甘曉明，張 臣，石 晗

（南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，南京 210016）

隨著航空航天、微納制造和半導(dǎo)體等高精尖行業(yè)的發(fā)展，精密加工和控制領(lǐng)域?qū)Χㄎ痪鹊囊蟾訃?yán)格[1–2]。壓電陶瓷因其響應(yīng)速度快、定位精度高、體積小等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于微納米驅(qū)動(dòng)控制領(lǐng)域中。盡管壓電材料的應(yīng)用范圍廣泛，但受到非線性的影響 （遲滯、蠕變等非線性特性）[3–4]，其定位精度下降[5–6]，這對(duì)高性能納米定位控制提出了挑戰(zhàn)[7]。

傳統(tǒng)上常采用對(duì)遲滯效應(yīng)進(jìn)行建模的方法進(jìn)行補(bǔ)償，即通過數(shù)學(xué)方法建立遲滯非線性的擬合模型，然后對(duì)逆模型進(jìn)行求解，得出壓電材料激勵(lì)電壓和位移輸出之間的關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)遲滯非線性的前饋補(bǔ)償[8–10]。但是一般來說，擬合越準(zhǔn)確、補(bǔ)償效果越好的遲滯模型結(jié)構(gòu)會(huì)越復(fù)雜，待定參數(shù)越多，需要大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)來辨識(shí)模型中的各種參數(shù)。

除了基于遲滯模型的前饋補(bǔ)償控制，研究人員還設(shè)計(jì)出了反饋補(bǔ)償控制，即根據(jù)壓電驅(qū)動(dòng)器反饋回來的實(shí)際位移對(duì)激勵(lì)電壓進(jìn)行調(diào)整[11]。單純的前饋補(bǔ)償依賴于精確的建模，而且對(duì)于工作過程中可能出現(xiàn)的未知擾動(dòng)缺乏足夠的抵抗能力，而單純的反饋補(bǔ)償控制也需要足夠的響應(yīng)時(shí)間來跟蹤期望的輸出軌跡。

現(xiàn)場(chǎng)可編輯門陣列 （Field programmable gate array，F(xiàn)PGA）因其高度可靠性、實(shí)時(shí)性、集成性和極強(qiáng)的信號(hào)處理分析能力，在信號(hào)處理和控制方面得到了越來越廣泛的應(yīng)用[12]，但是其對(duì)于底層硬件相關(guān)理論要求較高，并且需要掌握復(fù)雜的VHDL編程語言，在LabVIEW FPGA模塊中，圖形化的控件將各種邏輯功能的VHDL代碼封裝起來，大大降低了FPGA設(shè)計(jì)的復(fù)雜程度。

本文在前饋補(bǔ)償控制的基礎(chǔ)上同時(shí)應(yīng)用反饋補(bǔ)償控制。先用PI模型對(duì)壓電陶瓷進(jìn)行建模，利用其逆模型搭建遲滯補(bǔ)償控制系統(tǒng)的前饋控制部分，然后結(jié)合增量型PID控制器搭建反饋控制部分。將兩者的優(yōu)點(diǎn)結(jié)合起來，彌補(bǔ)各自的不足之處，實(shí)現(xiàn)更高的控制精度，并且為了提高系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性與控制精度，利用LabVIEW FPGA模塊搭建遲滯補(bǔ)償控制系統(tǒng)。

1 控制方法設(shè)計(jì)

1.1 復(fù)合控制方案的設(shè)計(jì)

無論是單純的基于模型的前饋控制還是基于閉環(huán)控制算法的反饋控制，都具有一定的局限性，于是研究人員在前饋補(bǔ)償控制的基礎(chǔ)上同時(shí)應(yīng)用反饋補(bǔ)償控制，前饋與反饋相結(jié)合的補(bǔ)償控制方案能夠?qū)烧叩膬?yōu)點(diǎn)結(jié)合起來，并且彌補(bǔ)各自的缺陷，實(shí)現(xiàn)更高的控制精度，但是同樣也使整個(gè)控制系統(tǒng)變得復(fù)雜、龐大，控制實(shí)時(shí)性不足。本文在基于PI模型的前饋控制基礎(chǔ)上結(jié)合PID的反饋控制，將整個(gè)系統(tǒng)搭建在FPGA模塊上，解決實(shí)時(shí)性不足的問題。

控制方案設(shè)計(jì)如圖1所示。首先在前饋控制中，通過將設(shè)定好的壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的輸出軌跡離散為若干個(gè)期望位移數(shù)據(jù)點(diǎn)X（k）后，輸入進(jìn)遲滯逆模型中，得到經(jīng)過遲滯補(bǔ)償后的遲滯電壓U（X（k））；其次在反饋控制中通過位移傳感器實(shí)時(shí)地將壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的實(shí)際位移反饋回來，與期望位移進(jìn)行比較，當(dāng)實(shí)際位移與期望位移有較大偏差時(shí)，將位移偏差e（k）輸入到PID控制器中，得到一個(gè)估計(jì)偏差電壓Ue（k）；最后將前饋控制中的遲滯電壓U（X（k））與反饋控制中的偏差電壓Ue（k）相加，得到最終的輸入電壓U（k）。

圖1 復(fù)合控制結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of composite control structure

1.2 基于PI模型的前饋控制

PI模型是基于一種遲滯算子的唯象遲滯模型，可以看作是由若干個(gè)不同閾值的Play算子 （圖2）疊加而成。PI模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，并且具有解析的逆模型表達(dá)式，便于實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)控制器，逐漸在智能材料驅(qū)動(dòng)器的遲滯建模和補(bǔ)償控制中廣泛應(yīng)用。Play算子可以表示為

圖2 Play算子Fig.2 Play operator

式中，Pi（t）是Play算子的輸出；U（t）是Play算子在t時(shí)刻的輸入電壓；ri是Play算子閾值；n是Play算子的個(gè)數(shù)；i是Play算子的序號(hào)；T是相鄰兩個(gè)時(shí)刻的時(shí)間間隔。

將若干個(gè)Play算子進(jìn)行疊加后，可以得到PI模型的輸出表達(dá)式為

式中，X（t）是PI模型在t時(shí)刻的輸出位移；ωi是PI模型的權(quán)值。采集不同頻率下壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的輸入電壓U（t）和對(duì)應(yīng)的輸出位移X（t），并根據(jù)這些數(shù)據(jù)求解得出上述PI模型所需的各項(xiàng)參數(shù)。

（1）利用Matlab中的Quadgrog函數(shù)對(duì)關(guān)于ω的二次多項(xiàng)式求最優(yōu)解可以求得權(quán)值ωi的值，該二次多項(xiàng)式以和方差來衡量模型的精度，即

式中，t=kT，T為采樣周期；s為采樣點(diǎn)數(shù)；d（t）為t時(shí)刻的實(shí)際位移；Pr（kT）為算子在t時(shí)刻狀態(tài)向量，因此Pr（t）=（P1（t），…，Pi（t），…，Pn（t））T；ωr為權(quán)值向量，ωr= （ω1，…，ωi，…，ωn）T。

由于不同頻率的輸入電壓下得到的輸出位移數(shù)據(jù)是不一樣的，因此辨識(shí)出來的權(quán)值ωi是有微小差異的，如果在調(diào)整頻率時(shí)重新對(duì)權(quán)值進(jìn)行辨識(shí)會(huì)額外增加許多計(jì)算量，因此對(duì)主要的幾種工作頻率下的權(quán)值ωi f求平均值，即

式中，ωif為頻率f下辨識(shí)得到的權(quán)值；m為選取的主要工作頻率的個(gè)數(shù)。

（2）閾值可以根據(jù)式（5）選取。

式中，u（t）為輸入電壓的最大值。理論上來說，閾值劃分越細(xì)，Play算子取得越多，PI模型的精度越高，但是會(huì)增大模型的復(fù)雜程度。如果Play算子取的個(gè)數(shù)較少，則會(huì)降低PI模型的精度，經(jīng)過比較，在本文中取算子個(gè)數(shù)為10，閾值ri也隨之確定。式 （4）中的主要工作頻率取10 Hz、20 Hz、30 Hz、…、100 Hz，最后所得PI模型參數(shù)如表1所示。

表1 PI模型相關(guān)參數(shù)Table 1 Relevant parameters of PI model

基于上述得到的PI模型，可以描述激勵(lì)電壓輸入與壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器輸出之間的關(guān)系，只要對(duì)這一關(guān)系表達(dá)式求逆即求解得出PI模型的逆模型，即

式中，U（d（t））為經(jīng)過遲滯逆模型遲滯補(bǔ)償后的遲滯電壓；ω'i為遲滯逆模型的權(quán)值；r'i為遲滯逆模型的閾值，這兩項(xiàng)參數(shù)通過參數(shù)辨識(shí)獲得。在控制系統(tǒng)中輸入離散的期望位移數(shù)據(jù)點(diǎn)X（k），相應(yīng)的表達(dá)式為

其中，

逆模型的相關(guān)參數(shù)如表2所示。

表2 PI逆模型相關(guān)參數(shù)Table 2 Relevant parameters of the inverse PI model

1.3 基于PID控制器的反饋控制

PID控制器是一種基于設(shè)定值與采集值偏差的比例、積分及微分的控制器，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、魯棒性強(qiáng)，因而廣泛應(yīng)用于工業(yè)控制系統(tǒng)中。

PID控制器計(jì)算公式如下：

式中，Ue（k）為k時(shí)刻的偏差電壓；UP（k）為k時(shí)刻偏差電壓的比例部分；UI（k）為k時(shí)刻偏差電壓的積分部分；UD（k）為k時(shí)刻偏差電壓的微分部分；KP為比例系數(shù)；KI為積分系數(shù)；KD為微分系數(shù)；a為濾波器系數(shù)；e（k）為k時(shí)刻實(shí)際位移與期望位移的差值。

2 試驗(yàn)系統(tǒng)設(shè)計(jì)

2.1 硬件系統(tǒng)設(shè)計(jì)

圖3為硬件系統(tǒng)的實(shí)物圖，圖4為試驗(yàn)的硬件系統(tǒng)，包括計(jì)算機(jī)、控制器 （含F(xiàn)PGA模塊）、信號(hào)發(fā)送模塊、信號(hào)采集模塊、電壓放大器、微位移傳感器、信號(hào)調(diào)理模塊、壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器。其中位移傳感器采用的是Microsense 5504電容位移傳感器，最大測(cè)量范圍50 μm、帶寬20 kHz、分辨率30 nm，對(duì)應(yīng)的設(shè)備型號(hào)見表3。

表3 試驗(yàn)硬件系統(tǒng)設(shè)備詳細(xì)信息Table 3 Detailed information of experimental hardware system

圖3 試驗(yàn)硬件系統(tǒng)Fig.3 Experimental hardware system

圖4 試驗(yàn)硬件系統(tǒng)示意圖Fig.4 Schematic diagram of experimental hardware system

2.2 軟件系統(tǒng)設(shè)計(jì)

控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖5所示，控制系統(tǒng)的主要工作流程如下。

圖5 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.5 Control system structure

（1）期望位移的生成。

首先根據(jù)加工的要求輸入期望位移各項(xiàng)參數(shù)，包括振幅、頻率、初相位等，依據(jù)這些參數(shù)，可以生成期望的壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的輸出位移曲線并離散成一組數(shù)據(jù)X（t），然后利用FIFO（First In First Out，一種先進(jìn)先出的數(shù)據(jù)緩存器，與普通存儲(chǔ)器的區(qū)別是沒有外部讀寫地址線，使用起來非常簡(jiǎn)單）將各離散點(diǎn)的數(shù)值按時(shí)間順序傳輸?shù)娇刂破鞑⒈４嬖诖鎯?chǔ)器中。

（2）前饋補(bǔ)償控制。

基于式（6）的遲滯逆模型，完成兩項(xiàng)重要參數(shù)的計(jì)算，包括遲滯逆模型的閾值和權(quán)值，然后讀取到期望位移模塊所述存儲(chǔ)器中保存的離散成的各個(gè)時(shí)間點(diǎn)的期望位移X（t），依據(jù)逆模型所描述的期望位移與遲滯電壓的轉(zhuǎn)換關(guān)系計(jì)算得出遲滯補(bǔ)償后的電壓值，并利用FIFO將遲滯電壓傳輸?shù)捷敵龆丝凇Ｔ谙到y(tǒng)設(shè)計(jì)中，廣泛使用FIFO存儲(chǔ)器的目的是增加數(shù)據(jù)傳輸率、處理大量數(shù)據(jù)流、匹配具有不同傳輸率的系統(tǒng)，從而提高系統(tǒng)性能。

（3）PID控制。

利用位移傳感器能夠?qū)崟r(shí)地檢測(cè)壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器輸出位移，將位移通過采集卡轉(zhuǎn)換為數(shù)字量并反饋到控制系統(tǒng)中，然后讀取到期望位移模塊所述存儲(chǔ)器中保存的離散成的各個(gè)時(shí)間點(diǎn)的期望位移X（t），與實(shí)際位移進(jìn)行比較，計(jì)算偏差e（t），并且對(duì)偏差大小進(jìn)行判斷，當(dāng)偏差大小超過設(shè)定值時(shí)，將差值傳輸?shù)絇ID控制器中。

當(dāng)偏差判斷模塊發(fā)現(xiàn)當(dāng)前實(shí)際位移偏差過大時(shí)，期望位移與實(shí)際位移的偏差值被不斷傳輸?shù)絇ID控制器中，經(jīng)過PID控制器的計(jì)算輸出偏差電壓Ue（t），與PI模型遲滯補(bǔ)償模塊輸出的遲滯電壓U（X（t））相疊加后得到最終的輸入電壓u（k），然后傳輸給壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器，直到位移偏差減小到設(shè)定值以下。

3 試驗(yàn)分析

為了驗(yàn)證本復(fù)合控制算法的遲滯補(bǔ)償效果，將復(fù)合控制算法在NI CompactRIO控制器上實(shí)現(xiàn)，并且利用構(gòu)建的控制系統(tǒng)對(duì)壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器進(jìn)行遲滯補(bǔ)償控制試驗(yàn)，將試驗(yàn)結(jié)果與不加控制時(shí)的壓電驅(qū)動(dòng)器輸出結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。圖6為裝置在1 Hz、50 Hz、100 Hz振動(dòng)頻率下的輸入、輸出特性曲線。

圖6 非共振橢圓振動(dòng)輔助切削裝置遲滯曲線Fig.6 Hysteresis curve of non-resonant elliptical vibration-assisted cutting device

在僅采用前饋控制的試驗(yàn)中，壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的期望振動(dòng)軌跡設(shè)定頻率為1 Hz、10 Hz、50 Hz、100 Hz，采用的逆模型權(quán)值及閾值見表2，振幅為4.5 μm的正弦曲線。圖7為不同頻率下壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器輸出的實(shí)際位移與期望位移對(duì)比圖，圖8為對(duì)應(yīng)的誤差。

圖7 前饋控制的不同頻率正弦振動(dòng)期望位移與實(shí)際位移Fig.7 Expected and actual displacement of sinusoidal vibration of different frequencies under the feedforward control

圖8 前饋控制的不同頻率正弦振動(dòng)期望位移與實(shí)際位移誤差Fig.8 Error between expected and actual displacement of sinusoidal vibration of different frequencies under the feedforward control

在復(fù)合控制的試驗(yàn)中，采取和前饋控制時(shí)同樣的試驗(yàn)方案和基礎(chǔ)參數(shù)，振幅同樣為4.5 μm，PID的增益參數(shù)分別設(shè)定為：KP= 0.05，KI= 0.05，KD= 0.0001，a= 0.001。圖9為復(fù)合控制下不同頻率的正弦振動(dòng)的期望位移與實(shí)際位移，圖10為相應(yīng)的誤差。

圖9 復(fù)合控制下不同頻率正弦振動(dòng)期望位移與實(shí)際位移Fig.9 Expected and actual displacement of sinusoidal vibration of different frequencies under the composite control

圖10 復(fù)合控制下不同頻率正弦振動(dòng)期望位移與實(shí)際位移誤差Fig.10 Expected and actual displacement errors of sinusoidal vibration of different frequencies under compound control

為了評(píng)價(jià)不同控制方法的實(shí)際控制效果，本文采用均方根誤差ermse、最大絕對(duì)誤差em和最大相對(duì)誤差δm對(duì)控制效果進(jìn)行對(duì)比。表4列出了采用前饋控制和采用復(fù)合控制下的各項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)，可以看出，在1 Hz、10 Hz、50 Hz和100 Hz的頻率下，復(fù)合控制下的均方根誤差相比前饋控制下的均方根誤差分別降低了54.6%、68.8%、74.2%和78.1%。而且從1 Hz到100 Hz，隨著頻率的增大，壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器在單一的前饋控制方法下輸出位移的最大相對(duì)誤差從4.83%增大到9.65%，而復(fù)合控制下的最大相對(duì)誤差基本保持在3%以內(nèi)，相比之下，復(fù)合控制中各項(xiàng)誤差指標(biāo)要更加穩(wěn)定。因此，通過試驗(yàn)結(jié)果可以看出，相比于單獨(dú)的前饋控制方法，采用復(fù)合控制方法可以實(shí)現(xiàn)更高精度的遲滯補(bǔ)償控制，并且隨著頻率的增大，復(fù)合控制方法的效果更加明顯。

表4 前饋控制與復(fù)合控制效果對(duì)比Table 4 Comparison between feedforward control and compound control

4 結(jié)論

為了提高對(duì)壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的遲滯補(bǔ)償控制效果，本文提出了用PID控制器對(duì)基于PI逆模型的前饋控制進(jìn)一步優(yōu)化的復(fù)合控制策略，依據(jù)復(fù)合控制策略，基于LabVIEW FPGA模塊搭建了一套壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器遲滯補(bǔ)償控制系統(tǒng)，并且進(jìn)行了相應(yīng)的試驗(yàn)研究，對(duì)比了前饋控制與復(fù)合控制的控制效果，得出以下結(jié)論。

（1）基于LabVIEW FPGA的復(fù)合控制策略能夠提高壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的控制精度，相比于單一的前饋控制方法，壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器在復(fù)合控制下的輸出位移的均方根誤差降低了60%以上。

（2）隨著頻率的增大，前饋控制的各項(xiàng)誤差指標(biāo)也呈增大的趨勢(shì)，而復(fù)合控制中各項(xiàng)誤差指標(biāo)相比之下變化的幅度要更小，因此性能更加穩(wěn)定。