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        數(shù)形結(jié)合百般好

        2023-12-22 03:13:15嚴予瑢
        初中生世界·七年級 2023年10期
        關鍵詞:教師

        嚴予瑢

        今天是平凡得不能再平凡的一天,我們上著一節(jié)與往日“無異”的數(shù)學課。

        交流環(huán)節(jié),老師布置了一道題:

        在數(shù)軸上,點A、B分別表示a、b,計算下列情況下點A、B之間的距離:a=1,b=5;a=0,b=5;a=1,b=-5;a=-1,b=-5。你能發(fā)現(xiàn)點A、B之間的距離與數(shù)a、b之間的關系嗎?

        我看到題目后,先把每組數(shù)分別在數(shù)軸上表示出來,如下圖所示:

        圖1中,AB=b-a=5-1=4;圖2中,AB=b-a=5-0=5;圖3中,AB=a-b=1-(-5)=6;圖4中,AB=a-b=(-1)-(-5)=4。

        通過觀察,我發(fā)現(xiàn),AB=a-b或b-a。因為互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等,AB的長度為非負數(shù),所以AB=[a-b]。我知道了:已知數(shù)軸上兩點表示的數(shù),利用這個公式可以求出這兩點之間的距離。

        如數(shù)軸上,點A表示的數(shù)是-2,AB=3,若表示點B的數(shù)記為x,則[x-(-2)]=3。沒有學過含絕對值的方程,怎么求x的值呢?這時,我想到老師講過,絕對值表示距離,如到原點的距離等于3的點有兩個,一個在原點的左邊,另一個在原點的右邊,所以到點A的距離等于3的點也有兩個,一個在表示-2的點的左邊,即x=-5,另一個在表示-2的點的右邊,即x=1(如圖5)。所以,我又發(fā)現(xiàn):某點到一個定點的距離等于一個正數(shù)時,畫數(shù)軸能直觀地找到兩個這樣的點。

        類比可知,[x-1]表示x到1的距離,[x-(-2)]表示x到-2的距離。若已知[x-(-2)]+[x-1]等于一個正數(shù),怎么求x呢?我在數(shù)軸上標出分別表示-2、1的兩個點,觀察數(shù)軸:這兩個點將數(shù)軸分成3部分——表示-2的點的左邊部分,表示-2與表示1的兩點之間的部分(包括表示-2、1的兩個點),表示1的點的右邊部分(如圖6)。我驚喜地發(fā)現(xiàn):在x變化的過程中,[x-(-2)]+[x-1]有最小值,且最小值是3;當[x-(-2)]+[x-1]取一個大于3的數(shù)時,滿足條件的點也有兩個。

        如果將3個絕對值相加呢?如[x-(-2)]+[x-1]+[x+1],小伙伴們不妨動手試試,你發(fā)現(xiàn)了什么?

        “數(shù)形結(jié)合百般好”。從1個絕對值,到2個絕對值,再到3個絕對值……研究的問題越來越復雜,但只要我們抓住問題的本質(zhì),利用好數(shù)軸,就能輕松地解決問題。

        教師點評

        數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學問題的有效思想,“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微”。小作者借助已有的學習經(jīng)驗,積極思考,主動類比探究,從數(shù)量特征聯(lián)想到幾何特征,把數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為形的問題。同時,小作者還發(fā)現(xiàn)變化中不變的量,這是個了不起的發(fā)現(xiàn)!

        (指導教師:嚴亞琴)

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