李博文，張曉輝，何 煦，羅 敬

（1.中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長春 130033；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049）

1 引言

隨著綜合國力的不斷提升，我國航天事業(yè)取得巨大成就。研制出的大型精密光學(xué)儀器的型號不斷增多，對航天產(chǎn)品的裝配精度也提出了更嚴(yán)格的要求。這些儀器往往具有重量大、精度高、調(diào)整過程復(fù)雜等特點(diǎn)。目前，產(chǎn)品的裝配任務(wù)主要依靠人工操作，裝配周期、精度及可靠性與操作人員的經(jīng)驗(yàn)有較大的關(guān)系［1］。因此，將大型工業(yè)機(jī)器人引入航天制造領(lǐng)域，發(fā)展高精度的自動(dòng)化裝配技術(shù)，實(shí)現(xiàn)智能化與數(shù)字化，是解決航天產(chǎn)品高精度裝配困難問題的有效途徑。

產(chǎn)品的可靠性主要由裝配過程中各部件的定位精度來確定。其中重復(fù)定位精度與絕對定位精度又是機(jī)器人定位精度的兩大構(gòu)成。不同型號的機(jī)器人在重復(fù)定位精度上均可以達(dá)到較高水平，控制在0.1mm以內(nèi)，而絕對定位精度一般都在1mm以上［2］，無法精確完成各項(xiàng)任務(wù)。為了提高機(jī)器人的性能及定位準(zhǔn)確性，眾多學(xué)者對不同型號的機(jī)器人進(jìn)行了研究，提出了多種標(biāo)定方法。文獻(xiàn)［3］基于D-H模型建立了機(jī)器人的末端位置誤差方程，并利用最小二乘法進(jìn)行求解，有效實(shí)現(xiàn)了機(jī)器人的標(biāo)定；文獻(xiàn)［4］在最小二乘法辨識出誤差模型中真實(shí)關(guān)節(jié)角的基礎(chǔ)上，利用圓周法對機(jī)器人進(jìn)行二次誤差補(bǔ)償。以上基于模型的標(biāo)定方法大多建立在D-H運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)上，且僅考慮了部分因素的影響，建立的誤差模型并不完善。在使用最小二乘法求解參數(shù)時(shí)可能存在病態(tài)矩陣，導(dǎo)致部分參數(shù)無法辨識，當(dāng)相鄰關(guān)節(jié)平行時(shí)也可能產(chǎn)生奇異問題。同時(shí)他們的標(biāo)定對象均為負(fù)載小于200kg的機(jī)器人，由于大型工業(yè)機(jī)器人具有重量較大，臂展較長等特點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的微小偏差會(huì)引起末端定位產(chǎn)生較大誤差［5］，這些方法難以對大尺寸高負(fù)載的工業(yè)機(jī)器人具備通用性。因此，有必要考慮更多影響定位精度的誤差因素，建立更完善的誤差模型并改進(jìn)辨識算法，對航天領(lǐng)域的大型工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行標(biāo)定。

針對以上問題，提出了一種適用于大型工業(yè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定及精度補(bǔ)償方法。綜合考慮了運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)、坐標(biāo)系變換、靶球安裝等多項(xiàng)誤差影響因素，基于改進(jìn)的D-H（MD-H）建模方法建立了含34個(gè)幾何誤差參數(shù)的機(jī)器人標(biāo)定模型。并將L-M算法與最小二乘法相結(jié)合，進(jìn)行有限次迭代完成參數(shù)辨識并補(bǔ)償。最后根據(jù)國標(biāo)對位置準(zhǔn)確度的評定標(biāo)準(zhǔn)開展實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了算法的有效性和準(zhǔn)確性。

2 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定

2.1 機(jī)器人標(biāo)定流程

標(biāo)定是能夠提高機(jī)器人絕對定位精度的有效方式?；谶\(yùn)動(dòng)學(xué)模型的標(biāo)定方法，大致可以分為4個(gè)步驟［6］：（1）建立合理描述機(jī)器人定位誤差的標(biāo)定模型；（2）設(shè)計(jì)測量方案，準(zhǔn)確測定機(jī)械臂法蘭末端的實(shí)際位姿；（3）選用合適的算法進(jìn)行計(jì)算，得到誤差模型中的各項(xiàng)幾何參數(shù)；（4）根據(jù)計(jì)算參數(shù)進(jìn)行修正與補(bǔ)償，實(shí)現(xiàn)機(jī)器人絕對定位精度的提高。

2.2 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

機(jī)器人標(biāo)定的首要工作是建立合理的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。其中DH建模法是最常用的建模方法之一，它的優(yōu)點(diǎn)是將齊次變換矩陣分解為與連桿相關(guān)的變換或與關(guān)節(jié)相關(guān)的變換，為具體的編程和數(shù)值求解帶來便利。

確定D-H參數(shù)的經(jīng)典方法是為每一個(gè)關(guān)節(jié)或連桿創(chuàng)建相應(yīng)的參考坐標(biāo)系，每一個(gè)坐標(biāo)系都有嚴(yán)格的約束，必須先確定對應(yīng)的z軸和x軸方向，再根據(jù)右手定則即可得到y(tǒng)軸方向。

D-H建模法定義了四個(gè)參數(shù)來描述相鄰兩個(gè)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，然而當(dāng)兩關(guān)節(jié)達(dá)到平行狀態(tài)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生一定缺陷：這些參數(shù)并不能表示關(guān)節(jié)坐標(biāo)系下繞y軸旋轉(zhuǎn)的角度。因此采用MD-H方法來建立機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型，定義了一個(gè)新的參數(shù)β來表示y軸旋轉(zhuǎn)角，可以有效解決相鄰兩關(guān)節(jié)平行時(shí)產(chǎn)生奇異現(xiàn)象的問題。于是，機(jī)器人相鄰兩關(guān)節(jié)的齊次坐標(biāo)變換矩陣可定義為：

式中：di，θi，ai，αi，βi—第i個(gè)關(guān)節(jié)的連桿偏置、關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角、關(guān)節(jié)長度、連桿扭角以及y軸扭角。

圖2 機(jī)器人MD-H坐標(biāo)系Fig.2 Robot MD-H Coordinate System

標(biāo)定選取的工業(yè)機(jī)器人型號為KUKA KR1000 Titan，最大負(fù)載超1000kg，最大臂展3m 以上，是世界上最大的工業(yè)機(jī)器人之一，在汽車行業(yè)、建筑材料工業(yè)及智能制造領(lǐng)域得到廣泛使用，其幾何結(jié)構(gòu)，如圖3所示。

圖3 機(jī)器人幾何結(jié)構(gòu)Fig.3 Robot Geometrical Structure

結(jié)合機(jī)器人相關(guān)幾何結(jié)構(gòu)及坐標(biāo)系建立規(guī)則，確定MD-H參數(shù)，如表1所示。

表1 機(jī)器人MD-H參數(shù)表Tab.1 The Table of Robot MD-H Parameters

表2 機(jī)器人和激光跟蹤儀的主要參數(shù)Tab.2 The Main Parameters of Robot and Laser Tracker

在MATLAB 中進(jìn)行仿真，結(jié)合Robotics Toolbox 工具箱和Link函數(shù)得到運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真模型，如圖4所示。驗(yàn)證了MD-H參數(shù)的合理性。

圖4 KUKA機(jī)器人仿真模型Fig.4 KUKA Robot Simulation Model

圖5 最小二乘法迭代運(yùn)算流程圖Fig.5 The Flow Diagram by Iterative Least Square Method

3 機(jī)器人誤差模型與參數(shù)辨識

3.1 機(jī)器人誤差源分析

外部多種影響均可導(dǎo)致工業(yè)機(jī)器人的定位精度產(chǎn)生誤差，其中運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差占最大比重。將MD-H模型中的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)實(shí)際測定值與理論值相比較，得到的偏移量定義為運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差。

在具體測量時(shí)，由于機(jī)器人末端位姿難以直接測定，可以將激光跟蹤儀自帶的靶球通過磁性底座固定于轉(zhuǎn)接板上，再將轉(zhuǎn)接板連接在機(jī)器人末端法蘭盤上。這相當(dāng)于在末端新引入了新的平行連桿7，而且機(jī)器人末端與連桿7之間只存在平移關(guān)系［7］。但是也不可避免地引入了新的靶球安裝誤差，記作tx、ty、tz。連桿6和7之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系表示為

為實(shí)現(xiàn)機(jī)器人末端定位誤差的準(zhǔn)確測定，首先應(yīng)得到機(jī)器人基坐標(biāo)系與測量坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系，將不同坐標(biāo)下的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)一。由于在擬合坐標(biāo)系的過程中，不可避免地會(huì)引入測量誤差和計(jì)算誤差等，造成了最終轉(zhuǎn)換結(jié)果存在微小的偏差，我們用Tr表示：

六軸機(jī)械臂可建立6個(gè)連桿坐標(biāo)系，每個(gè)坐標(biāo)系有4個(gè)待辨識的D-H參數(shù)，由于只有二、三關(guān)節(jié)之間可能存在平行關(guān)系，所以引入旋轉(zhuǎn)參數(shù)β2，同時(shí)末端靶球在x、y、z方向上共存在3項(xiàng)安裝誤差，記作tx、ty、tz，從跟蹤儀坐標(biāo)系到機(jī)器人末端坐標(biāo)系的變換矩陣引入了旋轉(zhuǎn)誤差δx、δy、δz和平移誤差dx、dy、dz各3項(xiàng)，共計(jì)34項(xiàng)幾何參數(shù)誤差。

3.2 機(jī)器人微分運(yùn)動(dòng)學(xué)

針對KUKA大型工業(yè)機(jī)器人，引入末端法蘭工作系到工具坐標(biāo)系的齊次變換矩陣［8］，將六軸對應(yīng)的關(guān)節(jié)坐標(biāo)系產(chǎn)生的誤差傳遞至機(jī)器人世界坐標(biāo)系，得到機(jī)器人法蘭末端在這兩種坐標(biāo)系下的變換關(guān)系為：

根據(jù)微分變換法，存在ΔTi使得：

對運(yùn)動(dòng)學(xué)方程進(jìn)行全微分，可得機(jī)器人末端法蘭的位置誤差近似為：

結(jié)合式（5）和式（6）可計(jì)算：

ΔTi為每個(gè)關(guān)節(jié)誤差引起的微分變換矩陣，根據(jù)微分運(yùn)動(dòng)學(xué)原理可得：

式中：[δx，δy，δz]、[dx，dy，dz]—姿態(tài)誤差和位置誤差向量。

聯(lián)立式（7）和式（8）可得到在關(guān)節(jié)坐標(biāo)系下，每個(gè)關(guān)節(jié)臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差，表示為：

式（9）描述了連桿參數(shù)誤差到其連桿坐標(biāo)系微分誤差的線性模型，前三行元素表示位置矢量變化，后三行元素表示姿態(tài)矢量變化。

最后計(jì)算出連桿坐標(biāo)系下產(chǎn)生的各項(xiàng)誤差傳遞到末端法蘭坐標(biāo)系下的誤差總和為：

3.3 基于位置誤差的標(biāo)定模型

機(jī)器人位姿由位置和姿態(tài)組成，其中位置產(chǎn)生的偏差比姿態(tài)偏差更直接影響到定位精度。并且位置坐標(biāo)信息易于測量獲取，同時(shí)當(dāng)機(jī)器人的位置精度提高時(shí)，其末端的姿態(tài)精度也會(huì)相應(yīng)提高。因此，在之后的研究中都只對位置誤差進(jìn)行分析，暫不分析姿態(tài)誤差。

將機(jī)器人末端的實(shí)際測定位置PR與理論計(jì)算位置Pn之間的差值定義為末端位置誤差，并記作：

機(jī)器人法蘭末端到靶球之間的平移變換，在x、y、z方向上共產(chǎn)生3項(xiàng)平移誤差Δtx、Δty、Δtz，基坐標(biāo)系到機(jī)器人坐標(biāo)系的變換引入了旋轉(zhuǎn)誤差δx、δy、δz和平移誤差dx、dy、dz，考慮到上述誤差及運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差Δdi，Δθi，Δai，Δαi，Δβi都足夠小，因此可以采用矩陣微分法來建立和分析機(jī)器人末端的位置誤差模型：

寫成矩陣形式為：

式中：ΔP=(Δx，Δy，Δz)T；Jk—誤差矩陣；Δq—待求解的誤差參數(shù)矢量，包含34個(gè)幾何參數(shù)。

3.4 參數(shù)辨識方法

目前參數(shù)辨識的最常用方法是最小二乘法［9］，該方法目的是尋找使理論位置和實(shí)際位置之間誤差達(dá)到最小化的最優(yōu)解。通過計(jì)算將得到的最優(yōu)解代入到原始數(shù)據(jù)中，對機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行修正與補(bǔ)償。因?yàn)樗蟮姆匠逃?4個(gè)未知數(shù)，所以至少需要選取12個(gè)位置坐標(biāo)用于標(biāo)定，并結(jié)合最小二乘法進(jìn)行擬合求解：

式中：en—n組實(shí)際位置誤差ΔP的集合，若雅可比矩陣中存在冗余參數(shù)，則會(huì)導(dǎo)致誤差模型中的部分?jǐn)?shù)據(jù)難以準(zhǔn)確辨識，誤差補(bǔ)償就可能產(chǎn)生偏差，因此引入L-M算法完善最小二乘算法，改進(jìn)后的求解公式可寫成：

式中：μ—權(quán)系數(shù)，初始值一般取0.001。

在實(shí)際計(jì)算過程中，最小二乘法常結(jié)合迭代運(yùn)算來使用。因此，采用改進(jìn)的最小二乘法辨識出幾何參數(shù)誤差，并補(bǔ)償?shù)竭\(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)初始值中，通過不斷調(diào)整權(quán)系數(shù)的值，進(jìn)行有限次迭代，使末端位置誤差不斷靠近真實(shí)值，直到最終偏差滿足精度要求［10］。即為改進(jìn)的迭代最小二乘法，可以使工業(yè)機(jī)器人的定位精度更為準(zhǔn)確。

4 標(biāo)定實(shí)驗(yàn)與數(shù)據(jù)分析

4.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)備

標(biāo)定過程中，以KUKA公司生產(chǎn)的KR1000 Titan大型機(jī)器人為研究對象，借助Leica公司的激光跟蹤儀AT-960進(jìn)行測量，搭建機(jī)器人參數(shù)辨識和標(biāo)定試驗(yàn)平臺。

4.2 數(shù)據(jù)采集與參數(shù)求解

實(shí)驗(yàn)開始前先確定數(shù)據(jù)采集次數(shù)為兩次，每次各50 個(gè)點(diǎn)。其中第一次用于機(jī)器人的參數(shù)誤差辨識實(shí)驗(yàn)，另一次在參數(shù)辨識后采集，通過對標(biāo)定前后KUKA大型工業(yè)機(jī)器人的定位精度進(jìn)行分析對比，驗(yàn)證誤差補(bǔ)償效果的有效性。

首先在機(jī)器人末端安裝靶球作為位姿檢測點(diǎn)，如圖6所示?；诩す飧檭x在SA軟件中建立機(jī)器人的基坐標(biāo)系，然后在機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)空間范圍內(nèi)隨機(jī)選擇50個(gè)點(diǎn)作為理論參考位姿，使用示教器移動(dòng)機(jī)器人各關(guān)節(jié)分別運(yùn)行到這些點(diǎn)，記錄機(jī)器人末端靶球的位置信息和機(jī)器人在該位置時(shí)的關(guān)節(jié)角信息。對測得的50組數(shù)據(jù)用改進(jìn)的最小二乘法進(jìn)行參數(shù)辨識，計(jì)算出誤差參數(shù)并補(bǔ)償?shù)娇刂破髦校詈笤俅螠y得相同指令的50組數(shù)據(jù)，對補(bǔ)償前后機(jī)器人的定位精度進(jìn)行比較，驗(yàn)證參數(shù)補(bǔ)償?shù)男Ч八惴ū孀R的有效性。

圖6 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場圖Fig.6 The Experiment Site

應(yīng)用前文所述的辨識算法，將激光跟蹤儀測量的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后代入建立的誤差模型中，運(yùn)用算法在MATLAB 中對誤差參數(shù)進(jìn)行辨識，多次迭代后得到相關(guān)誤差參數(shù)，如表3所示。

表3 辨識出的KUKA機(jī)器人誤差參數(shù)Tab.3 The Error Parameters of KUKA Robot Identified

4.3 補(bǔ)償結(jié)果分析

為了驗(yàn)證標(biāo)定方法是否使KUKA工業(yè)機(jī)器人的絕對定位精度得到提高，在辨識出相關(guān)參數(shù)誤差后進(jìn)行誤差補(bǔ)償后，再次控制機(jī)器人分別運(yùn)動(dòng)到相同的目標(biāo)點(diǎn)，記錄新的測量數(shù)據(jù)，對50個(gè)新的實(shí)測點(diǎn)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，得到標(biāo)定前后機(jī)器人的xyz三個(gè)坐標(biāo)軸方向的位置誤差，如圖7所示。通過圖7可以看出三個(gè)坐標(biāo)軸方向的定位誤差均有明顯降低的趨勢，將平均誤差值和最大誤差值作為反映定位精度的相關(guān)指標(biāo)，對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)一步分析，得到標(biāo)定前后的定位誤差，如表4所示。

表4 標(biāo)定前后的誤差對比Tab.4 Error Comparison Before and After Calibration

圖7 標(biāo)定前后X、Y、Z方向的誤差圖Fig.7 Error Diagram in X、Y、Z Direction

標(biāo)定后，最大誤差由2.557mm下降到0.973mm，下降了61.9%；平均誤差由1.122mm 下降到0.340mm，下降了69.7%。x軸方向上，最大誤差下降了58.6%，平均誤差下降了62.7%；y軸方向上，最大誤差下降了54.6%，平均誤差下降了71.9%；z軸方向上，最大誤差下降了72.3%，平均誤差下降了78.6%。因此可以看出標(biāo)定后無論是最大誤差還是平均誤差都有了明顯降低，經(jīng)過參數(shù)誤差補(bǔ)償?shù)哪Ｐ湍軌蚋訙?zhǔn)確描述機(jī)器人末端的位置。

4.4 精度驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

為進(jìn)一步驗(yàn)證運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定及精度補(bǔ)償方法的有效性，根據(jù)國標(biāo)GB/T12642-2013定義的測量方法，開展進(jìn)一步驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)。位置準(zhǔn)確度作為衡量機(jī)器人絕對定位精度指標(biāo)之一，指的是機(jī)器人從相同方向接近目標(biāo)指令位置和實(shí)到位置平均值之間的偏差［11］，計(jì)算方法如下：

首先，選擇一個(gè)空間測量平面，在平面上按照國標(biāo)規(guī)定確定5個(gè)位姿測量點(diǎn)，控制機(jī)器人按P5→P4→P3→P2→P1的順序循環(huán)運(yùn)動(dòng)30次，采用激光跟蹤儀依次測量每個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的實(shí)際位置，計(jì)算出標(biāo)定前5個(gè)點(diǎn)對應(yīng)的絕對定位精度，然后根據(jù)辨識出的參數(shù)誤差進(jìn)行誤差補(bǔ)償，再次控制機(jī)器人沿著相同軌跡繼續(xù)進(jìn)行30次往返運(yùn)動(dòng)，計(jì)算標(biāo)定后的5個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的絕對定位精度［11］；得到這5個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)標(biāo)定前后xyz方向位置偏差及位置準(zhǔn)確度，如圖8所示。

圖8 標(biāo)定前后位置準(zhǔn)確度對比圖Fig.8 Position Accuracy Before and After Calibration

從圖中不難看出，對機(jī)器人進(jìn)行誤差補(bǔ)償后，這五點(diǎn)中最大的位置準(zhǔn)確度由2.36mm 優(yōu)化至0.28mm；提高了88.1%，平均準(zhǔn)確度由2.85mm 優(yōu)化至0.38mm，提高了86.7%。綜上所述，基于MD-H模型的運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定及精度補(bǔ)償方法適用于航天領(lǐng)域的大型工業(yè)機(jī)器人，機(jī)器人的各項(xiàng)定位精度指標(biāo)均得到明顯提高。

5 結(jié)論

以KUKA KR1000 Titan為研究對象，提出了適用于航天領(lǐng)域自動(dòng)化裝配的大型工業(yè)機(jī)器人標(biāo)定與精度補(bǔ)償方法。首先引入MD-H建模方法解決了傳統(tǒng)模型的缺陷，綜合考慮運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)、坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換誤差、靶球安裝誤差等多項(xiàng)誤差因素對絕對定位精度的影響，建立了更為完善的誤差模型；然后采用L-M算法與最小二乘相結(jié)合，計(jì)算出誤差模型中的各項(xiàng)參數(shù)，對機(jī)器人進(jìn)行修正與補(bǔ)償。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示：該方法可降低定位誤差最高達(dá)61.9%，平均定位誤差也大幅減少了69.7%。最后根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)選取5個(gè)空間點(diǎn)，測量標(biāo)定前后的位置準(zhǔn)確度，最大準(zhǔn)確度提高了88.1%，平均準(zhǔn)確度提高了86.7%，進(jìn)一步證明了標(biāo)定方法的可行性。最終結(jié)果表明：該方法不僅能準(zhǔn)確計(jì)算出標(biāo)定模型中的各項(xiàng)參數(shù)，精度補(bǔ)償取得顯著效果，同時(shí)具備一定通用性，對大型工業(yè)機(jī)器人的標(biāo)定及精度補(bǔ)償具有重要意義。

大型工業(yè)機(jī)器人標(biāo)定是一項(xiàng)比較復(fù)雜的工作，影響其絕對定位精度的因素還有很多，精度的提升有待誤差模型的進(jìn)一步完善。同時(shí)在后續(xù)的研究中應(yīng)關(guān)注姿態(tài)測量與補(bǔ)償，使其更好地滿足航天領(lǐng)域的產(chǎn)品裝配精度要求。