鐘子林

廣州鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院 廣東 廣州 511300

1 引言

拱結(jié)構(gòu)因其優(yōu)雅美觀的造型、卓越的跨越能力和強(qiáng)大的承載能力而廣泛運(yùn)用于各個(gè)工程領(lǐng)域[1]。例如，在建筑工程中，我們可以看到巴黎圣日內(nèi)維耶圖書館和沈陽(yáng)西站候車室的美麗拱形屋頂。在橋梁工程中，廣西平南縣的拱橋和盧浦大橋都運(yùn)用了拱結(jié)構(gòu)。在水利工程中，美國(guó)科羅拉多河上的葛蘭大壩和日本的黑部大壩也采用了拱結(jié)構(gòu)。在機(jī)械和航空工程領(lǐng)域，拱形吊車梁、曲梁構(gòu)件和拱形機(jī)艙骨架等也發(fā)揮了拱結(jié)構(gòu)的優(yōu)勢(shì)。在實(shí)際工程中，拱結(jié)構(gòu)常處于復(fù)雜惡劣的工作環(huán)境，受地震、臺(tái)風(fēng)、沖擊等動(dòng)荷載的作用而發(fā)生失穩(wěn)。而如何有效地避開(kāi)動(dòng)力荷載造成的失穩(wěn)破壞成為拱結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問(wèn)題。在實(shí)際工程中，拱結(jié)構(gòu)常處于復(fù)雜惡劣的工作環(huán)境，受地震、臺(tái)風(fēng)、沖擊等動(dòng)荷載的作用而發(fā)生失穩(wěn)。而如何有效地避開(kāi)動(dòng)力荷載造成的失穩(wěn)破壞成為拱結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問(wèn)題。隨著拱結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)日趨向輕薄、高強(qiáng)、大跨度方向發(fā)展，因動(dòng)力失穩(wěn)而引起的坍塌事故不容忽視。例如，在汶川地震中，明月渡涪江雙曲拱橋、小魚(yú)洞剛架拱橋、青川縣井田壩雙曲拱橋等都由于強(qiáng)烈的地震引起基礎(chǔ)錯(cuò)動(dòng)而瞬間垮塌。

研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)動(dòng)力荷載的激振參數(shù)（頻率、幅值等）與拱的振動(dòng)頻率滿足一定條件時(shí)，拱的位移將會(huì)突然增加，發(fā)生動(dòng)力失穩(wěn)現(xiàn)象。比如，當(dāng)外荷載的激振頻率是拱自振頻率的兩倍時(shí)，拱的位移突然呈指數(shù)增長(zhǎng)，發(fā)生參數(shù)共振失穩(wěn)。在Bolotin的研究基礎(chǔ)上，Sophianopoulos等[2]首次推導(dǎo)了簡(jiǎn)諧荷載作用下兩端鉸接懸鏈線拱的Mathieu-Hill常微分運(yùn)動(dòng)方程，并利用Bolotin法得到了懸鏈線拱參數(shù)動(dòng)力失穩(wěn)的臨界頻率域。趙洪金等[3]利用哈密頓原理和伽遼金法推導(dǎo)了兩端鉸接圓弧格構(gòu)拱的動(dòng)力穩(wěn)定方程，通過(guò)Bolotin法求解了拱的參數(shù)動(dòng)力不穩(wěn)定域，并分析了不同綴條面積，半徑，夾角等對(duì)不穩(wěn)定域大小的影響。董寧娟[4]利用Bolotin法和半解析法求解得到了徑向均布荷載作用下開(kāi)口薄壁與閉口薄壁圓弧拱的平面內(nèi)參數(shù)動(dòng)力失穩(wěn)域。Liu等[5]基于能量法推導(dǎo)了拱頂集中簡(jiǎn)諧荷載作用下圓弧拱平面內(nèi)、外的動(dòng)力方程，并利用Bolotin法求解了圓弧拱平面內(nèi)、外參數(shù)共振失穩(wěn)的動(dòng)力不穩(wěn)定域，分析了矢跨比、附加質(zhì)量對(duì)動(dòng)力不穩(wěn)定域的影響規(guī)律。鐘子林[6]等研究了基礎(chǔ)豎向多頻荷載作用下拱的面內(nèi)動(dòng)力穩(wěn)定性，分析了不同設(shè)計(jì)參數(shù)下動(dòng)力不穩(wěn)定域的分布規(guī)律，并用有限元分析驗(yàn)證了理論解的正確性。

基礎(chǔ)加速度激勵(lì)是工程中常遇到的動(dòng)力荷載，例如水下鉆孔、航道、隧道等爆破產(chǎn)生的沖擊波、大型輪船運(yùn)行時(shí)產(chǎn)生的水擊波、地鐵運(yùn)行產(chǎn)生的震動(dòng)等，是導(dǎo)致拱發(fā)生動(dòng)力失穩(wěn)的主要元兇之一，然而基礎(chǔ)激勵(lì)下拱的失穩(wěn)力學(xué)行為尚不明晰，相關(guān)研究很少公開(kāi)報(bào)道。結(jié)構(gòu)的動(dòng)力失穩(wěn)破壞具有突發(fā)性，事發(fā)時(shí)無(wú)明顯征兆，一旦發(fā)生便會(huì)產(chǎn)生災(zāi)難性的后果。然而，關(guān)于拱結(jié)構(gòu)動(dòng)力穩(wěn)定性的研究尚待完善，遠(yuǎn)滯后于實(shí)際工程的建設(shè)，缺乏設(shè)計(jì)指引的拱結(jié)構(gòu)工程必然存在一定的安全隱患。因此，建立拱結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，建立一套系統(tǒng)全面的拱結(jié)構(gòu)動(dòng)力穩(wěn)定性的研究方法，分析各種參數(shù)對(duì)拱結(jié)構(gòu)動(dòng)力穩(wěn)定性的影響規(guī)律，為設(shè)計(jì)人員找到合理的設(shè)計(jì)參數(shù)具有重要的意義。因此，本文建立了有限元分析模型，施加基礎(chǔ)豎向簡(jiǎn)諧激勵(lì)，分析拱面內(nèi)一階反對(duì)稱和二階正對(duì)稱動(dòng)力失穩(wěn)，獲得拱面內(nèi)動(dòng)力失穩(wěn)的臨界激勵(lì)頻率，揭示了拱面內(nèi)雙模態(tài)動(dòng)力失穩(wěn)的機(jī)理。

2 有限元建模

本節(jié)通過(guò)有限元軟件ANSYS 14.5建立豎向基礎(chǔ)余弦激勵(lì)下圓弧拱的動(dòng)力學(xué)數(shù)值模型并進(jìn)行瞬態(tài)分析，給定相應(yīng)的基礎(chǔ)激勵(lì)幅值，得到圓弧拱的動(dòng)力時(shí)程，分析圓弧拱發(fā)生動(dòng)力失穩(wěn)的臨界激勵(lì)頻率，通過(guò)模擬上、下掃頻激振（基礎(chǔ)激勵(lì)頻率逐漸增加、基礎(chǔ)激勵(lì)頻率逐漸減小），得到完整的動(dòng)力不穩(wěn)定域數(shù)值解。圓弧拱的模型參數(shù)選取為：彈性模量E=6.9×1010Pa，質(zhì)量密度=2700kg/m3，泊松比為=0.33，截面尺寸bxh=0.025mx0.0015m，跨徑L=0.5m。利用有限元?jiǎng)恿Ψ治鲋械耐耆ㄟM(jìn)行計(jì)算分析，基礎(chǔ)激勵(lì)的加載時(shí)間間隔為=0.001s，積分時(shí)間步長(zhǎng)Deltim=/7。采用瑞利阻尼施加至圓弧拱模型，模擬圓弧拱受到的阻尼力。

3 結(jié)果分析

以矢跨比f(wàn)/L=1/8的圓弧拱為對(duì)象，設(shè)前兩階模態(tài)的阻尼比為0.01，最大基礎(chǔ)激勵(lì)幅值為Pmax=51.65m/s2，掃頻激振時(shí)頻率的變化速率為0.5 H z/m i n。當(dāng)無(wú)量綱激振幅值β=Pt/Pmax=0.6時(shí)(Pt為激勵(lì)幅值)，向上和向下掃頻基礎(chǔ)激振的起始頻率分別為144.25Hz和159.8Hz，圓弧拱振幅時(shí)程的測(cè)點(diǎn)為=-14.29°。如圖1 (a)～(b) 所示，當(dāng)無(wú)量綱激振幅值β=0.6時(shí)，圓弧拱將在某臨界時(shí)間點(diǎn)發(fā)生動(dòng)力失穩(wěn)，其振幅迅速發(fā)散。通過(guò)基礎(chǔ)加載和圓弧拱振動(dòng)的時(shí)間歷程對(duì)比發(fā)現(xiàn)，如時(shí)間為26.2s-26.4s的對(duì)比所示（圖1(a)），圓弧拱的振動(dòng)頻率與基礎(chǔ)激勵(lì)的頻率相同（圓弧拱振動(dòng)時(shí)間歷程曲線與荷載時(shí)間歷程曲線的周期數(shù)相同），同時(shí)從圓弧拱的振動(dòng)時(shí)間歷程曲線中可以發(fā)現(xiàn)次諧波響應(yīng)，表明圓弧拱振動(dòng)時(shí)間歷程曲線的周期數(shù)逐漸減小，即圓弧拱的振動(dòng)頻率逐漸減小。通過(guò)26.4s-26.6s的對(duì)比可以看出，基礎(chǔ)激勵(lì)的頻率約為圓弧拱振動(dòng)頻率的兩倍（荷載時(shí)間歷程曲線的周期數(shù)約為圓弧拱振動(dòng)時(shí)間歷程曲線的兩倍），此時(shí)圓弧拱的振幅開(kāi)始發(fā)散，因此可將26.4s作為圓弧拱發(fā)生參數(shù)共振失穩(wěn)的臨界時(shí)間點(diǎn)，此刻基礎(chǔ)激勵(lì)對(duì) 應(yīng) 時(shí) 間 點(diǎn) 的 臨 界 激 勵(lì) 頻 率 下 限 值 為144.25+0.526.4/60=144.47Hz。由向下掃頻基礎(chǔ)激振的圓弧拱振動(dòng)與荷載時(shí)間歷程曲線的對(duì)比可知，在27.6s之前，圓弧拱的振動(dòng)頻率與基礎(chǔ)激勵(lì)的頻率相同，而當(dāng)基礎(chǔ)激勵(lì)的頻率繼續(xù)減小時(shí)，基礎(chǔ)激勵(lì)的頻率約為圓弧拱振動(dòng)頻率的兩倍，因此可將27.6s作為圓弧拱發(fā)生動(dòng)力失穩(wěn)的臨界時(shí)間點(diǎn)，此刻基礎(chǔ)激勵(lì)對(duì)應(yīng)時(shí)間點(diǎn)的臨界激勵(lì)頻率上限值為159.8-0.5x27.6/60=159.58Hz。通過(guò)多次向上和向下掃頻激振可得圓弧拱動(dòng)力不穩(wěn)定域的臨界邊界頻率值。

圖1 基礎(chǔ)激勵(lì)下圓弧拱的有限元振幅時(shí)程=-14.29°：(a)向上掃頻 (β=0.6), (b) 向下掃頻 (β=0.6).

基于上述有限元數(shù)值模型，設(shè)定圓弧拱前兩階模態(tài)的阻尼比為0.002，起始激勵(lì)頻率為139.8Hz，運(yùn)用掃頻激振法得到圓弧拱在基礎(chǔ)激勵(lì)下振幅時(shí)間歷程，圓弧拱振幅時(shí)程的測(cè)點(diǎn)為=-14.29°，如圖2所示。按照上述臨界激勵(lì)頻率的計(jì)算方法，可得該激勵(lì)幅值下的臨界激勵(lì)頻率數(shù)值解的上限值為140.24Hz。如圖3所示，截取時(shí)間段59s-60s的振幅時(shí)程數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，圓弧拱的振動(dòng)曲線出現(xiàn)疏密程度相差較大的現(xiàn)象，表明圓弧拱的振動(dòng)頻率發(fā)生較大的改變。因此，分別提取59.2s、 59.28s、 59.4s和59.47s對(duì)應(yīng)的圓弧拱動(dòng)力失穩(wěn)模態(tài)進(jìn)行分析。由圖4可知，當(dāng)時(shí)間為59.2s時(shí)，圓弧拱發(fā)生振幅較大的平面內(nèi)反對(duì)稱參數(shù)共振失穩(wěn)，而當(dāng)時(shí)間為59.28s時(shí)，圓弧拱的振動(dòng)曲線變密，振動(dòng)頻率增加，動(dòng)力失穩(wěn)模態(tài)為正對(duì)稱，表明此時(shí)圓弧拱發(fā)生平面內(nèi)二階正對(duì)稱共振失穩(wěn)。當(dāng)時(shí)間為59.4s和59.47s時(shí)，出現(xiàn)了相同的動(dòng)力失穩(wěn)現(xiàn)象，表明在基礎(chǔ)激勵(lì)下圓弧拱同時(shí)發(fā)生了平面內(nèi)一階反對(duì)稱參數(shù)共振和二階正對(duì)稱共振動(dòng)力失穩(wěn)，其動(dòng)力失穩(wěn)模態(tài)交替變化，但主要以參數(shù)共振為主，且參數(shù)共振失穩(wěn)的振幅較大。

圖2 基礎(chǔ)激勵(lì)下圓弧拱的有限元振幅時(shí)程，向上掃頻 (β=0.9)

圖3 基礎(chǔ)激勵(lì)下圓弧拱的有限元振幅時(shí)程，向上掃頻(β=0.9), 59s-60s

圖4 圓弧拱的動(dòng)力失穩(wěn)模態(tài)：(a) 59.2s, (b) 59.28s, (c)59.4s, (d) 59.47s

4 結(jié)語(yǔ)

本文基于有限元軟件建立了豎向基礎(chǔ)激勵(lì)下拱的動(dòng)力學(xué)分析模型，通過(guò)瞬態(tài)分析得到拱的面內(nèi)振動(dòng)響應(yīng)，確定了拱發(fā)生動(dòng)力失穩(wěn)的臨界激勵(lì)頻率值，揭示了拱發(fā)生面內(nèi)一階反對(duì)稱和二階正對(duì)稱失穩(wěn)的機(jī)理。主要的結(jié)論如下：

（1）基礎(chǔ)激勵(lì)的頻率約為圓弧拱一階振動(dòng)頻率的兩倍，圓弧拱發(fā)生面內(nèi)一階反對(duì)稱參數(shù)共振；

（2） 基礎(chǔ)激勵(lì)的頻率約為圓弧拱二階振動(dòng)頻率，圓弧拱發(fā)生面內(nèi)二階正對(duì)稱參數(shù)共振；

（3）當(dāng)拱發(fā)生雙模態(tài)動(dòng)力失穩(wěn)，一階反對(duì)稱和二階正對(duì)稱失穩(wěn)模態(tài)交替出現(xiàn)。