4=0,即MQ⊥x軸,且MD與x軸平行或重合時,k1=-k3.

(4)當k4→+∞,k2=0,即MD⊥x軸,且MQ與x軸平行或重合時,k1=-k3.

(5) 當k2= 0, 即MQ與x軸平行或重合時,,即.

(6)當k4= 0,即MD與x軸平行或重合時,,即.

顯然,前文例1 及結論1、2、3 都屬此特別情況(6).

四、結論應用

下面來看幾道以上述結論為背景的高考試題:

例2(2020 年高考北京卷第20 題) 已知橢圓,過點A(-2,-1),且a=2b.(1)求橢圓C的方程;

(2)過點B(-4,0)的直線l交橢圓C于點M,N,直線MA,NA分別交直線x=-4 于點P,Q,求的值.

分析易得橢圓C的方程為,下面來分析第(2) 問.如圖3, 過點A作x軸的垂線, 交直線MN于點E, 與橢圓C的另一個交點為A′.點B(-4,0) 對應的極線為, 即x= -2, 此方程恰好是直線AA′的方程, 因為AA′⊥x軸, 所以由結論4 的特殊情況(1) 可知,kAP+kAQ= 2kAB= -1.又由直線AP的方程y+1 =kAP(x+2) 可得yP= -2kAP-1, 同理有yQ= -2kAQ-1,則yP+yQ= -2(kAP+kAQ)-2 = 0,從而.

圖3

例3(2018 年高考全國Ⅰ卷理科第19 題) 設橢圓的右焦點為F, 過F的直線l與C交于A,B兩點,點M的坐標為(2,0).

(1)當l與x軸垂直時,求直線AM的方程;

(2)設O為坐標原點,證明: ∠OMA=∠OMB.

分析易得直線AM的方程為或.下面來分析第(2)問.當l與x軸垂直時,結論顯然成立;當l與x軸不垂直時,設直線l與直線x= 2相交于點P(如圖4), 易知直線x= 2 為C的右準線, 則點F和直線x= 2 為C的一對極點和極線, 易知MP⊥x軸,且直線MF與x軸重合, 則由結論4 的特殊情況(4)可知,kMA=-kMB,故∠OMA=∠OMB.

圖4

例4(2022 年高考北京卷第19 題) 已知橢圓的一個頂點為A(0,1), 焦距為.

(1)求橢圓E的方程;

(2)過點P(-2,1)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B,C,直線AB,AC分別與x軸交于點M,N.當|MN|=2 時,求k的值.

分析易得橢圓E的方程為.下面分析第(2)問.

如圖5, 設橢圓E的左頂點為D,則易知直線AD為點P所對應的極線,設直線BC交直線AD于點Q.可以驗證直線AB,AC的斜率都存在,記它們的斜率分別為k1,k2.

圖5

因為AP//x軸, 所以由結論4 的特殊情況(5) 可知,.又由直線AB的方程y=k1x+1可得, 同理可得, 則由可解得不妨取k1= 1,k2= 1/3,則直線AB的方程y=x+1,與E的方程聯(lián)立可得,則

例5(2023 年高考全國乙卷理科第20 題)已知橢圓的離心率為, 點A(-2,0)在C上.

(1)求C的方程;

(2)過點(-2,3)的直線交C于P,Q兩點, 直線AP,AQ與y軸的交點分別為M,N.證明: 線段MN的中點為定點.

分析易得C的方程為.下面分析第(2)問.如圖6,記點R(-2,3),橢圓C的上頂點記為B,由C的方程易知直線AB為點R所對應的極線.因為AR⊥x軸,所以由結論4 的特殊情況(2)可知,kAP+kAQ= 2kAB= 3.在直線AP,AQ的方程y=kAP(x+2)和y=kAQ(x+2)中分別令x= 0, 可得yM= 2kAP,yN= 2kAQ, 則, 故線段MN的中點為定點(0,3).關于例5 更多細節(jié)可參見文獻[3],本文不再贅述.

圖6