鐘子林

廣州鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院 廣東 廣州 511300

1 引言

拱結(jié)構(gòu)因其優(yōu)雅美觀的造型、卓越的跨越能力和強(qiáng)大的承載能力而廣泛運(yùn)用于各個(gè)工程領(lǐng)域[1]。例如，在建筑工程中，我們可以看到巴黎圣日內(nèi)維耶圖書館和沈陽西站候車室的美麗拱形屋頂。在橋梁工程中，廣西平南縣的拱橋和盧浦大橋都運(yùn)用了拱結(jié)構(gòu)。在水利工程中，美國科羅拉多河上的葛蘭大壩和日本的黑部大壩也采用了拱結(jié)構(gòu)。在機(jī)械和航空工程領(lǐng)域，拱形吊車梁、曲梁構(gòu)件和拱形機(jī)艙骨架等也發(fā)揮了拱結(jié)構(gòu)的優(yōu)勢。在實(shí)際工程中，拱結(jié)構(gòu)常處于復(fù)雜惡劣的工作環(huán)境，受地震、臺(tái)風(fēng)、沖擊等動(dòng)荷載的作用而發(fā)生失穩(wěn)。而如何有效地避開動(dòng)力荷載造成的失穩(wěn)破壞成為拱結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問題。在實(shí)際工程中，拱結(jié)構(gòu)常處于復(fù)雜惡劣的工作環(huán)境，受地震、臺(tái)風(fēng)、沖擊等動(dòng)荷載的作用而發(fā)生失穩(wěn)。而如何有效地避開動(dòng)力荷載造成的失穩(wěn)破壞成為拱結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問題。隨著拱結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)日趨向輕薄、高強(qiáng)、大跨度方向發(fā)展，因動(dòng)力失穩(wěn)而引起的坍塌事故不容忽視。例如，在汶川地震中，明月渡涪江雙曲拱橋、小魚洞剛架拱橋、青川縣井田壩雙曲拱橋等都由于強(qiáng)烈的地震引起基礎(chǔ)錯(cuò)動(dòng)而瞬間垮塌。

研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)動(dòng)力荷載的激振參數(shù)（頻率、幅值等）與拱的振動(dòng)頻率滿足一定條件時(shí)，拱的位移將會(huì)突然增加，發(fā)生動(dòng)力失穩(wěn)現(xiàn)象。比如，當(dāng)外荷載的激振頻率是拱自振頻率的兩倍時(shí)，拱的位移突然呈指數(shù)增長，發(fā)生參數(shù)共振失穩(wěn)。在Bolotin的研究基礎(chǔ)上，Sophianopoulos等[2]首次推導(dǎo)了簡諧荷載作用下兩端鉸接懸鏈線拱的Mathieu-Hill常微分運(yùn)動(dòng)方程，并利用Bolotin法得到了懸鏈線拱參數(shù)動(dòng)力失穩(wěn)的臨界頻率域。趙洪金等[3]利用哈密頓原理和伽遼金法推導(dǎo)了兩端鉸接圓弧格構(gòu)拱的動(dòng)力穩(wěn)定方程，通過Bolotin法求解了拱的參數(shù)動(dòng)力不穩(wěn)定域，并分析了不同綴條面積，半徑，夾角等對不穩(wěn)定域大小的影響。董寧娟[4]利用Bolotin法和半解析法求解得到了徑向均布荷載作用下開口薄壁與閉口薄壁圓弧拱的平面內(nèi)參數(shù)動(dòng)力失穩(wěn)域。Liu等[5]基于能量法推導(dǎo)了拱頂集中簡諧荷載作用下圓弧拱平面內(nèi)、外的動(dòng)力方程，并利用Bolotin法求解了圓弧拱平面內(nèi)、外參數(shù)共振失穩(wěn)的動(dòng)力不穩(wěn)定域，分析了矢跨比、附加質(zhì)量對動(dòng)力不穩(wěn)定域的影響規(guī)律。鐘子林[6]等研究了基礎(chǔ)豎向多頻荷載作用下拱的面內(nèi)動(dòng)力穩(wěn)定性，分析了不同設(shè)計(jì)參數(shù)下動(dòng)力不穩(wěn)定域的分布規(guī)律，并用有限元分析驗(yàn)證了理論解的正確性。

基礎(chǔ)加速度激勵(lì)是工程中常遇到的動(dòng)力荷載，例如水下鉆孔、航道、隧道等爆破產(chǎn)生的沖擊波、大型輪船運(yùn)行時(shí)產(chǎn)生的水擊波、地鐵運(yùn)行產(chǎn)生的震動(dòng)等，是導(dǎo)致拱發(fā)生動(dòng)力失穩(wěn)的主要元兇之一，然而基礎(chǔ)激勵(lì)下拱的失穩(wěn)力學(xué)行為尚不明晰，相關(guān)研究很少公開報(bào)道。結(jié)構(gòu)的動(dòng)力失穩(wěn)破壞具有突發(fā)性，事發(fā)時(shí)無明顯征兆，一旦發(fā)生便會(huì)產(chǎn)生災(zāi)難性的后果。然而，關(guān)于拱結(jié)構(gòu)動(dòng)力穩(wěn)定性的研究尚待完善，遠(yuǎn)滯后于實(shí)際工程的建設(shè)，缺乏設(shè)計(jì)指引的拱結(jié)構(gòu)工程必然存在一定的安全隱患。因此，建立拱結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，建立一套系統(tǒng)全面的拱結(jié)構(gòu)動(dòng)力穩(wěn)定性的研究方法，分析各種參數(shù)對拱結(jié)構(gòu)動(dòng)力穩(wěn)定性的影響規(guī)律，為設(shè)計(jì)人員找到合理的設(shè)計(jì)參數(shù)具有重要的意義。因此，本文建立了有限元分析模型，施加基礎(chǔ)豎向簡諧激勵(lì)，分析拱面內(nèi)一階反對稱和二階正對稱動(dòng)力失穩(wěn)，獲得拱面內(nèi)動(dòng)力失穩(wěn)的臨界激勵(lì)頻率，揭示了拱面內(nèi)雙模態(tài)動(dòng)力失穩(wěn)的機(jī)理。

2 有限元建模

本節(jié)通過有限元軟件ANSYS 14.5建立豎向基礎(chǔ)余弦激勵(lì)下圓弧拱的動(dòng)力學(xué)數(shù)值模型并進(jìn)行瞬態(tài)分析，給定相應(yīng)的基礎(chǔ)激勵(lì)幅值，得到圓弧拱的動(dòng)力時(shí)程，分析圓弧拱發(fā)生動(dòng)力失穩(wěn)的臨界激勵(lì)頻率，通過模擬上、下掃頻激振（基礎(chǔ)激勵(lì)頻率逐漸增加、基礎(chǔ)激勵(lì)頻率逐漸減?。?，得到完整的動(dòng)力不穩(wěn)定域數(shù)值解。圓弧拱的模型參數(shù)選取為：彈性模量E=6.9×1010Pa，質(zhì)量密度=2700kg/m3，泊松比為=0.33，截面尺寸bxh=0.025mx0.0015m，跨徑L=0.5m。利用有限元?jiǎng)恿Ψ治鲋械耐耆ㄟM(jìn)行計(jì)算分析，基礎(chǔ)激勵(lì)的加載時(shí)間間隔為=0.001s，積分時(shí)間步長Deltim=/7。采用瑞利阻尼施加至圓弧拱模型，模擬圓弧拱受到的阻尼力。

3 結(jié)果分析

以矢跨比f/L=1/8的圓弧拱為對象，設(shè)前兩階模態(tài)的阻尼比為0.01，最大基礎(chǔ)激勵(lì)幅值為Pmax=51.65m/s2，掃頻激振時(shí)頻率的變化速率為0.5 H z/m i n。當(dāng)無量綱激振幅值β=Pt/Pmax=0.6時(shí)(Pt為激勵(lì)幅值)，向上和向下掃頻基礎(chǔ)激振的起始頻率分別為144.25Hz和159.8Hz，圓弧拱振幅時(shí)程的測點(diǎn)為=-14.29°。如圖1 (a)～(b) 所示，當(dāng)無量綱激振幅值β=0.6時(shí)，圓弧拱將在某臨界時(shí)間點(diǎn)發(fā)生動(dòng)力失穩(wěn)，其振幅迅速發(fā)散。通過基礎(chǔ)加載和圓弧拱振動(dòng)的時(shí)間歷程對比發(fā)現(xiàn)，如時(shí)間為26.2s-26.4s的對比所示（圖1(a)），圓弧拱的振動(dòng)頻率與基礎(chǔ)激勵(lì)的頻率相同（圓弧拱振動(dòng)時(shí)間歷程曲線與荷載時(shí)間歷程曲線的周期數(shù)相同），同時(shí)從圓弧拱的振動(dòng)時(shí)間歷程曲線中可以發(fā)現(xiàn)次諧波響應(yīng)，表明圓弧拱振動(dòng)時(shí)間歷程曲線的周期數(shù)逐漸減小，即圓弧拱的振動(dòng)頻率逐漸減小。通過26.4s-26.6s的對比可以看出，基礎(chǔ)激勵(lì)的頻率約為圓弧拱振動(dòng)頻率的兩倍（荷載時(shí)間歷程曲線的周期數(shù)約為圓弧拱振動(dòng)時(shí)間歷程曲線的兩倍），此時(shí)圓弧拱的振幅開始發(fā)散，因此可將26.4s作為圓弧拱發(fā)生參數(shù)共振失穩(wěn)的臨界時(shí)間點(diǎn)，此刻基礎(chǔ)激勵(lì)對 應(yīng) 時(shí) 間 點(diǎn) 的 臨 界 激 勵(lì) 頻 率 下 限 值 為144.25+0.526.4/60=144.47Hz。由向下掃頻基礎(chǔ)激振的圓弧拱振動(dòng)與荷載時(shí)間歷程曲線的對比可知，在27.6s之前，圓弧拱的振動(dòng)頻率與基礎(chǔ)激勵(lì)的頻率相同，而當(dāng)基礎(chǔ)激勵(lì)的頻率繼續(xù)減小時(shí)，基礎(chǔ)激勵(lì)的頻率約為圓弧拱振動(dòng)頻率的兩倍，因此可將27.6s作為圓弧拱發(fā)生動(dòng)力失穩(wěn)的臨界時(shí)間點(diǎn)，此刻基礎(chǔ)激勵(lì)對應(yīng)時(shí)間點(diǎn)的臨界激勵(lì)頻率上限值為159.8-0.5x27.6/60=159.58Hz。通過多次向上和向下掃頻激振可得圓弧拱動(dòng)力不穩(wěn)定域的臨界邊界頻率值。

圖1 基礎(chǔ)激勵(lì)下圓弧拱的有限元振幅時(shí)程=-14.29°：(a)向上掃頻 (β=0.6), (b) 向下掃頻 (β=0.6).

基于上述有限元數(shù)值模型，設(shè)定圓弧拱前兩階模態(tài)的阻尼比為0.002，起始激勵(lì)頻率為139.8Hz，運(yùn)用掃頻激振法得到圓弧拱在基礎(chǔ)激勵(lì)下振幅時(shí)間歷程，圓弧拱振幅時(shí)程的測點(diǎn)為=-14.29°，如圖2所示。按照上述臨界激勵(lì)頻率的計(jì)算方法，可得該激勵(lì)幅值下的臨界激勵(lì)頻率數(shù)值解的上限值為140.24Hz。如圖3所示，截取時(shí)間段59s-60s的振幅時(shí)程數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，圓弧拱的振動(dòng)曲線出現(xiàn)疏密程度相差較大的現(xiàn)象，表明圓弧拱的振動(dòng)頻率發(fā)生較大的改變。因此，分別提取59.2s、 59.28s、 59.4s和59.47s對應(yīng)的圓弧拱動(dòng)力失穩(wěn)模態(tài)進(jìn)行分析。由圖4可知，當(dāng)時(shí)間為59.2s時(shí)，圓弧拱發(fā)生振幅較大的平面內(nèi)反對稱參數(shù)共振失穩(wěn)，而當(dāng)時(shí)間為59.28s時(shí)，圓弧拱的振動(dòng)曲線變密，振動(dòng)頻率增加，動(dòng)力失穩(wěn)模態(tài)為正對稱，表明此時(shí)圓弧拱發(fā)生平面內(nèi)二階正對稱共振失穩(wěn)。當(dāng)時(shí)間為59.4s和59.47s時(shí)，出現(xiàn)了相同的動(dòng)力失穩(wěn)現(xiàn)象，表明在基礎(chǔ)激勵(lì)下圓弧拱同時(shí)發(fā)生了平面內(nèi)一階反對稱參數(shù)共振和二階正對稱共振動(dòng)力失穩(wěn)，其動(dòng)力失穩(wěn)模態(tài)交替變化，但主要以參數(shù)共振為主，且參數(shù)共振失穩(wěn)的振幅較大。

圖2 基礎(chǔ)激勵(lì)下圓弧拱的有限元振幅時(shí)程，向上掃頻 (β=0.9)

圖3 基礎(chǔ)激勵(lì)下圓弧拱的有限元振幅時(shí)程，向上掃頻(β=0.9), 59s-60s

圖4 圓弧拱的動(dòng)力失穩(wěn)模態(tài)：(a) 59.2s, (b) 59.28s, (c)59.4s, (d) 59.47s

4 結(jié)語

本文基于有限元軟件建立了豎向基礎(chǔ)激勵(lì)下拱的動(dòng)力學(xué)分析模型，通過瞬態(tài)分析得到拱的面內(nèi)振動(dòng)響應(yīng)，確定了拱發(fā)生動(dòng)力失穩(wěn)的臨界激勵(lì)頻率值，揭示了拱發(fā)生面內(nèi)一階反對稱和二階正對稱失穩(wěn)的機(jī)理。主要的結(jié)論如下：

（1）基礎(chǔ)激勵(lì)的頻率約為圓弧拱一階振動(dòng)頻率的兩倍，圓弧拱發(fā)生面內(nèi)一階反對稱參數(shù)共振；

（2） 基礎(chǔ)激勵(lì)的頻率約為圓弧拱二階振動(dòng)頻率，圓弧拱發(fā)生面內(nèi)二階正對稱參數(shù)共振；

（3）當(dāng)拱發(fā)生雙模態(tài)動(dòng)力失穩(wěn)，一階反對稱和二階正對稱失穩(wěn)模態(tài)交替出現(xiàn)。