環(huán)狀光束在非Kolmogorov大氣湍流中傳輸?shù)睦碚撗芯?/h1>
2023-12-21 15:35:22段志春謝世偉黃永平
宜賓學(xué)院學(xué)報(bào) 2023年12期 關(guān)鍵詞：大氣
段志春，謝世偉，黃永平
（1.計(jì)算物理四川省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川宜賓 644000；2.宜賓學(xué)院 理學(xué)部，四川宜賓 644000）
高斯光束通過(guò)環(huán)狀光闌會(huì)產(chǎn)生環(huán)狀光束，由于環(huán)狀光束在現(xiàn)代光學(xué)及原子光學(xué)中的廣泛實(shí)用性而受到人們的關(guān)注．激光束在自由空間中傳輸時(shí)會(huì)因衍射效應(yīng)而擴(kuò)展，而大氣湍流引起的大氣折射率隨機(jī)起伏又將導(dǎo)致激光光場(chǎng)的隨機(jī)變化與散射，從而使激光束在大氣湍流中傳輸時(shí)會(huì)進(jìn)一步擴(kuò)展降低光束傳輸質(zhì)量．已有研究對(duì)環(huán)狀光束在各向同性且均勻的理想大氣湍流（即Kolmogorov 湍流）中的傳輸情況進(jìn)行分析[1-7]，但實(shí)際的大氣并非總是理想的Kolmogorov 湍流，因此，研究激光束在非Kolmogorov 大氣湍流中的傳輸對(duì)于研究激光光束在實(shí)際大氣中的傳輸及其應(yīng)用有著相當(dāng)重要的意義．文獻(xiàn)[8]研究了非Kolmogorov 湍流對(duì)環(huán)狀光束的有效曲率半徑的影響，到目前為止，人們對(duì)環(huán)狀光束在非Kolmogorov 大氣湍流中的光束擴(kuò)展變化規(guī)律的研究還未見(jiàn)報(bào)道．本文利用廣義惠更斯-菲涅耳原理、非Kolmogorov 譜和強(qiáng)度二階矩定義，推導(dǎo)環(huán)狀光束在大氣湍流中傳輸?shù)氖鴮捄徒菙U(kuò)展的表達(dá)式，并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行一定的物理解釋?zhuān)?/p>
1 理論模型
在柱坐標(biāo)系下，環(huán)狀光束在入射面（z= 0）處的場(chǎng)分布可表示為[3,5,8]：
式中，r'為入射面上的橫向坐標(biāo)，w0為偏心高斯光束的束腰寬度，p、q(q,p= 0,1,2…)表示環(huán)狀光束的階數(shù)，且q≥p．為了討論方便，式（1）略去了振幅常數(shù)因子．定義環(huán)狀光束的外徑為R1=(q+ 1)w0，內(nèi)徑為R2=(p- 1)w0，由此可以得到環(huán)狀光束的遮攔比為：，顯然0 ＜ε＜1．
假設(shè)一束準(zhǔn)單色環(huán)狀光束從z= 0 面沿z軸在大氣湍流中傳播．源場(chǎng)處z= 0 面上的交叉譜密度函數(shù)為[8]：
根據(jù)廣義惠更斯-菲涅耳衍射積分公式，環(huán)狀光束通過(guò)大氣湍流傳輸在z處出射面上的平均光強(qiáng)可以表示為：
式中，r'和r分別是初始面和觀察面的位置矢量，波數(shù)k= 2p/l，λ 為波長(zhǎng)；z為傳播距離；ψ(r,r'1,z)表示湍流大氣對(duì)球面波影響的隨機(jī)相位因子，· 表示大氣湍流介質(zhì)的系綜平均，且[4]：
式中，J0是零階貝塞爾函數(shù)，Φn(κ)為大氣湍流的折射率起伏譜密度函數(shù)．對(duì)于非Kolmogorov 譜，Φn(κ)可表示為[9-10]：
其中：
式中，α為廣義指數(shù)參數(shù)，(Γ(5 -α2) )為伽馬函數(shù)，是廣義的湍流折射率起伏結(jié)構(gòu)常數(shù)（單位是m3-α）．當(dāng)α= 11 3時(shí)，A(11 3)= 0.033，=，即為理想的大氣湍流Kolmogorov譜．
引入大氣湍流量表征湍流的影響強(qiáng)度：
將(5)式代入(10)式可以得到
式（11）表明，大氣湍流量T(α,l0,L0)與指數(shù)α、內(nèi)尺度l0和外尺度L0有關(guān)，T(α,l0,L0)值越大，湍流越強(qiáng)．
2 環(huán)狀光束在非Kolmogorov 湍流中束寬和角擴(kuò)展
根據(jù)強(qiáng)度二階矩定義，在柱坐標(biāo)系下，激光束在大氣湍流介質(zhì)中的二階矩束寬可表示為[4,6,11]：
將式(2)、(3)、(4)代入式(12)，經(jīng)過(guò)繁冗的計(jì)算后，可以推導(dǎo)出環(huán)狀光束在非柯?tīng)柲缏宸蛲牧髦械氖鴮挃U(kuò)展為：
式中，D-i為拋物線柱函數(shù)，且
根據(jù)角擴(kuò)展的定義[6]
環(huán)狀光束的角擴(kuò)展可表示為
分析式（13）和（17），在非Kolmogorov 譜大氣湍流中環(huán)狀光束的束寬和角擴(kuò)展與光束的階數(shù)、束腰寬度、波長(zhǎng)，遮攔比和湍流的外尺度L0、內(nèi)尺度l0、廣義指數(shù)參數(shù)α以及傳輸距離z有關(guān)，它們會(huì)隨傳輸距離z的增加而明顯增大，光束不斷擴(kuò)展，傳輸質(zhì)量變差．在式（13）中，等式右邊前面兩項(xiàng)代表光束在自由空間由于衍射引起的光束擴(kuò)展，而第三項(xiàng)表明非Kolmogorov 譜大氣湍流引起的光束擴(kuò)展．當(dāng)光束傳播距離非常短時(shí)，光束在傳輸過(guò)程中由于自身的衍射以及湍流的作用對(duì)光束擴(kuò)展的影響都很小，此時(shí)起主要作用的是第一項(xiàng)，由光束參數(shù)來(lái)決定，光束擴(kuò)展不明顯．但隨著傳輸距離逐漸增加，第二、三項(xiàng)的值明顯大于第一項(xiàng)的值，表明光束的擴(kuò)展主要是光束自身的衍射和非Kolmogorov 譜大氣湍流引起的．當(dāng)傳輸距離足夠遠(yuǎn)時(shí)，第三項(xiàng)起主要作用，即此時(shí)光束擴(kuò)展主要由湍流的影響所致，與光束參數(shù)無(wú)關(guān)[12]．結(jié)合式（11），對(duì)給定的環(huán)狀光束在非Kolmogorov 譜大氣湍流作遠(yuǎn)距離傳輸時(shí)，由于湍流的作用對(duì)其光束的束寬和角擴(kuò)展的影響因素主要有湍流的外尺度L0、內(nèi)尺度l0和廣義指數(shù)參數(shù)α．
3 數(shù)值分析
圖1 描述了環(huán)狀光束的束寬擴(kuò)展隨湍流的廣義指數(shù)參數(shù)α、外尺度L0和內(nèi)尺度l0的變化（計(jì)算參數(shù)分別為：p= 2、q= 5、ε= 1/6、w0= 0.05 m、λ=0.85 μm、C?2n= 2 × 10-15m3-α、z= 5 km、L0= 20 m和l0= 0.01 m）．
圖1 環(huán)狀光束的束寬擴(kuò)展隨湍流的外尺度L0、內(nèi)尺度l0和廣義指數(shù)參數(shù)α的變化Fig.1 The beam width spreading of annular beams versus the outer scale L0, the inner scale l0 and parameter α of turbulence
從圖1 很明顯看出，當(dāng)光束參數(shù)一定，湍流的折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)以及內(nèi)外尺度一定的情況下，由于廣義指數(shù)參數(shù)α的取值不同，光束的束寬擴(kuò)展隨α的增加而先增大再減小的變化．在光束傳輸距離比較遠(yuǎn)時(shí)（如z= 5 km)，湍流內(nèi)尺度的減小會(huì)導(dǎo)致環(huán)狀光束的束寬明顯增大，外尺度的變化對(duì)束寬擴(kuò)展的影響相對(duì)較小，尤其是α＜3.6 時(shí)，外尺度的增加幾乎不引起環(huán)狀光束的束寬擴(kuò)展．通過(guò)比較式（17）和（13）發(fā)現(xiàn)，由于非Kolmogorov 譜大氣湍流引起環(huán)狀光束的角擴(kuò)展的變化規(guī)律與光束束寬擴(kuò)展變化規(guī)律是相似的．
4 結(jié)語(yǔ)
本文基于廣義惠更斯—菲涅耳原理，利用非Kolmogorov 譜和強(qiáng)度二階矩定義，推導(dǎo)出環(huán)狀光束在大氣湍流中傳輸?shù)氖鴮捄徒菙U(kuò)展的表達(dá)式，并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了一定的物理解釋?zhuān)畯睦碚撋戏治隽嗽诜荎olmogorov 湍流中傳輸?shù)沫h(huán)狀光束，由于自身衍射和湍流的共同作用，使光束展寬明顯，光束傳輸質(zhì)量降低．當(dāng)傳輸距離足夠遠(yuǎn)時(shí)，由于湍流的作用，湍流的外尺度L0、內(nèi)尺度l0和廣義指數(shù)參數(shù)是對(duì)環(huán)狀光束的束寬和角擴(kuò)展影α響的主要因素．在其他參數(shù)一定的情況下，環(huán)狀光束的束寬擴(kuò)展和角擴(kuò)展隨廣義指數(shù)參數(shù)α的增加呈先增加后減小的變化，隨湍流內(nèi)尺度的增加而減小，隨外尺度的增加而增加（3.6 ＜α＜4），在α＜3.6 區(qū)域，環(huán)狀光束的束寬擴(kuò)展和角擴(kuò)展幾乎不受湍流外尺度改變的影響．該結(jié)論對(duì)環(huán)狀光束在實(shí)際光通信應(yīng)用中有重要的潛在意義．
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高斯光束通過(guò)環(huán)狀光闌會(huì)產(chǎn)生環(huán)狀光束，由于環(huán)狀光束在現(xiàn)代光學(xué)及原子光學(xué)中的廣泛實(shí)用性而受到人們的關(guān)注．激光束在自由空間中傳輸時(shí)會(huì)因衍射效應(yīng)而擴(kuò)展，而大氣湍流引起的大氣折射率隨機(jī)起伏又將導(dǎo)致激光光場(chǎng)的隨機(jī)變化與散射，從而使激光束在大氣湍流中傳輸時(shí)會(huì)進(jìn)一步擴(kuò)展降低光束傳輸質(zhì)量．已有研究對(duì)環(huán)狀光束在各向同性且均勻的理想大氣湍流（即Kolmogorov 湍流）中的傳輸情況進(jìn)行分析[1-7]，但實(shí)際的大氣并非總是理想的Kolmogorov 湍流，因此，研究激光束在非Kolmogorov 大氣湍流中的傳輸對(duì)于研究激光光束在實(shí)際大氣中的傳輸及其應(yīng)用有著相當(dāng)重要的意義．文獻(xiàn)[8]研究了非Kolmogorov 湍流對(duì)環(huán)狀光束的有效曲率半徑的影響，到目前為止，人們對(duì)環(huán)狀光束在非Kolmogorov 大氣湍流中的光束擴(kuò)展變化規(guī)律的研究還未見(jiàn)報(bào)道．本文利用廣義惠更斯-菲涅耳原理、非Kolmogorov 譜和強(qiáng)度二階矩定義，推導(dǎo)環(huán)狀光束在大氣湍流中傳輸?shù)氖鴮捄徒菙U(kuò)展的表達(dá)式，并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行一定的物理解釋?zhuān)?/p>
1 理論模型
在柱坐標(biāo)系下，環(huán)狀光束在入射面（z= 0）處的場(chǎng)分布可表示為[3,5,8]：
式中，r'為入射面上的橫向坐標(biāo)，w0為偏心高斯光束的束腰寬度，p、q(q,p= 0,1,2…)表示環(huán)狀光束的階數(shù)，且q≥p．為了討論方便，式（1）略去了振幅常數(shù)因子．定義環(huán)狀光束的外徑為R1=(q+ 1)w0，內(nèi)徑為R2=(p- 1)w0，由此可以得到環(huán)狀光束的遮攔比為：，顯然0 ＜ε＜1．
假設(shè)一束準(zhǔn)單色環(huán)狀光束從z= 0 面沿z軸在大氣湍流中傳播．源場(chǎng)處z= 0 面上的交叉譜密度函數(shù)為[8]：
根據(jù)廣義惠更斯-菲涅耳衍射積分公式，環(huán)狀光束通過(guò)大氣湍流傳輸在z處出射面上的平均光強(qiáng)可以表示為：
式中，r'和r分別是初始面和觀察面的位置矢量，波數(shù)k= 2p/l，λ 為波長(zhǎng)；z為傳播距離；ψ(r,r'1,z)表示湍流大氣對(duì)球面波影響的隨機(jī)相位因子，· 表示大氣湍流介質(zhì)的系綜平均，且[4]：
式中，J0是零階貝塞爾函數(shù)，Φn(κ)為大氣湍流的折射率起伏譜密度函數(shù)．對(duì)于非Kolmogorov 譜，Φn(κ)可表示為[9-10]：
其中：
式中，α為廣義指數(shù)參數(shù)，(Γ(5 -α2) )為伽馬函數(shù)，是廣義的湍流折射率起伏結(jié)構(gòu)常數(shù)（單位是m3-α）．當(dāng)α= 11 3時(shí)，A(11 3)= 0.033，=，即為理想的大氣湍流Kolmogorov譜．
引入大氣湍流量表征湍流的影響強(qiáng)度：
將(5)式代入(10)式可以得到
式（11）表明，大氣湍流量T(α,l0,L0)與指數(shù)α、內(nèi)尺度l0和外尺度L0有關(guān)，T(α,l0,L0)值越大，湍流越強(qiáng)．
2 環(huán)狀光束在非Kolmogorov 湍流中束寬和角擴(kuò)展
根據(jù)強(qiáng)度二階矩定義，在柱坐標(biāo)系下，激光束在大氣湍流介質(zhì)中的二階矩束寬可表示為[4,6,11]：
將式(2)、(3)、(4)代入式(12)，經(jīng)過(guò)繁冗的計(jì)算后，可以推導(dǎo)出環(huán)狀光束在非柯?tīng)柲缏宸蛲牧髦械氖鴮挃U(kuò)展為：
式中，D-i為拋物線柱函數(shù)，且
根據(jù)角擴(kuò)展的定義[6]
環(huán)狀光束的角擴(kuò)展可表示為
分析式（13）和（17），在非Kolmogorov 譜大氣湍流中環(huán)狀光束的束寬和角擴(kuò)展與光束的階數(shù)、束腰寬度、波長(zhǎng)，遮攔比和湍流的外尺度L0、內(nèi)尺度l0、廣義指數(shù)參數(shù)α以及傳輸距離z有關(guān)，它們會(huì)隨傳輸距離z的增加而明顯增大，光束不斷擴(kuò)展，傳輸質(zhì)量變差．在式（13）中，等式右邊前面兩項(xiàng)代表光束在自由空間由于衍射引起的光束擴(kuò)展，而第三項(xiàng)表明非Kolmogorov 譜大氣湍流引起的光束擴(kuò)展．當(dāng)光束傳播距離非常短時(shí)，光束在傳輸過(guò)程中由于自身的衍射以及湍流的作用對(duì)光束擴(kuò)展的影響都很小，此時(shí)起主要作用的是第一項(xiàng)，由光束參數(shù)來(lái)決定，光束擴(kuò)展不明顯．但隨著傳輸距離逐漸增加，第二、三項(xiàng)的值明顯大于第一項(xiàng)的值，表明光束的擴(kuò)展主要是光束自身的衍射和非Kolmogorov 譜大氣湍流引起的．當(dāng)傳輸距離足夠遠(yuǎn)時(shí)，第三項(xiàng)起主要作用，即此時(shí)光束擴(kuò)展主要由湍流的影響所致，與光束參數(shù)無(wú)關(guān)[12]．結(jié)合式（11），對(duì)給定的環(huán)狀光束在非Kolmogorov 譜大氣湍流作遠(yuǎn)距離傳輸時(shí)，由于湍流的作用對(duì)其光束的束寬和角擴(kuò)展的影響因素主要有湍流的外尺度L0、內(nèi)尺度l0和廣義指數(shù)參數(shù)α．
3 數(shù)值分析
圖1 描述了環(huán)狀光束的束寬擴(kuò)展隨湍流的廣義指數(shù)參數(shù)α、外尺度L0和內(nèi)尺度l0的變化（計(jì)算參數(shù)分別為：p= 2、q= 5、ε= 1/6、w0= 0.05 m、λ=0.85 μm、C?2n= 2 × 10-15m3-α、z= 5 km、L0= 20 m和l0= 0.01 m）．
圖1 環(huán)狀光束的束寬擴(kuò)展隨湍流的外尺度L0、內(nèi)尺度l0和廣義指數(shù)參數(shù)α的變化Fig.1 The beam width spreading of annular beams versus the outer scale L0, the inner scale l0 and parameter α of turbulence
從圖1 很明顯看出，當(dāng)光束參數(shù)一定，湍流的折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)以及內(nèi)外尺度一定的情況下，由于廣義指數(shù)參數(shù)α的取值不同，光束的束寬擴(kuò)展隨α的增加而先增大再減小的變化．在光束傳輸距離比較遠(yuǎn)時(shí)（如z= 5 km)，湍流內(nèi)尺度的減小會(huì)導(dǎo)致環(huán)狀光束的束寬明顯增大，外尺度的變化對(duì)束寬擴(kuò)展的影響相對(duì)較小，尤其是α＜3.6 時(shí)，外尺度的增加幾乎不引起環(huán)狀光束的束寬擴(kuò)展．通過(guò)比較式（17）和（13）發(fā)現(xiàn)，由于非Kolmogorov 譜大氣湍流引起環(huán)狀光束的角擴(kuò)展的變化規(guī)律與光束束寬擴(kuò)展變化規(guī)律是相似的．
4 結(jié)語(yǔ)
本文基于廣義惠更斯—菲涅耳原理，利用非Kolmogorov 譜和強(qiáng)度二階矩定義，推導(dǎo)出環(huán)狀光束在大氣湍流中傳輸?shù)氖鴮捄徒菙U(kuò)展的表達(dá)式，并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了一定的物理解釋?zhuān)畯睦碚撋戏治隽嗽诜荎olmogorov 湍流中傳輸?shù)沫h(huán)狀光束，由于自身衍射和湍流的共同作用，使光束展寬明顯，光束傳輸質(zhì)量降低．當(dāng)傳輸距離足夠遠(yuǎn)時(shí)，由于湍流的作用，湍流的外尺度L0、內(nèi)尺度l0和廣義指數(shù)參數(shù)是對(duì)環(huán)狀光束的束寬和角擴(kuò)展影α響的主要因素．在其他參數(shù)一定的情況下，環(huán)狀光束的束寬擴(kuò)展和角擴(kuò)展隨廣義指數(shù)參數(shù)α的增加呈先增加后減小的變化，隨湍流內(nèi)尺度的增加而減小，隨外尺度的增加而增加（3.6 ＜α＜4），在α＜3.6 區(qū)域，環(huán)狀光束的束寬擴(kuò)展和角擴(kuò)展幾乎不受湍流外尺度改變的影響．該結(jié)論對(duì)環(huán)狀光束在實(shí)際光通信應(yīng)用中有重要的潛在意義．
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